直線與圓的位置關(guān)系

2.5.1直線與圓的位置關(guān)系

教材分析

本節(jié)課選自《2019人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊》第二章《直線和圓的方程》，本節(jié)課主要學(xué)

習(xí)直線與圓的位置關(guān)系。

學(xué)生在初中的幾何學(xué)習(xí)中已經(jīng)接觸過直線與圓的位置關(guān)系，本章已經(jīng)學(xué)習(xí)了直線與圓的方程、點(diǎn)到直

線的距離公式、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系等內(nèi)容，因此本節(jié)課是對已學(xué)內(nèi)容的深化何延伸；另一方面，本節(jié)課對

于后面學(xué)習(xí)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等內(nèi)容又是一個(gè)鋪墊，具有承上啟下的地位。坐標(biāo)法不僅是研究幾

何問題的重要方法，而且是一種廣泛應(yīng)用于其他領(lǐng)域的重要數(shù)學(xué)方法。通過坐標(biāo)系，把點(diǎn)和坐標(biāo)、曲線和

方程聯(lián)系起來，實(shí)現(xiàn)了形和數(shù)的統(tǒng)一。

政學(xué)目標(biāo)與被心素善

課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)

A.能根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線1.數(shù)學(xué)抽象：直線與圓的位置關(guān)系

與圓的位置關(guān)系.

2.邏輯推理：判斷直線與圓的位置關(guān)系

B.能用直線和圓的方程解決一些簡單的數(shù)

3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：判斷直線與圓的位置關(guān)系

學(xué)問題與實(shí)際問題.

4.數(shù)學(xué)建模：直線和圓的方程解決實(shí)際問題

重占難占

重點(diǎn)：判斷直線與圓的位置關(guān)系

難點(diǎn)：直線和圓的方程解決一些簡單的數(shù)學(xué)問題與實(shí)際問題

課前發(fā)爸

多媒體

敢學(xué)過程

教學(xué)過程教學(xué)設(shè)計(jì)意圖

核心素養(yǎng)目標(biāo)

一、情境導(dǎo)學(xué)

“海上生明月，天涯共此時(shí)?！?，表達(dá)了詩人望月懷人的深厚情誼。在

海天交于一線的天際，一輪明月慢慢升起，先是探出半個(gè)圓圓的小腦

通過具體的情

袋，然后冉冉上升,和天際線相連，再躍出海面，越來越高,展現(xiàn)著迷人的

景，幫助學(xué)生回顧初

風(fēng)采.

中幾何中學(xué)習(xí)過的

這個(gè)過程中，月亮看作一個(gè)圓，海天交線看作一條直線，月出的過直線與圓的位置關(guān)

程中也體現(xiàn)了直線與圓的三種位置關(guān)系:相交、相切和相離.系，同時(shí)提出運(yùn)用方

程思想解法問題的

在平面幾何中，我們研究過直線與圓這兩類圖形的位置關(guān)系，

方法。

前面我們學(xué)習(xí)了直線的方程，圓的方程，已經(jīng)用方程研究兩條直線的

位置關(guān)系，下面我們未必用方程研究兩條直線位置關(guān)系的方法，利用

直線和圓的方程通過定量計(jì)算研究直線與圓的位置關(guān)系。

二、探究新知

直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法

222

直線Ar+By+C=O(A,B不同時(shí)為0)與圓(上〃)+(y?b)(r>0)的位置關(guān)

系及判斷

位置關(guān)系相交相切相離

公共點(diǎn)理個(gè)二個(gè)等個(gè)

幾何法：設(shè)圓心到直線的

距離d=\Aa^Bb±C]_d<rd=rd>r

判y/A2+B-

定代數(shù)法：由

方/Az+By~i~C=0,

\(jr-a"+(y-6)2=r2

法△>0△二0△<0

消元得到一元二次方程

的判別式4

點(diǎn)睛：幾何法更為簡潔和常用.

22

1.直線3x+4y=5與圓x+>'=16的位置關(guān)系是()

A.相交B.相切

C.相離D.相切或相交

解析:圓心到直線的距離為d=不為=1<4,所以直線與圓相交.

答案:A

三、典例解析

22

例1已知直線方程=0,圓的方程x+y-4x-2>'+1=0.

當(dāng)“為何值時(shí)，直線與圓

(1)有兩個(gè)公共點(diǎn)；

(2)只有一個(gè)公共點(diǎn)；

通過典例解析，

(3)沒有公共點(diǎn)？

幫助學(xué)生進(jìn)一步熟

思路分析:可聯(lián)立方程組，由方程組解的個(gè)數(shù)判斷，也可求出圓心到直

悉兩種基本方法，判

線的距離,通過與半徑比較大小判斷.斷直線與圓的位置

關(guān)系。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)

解:(方法1)將直線.電1=0代入圓的方程，化簡、整理，

運(yùn)算，數(shù)學(xué)抽象和數(shù)

2222

得(1+團(tuán))x-2(/??+2/T?4-2)X+/W+4m+4=0.學(xué)建模的核心素養(yǎng)。

：Z=4m(3/n+4),?：當(dāng)J>0,BPm>0或時(shí)，直線與圓相交，

即直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)；

當(dāng)/=0，即，〃=0或時(shí),直線與圓相切，即直線與圓只有?個(gè)公共點(diǎn)；

當(dāng)/<0,即2<〃7<0時(shí),直線與圓相離，即直線與圓沒有公共點(diǎn).

(方法2)已知圓的方程可化為(“2)2+0-1)2=4,即圓心為(2,1),半徑r=2.

圓心(2,1)到直線znr-v-/M-l=0的距離4=用竽=用，

Vl+m2Vl+mz

當(dāng)d<2,即m>0或4部直線與圓相交,即直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)；

當(dāng)d=2,即膽=0或次、時(shí)，直線與圓相切，即直線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)；

當(dāng)d>2,即T<，*<0時(shí),宜線與圓相離，即直線與圓沒有公共點(diǎn).

直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法

直線與圓的位置關(guān)系反映在三個(gè)方面：

一是點(diǎn)到直線的距離與半徑大小的關(guān)系；

二是直線與圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

三是兩方程組成的方程組解的個(gè)數(shù).

因此，若給出圖形，可根據(jù)公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)判斷;若給出直線與圓的

方程，可選擇用幾何法或代數(shù)法，幾何法計(jì)算量小，代數(shù)法可一同求出

交點(diǎn).解題時(shí)可根據(jù)條件作出恰當(dāng)?shù)倪x擇.

22

例2過點(diǎn)A(4,-3)作圓C:(x-3)+(>,-1)=1的切線，求此切線的方程.

思路分析:利用圓心到切線的距離等于圓的半徑求出切線斜率，

進(jìn)而求出切線方程.

22

解:因?yàn)?4-3)+(-3-1)=17>1,所以點(diǎn)A在圓外.

在典例分析和練

(1)若所求切線的斜率存在,設(shè)切線斜率為k,

習(xí)中掌握求圓的切

則切線方程為y+3=&(A4).

線方程的方法，即:

因?yàn)閳A心C(3,l)到切線的距離等于半徑,半徑為1,代數(shù)法與幾何法。發(fā)

展學(xué)生邏輯推理，直

所以啤普(=1,即〃2+1,

觀想象、數(shù)學(xué)抽象和

數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素

所以爐+弘+16=正+1.解得.所以切線方程為)，+3=1(A4),

88

養(yǎng)。

即15x+8)，-36=0.

(2)若直線斜率不存在，

圓心C(3,l)到直線x=4的距離也為1,

這時(shí)直線與圓也相切，所以另一條切線方程是x=4.

綜上，所求切線方程為15x+8)'-36=0或x=4.

22

變式探究過點(diǎn)Q(3,0)作圓x+y=4的切線，求此切線方程.

解:容易判斷點(diǎn)Q(3,0)在圓外.設(shè)切線的方程為廠心-3),

即Ax-y-3A=0.乂圓的圓心為(0,0),半徑為2,

所以熹=2,解得上學(xué)，

vl+kz5

所以所求切線方程為產(chǎn)空(》-3).

切線方程的求法

1.求過圓上一點(diǎn)P(x°,)o)的圓的切線方程:先求切點(diǎn)與圓心連線的斜率

匕則由垂直關(guān)系，切線斜率為力由點(diǎn)斜式方程可求得切線方程.若k=0

或斜率不存在，則由圖形可直接得切線方程為y^b或x=a

2.求過圓外一點(diǎn)Pa。,)，。)的圓的切線時(shí)，常用幾何方法求解

設(shè)切線方程為丫-穌=%。5),即fcr-j/Xo+y;。,由圓心到直線的距離等于

半徑，可求得&，進(jìn)而切線方程即可求出.但要注意,此時(shí)的切線有兩條，

若求出的％值只有一個(gè)時(shí)，則另一條切線的斜率一定不存在，可通過數(shù)

形結(jié)合求出.

22

例3求直線/:3x+y-6=0被圓C:x+y-2y-4=0截得的弦長.

思路分析:解法一求出直線與圓的交點(diǎn)坐標(biāo),解法二利用弦長公式，解

法三利用幾何法作出直角三角形，三種解法都可求得弦長.

解法一由'；6=0-得交點(diǎn)A(1,3),B(2,0),

+yz-2y-4=0,

故弦AB的長為|4B|=J(2-1)2+(0-3)2=V10.

,(3x+y-6=0,

解法二由2,20/

2y-4=0n,

消去)，，得/-3x+2=0.

設(shè)兩交點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為A(Xim),B(X2,)2),

則由根與系數(shù)的關(guān)系，得M+X2=3/rX2=2..：

2z

|AB|=J(%2-X1)2+(y2-yi)=N10[(^1+X2)-4x1x2]=

J1OX(32-4x2)=VTo,

即弦AB的長為au.

解法三圓C-^+y^-lyA-O可化為/+。-1y=5,

其圓心坐標(biāo)(0,1),半徑片西，

點(diǎn)(0,1)到直線/的距離為"=黑等=零,

V3Z+1Z2

所以半弦長為等=必不=J詆2一嚕

所以弦長|A8|=，IU.

求直線與圓相交時(shí)弦長的兩種方法

(1)幾何法:如圖①，直線/與圓C交于A,8兩點(diǎn)，設(shè)弦心距為"，圓的半徑

為r,弦長為|明,則有(")2+心=/，即|A8|=2VF中.

圖①

(2)代數(shù)法:如圖②所示，將直線方程與圓的方程聯(lián)立，設(shè)直線與圓的兩

22

交點(diǎn)分別是A(xi,yi),B(X2,y2),則\AB\-J(Xi-x2)+(yi-y2)=

VT+Fki-^I=Ji忑|)，「聞(直線I的斜率左存在).

肝

圖②

跟蹤訓(xùn)練1已知直線/經(jīng)過直線2x-y-3=0和4片3卜5=0的交點(diǎn)，且

與直線x+y-2-O垂直.

(1)求直線/的方程；

(2)若圓C的圓心為點(diǎn)(3,0),直線/被該圓所截得的弦長為2V2，求圓

C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

解:⑴由己知得：￡^5=】。解得

.：兩直線交點(diǎn)為(2,1).

設(shè)直線1的斜率為k7：7與x+y-2=0垂直,.:&=1,

VI過點(diǎn)(2,1),.：/的方程為y-l=x-2,即x-y-l=0;

(2)設(shè)圓的半徑為7?，依題意，

通過與直線與圓

圓心(3,0)到直線x-y-}=0的距離為登=V2,

位置關(guān)系的應(yīng)用問

題，提升學(xué)生數(shù)學(xué)建

則由垂徑定理得產(chǎn)=(a產(chǎn)+(e)2=4,."=2,

模，數(shù)形結(jié)合，及方

.:圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(X-3)2+V=4.程思想，發(fā)展學(xué)生邏

輯推理，直觀想象、

例3.如圖，臺(tái)風(fēng)中心從4地以每小時(shí)20千米的速度向東北方向(北

數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)

偏東45。)移動(dòng)，離臺(tái)風(fēng)中心不超過300千米的地區(qū)為危險(xiǎn)區(qū)域.城市8

算的核心素養(yǎng)。

在4地的正東400千米處.請建立恰當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，解決以下問

題：

(1)求臺(tái)風(fēng)移動(dòng)路徑所在的直線方程；

(2)求城市8處于危險(xiǎn)區(qū)域的時(shí)間是多少小時(shí)？

----B

【解析】(1)以B為原點(diǎn)，正東方向?yàn)閤軸建立如圖所示的平面直角

坐標(biāo)系

f

-r—fc

則臺(tái)風(fēng)中心4的坐標(biāo)是(-400,0),臺(tái)風(fēng)移動(dòng)路徑所在直線斜率為：k=

tan45°-1

???臺(tái)風(fēng)移動(dòng)路徑所在的直線方程為：y=x+400

(2)以B為圓心，300T米為半徑作圓，圓和直線丁=光+400相交

于4,&兩點(diǎn)，則臺(tái)風(fēng)中心移到4時(shí)，城市B開始受臺(tái)風(fēng)影響(危險(xiǎn)區(qū))，

直到&時(shí)，解除影響

???點(diǎn)B到直線y=x+400的距離：d=200企

2210

\ArA2\=2^300-(200V2)=200，又詈=(小時(shí))

B城市處于危險(xiǎn)區(qū)內(nèi)的時(shí)間是10小時(shí)

三、達(dá)標(biāo)檢測

22通過練習(xí)鞏固本

1.直線3x+4y+12=0與圓(x-1)+(y+l)=9的位置關(guān)系是()

節(jié)所學(xué)知識(shí)，通過學(xué)

A.過圓心B.相切

生解決問題，發(fā)展學(xué)

C.相離D.相交但不過圓心生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯

推理、直觀想象、數(shù)

解析:圓心(1,-1)到直線3x+4y+12=0的距離介叫磊坦=小

學(xué)建模的核心素養(yǎng)。

答案:D

22

2.若直線x+y+m=O與圓x+y=加相切，則m的值是()

A.0或2B.2C.V2D.&或2

解析：/直線x+y+m=O與圓x2^y2=m相切，,：圓心。(0,0)到直線的距

離居=解得根=2(舍去0).故選B.

答案:B

3.經(jīng)過點(diǎn)M(2,l)作圓x+；=5的切線，則切線的方程為_________.

解析:易知點(diǎn)M在圓上，所以M為切點(diǎn)，切點(diǎn)和圓心連線斜率k=1,

則切線斜率為2切線方程為y-1=-2(x-2),

BP2A?+y?5=0.

答案:2x+y?5=0

22

4直.線y=x+\與圓x+y+2y-3=0交于AyB兩點(diǎn)，則|A8|=__________.

解析:圓的方程可化為1+&+1)2=4,故圓心C(0,-l),半徑r=2,

圓心到直線產(chǎn)x+1的距離仁也浮=V2,

所以弦長依8|=2。產(chǎn)M2=2V^=2企.

答案：2夜

5.如圖所示，一座圓拱(圓的一部分)橋，當(dāng)水面在圖位置m時(shí)，拱頂

離水面2m,水面寬12m,當(dāng)水面下