8.3同底數(shù)冪的除法(講+練)（解析版）

8.3同底數(shù)冪的除法同底數(shù)冪的除法am÷an=am-n(a≠0,m、n同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減零指數(shù)冪符號(hào)語(yǔ)言：a0=1（a≠0）文字語(yǔ)言：任何不等于0的數(shù)的0次冪等于１強(qiáng)調(diào)：零的零次冪無(wú)意義冪的運(yùn)算中值恒為1的三種情況①任何不等于0的數(shù)的0次冪等于１②1的任何次冪等于1③-1的偶數(shù)次冪等于1負(fù)整數(shù)指數(shù)冪符號(hào)語(yǔ)言：a-n=1an(??≠文字語(yǔ)言：任何不等于0的數(shù)的-n(n是正整數(shù))次冪,等于這個(gè)數(shù)的n次冪的倒數(shù).含負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的科學(xué)記數(shù)法一般地，一個(gè)正數(shù)利用科學(xué)記數(shù)法可以寫(xiě)成a×10n的形式，其中1≤a＜10,n是整數(shù).類似的一個(gè)負(fù)數(shù)也可以用科學(xué)計(jì)數(shù)法表示.如何去確定負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的指數(shù)：方法1：數(shù)小數(shù)點(diǎn)，右移幾位就是負(fù)幾方法2：原數(shù)中第一個(gè)非零數(shù)前幾個(gè)零，就是負(fù)幾.題型1：同底數(shù)冪的除法1．已知am＝6，an＝2，則am﹣n＝3．【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的除法法則的逆用計(jì)算即可，同底數(shù)冪的除法法則：同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減．【解答】解：∵am＝6，an＝2，∴am﹣n＝am÷an＝6÷2＝3．故答案為：3．【變式1-1】若4x＝a，8y＝b，則22x﹣3y可表示為ab．（用含a、b【分析】逆向運(yùn)算同底數(shù)冪的除法法則，結(jié)合冪的乘方運(yùn)算法則計(jì)算即可．同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減；冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘．【解答】解：∵4x＝22x＝a，8y＝23y＝b，∴22x﹣3y＝22x÷23y=a故答案為：ab【變式1-2】已知2a＝3，2b＝6，2c＝12，則2a+b＝18；a+c﹣2b＝0．【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則計(jì)算2a+b；先計(jì)算22b，再逆運(yùn)用同底數(shù)冪的乘除法法則，代入求值即可．【解答】解：2a+b＝2a?2b＝3×6＝18；∵2b＝6，∴（2b）2＝62．即22b＝36．∵2a+c﹣2b＝2a×2c÷22b＝3×12÷36＝1，∴a+c﹣2b＝0．故答案為：18，0．題型2：零指數(shù)冪2.計(jì)算：（12）0+|﹣1|＝2．【分析】先算零指數(shù)冪和去絕對(duì)值符號(hào)，再算加減即可．【解答】解：原式＝1+1＝2．故答案為：2．【變式2-1】已知（2x+3）0＝1，則x的取值范圍是x≠-【分析】根據(jù)零指數(shù)冪的定義知：2x+3≠0．【解答】解：根據(jù)題意知：2x+3≠0．解得x≠故答案為：x≠【變式2-2】若（x﹣6）x＝1，則x＝0或7．【分析】根據(jù)零指數(shù)冪的運(yùn)算法則及1的任何次冪都等于1進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：①∵任何非零數(shù)的零次冪等于1，∴x﹣6≠0，x＝0；②∵1的任何次冪都等于1，∴x﹣6＝1，解得x＝7，綜上所述，x＝0或x＝7．故答案為：0或7．【變式2-3】已知：（x+2）x+5＝1，則x＝﹣5或﹣1或﹣3．【分析】根據(jù)：a0＝1（a≠0），1的任何次方為1，﹣1的偶次方為1，解答本題．【解答】解：根據(jù)0指數(shù)的意義，得當(dāng)x+2≠0時(shí)，x+5＝0，解得x＝﹣5．當(dāng)x+2＝1時(shí)，x＝﹣1，當(dāng)x+2＝﹣1時(shí)，x＝﹣3，x+5＝2，指數(shù)為偶數(shù)，符合題意．故填：﹣5或﹣1或﹣3．題型3：負(fù)整數(shù)指數(shù)冪3.計(jì)算：3﹣1﹣π0＝-23【分析】根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪和零指數(shù)冪的定義求解即可．【解答】解：3﹣1﹣π0=1=-【變式3-1】將代數(shù)式5x﹣2y6寫(xiě)成只含有正整數(shù)指數(shù)冪的形式：5x﹣2y6＝5y6【分析】直接利用負(fù)指數(shù)冪的性質(zhì)化簡(jiǎn)得出答案．【解答】解：5x故答案為：5y【變式3-2】若代數(shù)式（3x+3）0+（2x﹣1）﹣2有意義，則x的取值范圍是x≠﹣1且x≠1【分析】根據(jù)非零的零次冪等于1，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪與正整數(shù)指數(shù)冪互為倒數(shù)，可得答案．【解答】解：由題意，得3x+3≠0，且2x﹣1≠0，解得x≠﹣1且x≠故答案為：x≠﹣1且x≠題型4：含負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的科學(xué)記數(shù)法4.0.000000358用科學(xué)記數(shù)法可表示為3.58×10﹣7．【分析】絕對(duì)值小于1的正數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為a×10﹣n，與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)所決定．【解答】解：0.000000358用科學(xué)記數(shù)法可表示為3.58×10﹣7．故答案為：3.58×10﹣7．【變式4-1】科學(xué)研究表明，某種新型冠狀病毒顆粒的直徑約為125納米，1納米＝1.0×10﹣9米，若用科學(xué)記數(shù)法表示125納米，則可表示為1.25×10﹣7米．【分析】絕對(duì)值小于1的正數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為a×10﹣n，與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是負(fù)指數(shù)冪，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)所決定．【解答】解：125納米＝0.000000125米＝1.25×10﹣7米．故答案為：1.25×10﹣7．【變式4-2】世界上最小、最輕的昆蟲(chóng)是膜翅目纓小蜂科的一種卵蜂，體長(zhǎng)僅0.021厘米，其質(zhì)量也只有0.000005克．（1）用科學(xué)記數(shù)法表示上述兩個(gè)數(shù)據(jù)．（2）一個(gè)雞蛋的質(zhì)量大約是50克，多少只卵蜂的質(zhì)量和與這個(gè)雞蛋的質(zhì)量相等？【分析】（1）絕對(duì)值小于1的正數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為a×10﹣n，與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)所決定；（2）設(shè)x只卵蜂的質(zhì)量和與這個(gè)雞蛋的質(zhì)量相等，根據(jù)“卵蜂的質(zhì)量和與這個(gè)雞蛋的質(zhì)量相等”列方程求解即可．【解答】解：（1）0.021厘米＝2.1×10﹣2厘米，0.000005克＝5×10﹣6克；答：0.021厘米用科學(xué)記數(shù)法表示為2.1×10﹣2厘米，0.000005克用科學(xué)記數(shù)法表示為0.000005＝5×10﹣6克．（2）設(shè)x只卵蜂的質(zhì)量和與這個(gè)雞蛋的質(zhì)量相等，根據(jù)題意，得，0.000005x＝50，解得x＝10000000＝1×107，答：1×107只卵蜂的質(zhì)量和與這個(gè)雞蛋的質(zhì)量相等．題型5：冪的運(yùn)算的綜合運(yùn)用5.已知10﹣2α＝3，10-β=-15，求106【分析】根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)次冪等于正整數(shù)指數(shù)次冪的倒數(shù)求出102α和10β，然后根據(jù)冪的乘方的性質(zhì)和同底數(shù)冪的乘法進(jìn)行計(jì)算即可得解．【解答】解：∵10﹣2α=1102α=3，10∴102α=13，10β＝﹣∴106α+2β＝（102α）3?（10β）2，＝（13）3×（﹣5）2=127=25【變式5-1】已知32x＝2016，63y＝2016，求（x﹣1）（y﹣1）的值．【分析】先將已知兩等式變形，使指數(shù)化為x﹣1和y﹣1，再兩邊同時(shí)（x﹣1）次方可得結(jié)論．【解答】解：∵32x＝2016，63y＝2016，∴32x﹣1＝63，63y﹣1＝32，∴（63y﹣1）x﹣1＝32x﹣1，∴63（y﹣1）（x﹣1）＝63，∴（x﹣1）（y﹣1）＝1．【變式5-2】閱讀以下材料：指數(shù)與對(duì)數(shù)之間有密切的聯(lián)系，它們之間可以互化．對(duì)數(shù)的定義：一般地，若ax＝N（a＞0且a≠1），那么x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作x＝logaN，比如指數(shù)式24＝16可以轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)式4＝log216，對(duì)數(shù)式2＝log525，可以轉(zhuǎn)化為指數(shù)式52＝25．我們根據(jù)對(duì)數(shù)的定義可得到對(duì)數(shù)的一個(gè)性質(zhì)：loga（M?N）＝logaM+logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0），理由如下：設(shè)logaM＝m，logaN＝n，則M＝am，N＝an，∴M?N＝am?an＝am+n，由對(duì)數(shù)的定義得m+n＝loga（M?N）又∵m+n＝logaM+logaN，∴l(xiāng)oga（M?N）＝logaM+logaN．請(qǐng)解決以下問(wèn)題：（1）將指數(shù)式34＝81轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)式4＝log381；（2）求證：logaMN=logaM﹣logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞（3）拓展運(yùn)用：計(jì)算log69+log68﹣log62＝2．【分析】（1）根據(jù)指數(shù)與對(duì)數(shù)的關(guān)系求解．（2）根據(jù)指數(shù)與對(duì)數(shù)的關(guān)系求證．（3）利用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則求解．【解答】解：（1）根據(jù)指數(shù)與對(duì)數(shù)關(guān)系得：4＝log381．故答案為：4＝log381．（2）設(shè)logaM＝m，logaN＝n，則M＝am，N＝an，∴MN=am÷an＝am﹣∴l(xiāng)ogaMN=logaam﹣n＝m﹣n＝logaM﹣loga∴l(xiāng)ogaMN=logaM﹣loga（3）原式＝log6（9×8÷2）＝log636＝2．故答案為：2．一．選擇題（共5小題）1．下列運(yùn)算錯(cuò)誤的是（）A．（2ab）4＝8a4b B．a(chǎn)8÷a2＝a6 C．（a2）3＝a6 D．a(chǎn)2?a3＝a5【分析】利用冪的乘方與積的乘方的法則，同底數(shù)冪的除法的法則，同底數(shù)冪的乘法的法則對(duì)各項(xiàng)進(jìn)行運(yùn)算即可．【解答】解：A、（2ab）4＝16a4b4，故A符合題意；B、a8÷a2＝a6，故B不符合題意；C、（a2）3＝a6，故B不符合題意；D、a2?a3＝a5，故B不符合題意．故選：A．2．大型紀(jì)錄片《厲害了，我的國(guó)》上映25天，累計(jì)票房約為4.027×108成為中國(guó)紀(jì)錄電影票房冠軍，這個(gè)用科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)據(jù)的原數(shù)為（）A．0.000000004027 B．0.00000004027 C．402700000 D．4027000000【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值≥10時(shí)，n是正整數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值＜1時(shí)，n是負(fù)整數(shù)．【解答】解：4.027×108＝402700000．故選：C．3．已知4x＝18，8y＝3，則52x﹣6y的值為（）A．5 B．10 C．25 D．50【分析】利用冪的乘方的法則對(duì)已知的條件進(jìn)行整理，再代入到所求的式子中進(jìn)行運(yùn)算即可．【解答】解：∵4x＝18，8y＝3，∴22x＝18，23y＝3，∴（23y）2＝32，即26y＝9，∴22x﹣6y=2∴2x﹣6y＝1，∴52x﹣6y＝51＝5．故選：A．4．已知25a?52b＝56，4b÷4c＝4，則代數(shù)式a2+ab+3c值是（）A．3 B．6 C．7 D．8【分析】利用冪的乘方的法則，同底數(shù)冪的乘法的法則，同底數(shù)冪的除法的法則對(duì)已知條件進(jìn)行整理，再進(jìn)行求解即可．【解答】解：∵25a?52b＝56，4b÷4c＝4，∴52a?52b＝56，4b﹣c＝4，∴2a+2b＝6，b﹣c＝1，即a+b＝3，b﹣1＝c，∴a2+ab+3c＝a（a+b）+3（b﹣1）＝3a+3b﹣3＝3（a+b）﹣3＝3×3﹣3＝9﹣3＝6．故選：B．5．納米（nm）是長(zhǎng)度的單位，1nm＝10﹣3μm，1μm＝10﹣3mm，如果將在2022年底攻克20nm工藝芯片技術(shù)的難關(guān)，其中20nm等于（）A．2.0×10﹣5mm B．2.0×10﹣6mm C．2.0×10﹣7mm D．20×10﹣5mm【分析】絕對(duì)值小于1的正數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為a×10﹣n，與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是負(fù)指數(shù)冪，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)所決定．【解答】解：因?yàn)?nm＝10﹣3um，1um＝10﹣3mm，所以20nm＝20×10﹣3×10﹣3＝2.0×10﹣5nm．故選：A．二．填空題（共5小題）6．某種細(xì)菌的直徑為0.00000014m，請(qǐng)用科學(xué)記數(shù)法表示該直徑是1.4×10﹣7m．【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值≥10時(shí)，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值＜1時(shí)，n是負(fù)數(shù)．【解答】解：0.00000014＝1.4×10﹣7．故答案為：1.4×10﹣7．7．已知2m＝a，16n＝b，m、n為正整數(shù)，則24m+8n＝a4b2．【分析】對(duì)已知條件進(jìn)行整理，再把所求的式子進(jìn)行整理，代入相應(yīng)的值運(yùn)算即可．【解答】解：∵2m＝a，16n＝b，∴24n＝b，∴24m+8n＝（2m）4?28n＝（2m）4?（24n）2＝a4b2．故答案為：a4b2．8．若(x-2x+2)0有意義，則x的取值范圍是x【分析】利用零指數(shù)冪的意義解答即可．【解答】解：∵(x-2∴x-2x+2≠∴x+2≠0，x﹣2≠0，∴x≠±2．故答案為：x≠±2．9．若[（a﹣2）2]3＝（a﹣2）（a﹣2）a（a≠2），則a的值為1或3或5．【分析】根據(jù)冪的運(yùn)算法則進(jìn)行解答便可．【解答】解：∵[（a﹣2）2]3＝（a﹣2）（a﹣2）a（a≠2），∴（a﹣2）6＝（a﹣2）a+1，∴a﹣2＝1或a﹣2＝﹣1或a+1＝6，∴a＝3或a＝1或a＝5，故答案為：1或3或5．10．如果（a﹣1）a+4＝1成立，那么滿足它的所有整數(shù)a的值是﹣4、2或0．【分析】分情況討論：當(dāng)α+4＝0且a﹣1≠0時(shí)；當(dāng)α﹣1＝1時(shí)，分別討論求解．還有﹣1的偶次冪都等于1．【解答】解：如果（α﹣1）α+4＝1成立，則α+4＝0且a﹣1≠0或α﹣1＝1，即α＝﹣4或α＝2，當(dāng)α＝0時(shí)，（﹣1）4＝1，故答案為：﹣4、2或0．三．解答題（共6小題）11．計(jì)算：（1）-1（2）x3【分析】（1）根據(jù)有理數(shù)的乘方、絕對(duì)值化簡(jiǎn)、零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪法則進(jìn)行求解；（2）根據(jù)冪的乘方、單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式即可求解．【解答】解：（1）-＝﹣1+6﹣1+9＝13；（2）x＝x3y（4x2y﹣6）=412．若a+b+c＝3，求22a﹣1?23b+2?2a+3c的值．【分析】首先利用同底數(shù)冪的乘法法則進(jìn)行計(jì)算，然后計(jì)算指數(shù)部分，最后將a+b+c＝3代入進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：22a﹣1?23b+2?2a+3c＝22a﹣1+3b+2+a+3c＝23（a+b+c）+1，∵a+b+c＝3，∴原式＝23×3+1＝210＝1024．13．在一次測(cè)驗(yàn)中有這樣一道題：“|a|n=12【分析】根據(jù)n=12，n＝3，可得an＝±12，bn＝±3【解答】解：∵n=12，n＝3，∴an＝±12，bn＝±3當(dāng)an=12，bn＝（ab）2n＝（anbn）2＝（12×3）2當(dāng)an=12，bn＝﹣（ab）2n＝（anbn）2＝（-12×3）當(dāng)an=-12，bn（ab）2n＝（anbn）2＝（-12×3）當(dāng)an=-12，bn（ab）2n＝（anbn）2＝（12×3）2綜上，（ab）2n=914．如果xn＝y(tǒng)，那么我們規(guī)定（x，y）＝n．例如：因?yàn)?2＝9，所以（3，9）＝2．（1）（理解）根據(jù)上述規(guī)定，填空：（2，8）＝3，(2，14（2）（說(shuō)理）記（4，12）＝a，（4，5）＝b，（4，60）＝c．試說(shuō)明：a+b＝c；（3）（應(yīng)用）若（m，16）+（m，5）＝（m，t），求t的值．【分析】（1）根據(jù)規(guī)定的兩數(shù)之間的運(yùn)算法則解答；（2）根據(jù)積的乘方法則，結(jié)合定義計(jì)算；（3）根據(jù)定義解答即可．【解答】解：（1）∵23＝8，∴（2，8）＝3，∵2-2∴（2，14）＝﹣2故答案為：3，﹣2；（2）∵（4，12）＝a，（4，5）＝b，（4，60）＝c，∴4a＝12，4b＝5，4c＝60，∵12×5＝60，∴4a×4b＝4c，∴4a+b＝4c，∴a+b＝c；（3）設(shè)（m，16）＝p，（m，5）＝q，（m，t）＝r，∴mp＝16，mq＝5，mr＝t，∵（m，16）+（m，5）＝（m，t），∴p+q＝r，∴mp+q＝mr，∴mp×mq＝mr，即16×5＝t，∴t＝80．15．規(guī)定兩數(shù)a，b之間的一種運(yùn)算，記作（a，b），如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因?yàn)?3＝8，所以（2，8）＝3．（1）根據(jù)上述規(guī)定，填空：（4，64）＝3，（3，1）＝0，（2，18）＝﹣3（2）小明在研究這種運(yùn)算時(shí)發(fā)現(xiàn)一個(gè)特征：（3n，4n）＝（3，4），并作出了如下的證明：∵設(shè)（3，4）＝x，則3x＝4，∴（3x）n＝4n，即（3n）x＝4n，∴（3n，4n）＝x∴（3n，4n）＝（3，4）．試參照小明的證明過(guò)程，解決下列問(wèn)題：①計(jì)算（8，1000）﹣（32，100000）；②請(qǐng)你嘗試運(yùn)用這種方法，寫(xiě)出（7，45），（7，9），（7，5）之間的等量關(guān)系．并給予證明．【分析】（1）由新定義計(jì)算得出結(jié)果即可；（2）①由推理過(guò)程可得（8，1000）＝（2，10）；（32，10000）＝（2，10），再相減結(jié)果得0即可；②設(shè)7a＝5，7b＝9，7c＝45，根據(jù)同底數(shù)冪的乘法可推出a+b＝c，從而得到（7，5）+（7，9）＝（7，45）．【解答】解：（1