專題05 直線與圓的位置關系及切線的判定與性質(zhì)（6個考點六大類型）（解析版）-2024學年九年級數(shù)學上冊（蘇科版）

第第頁專題05直線與圓的位置關系及切線的判定與性質(zhì)（6個考點六大類型）【題型1直線與圓的位置關系的判定】【題型2利用切線的性質(zhì)求有關的角度/邊長的運算】【題型3切線的判定】【題型4切線的性質(zhì)與判定的綜合運用】【題型5利用切線長定理的性質(zhì)求線段長度或周長】【題型6三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心】【題型1直線與圓的位置關系的判定】1．（2022秋?江漢區(qū)校級期末）已知⊙O半徑為4cm，若直線上一點P與圓心O距離為4cm，那么直線與圓的位置關系是（）A．相離 B．相切 C．相交 D．無法確定【答案】D【解答】解：⊙O半徑為4cm，若直線上一點P與圓心O距離為4cm，那么直線與圓的位置關系是無法確定，故選：D．2．（2022秋?洪山區(qū)校級期末）圓的半徑是6.5cm，如果圓心與直線上某一點的距離是6.5cm，那么該直線和圓的位置關系是（）A．相離 B．相切 C．相交 D．相交或相切【答案】D【解答】解：∵圓的半徑為6.5cm，圓心與直線上某一點的距離是6.5cm，∴圓的半徑≥圓心到直線的距離，∴直線于圓相切或相交，故選：D．3．（2022秋?江夏區(qū)校級期末）已知⊙O的半徑等于5，圓心O到直線l的距離為4，那么直線l與⊙O的公共點的個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．無法確定【答案】C【解答】解：∵⊙O的半徑等于5，圓心O到直線l的距離為4，即圓心O到直線l的距離小于圓的半徑，∴直線l和⊙O相交，∴直線l與⊙O有2個公共點．故選：C．4．（2022秋?順平縣期末）如圖，若圓O的半徑為3，點O到一條直線的距離為3，則這條直線可能是（）A．l1 B．l2 C．l3 D．l4【答案】A【解答】解：∵⊙O的半徑是3，圓心O到直線l的距離是3，3＝3，∴直線l與⊙O相切．故選：A．5．（2023春?青山區(qū)校級月考）已知⊙O的直徑為12，點O到直線l上一點的距離為，則直線l與⊙O的位置關系（）A．相交 B．相切 C．相離 D．不確定【答案】D【解答】解：∵⊙O的直徑為12，∴⊙O的半徑為6，∵點O到直線l上一點的距離為，無法確定點O到直線l的距離，∴不能確定直線l與⊙O的位置關系，故選：D．6．（2022秋?宜興市期末）已知⊙O的半徑為6cm，點O到直線l的距離為7cm，則直線l與⊙O的位置關系是（）A．相交 B．相切 C．相離 D．無法確定【答案】C【解答】解：∵⊙O的半徑為6cm，圓心O到直線l的距離為7cm，6＜7，∴直線l與⊙O相離．故選：C．7．（2022秋?高邑縣期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝4cm，以點C為圓心，以2cm的長為半徑作圓，則⊙C與AB的位置關系是（）A．相交 B．相切 C．相離 D．相切或相離【答案】B【解答】解：作CD⊥AB于點D．∵∠B＝30°，BC＝4cm，∴CD＝BC＝2cm，即CD等于圓的半徑．∵CD⊥AB，∴AB與⊙C相切．故答案為：B．8．（2023春?寧遠縣期中）已知⊙O的半徑是10，圓心O到直線l的距離是13，則直線l與⊙O的位置關系是（）A．相離 B．相交 C．相切 D．無法確定【答案】A【解答】解：∵⊙O的半徑為10，圓心O到直線l的距離是13，而10＜13，∴點O到直線l的距離大于半徑，∴直線l與⊙O相離．故選：A．9．（2022秋?萊州市期末）若∠OAB＝30°，OA＝10cm，則以O為圓心，4cm為半徑的圓與直線AB的位置關系是（）A．相交 B．相切 C．相離 D．不能確定【答案】C【解答】解：如圖，作OD⊥AB，垂足為D，∵∠OAB＝30°，OA＝10cm，∴OD＝5cm，∵d＝5cm＞r＝4cm，∴直線AB與圓O相離．故選：C．10．（2022秋?海珠區(qū)校級期末）在平面直角坐標系中，以點（﹣3，2）為圓心，3為半徑的圓與y軸的位置關系為相切．【答案】相切．【解答】解：∵點（﹣3，2）到y(tǒng)軸的距離為3，且以點（﹣3，2）為圓心的圓的半徑為3，∴點（﹣3，2）到y(tǒng)軸的距離等于圓的半徑，∴該圓與y軸的位置關系是相切，故答案為：相切．11．（2023?前郭縣二模）如圖，平面直角坐標系中，半徑為2的⊙P的圓心P的坐標為（﹣3，0），將⊙P沿x軸正方向平移，使⊙P與y軸相交，則平移的距離d的取值范圍是1＜d＜5．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：當⊙P位于y軸的左側(cè)且與y軸相切時，平移的距離為1；當⊙P位于y軸的右側(cè)且與y軸相切時，平移的距離為5．故平移的距離d的取值范圍是1＜d＜5．故答案為：1＜d＜5．【題型2利用切線的性質(zhì)求有關的角度/邊長的運算】12．（2023?松原四模）如圖，AB與⊙O相切于點B，AO與⊙O相交于點C，若AB＝8，AC＝4，則⊙O的半徑為（）A．4 B．5 C．6 D．8【答案】C【解答】解：∵AB切⊙O于B，∴OB⊥AB，∴∠ABO＝90°，設⊙O的半徑長為r，由勾股定理得：r2+82＝（4+r）2，解得r＝6故選：C．13．（2023?重慶）如圖，AB為⊙O的直徑，直線CD與⊙O相切于點C，連接AC，若∠ACD＝50°，則∠BAC的度數(shù)為（）A．30° B．40° C．50° D．60°【答案】B【解答】解：連接OC，∵直線CD與⊙O相切于點C，∴∠OCD＝90°，∵∠ACD＝50°，∴∠ACO＝90°﹣50°＝40°，∵OC＝OA，∴∠BAC＝∠ACO＝40°，故選：B．14．（2023?浙江二模）如圖，AC與⊙O相切于點A，B為⊙O上一點，BC經(jīng)過圓心O，若∠B＝25°，則∠C的大小等于（）A．20° B．40° C．25° D．50°【答案】B【解答】解：連接OA，∵AC與⊙O相切于點A，∴AC⊥OA，∴∠OAC＝90°，∵∠B＝25°，∴∠AOC＝2∠B＝2×25°＝50°，∴∠C＝90°﹣∠AOC＝90°﹣50°＝40°，故選：B．15．（2023?西湖區(qū)校級二模）如圖，菱形OABC的頂點A，B，C在⊙O上，過點B作⊙O的切線交OA的延長線于點D．若⊙O的半徑為2，則BD的長為（）?A．2 B．4 C． D．【答案】D【解答】解：連接OB，∵BD是⊙O的切線，∴∠OBD＝90°，∵四邊形OABC為菱形，∴OA＝AB，∵OA＝OB，∴OA＝OB＝AB，∴△OAB為等邊三角形，∴∠AOB＝60°，∴∠ODB＝30°，∴OD＝2OB＝4，由勾股定理得，BD＝＝2，故選：D．16．（2023?九龍坡區(qū)模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的切線，連接OC交⊙O于點D，連接BD，∠C＝30°，OA＝2，則BD的長為（）?A．2 B．2 C．3 D．3【答案】B【解答】解：∵AC是⊙O的切線，∴OA⊥AC，∴∠OAC＝90°，∵∠C＝30°，∴∠AOC＝90°﹣30°＝60°，∴∠AOC＝60°，∵OA＝OD，∴∠OAD＝60°，連接AD，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∵OA＝2，∴AB＝4，∴BD＝AB?sin60°＝4×＝2，故選：B．17．（2023?沙坪壩區(qū)校級模擬）如圖，在△ABC中，∠A＝30°，點O是邊AB上一點，以點O為圓心，以OB為半徑作圓，⊙O恰好與AC相切于點D，連接BD．若BD平分∠ABC，，則線段AB的長是（）A． B． C．3 D．6【答案】D【解答】解：連接OD，∵OD是⊙O的半徑，AC是⊙O的切線，點D是切點，∴OD⊥AC，∵OD＝OB，∴OBD＝ODB，∵BD平分∠ABC，∴∠OBD＝CBD，∴∠ODB＝∠CBD，∴OD∥BC，∴BC⊥AC，∴∠ADO＝∠C＝90°，∵∠A＝30°，∴AO＝2OD，設OD＝OB＝x，則AO＝2x，AB＝3x，∴AD＝x，AC＝x，∴CD＝AC﹣AD＝x﹣x＝，∴x＝2，∴AB＝3x＝6．故選：D．18．（2023?重慶模擬）如圖，AB為⊙O的切線，切點為B，AC⊥AB交⊙O于點C，連接OC、BC，若∠OCB＝60°，OC＝6，則AC等于（）?A．3 B．2 C． D．【答案】A【解答】解：∵AB為⊙O的切線，∴OB⊥AB，∴∠ABO＝90°，∵AC⊥AB，∴∠A＝90°，∵∠OCB＝60°，OB＝OC，∴△OBC是等邊三角形，∴∠OBC＝60°，BC＝OC＝6，∴∠ABC＝30°，∴AC＝BC＝3．故選：A．19．（2023?北碚區(qū)自主招生）如圖，線段AC經(jīng)過圓心O，交⊙O于點A、B，CD是⊙O的切線，點D為切點．若∠ACD＝30°，CD＝2，則線段BC的長度是（）A．1 B．2 C．3 D．【答案】B【解答】解：連接OD，∵CD切⊙O于D，∴半徑OD⊥CD，∴∠ODC＝90°，∵∠ACD＝30°，CD＝2，∴tanC＝＝＝，∴OD＝2，∴OC＝2OD＝4，∴BC＝OC﹣OB＝OC﹣OD＝4﹣2＝2．故選：B．30．（2023?西湖區(qū)一模）如圖，已知AB是⊙O的直徑，BC與⊙O相切于點B，連接AC，若BC＝1，，則AC的長為（）A．3 B．2 C． D．1【答案】A【解答】解：∵BC與⊙O相切于點B，∴∠ABC＝90°，OB＝，AB是⊙O的直徑，∴AB＝，∵BC＝1，∴AC＝＝3．故選：A．21．（2023?寬城區(qū)二模）如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，AD垂直于過點C的切線，垂足為點D．若∠CAD＝37°，則∠CAB的大小為（）A．37° B．53° C．63° D．74°【答案】A【解答】解：如圖，連接OC．由題意可知CD為⊙O的切線，∴OC⊥CD．∵AD⊥CD，∴OC∥AD，∴∠ACO＝∠CAD＝37°．∵AO＝CO，∴∠CAB＝∠ACO＝37°．故選：A．22．（2023?通榆縣模擬）如圖，在⊙O中，AB為直徑，BC為弦，CD為切線，連接OC．若∠BCD＝48°則∠AOC的度數(shù)為（）?A．42° B．48° C．84° D．106°【答案】C【解答】解：在⊙O中，AB為直徑，BC為弦，CD為切線，∴∠OCD＝90°，∵∠BCD＝48°，∴∠OCB＝42°，∴∠AOC＝84°，故選：C．23．（2023?泰安三模）如圖，AB是⊙O的直徑，C、D是⊙O上的點，∠E＝40°，過點C作⊙O的切線交AB的延長線于點E，則∠CDB等于（）?A．25° B．30° C．35° D．40°【答案】A【解答】解：連接OC，∵CE是⊙O的切線，∴∠OCE＝90°，∵∠E＝40°，∴∠COE＝90°﹣40°＝50°，∴∠CDB＝∠COE＝25°．故選：A．24．（2023?鹿城區(qū)校級模擬）如圖，在△ABC中，D是AC上一點，以AD為直徑的半圓O恰好切CB于點B．連接BD，若∠CBD＝21°，則∠C的度數(shù)為（）A．42° B．45° C．46° D．48°【答案】D【解答】解：連接OB，∵CB與⊙O相切于B，∴半徑OB⊥BC，∴∠OBC＝90°，∵∠CBD＝21°，∴∠OBD＝∠OBC﹣∠CBD＝69°，∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠OBD＝69°，∵∠ODB＝∠C+∠CBD，∴∠C＝∠ODB﹣∠CBD＝69°﹣21°＝48°．故選：D．【題型3切線的判定】25．（2021秋?新疆期末）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°以AB為直徑的⊙O與BC相交于點E．在AC上取一點D，使得DE＝AD．求證：DE是⊙O的切線．【答案】證明見解答過程．【解答】證明：如圖，連接OE、OD，在△OED和△OAD中，，∴△OED≌△OAD（SAS），∴∠OED＝∠BAC＝90°，∴OE⊥DE，∵OE是⊙O的半徑，∴DE是⊙O的切線．26．（2021秋?昭通期末）如圖，AD，BD是⊙O的弦，AD⊥BD，且BD＝2AD＝8，點C是BD的延長線上的一點，CD＝2，求證：AC是⊙O的切線．【答案】見解答．【解答】證明：∵AD⊥BD，∴∠ADB＝90°，∴AB為⊙O的直徑，∵BD＝2AD＝8，∴AD＝4，在Rt△ADB中，AB2＝AD2+BD2＝42+82＝80，在Rt△ADC中，AC2＝AD2+CD2＝42+22＝20，∵BC2＝（2+8）2＝10，∴AC2+AB2＝BC2，∴△ABC為直角三角形，∠BAC＝90°，∴AC⊥AB，∵AB為直徑，∴AC是⊙O的切線．27．（2021秋?大名縣期末）如圖，AB是⊙O的直徑，點F在⊙O上，∠BAF的平分線AE交⊙O于點E，過點E作ED⊥AF，交AF的延長線于點D，延長DE、AB相交于點C．求證：CD是⊙O的切線．【答案】證明見解答過程．【解答】證明：連接OE，∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA，∵AE平分∠BAF，∴∠OAE＝∠DAE，∴∠OEA＝∠EAD，∴OE∥AD，∵ED⊥AF，∴OE⊥DE，∵OE是⊙O的半徑，∴CD是⊙O的切線．28．（2022秋?長樂區(qū)期中）如圖，在△OAB中，OA＝OB＝5，AB＝8，⊙O的半徑為3．求證：AB是⊙O的切線．【答案】證明見解析．【解答】證明：如圖，過O作OC⊥AB于C，∵OA＝OB，AB＝8，∴AC＝AB＝4，在Rt△OAC中，OC＝＝＝3，∵⊙O的半徑為3，∴OC為⊙O的半徑，∴AB是⊙O的切線．29．（2022秋?云龍區(qū)校級月考）如圖，AB為⊙O的直徑，AC、DC為弦，∠ACD＝60°，P為AB延長線上的點，∠APD＝30°．求證：DP是⊙O的切線．【答案】見解析．【解答】證明：∵∠ACD＝60°，∴∠AOD＝120°，∴∠BOD＝60°，∵∠APD＝30°，∴∠ODP＝90°，即PD⊥OD，∵OD是半徑，∴PD是⊙O的切線．30．（2022秋?平潭縣校級期中）如圖，△ABC為等腰三角形，O是底邊BC的中點，過點O作OD⊥AB于點D，以點O為圓心，OD的長為半徑作⊙O．求證：AC是⊙O的切線．【答案】見解析．【解答】證明：連接OA，作OF⊥AC于F，如圖，∵△ABC為等腰三角形，O是底邊BC的中點，∴AO⊥BC，AO平分∠BAC，∵OD⊥AB，∴OF＝OD，∴AC是⊙O的切線．【題型4切線的性質(zhì)與判定的綜合運用】31．（2023?廣西）如圖，PO平分∠APD，PA與⊙O相切于點A，延長AO交PD于點C，過點O作OB⊥PD，垂足為B．（1）求證：PB是⊙O的切線；（2）若⊙O的半徑為4，OC＝5，求PA的長．【答案】（1）證明見解答；（2）PA的長是12．【解答】（1）證明：∵PA與⊙O相切于點A，且OA是⊙O的半徑，∴PA⊥OA，∵PO平分∠APD，OB⊥PD于點B，OA⊥PA于點A，∴OB＝OA，∴點B在⊙O上，∵OB是⊙O的半徑，且PB⊥OB，∴PB是⊙O的切線．（2）解：∵OA＝OB＝4，OC＝5，∴AC＝OA+OC＝4+5＝9，∵∠OBC＝90°，∴BC＝＝＝3，∵∠A＝90°，∴＝＝tan∠ACP＝，∴PA＝AC＝×9＝12，∴PA的長是12．32．（2023?金寨縣校級模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，CD＝CB，AC，BD相交于點E，過點C作CF∥BD，CF與AB的延長線相交于點F，連接AD．（1）求證：CF是⊙O的切線；（2）若AB＝10，BC＝6，求AD的長．【答案】（1）證明見解析；（2）2.8．【解答】（1）證明：連接OD，連接OC交BD于M，∵CD＝CB，∴＝，∴∠COD＝∠COB，∵OD＝OB，∴OC⊥BD，DM＝BM，∵CF∥BD，∴半徑OC⊥CF，∴CF是⊙O的切線；（2）解：設OM＝x，∵OC＝AB＝5，∴MC＝5﹣x，∵BM2＝BC2﹣CM2＝OB2﹣OM2，∴62﹣（5﹣x）2＝52﹣x2，∴x＝1.4，∵AO＝OB，DM＝BM，∴OM是△BAD的中位線，∴AD＝2OM＝2x＝2.8．33．（2023?棗莊二模）如圖，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，∠CAB的平分線交BC于點D，交⊙O于點E，連接EB，作∠BEF＝∠CAE，交AB的延長線于點F．（1）求證：EF是⊙O的切線；（2）若BF＝10，EF＝20，求⊙O的半徑．【答案】（1）證明見解答過程；（2）15．【解答】解：（1）連接OE，∵AB是⊙O的直徑，∴∠AEB＝90°，即∠AEO+∠OEB＝90°，∵AE平分∠CAB，∴∠CAE＝∠EAB，∵OA＝OE，∴∠EAB＝∠AEO，∵∠BEF＝∠CAE，∴∠BEF＝∠AEO，∴∠BEF+∠OEB＝90°，∴OE⊥EF，∵OE是⊙O的半徑，∴EF是⊙O的切線．（2）設⊙O的半徑為x，則有OE＝OB＝x，在Rt△OEF中，OE2+EF2＝OF2，∴x2+202＝（x+10）2，解得x＝15．∴⊙O的半徑為15．34．（2023?德慶縣二模）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點O在邊AC上，以點O為圓心，OC為半徑的圓交邊AC于點D，交邊AB于點E，且BC＝BE．（1）求證：AB是⊙O的切線．（2）若AE＝24，BE＝15，求⊙O的半徑．?【答案】（1）見解答；（2）10．【解答】（1）證明：如圖1，連接OE，連接BO，在△OBC和△OBE中，，∴△BOE≌△BOC（SSS），∴∠BEO＝∠BCO，∵∠BCO＝90°，∴∠BEO＝90°，∵OE是半徑，∴AB是⊙O的切線；（2）解：如圖2，連接OE，∵BE＝15，AE＝24，∴BC＝BE＝15，AB＝BE+AE＝15+24＝39，∴AC＝＝＝36，設⊙O的半徑為r，則OE＝OC＝r，OA＝36﹣r，∵OA2＝OE2+AE2，∴（36﹣r）2＝r2+242，解得：r＝10，∴⊙O的半徑為10．35．（2023?官渡區(qū)二模）如圖，AB是⊙O的直徑，C，D都是⊙O上的點，且AD平分∠CAB，過點D作AC的垂線交AC的延長線于點E，交AB的延長線于點F．（1）求證：EF是⊙O的切線；（2）若AB＝13，AC＝5，求CE的長．【答案】（1）見解答；（2）4．【解答】（1）證明：如圖1，連接OD，∵AD平分∠CAB，∴∠OAD＝∠EAD，∵OD＝OA，∴∠ODA＝∠OAD，∴∠ODA＝∠EAD，∴OD∥AE，∵∠ODF＝∠AEF＝90°且D在⊙O上，∴EF是⊙O的切線；（2）連接BC，交OD于H，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵AB＝13，AC＝5，∴BC＝＝＝12，∵∠E＝∠ACB＝90°，∴BC∥EF，∴∠OHB＝∠ODF＝90°，∴OD⊥BC，∴CH＝BC＝6，∵CH＝BH，OA＝OB，∴OH＝AC＝2.5，∴DH＝6.5﹣2.5＝4，∵∠E＝∠HCE＝∠EDH＝90°，∴四邊形ECHD是矩形，∴ED＝CH＝6，CE＝DH＝4．36．（2023?蘭州模擬）如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O與BC交于點D，與邊AC交于點E，過點D作AC的垂線，垂足為F．（1）求證：DF為⊙O的切線；（2）若AE＝3，EF＝1，求⊙O的半徑．【答案】（1）證明見解答過程；（2）⊙O的半徑是．【解答】（1）證明：連接OD，AD，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∵AB＝AC，∴點D是BC的中點，∵點O是AB的中點，∴OD是△ABC的中位線，∴OD∥AC，∴∠ODF+∠AFD＝180°．∵∠AFD＝90°，∴∠ODF＝90°，∴DF⊥OD，∴DF是⊙O的半徑；（2）解：連接DE，∵四邊形ABDE是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠B+∠AED＝180°，∵∠DEC+∠AED＝180°，∴∠DEC＝∠B．∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠DEC＝∠C，∴DE＝CD，∵DF⊥AC，∴EF＝CF＝1，∴AC＝AE+EF+CF＝5，∴AB＝5，∴⊙O的半徑是．37．（2023?開江縣二模）如圖，AB、AC分別是⊙O的直徑和弦，OD⊥AC于點D．過點A作⊙O的切線與OD的延長線交于點P，PC、AB的延長線交于點F．（1）求證：PC是⊙O的切線；（2）若∠CAB＝30°，AB＝8，求線段CF的長．【答案】（1）見解答；（2）4．【解答】（1）證明：連接OC，∵OD⊥AC，∴AD＝CD，∴PA＝PC，在△OAP和△OCP中，，∴△OAP≌△OCP（SSS），∴∠OCP＝∠OAP，∴∠OAP＝90°．∴∠OCP＝90°，∴PC是⊙O的切線．（2）解：由題意得∠ACB＝90°，∴∠CAB＝30°，∴∠ABC＝60°，∵OB＝OC，∴△OBC是等邊三角形，∴∠COB＝60°，∵AB＝8，∴OC＝4，由（1）知∠OCF＝90°，∴CF＝OC?tan∠COB＝4．38．（2023?碑林區(qū)校級模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，半徑為2，⊙O交BC于點D，且D是BC的中點，DE⊥AC于點E，連接AD．（1）求證：DE是⊙O的切線．（2）若∠C＝30°，求BC的長．【答案】（1）證明見解析；（2）4．【解答】（1）證明：連接OD，如圖，∵D是BC的中點，∴BD＝DC，∵OA＝OB，∴OD為△BCA的中位線，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∵OD為⊙O的半徑，∴DE是⊙O的切線；（2）解：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∵D是BC的中點，∴AD為BC的垂直平分線，∴AC＝AB，∴∠B＝∠C＝30°，∵AB是⊙O的直徑，半徑為2，∴AB＝4．在Rt△ADB中，AD＝AB＝2．∴BD＝，∴BC＝2BD＝4．39．（2023?廬陽區(qū)校級一模）如圖，AB是⊙O的直徑，C，D都是⊙O上的點，AD平分∠CAB，過點D作AC的垂線交AC的延長線于點E，交AB的延長線于點F．（1）求證：EF是⊙O的切線；（2）若AB＝10，AC＝6，求CE的值．【答案】（1）見解答；（2）2．【解答】（1）證明：如圖1，連接OD，∵AD平分∠CAB，∴∠OAD＝∠EAD，∵OD＝OA，∴∠ODA＝∠OAD，∴∠ODA＝∠EAD，∴OD∥AE，∵∠ODF＝∠AEF＝90°且D在⊙O上，∴EF是⊙O的切線；（2）連接BC，交OD于H，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵AB＝10，AC＝6，∴BC＝＝＝8，∵∠E＝∠ACB＝90°，∴BC∥EF，∴∠OHB＝∠ODF＝90°，∴OD⊥BC，∴CH＝BC＝4，∵CH＝BH，OA＝OB，∴OH＝AC＝3，∴DH＝5﹣3＝2，∵∠E＝∠HCE＝∠EDH＝90°，∴四邊形ECHD是矩形，∴ED＝CH＝4，CE＝DH＝2．【題型5利用切線長定理的性質(zhì)求線段長度或周長】40．（2023?西城區(qū)校級三模）如圖，PA、PB切⊙O于A、B，若∠APB＝60°，⊙O的半徑為3，則線段PO的長度為（）A． B．6 C．8 D．10【答案】B【解答】解：連接OP，∵PA、PB切⊙O于A、B，∴PA⊥OA，∠OPA＝∠OPB＝∠APB，∴∠OAB＝90°，∵∠APB＝60°，⊙O的半徑為3，∴∠OPA＝×60°＝30°，OA＝3，∴OP＝2OA＝2×3＝6，故選：B．41．（2023?平房區(qū)三模）如圖，PE、PG為⊙O的兩條切線，E、G為切點，點F為⊙O上一點．連接OE、OG、EF、FG，若∠EFG＝52°，則∠P的度數(shù)為（）?A．52° B．56° C．66° D．76°【答案】D【解答】解：∵PE、PG為⊙O的兩條切線，∴OE⊥PE，OG⊥PG，∴∠OEP＝∠OGP＝90°，∵∠∠EFG＝52°，∴∠O＝2∠EFG＝104°，∵∠P+∠OEP+∠OGP+∠O＝360°，∴∠P＝360°﹣90°﹣90°﹣104°＝76°．故選：D．42．（2023?大同模擬）如圖，PA，PB分別切⊙O于點A，B，點C在AB上，若四邊形ACBO為菱形，則∠APB為（）A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】C【解答】解：連接CO，∵四邊形ACBO為菱形，∴OA＝OB＝BC＝AC＝OC，∴△OBC與△OAC是等邊三角形，∴∠BOC＝∠AOC＝60°，∴∠AOB＝120°，∵PA，PB分別切⊙O于點A，B，∴∠PBO＝∠PAO＝90°，∴∠P＝360°﹣∠PBO﹣∠PAO＝60°，故選：C．43．（2023?陽谷縣二模）已知PA、PB分別與⊙O相切于A、B，∠P＝70°，C為⊙O上一點，則∠ACB的度數(shù)為（）A．125° B．120°或60° C．125°或55° D．130°【答案】A【解答】解：如圖所示，連接OA，OB，在優(yōu)弧AB上取點D，連接AD，BD，∵AP、BP是⊙O的切線，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣70°＝110°，∴∠ADB＝AOB＝55°，又∵圓內(nèi)接四邊形的對角互補，∴∠ACB＝180°﹣∠ADB＝180°﹣55°＝125°．故選：A．44．（2023?北碚區(qū)校級三模）如圖，PA，PB是⊙O的切線，A，B為切點，若∠APO＝30°，AB＝3，則OP的長度為（）?A．6 B． C． D．【答案】C【解答】解：連接OA，OB，如圖，∵PA，PB是⊙O的切線，∴OA⊥PA，OB⊥PB．在Rt△OAP和Rt△OBP中，，∴Rt△OAP≌Rt△OBP（HL），∴PA＝PB，∠APO＝∠BPO＝30°，∴∠APB＝60°，∴△PAB為等邊三角形，∴PA＝AB＝3．在Rt△PAO中，∵cos∠APO＝，∴＝，∴OP＝2．故選：C．45．（2023?蒙陰縣二模）如圖，PA，PB分別與⊙O相切于點A，B，∠P＝80°，C為⊙O上一點，則∠ACB的度數(shù)是（）A．110° B．120° C．125° D．130°【答案】D【解答】解：連接OA、OB，AB所在的優(yōu)弧上找一點E，連接EA、EB，∵PA，PB分別與⊙O相切于點A，B，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠PAO＝∠PBO＝90°，∵∠P＝80°，∴∠AOB＝180°﹣∠P＝100°，∴∠AEB＝50°，∵四邊形ACBE是⊙O內(nèi)接四邊形，∴∠E+∠ACB＝180°，∴∠ACB＝130°，故選：D．46．（2023?新華區(qū)校級二模）抖空竹在我國有著悠久的歷史，是國家級的非物質(zhì)文化遺產(chǎn)之一．如示意圖，AC，BD分別與⊙O相切于點C，D，延長AC，BD交于點P．若∠P＝120°，⊙O的半徑為6cm，則瞬間與空竹接觸的細繩的長為（）A．4πcm B．4cm C．2πcm D．2cm【答案】C【解答】解：連接OC，OD，∵AC，BD分別與⊙O相切于點C，D，∴∠OCP＝∠ODP＝90°，∵∠P＝120°，∴∠COD＝360°﹣∠OCP﹣∠ODP﹣∠P＝60°，∴的長＝＝2π（cm），∴瞬間與空竹接觸的細繩的長為2πcm，故選：C．47．（2022秋?鳳臺縣期末）如圖，△ABC是一張周長為17cm的三角形的紙片，BC＝5cm，⊙O是它的內(nèi)切圓，小明準備用剪刀在⊙O的右側(cè)沿著與⊙O相切的任意一條直線MN剪下△AMN，則剪下的三角形的周長為（）A．12cm B．7cm C．6cm D．隨直線MN的變化而變化【答案】B【解答】解：設E、F分別是⊙O的切點，∵△ABC是一張三角形的紙片，AB+BC+AC＝17cm，⊙O是它的內(nèi)切圓，點D是其中的一個切點，BC＝5cm，∴BD+CE＝BC＝5cm，則AD+AE＝7cm，故DM＝MF，F(xiàn)N＝EN，∴AM+AN+MN＝AD+AE＝7（cm）．故選：B．48．（2022秋?林州市期中）如圖，PA，PB分別切⊙O于點A，B，CD切⊙O于點E，且分別交PA，PB于點C，D，若PA＝6，則△PCD的周長為（）A．5 B．7 C．12 D．10【答案】C【解答】解：∵PA，PB分別切⊙O于點A，B，CD切⊙O于點E，PA＝6，∴PB＝PA＝6，CA＝CE，DB＝DE，∴△PCD的周長＝PC+CE+PD+DE＝PC+CA+PD+DB＝PA+PB＝12，故選：C．49．（2022秋?潮州期末）如圖，P為⊙O外一點，PA、PB分別切⊙O于點A、B，CD切⊙O于點E，分別交PA、PB于點C、D，若PA＝8，則△PCD的周長為（）A．8 B．12 C．16 D．20【答案】C【解答】解：∵PA、PB分別切⊙O于點A、B，CD切⊙O于點E，∴PA＝PB＝8，AC＝EC，BD＝ED，∴PC+CD+PD＝PC+CE+DE+PD＝PA+AC+PD+BD＝PA+PB＝8+8＝16，即△PCD的周長為16．故選：C．50．（2021秋?滄州期末）如圖，⊙O為△ABC的內(nèi)切圓，AC＝10，AB＝8，BC＝9，點D，E分別為BC，AC上的點，且DE為⊙O的切線，則△CDE的周長為（）A．9 B．7 C．11 D．8【答案】C【解答】解：設AB，AC，BC，DE和圓的切點分別是P，N，M，Q，CM＝x，根據(jù)切線長定理，得CN＝CM＝x，BM＝BP＝9﹣x，AN＝AP＝10﹣x．則有9﹣x+10﹣x＝8，解得：x＝5.5．所以△CDE的周長＝CD+CE+QE+DQ＝2x＝11．故選：C．51．（2022秋?仙居縣期末）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3．⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，分別與AC、BC、AB相切于點D、E、F，則圓心O到頂點A的距離是（）A． B．3 C． D．【答案】C【解答】解：如圖，連結(jié)OD，OE，OF，設⊙O半徑為r，∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝＝5，∵⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，分別與AC、BC、AB相切于點D、E、F，，∴AC⊥OD，AB⊥OF，BC⊥OE，且OF＝OD＝OE＝r，∴四邊形OECF是正方形，∴CE＝CD＝OD＝r，∴AD＝AF＝AC﹣CD＝4﹣r，BF＝BE＝BC﹣CE＝3﹣r，∵AF+BF＝AB＝5，∴3﹣r+4﹣r＝5，∴r＝1．∴OD＝CD＝1，∴AD＝3．∴AO＝＝，故選：C．52．（2022秋?路北區(qū)校級期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，△ABC的內(nèi)切圓⊙O與AB、BC、CA分別相切于點D、E、F，若⊙O的半徑為2，AD?DB＝24，則AB的長（）A．11 B．10 C．9 D．8【答案】B【解答】解：如圖連接OE、OF．則由題意可知四邊形ECFO是正方形，邊長為2．∵△ABC的內(nèi)切圓⊙O與AB、BC、CA分別相切于點D、E、F，∴可以假設AD＝AF＝a，BD＝BE＝b，則AC＝a+2，BC＝b+2，AB＝a+b，∵AC2+BC2＝AB2，∴（a+2）2+（b+2）2＝（a+b）2，∴4a+4b+8＝2ab，∴4（a+b）＝48﹣8，∴a+b＝10，∴AB＝10．故選：B．53．（2022秋?平泉市校級期末）如圖所示，P是⊙O外一點，PA，PB分別和⊙O切于A，B兩點，C是上任意一點，過C作⊙O的切線分別交PA，PB于D，E．（1）若△PDE的周長為10，則PA的長為5；（2）連接CA、CB，若∠P＝50°，則∠BCA的度數(shù)為115度．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）∵PA、PB、DE分別切⊙O于A、B、C，∴PA＝PB，DA＝DC，EC＝EB；∴C△PDE＝PD+DE+PE＝PD+DA+EB+PE＝PA+PB＝10；∴PA＝PB＝5；（2）連接OA、OB、AC、BC，在⊙O上取一點F，連接AF、BF，∵PA、PB分別切⊙O于A、B；∴∠PAO＝∠PRO＝90°∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°；∴∠AFB＝∠AOB＝65°，∵∠AFB+∠BCA＝180°∴∠BCA＝180°﹣65°＝115°；故答案是：5，115°．54．（2023?青海一模）如圖，⊙O與△ABC的邊AB、AC、BC分別相切于點D、E、F，如果AB＝4，AC＝5，AD＝1，那么BC的長為7．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵AB、AC、BC都是⊙O的切線，∴AD＝AE，BD＝BF，CE＝CF，∵AB＝4，AC＝5，AD＝1，∴AE＝1，BD＝3，CE＝CF＝4，∴BC＝BF+CF＝3+4＝7．55．（2021秋?原州區(qū)期末）如圖，PA、PB、DE分別切⊙O于A、B、C，DE分別交PA，PB于D、E，已知P到⊙O的切線長為8cm，那么△PDE的周長為16cm．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵PA、PB、DE分別切⊙O于A、B、C，∴PA＝PB，DA＝DC，EC＝EB；∴C△PDE＝PD+DE+PE＝PD+DA+EB+PE＝PA+PB＝8+8＝16cm；∴△PDE的周長為16cm．故答案為16cm．【題型6三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心】 56．（2022