零基礎學會數學建模

數學建模知識

——之新手上路

一、數學模型的定義

現在數學模型還沒有一個統一的準確的定義，因為站在不同的角度可以有不同的定義。

不過我們可以給出如下定義：“數學模型是關于部分現實世界和為一種特殊目的而作的一個

抽象的、簡化的結構?！本唧w來說，數學模型就是為了某種目的，用字母、數學及其它數學

符號建立起來的等式或不等式以及圖表、圖像、框圖等描述客觀事物的特征及其內在聯系的

數學結構表達式。一般來說數學建模過程可用如下框圖來表明：

?題假置一??―題求W

題什檢臉靜價4-融和

數學是在實際應用的需求中產生的，要解決實際問題就必需建立數學模型，從此意義上

講數學建模和數學一樣有古老歷史。例如，歐兒里德幾何就是一個古老的數學模型，牛頓萬

有引力定律也是數學建模的一個光輝典范。今天，數學以空前的廣度和深度向其它科學技術

領域滲透，過去很少應用數學的領域現在迅速走向定量化，數量化,需建立大量的數學模型。

特別是新技術、新工藝蓬勃興起，計算機的普及和廣泛應用，數學在許多高新技術上起著十

分關鍵的作用。因此數學建模被時代賦予更為重要的意義。

二、建立數學模型的方法和步驟

1.模型準備

要了解問題的實際背景，明確建模目的，搜集必需的各種信息，盡量弄清對象的特征。

2.模型假設

根據對象的特征和建模目的，對問題進行必要的、合理的簡化，用精確的語言作出假設，

是建模至關重要的一步。如果對問題的所有因素一概考慮，無疑是?種有勇氣但方法欠佳的

行為，所以高超的建模者能充分發(fā)揮想象力、洞察力和判斷力，善于辨別主次，而且為了

使處理方法簡單，應盡量使問題線性化、均勻化。

3.模型構成

根據所作的假設分析對象的因果關系，利用對象的內在規(guī)律和適當的數學工具，構造各

個量間的等式關系或其它數學結構。這時，我們便會進入一個廣闊的應用數學天地，這里在

高數、概率老人的膝下，有許多可愛的孩子們，他們是圖論、排隊論、線性規(guī)劃、對策論等

許多許多，真是泱泱大國，別有洞天。不過我們應當牢記，建立數學模型是為了讓更多的人

明了并能加以應用，因此工具愈簡單愈有價值。

4.模型求解

可以采用解方程、畫圖形、證明定理、邏輯運算、數值運算等各種傳統的和近代的數學

方法，特別是計算機技術。一道實際問題的解決往往需要紛繁的計算，許多時候還得將系統

運行情況用計算機模擬出來，因此編程和熟悉數學軟件包能力便舉足輕重。

5.模型分析

對模型解答進行數學上的分析?！皺M看成嶺側成峰，遠近高低各不同”，能否對模型結果

作出細致精當的分析,決定了你的模型能否達到更高的檔次。還要記住，不論那種情況都需

進行誤差分析,數據穩(wěn)定性分析。

例題：?個籠子里裝有雞利兔若干只，已知它們共有8個頭和22只腳，問該籠子中有多

少只雞和多少只兔？

解：設籠中有雞x只，有兔y只，由已知條件有

x+y=8

2x+4y=22

求解如上二元方程后，得解x=5,y=3,即該籠子中有雞5只，有兔3只。將此結果代入

原題進行驗證可知所求結果正確。

根據例題可以得出如下的數學建模步驟：

1）根據問題的背景和建模的目的做出假設（本題隱含假設雞兔是正常的，畸形的雞兔除外）

2）用字母表示要求的未知量

3）根據已知的常識列出數學式子或圖形（本題中常識為雞兔都有一個頭且雞有2只腳，兔

有4只腳）

4）求出數學式子的解答

5）驗證所得結果的正確性

這就是數學建模的一般步驟

三、數模競賽出題的指導思想

傳統的數學競賽一般偏重理論知識，它要考查的內容單一，數據簡單明確，不允許用計

算器完成。對此而言，數模競賽題是一個“課題”，大部分都源于生產實際或者科學研究的

過程中，它是一個綜合性的問題，數據龐大，需要用計算機來完成。其答案往往不是唯?的

（數學模型是實際的模擬，是實際問題的近似表達，它的完成是在某種合理的假設下，因此

其只能是較優(yōu)的，不唯一的），呈報的成果是一篇論文。由此可見“數模競賽”偏重于應用,

它是以數學知識為引導計算機運用能力及文章的寫作能力為輔的綜合能力的競賽。

四、競賽中的常見題型

賽題題型結構形式有三個基本組成部分：

1.實際問題背景

涉及面寬——有社會，經濟，管理，生活、環(huán)境，自然現象，工程技術，現代科學中出

現的新問題等。?般都有一個比較確切的現實問題。

2.若干假設條件

有如下幾種情況：

1）只有過程、規(guī)則等定性假設，無具體定量數據；

2）給出若干實測或統計數據；

3）給出若干參數或圖形；

4）蘊涵著某些機動、可發(fā)揮的補充假設條件，或參賽者可以根據自己收集或模擬產生

數據。

3.要求回答的問題

往往有幾個問題，而且一般不是唯一答案。一般包含以下兩部分：

1）比較確定性的答案（基本答案）；

2）更細致或更高層次的討論結果（往往是討論最優(yōu)方案的提法和結果）。

五、提交一篇論文，基本內容和格式是什么？

提交一篇論文，基本內容和格式大致分三大部分：

1.標題、摘要部分

題目——寫出較確切的題目（不能只寫A題、B題）。

摘要——200-300字，包括模型的主要特點、建模方法和主要結果。

內容較多時最好有個目錄。

2.中心部分

1）問題提出,問題分析。

2）模型建立:

①補充假設條件，明確概念，引進參數；

②模型形式（可有多個形式的模型）；

③模型求解；

④模型性質；

3）計算方法設計和計算機實現。

4）結果分析與檢驗。

5）過論——模型的優(yōu)缺點，改進方向，推廣新思想。

6）參考文獻——也有特定格式。

3.附錄部分

計算程序，框圖。

各種求解演算過程，計算中間結果。

各種圖形、表格。

（論文有其嚴格的格式，這里只是一點掛一漏萬的表述，詳細的內容留有下期，敬請觀

看）

六、參加數學建模競賽是不是需要學習很多知識？

沒有必要很系統的學很多數學知識，這是時間和精力不允許的。很多優(yōu)秀的論文，其施

明之處并不是用了多少數學知識，向是思維比較全面、貼合實際、能解次問題或是有所創(chuàng)新。

有時候，在論文中可能碰見一些沒有學過的知識，怎么辦？現學現用，在優(yōu)秀論文中用過的

數學知識就是最有可能在數學建模競賽中用到的，你當然有必要去翻一翻。

具體說來，大概有以下這三個方面：

第一方面：數學知識的應用能力

歸結起來大體上有以下幾類：

1）概率與數理統計

2）統籌與線軸規(guī)劃

3）微分方程;

相關的數學基礎知識包括

1、線性規(guī)劃6、最優(yōu)化理論

2、非線性規(guī)劃7、管理運籌學

3、離散數學8、差分方程

4、概率統計9、層次分析

5、常微分方程

還有與計算機知識交叉的知識：計算機模擬。

上述的內容有些同學完全沒有學過，也有些同學只學過一點概率與數理統計，微分方程

的知識怎么辦呢？一個詞“自學”，記得數模評卷的負責教師曾經說過“能用最簡單淺易的

數學方法解決了別人用高深理論才能解決的答卷是更優(yōu)秀的答卷”。

第二方面：計算機的運用能力

一般來說凡參加過數模競賽的同學都能熟練地應用字處理軟件“Word”，掌握電子表格

“Excel”的使用；“Mathematica”軟件的使用，最好還具備語言能力。這些知識大部分都

是學生自己利用課余時間學習的。

第三方面：論文的寫作能力

前面已經說過考卷的全文是論文式的，文章的書寫有比較嚴格的格式。要清楚地表達自

己的想法并不容易，有時一個問題沒說清楚就又說另一個問題了。評卷的教師們有一個共識，

一篇文章用10來分鐘閱讀仍然沒有引起興趣的話，這一遍文章就很有可能被打入冷宮了。

七、如何從建模例題中學習解題方法

在看例題的時候，要看例題是如何作的，即是如何切入，如何選擇合理假設，如何分析

建立的模型等。數學建模方法常見有：

-、機理分析法從基本物理定律以及系統的結構數據來推導出模型。

1.比例分析法-建立變量之間函數關系的最基本最常用的方法。

2.代數方法-求解離散問題（離散的數據、符號、圖形）的主要方法。

3.邏輯方法-是數學理論研究的重要方法，對社會學和經濟學等領域的實際問題，在決

策，對策等學科中得到廣泛應用。

4.常微分方程-解決兩個變量之間的變化規(guī)律，關鍵是建立"瞬時變化率"的表達式。

5.偏微分方程-解決因變量與兩個以上自變量之間的變化規(guī)律。

二、數據分析法從大量的觀測數據利用統計方法建立數學模型

1.回歸分析法-用于對函數f（x）的一組觀測值（xi,fi）i=l,2,…,n,確定函數的表達式，

由于處理的是靜態(tài)的獨立數據，故稱為數理統計方法。

2.時序分析法-處理的是動態(tài)的相關數據，又稱為過程統計方法。

三、仿真和其他方法

1.計算機仿真（模擬）-實質上是統計估計方法，等效于抽樣試驗。①離散系統仿真

-有一組狀態(tài)變量。②連續(xù)系統仿真-有解析表達式或系統結構圖。

2.因子試驗法-在系統上作局部試驗，再根據試驗結果進行不斷分析修改，求得所需的

模型結構。

八、小組中應該如何分工？

傳統的標準答案是一一數學，編程，寫作。其實分工不用那么明確，但有個前提是大家

關系很好。不然的話，很容易產生矛盾。分工太明確了，會讓人產生依賴思想，不愿去動腦

子。理想的分的是這樣的：數學建模競賽小組中的每一個人，都能勝能其它人的人作，就算

小組只剩下她（他）一個人，也照樣能夠搞定數學建模競賽。在競賽中的分工，只是為了提

高工作的效率，做出更好的結果。

具體的建議如下：一定要有一個人腦子比較活，善于思考問題，這個人勉強歸于數學方

面吧；一定要有一個人會編程序，能夠實現一些算法。另外需要有一個論文寫的比較好，不

過寫不好也沒關系，多看一看別人的優(yōu)秀論文，多用幾次Office就成了。

數學建模是一種科研工作，需要研究、討論的團隊思維模式。要分析、爭論、相互啟發(fā)、

集思廣義。每個同學都要積極參與，積極思維。若三人之間配合不好，會降低效率，導致整

個建模學習的失敗。

數學建模知識

之論文寫作

一、寫好數模答卷的重要性

1.評定參賽隊的成績好壞、高低，獲獎級別，數模答卷，是唯一依據。

2.答卷是競賽活動的成績結晶的書面形式。

3.寫好答卷的訓練，是科技寫作的一種基本訓練。

二、答卷的基本內容，需要重視的問題

1.評閱原則

假設的合理性，建模的創(chuàng)造性，結果的合理性，表述的清晰程度。

2.答卷的文章結構

1）摘要。

2）問題的敘述，問題的分析，背景的分析等。

3）模型的假設，符號說明（表）。

4）模型的建立（問題分析，公式推導，基本模型，最終或簡化模型等）。

5）模型的求解計算方法設計或選擇：算法設計或選擇，算法思想依據，步驟及實現，

計算框圖；所采用的軟件名稱；引用或建立必要的數學命題和定理；求解方案及流程。

6）結果表示、分析與檢驗，誤差分析，模型檢驗。

7）模型評價，特點，優(yōu)缺點，改進方法，推廣。

8）參考文獻。

9）附錄、計算框圖、詳細圖表。

3.要重視的問題

1）摘要。包括：

a,模型的數學歸類（在數學上屬于什么類型）；

b.建模的思想（思路）；

c.算法思想（求解思路）；

d.建模特點（模型優(yōu)點，建模思想或方法，算法特點，結果檢驗，靈敏度分析，模

型檢驗……）；

e.主要結果（數值結果，結論；回答題目所問的全部“問題

▲注意表述：準確、簡明、條理清晰、合乎語法、字體工整漂亮；打印最好，但要求

符合文章格式。務必認真校對。

2）問題重述。

3）模型假設。

根據全國組委會確定的評閱原則，基本假設的合理性很重要。

a.根據題目中條件作出假設

b.根據題目中要求作出假設

關鍵性假設不能缺；假設要切合題意。

4）模型的建立。

a.基本模型：

i）首先要有數學模型：數學公式、方案等：

ii）基本模型，要求完整，正確，簡明：

b.簡化模型：

i）要明確說明簡化思想，依據等；

ii）簡化后模型，盡可能完整給出：

c.模型要實用，有效，以解決問題有效為原則。

數學建模面臨的、要解決的是實際問題，不追求數學上的高（級）、深（刻）、難（度

犬?

i）能用初等方法解決的、就不用高級方法；

ii）能用簡單方法解決的，就不用復雜方法；

iii）能用被更多人看懂、理解的方法，就不用只能少數人看懂、理解的方法。

d.鼓勵創(chuàng)新，但要切實，不要離題搞標新立異。數模創(chuàng)新可出現在：

▲建模中，模型本身，簡化的好方法、好策略等；

▲模型求解中；

▲結果表示、分析、檢驗，模型檢驗；

▲推廣部分。

e.在問題分析推導過程中，需要注意的問題：

i）分析：中肯、確切；

ii）術語：專業(yè)、內行；

iii）原理、依據：正確、明確；

iv）表述：簡明，關鍵步驟要列出；

v）忌：外行話，專業(yè)術語不明確，表述混亂，冗長。

5）模型求解。

a.需要建立數學命題時：

命題敘述要符合數學命題的表述規(guī)范，盡可能論證嚴密。

b.需要說明計算方法或算法的原理、思想、依據、步驟。

若采用現有軟件，說明采用此軟件的理由，軟件名稱。

c.計算過程，中間結果可要可不要的，不要列出。

d.設法算出合理的數值結果。

6）結果分析、檢驗；模型檢驗及模型修正；結果表示。

a.最終數值結果的正確性或合理性是第一位的；

b.對數值結果或模擬結果進行必要的檢驗；

結果不正確、不合理、或誤差大時，分析原因，對算法、計算方法、或模型進行修

正、改進。

c.題目中要求回答的問題，數值結果，結論，須一一列出；

d.列數據問題：考慮是否需要列出多組數據，或額外數據對數據進行比較、分析，

為各種方案的提出提供依據；

e.結果表示：要集中，一目了然，直觀，便于比較分析。

▲數值結果表示：精心設計表格；可能的話，用圖形圖表形式。

▲求解方案，用圖示更好。

7）必要時對問題解答，作定性或規(guī)律性的討論。最后結論要明確。

8）模型評價

優(yōu)點突出，缺點不回避。

改變原題要求，重新建?？稍诖俗?。

推廣或改進方向時，不要玩弄新數學術語。

9）參考文獻

10）附錄

詳細的結果，詳細的數據表格，可在此列出，但不要錯，錯的寧可不列。主要結果數據，

應在正文中列出，不怕重復。

檢查答卷的主要三點，把三關：

a.模型的正確性、合理性、創(chuàng)新性

b.結果的正確性、合理性

c.文字表述清晰，分析精辟，摘要精彩

三、關于寫答卷前的思考和工作規(guī)劃

答卷需要回答哪幾個問題一一建模需要解決哪幾個問題；

問題以怎樣的方式回答一一結果以怎樣的形式表示；

每個問題要列出哪些關鍵數據一一建模要計算哪些關鍵數據：

每個量，列出一組還是多組數一一要計算一組還是多組數。

四、答卷要求的原理

1.準確一一科學性；

2.條理一一邏輯性；

3.簡潔一一數學美；

4.創(chuàng)新一一研究、應用目標之一，人才培養(yǎng)需要；

5.實用一一建模、實際問題要求。

五、建模理念

1.應用意識

要解決實際問題，結果、結論要符合實際；

模型、方法、結果要易于理解，便于實際應用；站在應用者的立場上想問題，處理問題。

2.數學建模

用數學方法解決問題，要有數學模型；

問題模型的數學抽象，方法有普適性、科學性，不局限于本具體問題的解決。

3.創(chuàng)新意識

建模有特點，更加合理、科學、有效、符合實際；更有普遍應用意義；不單純?yōu)閯?chuàng)新而

創(chuàng)新。

數學建模知識

----之參賽秘訣

1.時間和體力的問題

競賽中時間分配也很重要，分配不好可能完不成論文，所以開始時要大致做一下安排，

不必分的太細，比如第一天做第一小題，第二天做第二小題，這樣反而會有壓力。開始階段

不忙寫作，可以將?些小組討論的要點記錄下來，不要太工整，隨便一下，到第三天再開始

寫論文也不遲的。另外要說的就是體力要跟上，三天一般睡眠只有不到10個小時;建議是

賽前熬夜編程幾次，但比賽前一天可不許熬呀，呵呵。

2.團隊合作是能否獲獎的關鍵

三天的比賽中，團隊交流所占用的時間可能會超過一半。當出現分歧的時候應當如何解

決是很關鍵的，甚至直接決定你是否可以獲獎，我的建議是“妥燒”，不要總認為自己的觀

點是正確的，多聽聽別人的觀點，在兩者之間謀求共同點。合作在競賽前就應當培養(yǎng)，比如

一塊兒做一道題什么的，充分利用每個人的優(yōu)點，也可以張三準備圖論，李四準備最優(yōu)化方

法，然后幾天后大家一塊交流，這些都是可以磨合團隊之間的關系的。

3.重視摘要

摘要首先不要寫廢話,也不要照抄題目的一些話,直奔主題,要寫明自己怎樣分析問題，

用什么方法解決問題，最重要的是結論是什么要說清楚，在中國的競賽中不寫結論的話是一

定不會得獎的。摘要至少需要琢磨兩個小時,不要輕視了它的重要性。多看看優(yōu)秀論文的摘

要是如何去寫的很有必要的，并要作為賽前準備的課題之一。

4.論文寫作要正規(guī)

論文一定要大致按照摘要、問題重述、模型假設、符號說明、問題分析、（建立、分析、

求解模型）、……、參考文獻、附錄等等的方式來寫。一般初評會先淘汰一些結構失敗的文

童，如果沒有論文的結構，內容再好也沒有用。論文前面的結構一般都不會變的，后面可以

按照實際情況來安排自己的結構，省略的部分可以有結果說明、靈敏度分析、其他模型、模

型擴展、優(yōu)缺點分析等等的東西，多看些優(yōu)秀論文就知道還有哪些形式的了，附錄可以貼一

些算法流程圖或比較大的結果或圖表等等。

5.模型的假設與模型的建立

評委看完摘要后緊接著就是看模型假設了，有一個萬能的方法就是可以抄題目中可以作

為假設的幾句話,這樣會給人留下好的印象，畢竟說明你審題了。但不能全抄，要加上自己

論文中的一些假設，最好不要太具體了，一些重要參數不要被定死只能取某些值，這樣會讓

人感覺到論文的局限性較強。模型的建立是根據你對問題分析而來的，提出的數學符號和建

立模型最好要比較接近，在同一頁最好，以便評委可以對照符號來看，數學公式要嚴謹，推

導要嚴密，這些都反映了一個人的數學素質和能力，即使你推導不對，別人看到你的陣勢也

首先會誤以為你是對的。

6.圖文表并茂可以增色

我聽說一個不確切的信息是評委老師喜歡用Matlab編程的論文，不知道有沒有這回事，

但這說明了老師需要看一個具有圖或表在其中的論文，一篇如果像政治書那樣寫的論文估計

沒有人會對它感興趣的，尤其是科技論文。Matlab編程之所以受到青睞是因為Matlab提供

的圖形處理能力很強大，圖表的說明性特別強，如果結論有很多數據的話，最好做成圖表的

形式加以說明，會令你的論文更有說服力，也更加會受到評委的好評。

數學建模知識

——之參考資料

一、數學建模競賽中應當掌握的十類算法

1.蒙特卡羅算法

該算法又稱隨機性模擬算法，是通過計算機仿真來解決問題的算法，同時可以通過模擬

可以來檢驗自己模型的正確性，是比賽時必用的方法。

2.數據擬合、參數估計、插值等數據處理算法

比賽中通常會遇到大量的數據需要處理，而處理數據的關鍵就在于這些算法，通常使用

Matlab作為工具.

3.線性規(guī)劃、整數規(guī)劃、多元規(guī)劃、二次規(guī)劃等規(guī)劃類問題

建模競賽大多數問題屬于最優(yōu)化問題，很多時候這些問題可以用數學規(guī)劃算法來描述,

通常使用Lindo、Lingo軟件實現。

4.圖論算法

這類算法可以分為很多種，包括最短路、網絡流、二分圖等算法，涉及到圖論的問題可

以用這些方法解決，需要認真準備。

5.動態(tài)規(guī)劃、回溯搜索、分治算法、分支定界等計算機算法

這些算法是算法設計中比較常用的方法，很多場合可以用到競賽中。

6.最優(yōu)化理論的三大非經典算法：模擬退火法、神經網絡、遺傳算法

這些問題是用來解決一些較困難的最優(yōu)化問題的算法，對于有些問題非常有幫助，但是

算法的實現比較困難，需慎重使用。

7.網格算法和窮舉法

網格算法和窮舉法都是暴力搜索最優(yōu)點的算法，在很多競賽題中有應用，當重點討論模

型本身而輕視算法的時候，可以使用這種暴力方案，最好使用一些高級語言作為編程工具。

8.一些連續(xù)離散化方法

很多問題都是實際來的，數據可以是連續(xù)的，而計算機只認的是離散的數據，因此將其

離散化后進行差分代替微分、求和代替積分等思想是非常重要的。

9.數值分析算法

如果在比賽中采用高級語言進行編程的話，那一些數值分析中常用的算法比如方程組求

解、矩陣運算、函數積分等算法就需要額外編寫庫函數進行調用。

10.圖象處理算法

賽題中有一類問題與圖形有關，即使與圖形無關，論文中也應該要不乏圖片的，這些圖

形如何展示以及如何處理就是需要解決的問題，通常使用Matlab進行處理。

二、數學軟件的主要分類有哪些？各有什么特點？

數學軟件從功能上分類可以分為通用數學軟件包和專業(yè)數學軟件包，通用數學包功能比

較完備，包括各種數學、數值計算、豐富的數學函數、特殊函數、繪圖函數、用戶圖形屆面

交互功能，與?其他軟件和語言的接口及龐大的外掛函數庫機制（工具箱）。

常見的通用數學軟件包包括Matlab和Mathematica和Maple,其中Matlab是一個高性

能的科技計算軟件，廣泛應用于數學計算、建模、仿真和數據分析處理及工程作圖，

Mathematica是數值和符號計算的代表性軟件，Maple以符號運算、公式推導見長。

專用數學包包括繪圖軟件類MathCAD，Tecplot，IDL,Surfer,Origin,

SmartDraw,DSP2000),數值計算類：(Matcom,IDL,DataFit,S-Spline,Lindo,Lingo,

O-Matrix,Scilab,Octave),數值計算庫(linpack/lapack/BLAS/GERMS/IMSL/CXML),有

限元計算類(ANSYS,MARC,PARSTRAN,FLUENT,FEMLAB,FlexPDE,Algor,COSMOS,ABAQUS,

ADINA),計算化學類(Gaussian98,Spartan,ADF2000,ChemOffice),數理統計類(GAUSS,

SPSS,SAS,Splus,statistica,minitab),數學公式排版類(MathType,MikTeX,Scientific

Workplace,ScientificNootbook)o

三、關于數模競賽的幾本好書

▲姜啟源，《數學模型(第二版)》，高等教育出版社

▲姜啟源、謝金星、葉俊《數學建模(第三版)》，高等教育出版社

▲蕭樹鐵等，《數學實驗》，高等教育出版社

▲馬新生，《高等數學實驗》，科學出版社

▲朱道元，《數學建模案例精選》，科學出版社

▲雷功炎，《數學模型講義》，北京大學出版社

▲葉其孝等，《大學生數學建模競賽輔導教材(一)~(四)》，湖南教育出版社

▲江裕釗、辛培清，《數學模型與計算機模擬》，電子科技大學出版社

▲楊啟帆、邊馥萍，《數學模型》，浙江大學出版社

▲趙靜等，《數學建模與數學實驗》，高等教育出版社，施普林格出版社

四、基礎學科

1.數學分析

2.高等代數

3.概率與數理統計

4.最優(yōu)化理論

5.圖論

6.組合數學

7.微分方程穩(wěn)定性分析

8.排隊論

五、常用網站和ftp

▲http://mcm.edu.cn/全國大學生數模競賽官方網站

▲http://ww.shumo.org中國數學建模網站

▲中科大數模網站

▲http://www.css.zju.edu.cn/mmb/index.php浙江大學數模網

▲http://www.hit.edu.cn/hmcm哈工大數模網站

▲http://bbs.dartmouth.edu/^fangq/wiki/?MathTools_FAQ數學工具FAQ

▲ftp://youngcow.net/Public/Document/Science/matlab/

▲ftp://202.198.71.195

▲29

▲ftp://166.111.30.174

▲ftp://166.111.68.183

▲ftp://166.111.158.102

▲ftp://166.111.163.248:40021

▲ftp://166.111.172.77

六、歷年試題

1.MCM（美國大學生數學建模競賽）

1985A題動物群體管理

1985B題戰(zhàn)略物資存儲管理

1986A題水道測量數據

1986B題應急設施的位置

1987A題鹽的貯存

1987B題停車場

1988A題確定走私船的位置

1988B題兩輛鐵路平板車的裝貨問題

1989A題嫁的分類

1989B題飛機排隊

1990A題藥物在大腦中的分布

1990B題掃雪問題

1991A題估計水箱的流水量

1991B題最小費用極小生成樹

1992A題航空控制雷達的功率

1992B題應急電力修復系統

1993A題加速餐廳剩菜堆肥的生成

1993B題倒煤臺的操作方案

1994A題建筑費用

1994B題計算機傳輸

1995A題單螺旋線

1995B題教師薪金分配

1996A題海底探測

1996B題競賽論文的評定

1997A題疾走龍屬問題

1997B題開會決策

1998A題MRI掃描儀

1998B題學生等級劃分

1999A題小型星撞擊

1999B題非法集會

1999c題大地污染

2000A題空中交通控制

2000C題大象的數量

2002A題風和噴水池

2002B題航空公司超員訂票

2003A題特技人員

2003B題GAMMA刀治療計劃

2004A題指紋是獨一無二的嗎？

2004B題更快的快通系統

2.CUMCM（全國大學生數學建模競賽）

1993年A題非線性交調的頻率設計

1993年B題球隊排名問題

1994年A題逢山開路

1994年B題鎖具裝箱

1995年A題一個飛行管理模型

1995年B題天車與冶煉爐的作業(yè)調度

1996年A題最優(yōu)捕魚策略

1996年B題節(jié)水洗衣機

1997年A題零件的參數設計

1997年B題截斷切割

1998年A題投資的收益和風險

1998年B題災情巡視路線

1999年A題自動化車床管理

1999年B題鉆井布局

2000年A題DNA序列分類

2000年B題鋼管定購和運輸

2001年A題血管的三維重建

2001年B題公交車調度

2002年A題車燈線光源的優(yōu)化設計

2002年B題彩票中的數學

2003年A題SARS的傳播

2003年B題露天礦生產的車輛安排

2004年A題奧運會臨時超市網點設計

2004年B題電力市場的輸電阻塞管理

新出茅廬，踏入江湖面對諸多《葵花寶典》，各種形式武林秘籍，諸位新生是否蠢蠢欲動，

是否有些頭昏眼花？面對各路高手，諸位肯定下定決心潛心修煉誓將與之PK嘍！

然而剛剛進入象牙塔，不少有志之士面對浩浩江湖，有些迷茫困頓吧，再次小弟獻丑給大家

將些經驗之談

一定要學好基研1知識（數學，英語，計算機和互聯網的使用）應用領域很多看似

高深的技術很多年后就會被新的技術或工具所取代，只有基礎知識的學習才可以終身受

益，數學是理工科學生必備的基礎，很多大學生，一旦發(fā)現本專業(yè)對數學要求不高就會

放松對數學知識的學習，但大家不要忘記很多數理工科專業(yè)的知識體系都建立在數學的

基石上，另外數學也是人類幾千年積累的智慧結晶，學習數學知識可以培養(yǎng)和鍛煉人的

思維，學習數學不能僅僅周限于選修相關的課程，而是要從學習數學的過程中掌握認知

和思考的方法

那如何學好數學這一重要招式呢

數學奇才悟空支著

，“學思習”是

學習高等數學大的模式。抓住要］

點，，使"書本變薄，，的這種勤于思考，

善于思考，從厚到薄的學習數M

的方法，值得我們借鑒。所謂習，就高等數學而言，就是做練習。這一點數學有自身的

特點，練習一般分為兩類，一是基礎訓練練習，經常附在每章每節(jié)之后.

第二，狠抓基礎，循序漸進高等數學有一些重要的基礎內容，它關系的全局。

以微積分部分為例，極限貫穿著整個微積分，函數的連續(xù)性及性質貫穿著后面一系列定理

結論，初等函求導法及積分法關系到今后個學科

第三，歸類小結，從厚到薄。

歸類小節(jié)時，要特別注意有基礎內容派生出來的一些結論，即所謂一些中間結果，這些結

果常常在一些典型例題和習題上出現

第四，精讀一本參考書。實踐證明，在教師指導下，抓準一本參考書，精讀到底，如果

你能熟讀了一本有代表性的參考書，再看其他參考書就會迎刃而解了。

第二章導數與微分

?元函數微分再微積分中具有很重要地位，是基礎知識，必考內容必須熟練掌握

主要考點：1求函數導數

A）復介函數求舊——應避免漏看小，求參數方程確定函數的：階與數時，所涉及的是關廠參數t的

函數對x求導數。。。應利用復合函數求導法則得—,（例1）

dxdudx

dy

B）隱函數與幕函數求導法則——1若已知F（x,y）=O,求dx時，一般按下列步驟進行求解：

a）：若方程F（x,y）=O,能化為丁=的形式，則用前面我們所學的方法進行求導：

b）：若方程F（x,y）=O,不能化為丁=/"）的形式，則是方程兩邊對x進行求導，并把y看成x的函數

y二/"），用復合函數求導法則進行。（例2）

2對數求導的法則特別適用于基函數，多項式連乘除和開根號的

求導問題。然后再把它看成隱函數進行求導，先對其兩邊取自然對數，就比較簡便些。（例題3、4）

C）變限積分求導——公式

D）高階導數1直接法求高階導數多次接連地求導，求二階、三階、四階從中找規(guī)律

2間接法代數或三角變形，變?yōu)槌Ｒ姾瘮怠P鍵將其分解為sina、cos|L。。。；

和差積商

E）分段函數一一只能用導數定義不能用導數法則：1當分段點左右表達式不同時，左右導

數定義判斷，看二只者否相等2當分段點左右表達式相同時，常用導

數定義判斷（例題5）

2已知某極限求給定點的導數——先寫出指定點出導數定義將問題轉化

為某極限，利用極限求解。

3可導條件下求某極限或參數。OOOOOO

A）

例題2：求隱函數丁5+2丁一工一3,二°,在x=0處的導數

解答：兩邊對x求導

5//+2/-1-21/=0

,1+21/

y=-----

故5y4+2

y'>r-o=5

當x=O時，y=O.故/

例題3：已知y=/m*x>0,求P

先兩邊取對數：

Iny=sinxlnx

把其看成隱函數，再兩邊求導

1.sinx

—yf=cosxlnxH-------

yx

，，1sinx、山X，，sinx、

y=y(cosxIn彳+----)=x(cosxlnxH--------)

因為V-x,所以x

例題4：已知1（“方1-4）,求）

此題可用復合函數求導法則進行求導，但是比較麻煩，下面我們利用對數求導法進行求導

解答：先兩邊取對數

Iny=g[ln(x-1)+ln(x-2)-ln(x-3)-ln(x-4)]

再兩邊求導

1,l1,111、

—y=—z(d--)

y2x-1x-2x-3x-4

(1)(一)111

+-------------------------

y=-2V(z-3)(x-4)x-l

因為,所以x-2x-3x-4

賭博中的數老

在美國受歡迎程度僅次于撲克牌的游戲是21點紙牌游戲，其規(guī)則：手里拿的紙牌必須小于

等于21,越接近21就能贏。美國加利福尼亞大學數學教授愛德華.桑波在1960年美國數學

會上發(fā)表“幸運的公式：21點紙牌游戲的成功戰(zhàn)略”引起人們矚目，根據數學概率計算形

成桑波的21點紙牌游戲的成功戰(zhàn)略一部分內容，如下；

若牌和小于11要多要牌，若在17以上就不要了，若在12~16之間看對方扣下的牌吧

若手中牌包括A紙牌是大于7的數就要，對方的牌若在2~6之間就不要

一門科學，只有當它成功

地運用數學時，才能達到

華羅庚說過:“就數學本身而言，是壯麗多彩、千姿百態(tài)、引人入勝的……

真正完善的地步.

讀者朋友們看數學與生活有著那么大的聯系，生活數學是如此現實、有趣、

有用，讓數學貼近生活，讓我們一起領略他的趣味

——馬克思

越匾健集一張燒焦了的遺囑TOP

大偵察梅森，被請來破一張燒焦了的遺屬之謎。百萬富翁布朗死于一場大火，留

下了一張燒焦了的、難以辨認的遺囑，遺囑里除了說明要把他的全部遺產均分給

他的眾多繼承人外，還有一張長長的除法運算。不幸的，這個除法運算中只有商

數中一個數字可辨認。在顯微鏡下，還可以看出圖中標出的每個位置上都曾有過

數字，然而沒有余數。（下圖）

這些條件對梅森已經足夠了，當他用唯一可能的方法填上缺少的數字時，發(fā)現

除數和被除數正好與繼承人數和遺產總價值相符

合。請問梅森是怎樣推理的？繼承人有多少？

這些條件對梅森已經足夠了，當他用唯一可能的

方法填上缺少的數字時，發(fā)現除數和被除數正好與

繼承人數和遺產總價值相符合。請問梅森是怎樣推

理的？繼承人有多少？

數學中的?些美麗定理具有這樣的特性：它們極易從事實中歸納出來，但證明卻隱藏的極深.數學是科學

之王.----高斯

一張燒焦了的遺囑答案

數學趣題“一張燒焦了的遺囑”的解法有幾百種，為了得出答案，可能要采取十

幾個步驟，占用好幾頁的篇幅。事實上，要完全解開這個迷，用以下三個容易的

推理步驟就足夠了。

1.商數的第四個數字顯然是0,因為被除數的兩個數字必須同時拿下來。

2.商數第一個數字和最末一個數字都比第三個大，因為它們與除數的乘積是四位

數字，而第三個數字又比第二個數字大7大，這是因為一個大的數減去第三個數

與除數的乘積所得的差，比從一個較小的數減去7與除數的乘積所得的差小。這

就意味著，商數第一個數字和最末一個數字是9,第三個數字是8。因此，商等

于97809。

3.因為除數的8倍不大于999,這是第三個乘積可能取的最大的數，所以除數不

大于124。又因為最后一個減法運算的頭兩個數字不能大于11,而這兩個數是第

三個減法中，一個四位數與第三個乘積的差，四位數至少是1000。所以第三個

乘積至少是989,因而出示至少是124。因此，除數是124,商是97809。這就是

說，百萬富翁留下12128316美元，打算分給124位繼承人，每個繼承人平均得

97809美元。

高明的蜂王TOP

有一箱蜜蜂，每天辛勤地采蜜。但是

如果它們歸巢時蜂擁而來，就會擁擠

碰傷。

聰明的蜂王想了一個辦法：把蜜蜂分

成三群，第一群50分時間歸巢一次；

第二群60分時間歸巢一次；第三群

70分時間歸巢一次。這樣就避免了全

體一起歸巢的情況發(fā)生。

你能說明這是為什么嗎？

50=2X5?

60=22X3X5

70=2X5X7

最小公倍數=22X3X5?X7=21OO（分）=35小時

如果早上九時，蜜蜂傾巢而出的話，要到35小時以后，即第二天晚上八時才會

出現全體同時歸巢的情況，而蜜蜂晚上不工作，因此不必擔心擁擠了。

每當新學年來臨之時，總會有近萬名高中畢業(yè)生懷揣著各自的夢想融入美麗的昌大校園。

然而，在新環(huán)境中，他們或邁向輝煌，或甘于平庸，那么究竟是什么導致了這種差距呢？我

想，這不僅僅是由于新生對于新環(huán)境在行為和心理上的適應能力不同，學習方法的改變也不

容忽視。尤其是高數，它以其強邏輯性，抽象性和教師授課的快速性讓許多新生茫然失措。

下面就讓我們討論一下如何能夠高效率的學好高數希望能對同學們有所幫助！

首先，我們需要有學好高數的信心，信心是成功的一半，昌大學子，個個都是優(yōu)秀的，

我們沒有理由去懷疑自己的實力，要知道任何困難都阻擋不住我們火一般的熱情.

其次，我們要有學習的主動性，不應該為了學習而學習，應當明確學習高數不僅僅是課程

的需要，更是時代的需要。在今天這個信息時代里，每一項高新技術的背后都存在著及其抽

象的數學.我們想要有所作為，就必須具備扎實的數學基礎，較好的數學修養(yǎng)和較高的數學

思維。

最后,我們還學要掌握科學的學習方法。許多成功之士對此曾給我們留下了寶貴經驗，值

得我們借鑒。-、及時轉變往日的學習方法，大多數新生已經習慣高中時在老師的直接指

導下進行模仿性和單一性的學習，而大學需要的則是創(chuàng)造性的學習，以老師所講的重難點為

線索，通過對教材的定量閱讀，盡可能消化所學內容，最后利用習題加以鞏固。誠然這是一

項艱辛的腦力勞動,需要高度的自覺性,能在松散的環(huán)境下約束自己,要知道不付出哪有回報？

二、注重課前、課中和課后三個環(huán)節(jié)。只有課前預習方能做到心中有數,知道什么是重難點，

帶著問題去聽課,效果更明顯。課內要專心聽講，特別要做好課堂筆記，因為老師的講稿都是

在參閱同類書籍之后再結合個人成功的教學經驗經反復推敲而成就的，書本上沒有的，同時

做筆記也是對工作能力的一種培養(yǎng)。課后要注意復習和整理，在需要理解的地方添上自己的

學習心得，掌握知識后再做作業(yè)效率更高，效果更好。三、善于歸納.學習是知識的積累，我

們不可能記住所有的知識而不遺忘，這需要我們對所學的知識加以歸納總結，找出它們之間

的內在聯系和共同本質，并使之條理化和系統化，通過對一些有代表性的知識的記憶去推出

其余的知識。

也許您還有自己更獨特的見解，但我們可以肯定，誰都能學好高數。其實在數學的海洋

里有著許多我們已發(fā)現和尚待發(fā)現的風景，希望您也能夠揚帆前進，用自己智慧的雙眼去探

尋新的奇觀。

簫解學習方法

不同的學科有不同的特點，在學習中要針對學科的特點，采用不同的方法。學

習高等數學必須要按照高等數學的學科特點（數學的特點）來學習。

第一，數學是嚴密的科學。數學是由概念、公理、定理、公式等，按照一定的

邏輯規(guī)則組成的嚴密的知識體系，有很強的系統性。因此，在數學的學習中，一定要循序漸

進，打好基礎，完整地、系統地掌握基本概念和基本原理，這樣才能為解題打好堅實的基礎。

如果基礎層次的數學知識沒有掌握，學習高層次的數學知識時就會感到很困難，甚至是不可

能的。例如，如果不會微積分的基礎知識，那就根本不可能學會高等數學的其他部分。有相

當一部分成績不好的學生就是因為基礎太差而導致學習困難，到最后完全失去了對學習的興

趣和信心，從而使學習徹底失敗。

第二，數學是精確的科學。數學是由數字、符號、圖表等組成的十分精確的科

學，其整個計算和推理過程不能有絲毫的差錯。因此，在數學的學習中，一定要小心謹慎，

來不得半點的粗心馬虎。對于平時因不小心而容易出錯的地方更要認真，如去括號、移項等。

實際上，有不少同學就是因為馬虎而在考試中失去了很多分。

第三，數學是培養(yǎng)解題能力的科學。在掌握了基礎知識后，一定要在解題實踐

中培養(yǎng)自己分析問題和解決問題的能力。在解題的過程中，一方面要繼續(xù)鞏固基礎知識，加

深對教材的理解；另一方面要理清解題思路，掌握解題方法，積累解題經驗，探索解題技巧。

只要按照以上數學學科的三個特點來學習高等數學，認真對待預習、聽課、作

業(yè)、復習等各個環(huán)節(jié)，再加上自己的不懈的努力，就一定能學好高等數學

供稿：呂志

導數在實際問題中的應用

近幾年來導數的實際應用題在高考試卷中已經出現,并旦新教材中導數的實際應用體的

比重也有所增加，因此應更加重是這方面的學習。現在，我們研究幾個導數在經濟生活中的

實際問題。

1有甲、乙兩個工廠，甲廠位于一直線河岸的岸邊A處，乙廠與甲廠在河的的兩側,

乙廠位于離河岸40km的B處，乙廠到河岸的垂足D與A相距50km,兩廠要在此岸邊合建

一個供水站C,從供水站到甲廠和乙廠的水管費用分別為3a元和5a元，問供水站C建在何

處才能使水管費用最?。?/p>

分析：根據題設建立數學模型，借助圖像尋找個條件間的K

聯系，適當設定變元，構造相應的函數關系，通過求導和其他/B

方法求出最值，可確定C點的位置。/

解法一:據題意知,只有點C在線段AD上某一適當位置，/

才能能使總運費最省，設C點距D點xkm,如圖所示，則BD=40,/

AC=50-x,BC=ylBD2+CD2=7%2+402,4C

又設總的水管費用為y元，由題意得

y=3?(50-x)+5ay/x2+402(0<x<50),

y=一3。+—I”戈—令y，=o,解得x=30.在(0,50)±,y只有一個極值點，根據實

Vx2+402

際意義，函數在x=30(km)處取得最小值，此時AC=50-x=20(km),所以供水站建立在A、D之

間距甲廠20間距甲廠20km處，可是水管費用最省。

解法二：設則BC=^-,CD=40-cot/o<e<X],

sin6I2)

二AC=50—40cot。。設總的水管費用為了(。)，

依題意，有/(。)=3a(50-40cot6)+5a￡5-3cos。

150a+40a-

sin。

(5-3cos^)-sin^-(5-3cos^)-(cos^)._3-5cos6

f'(0)=40a-=40a----；——

sin20sin2^

令/'(9)=0,得cose=1。根據問題的實際意義，當cos。1時，函數取得最小值，此時

43

sin。=—,/.cot。=—,AC-50-40-cot=20(km),即供水站建在即供水站建在A、

54

D之間距甲廠20km處，可是供水管費用最省。

評注：解決實際問題的關鍵在于建立數學模型和目標函數，把“問題情境”譯為數學語

言，找出問題的主要關系，并把問題的主要關系抽象成數學問題，在數學領域尋找適當的方

法解決，再返回到實際問題中加以說明。

2.生產某種電子元件，如果生產一件正品，可獲利200元，如果生產一件次品則損失

100元，已知該廠制造電子元件過程中，次品率p與日產與日產量x的函數關系是

3x

PxeN\

4x+32'>

（1）將該產品的日盈利額T（元）表示為日產量x的函數。

（2）為獲最大利潤，該廠的日產量應定為多少件？

分析：次品率p=H產次品數/日產量。每天生產x件，次品數為xp,正品數為正品數為

x（l-p）。

3V3x

解：因為次品率P=，當每天生產X件時?，有X?—I件次品，有

4x+324%+32

件正品，所以T=200x(l——3r

/一上-100%....-

I4x+32{4x+324x+32

(%+32)(%-6)-

----—----o由7'=0,得x=16,或x=-32(舍去)o

當0<x<16時，T'>0;x>0時丁'<0.所以，當x=16時，T最大。及該廠的日產量

為6件時，能獲得最大盈利。

3.若電燈（B）可在過桌面上，點。的垂線上移動，桌面上由與點。距離為a的另一

點A,問電燈與點O的距離為多大時，可使點A出有最大的亮度？（如圖，有光學知識，

亮度y與sine成正比，與戶成反比）

解：設。到B的距離為x,則sin6=￥,r=Jx2+a2于是