專題25 解三角形的綜合應(yīng)用-2021年新高考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)考點(diǎn)一輪復(fù)習(xí)

專題25解三角形的綜合應(yīng)用【考點(diǎn)總結(jié)】1．仰角和俯角在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角(如圖①)．2．方位角從指北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如B點(diǎn)的方位角為α(如圖②)．3．方向角相對(duì)于某一正方向的水平角．(1)北偏東α，即由指北方向順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α到達(dá)目標(biāo)方向(如圖③)．(2)北偏西α，即由指北方向逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α到達(dá)目標(biāo)方向．(3)南偏西等其他方向角類似．4．坡角與坡度(1)坡角：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)(如圖④，角θ為坡角)．(2)坡度：坡面的鉛直高度與水平長(zhǎng)度之比(如圖④，i為坡度)．坡度又稱為坡比．常用結(jié)論測(cè)量中的幾種常見(jiàn)問(wèn)題求AB圖形需要測(cè)量的元素解法求豎直高度底部可達(dá)∠ACB＝αBC＝a解直角三角形AB＝atanα底部不可達(dá)∠ACB＝α∠ADB＝βCD＝a解兩個(gè)直角三角形AB＝eq\f(atanαtanβ,tanβ－tanα)求水平距離山兩側(cè)∠ACB＝αAC＝bBC＝a用余弦定理AB＝eq\r(a2＋b2－2abcosα)河兩岸∠ACB＝α∠ABC＝βCB＝a用正弦定理AB＝eq\f(asinα,sin（α＋β）)河對(duì)岸∠ADC＝α∠BDC＝β∠BCD＝δ∠ACD＝γCD＝a在△ADC中，AC＝eq\f(asinα,sin（α＋γ）)在△BDC中，BC＝eq\f(asinβ,sin（β＋δ）)在△ABC中，應(yīng)用余弦定理求AB【易錯(cuò)總結(jié)】(1)方向角與方位角概念不清；(2)仰角、俯角概念不清；(3)不能將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解三角形問(wèn)題．例1.如圖所示，已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于akm，燈塔A在觀察站C的北偏東20°的方向上，燈塔B在觀察站C的南偏東40°的方向上，則燈塔A相對(duì)于燈塔B的方向?yàn)?)A．北偏西5° B．北偏西10°C．北偏西15° D．北偏西20°解析：選B.易知∠B＝∠A＝30°，C在B的北偏西40°的方向上，又40°－30°＝10°，故燈塔A相對(duì)于燈塔B的方向?yàn)楸逼?0°.例2．在某次測(cè)量中，在A處測(cè)得同一半平面方向的B點(diǎn)的仰角是60°，C點(diǎn)的俯角為70°，則∠BAC＝________答案：130°例3．江岸邊有一炮臺(tái)高30m，江中有兩條船，船與炮臺(tái)底部在同一水平面上，在炮臺(tái)頂部測(cè)得兩條船的俯角分別為45°和60°，而且兩條船與炮臺(tái)底部所連的線成30°角，則兩條船相距________m.解析：由題意畫(huà)示意圖，如圖，OM＝AOtan45°＝30(m)，ON＝AOtan30°＝eq\f(\r(3),3)×30＝10eq\r(3)(m)，在△MON中，由余弦定理得，MN＝eq\r(900＋300－2×30×10\r(3)×\f(\r(3),2))＝eq\r(300)＝10eq\r(3)(m)．答案：10eq\r(3)【考點(diǎn)解析】【考點(diǎn)】一、求距離、高度問(wèn)題例1、(1)(2020·福建寧德5月質(zhì)檢)海洋藍(lán)洞是地球罕見(jiàn)的自然地理現(xiàn)象，被譽(yù)為“地球給人類保留宇宙秘密的最后遺產(chǎn)”，我國(guó)擁有世界上已知最深的海洋藍(lán)洞．若要測(cè)量如圖所示的海洋藍(lán)洞的口徑(即A，B兩點(diǎn)間的距離)，現(xiàn)取兩點(diǎn)C，D，測(cè)得CD＝80，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，則圖中海洋藍(lán)洞的口徑為_(kāi)_______．(2)(2020·吉林長(zhǎng)春質(zhì)量監(jiān)測(cè)(四))《海島算經(jīng)》是中國(guó)學(xué)者劉徽編撰的一部測(cè)量數(shù)學(xué)著作，現(xiàn)有取自其中的一個(gè)問(wèn)題：今有望海島，立兩表，齊高三丈，前后相去千步，令后表與前表參相直，從前表卻行一百二十三步，人目著地，取望島峰，與表末參合，從后表卻行一百二十七步，人目著地，取望島峰，亦與表末參合，問(wèn)島高幾何？其大意為：如圖所示，立兩個(gè)三丈高的標(biāo)桿BC和DE，兩標(biāo)桿之間的距離BD＝1000步，兩標(biāo)桿的底端與海島的底端H在同一直線上，從前面的標(biāo)桿B處后退123步，人眼貼地面，從地上F處仰望島峰，A，C，F(xiàn)三點(diǎn)共線，從后面的標(biāo)桿D處后退127步，人眼貼地面，從地上G處仰望島峰，A，E，G三點(diǎn)也共線，則海島的高為_(kāi)_____步．(注：1步＝6尺，1里＝180丈＝1800尺＝300步)【解析】(1)由已知得，在△ACD中，∠ACD＝15°，∠ADC＝150°，所以∠DAC＝15°，由正弦定理得AC＝eq\f(80sin150°,sin15°)＝eq\f(40,\f(\r(6)－\r(2),4))＝40(eq\r(6)＋eq\r(2))．在△BCD中，∠BDC＝15°，∠BCD＝135°，所以∠DBC＝30°，由正弦定理eq\f(CD,sin∠CBD)＝eq\f(BC,sin∠BDC)，得BC＝eq\f(CDsin∠BDC,sin∠CBD)＝eq\f(80×sin15°,\f(1,2))＝160sin15°＝40(eq\r(6)－eq\r(2))．在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝1600×(8＋4eq\r(3))＋1600×(8－4eq\r(3))＋2×1600×(eq\r(6)＋eq\r(2))×(eq\r(6)－eq\r(2))×eq\f(1,2)＝1600×16＋1600×4＝1600×20＝32000，解得AB＝80eq\r(5).故圖中海洋藍(lán)洞的口徑為80eq\r(5).(2)因?yàn)锳H∥BC，所以△BCF∽△HAF，所以eq\f(BF,HF)＝eq\f(BC,AH).因?yàn)锳H∥DE，所以△DEG∽△HAG，所以eq\f(DG,HG)＝eq\f(DE,AH).又BC＝DE，所以eq\f(BF,HF)＝eq\f(DG,HG)，即eq\f(123,123＋HB)＝eq\f(127,127＋1000＋HB)，所以HB＝30750步，又eq\f(BF,HF)＝eq\f(BC,AH)，所以AH＝eq\f(5×（30750＋123）,123)＝1255(步)．【答案】(1)80eq\r(5)(2)1255求距離、角度問(wèn)題的注意事項(xiàng)(1)選定或確定要?jiǎng)?chuàng)建的三角形，首先確定所求量所在的三角形，若其他量已知?jiǎng)t直接求解；若有未知量，則把未知量放在另一確定三角形中求解．(2)確定用正弦定理還是余弦定理，如果都可以用，就選擇更便于計(jì)算的定理．【變式】1.如圖，為了測(cè)量?jī)勺椒迳螾，Q兩點(diǎn)之間的距離，選擇山坡上一段長(zhǎng)度為300eq\r(3)m且和P，Q兩點(diǎn)在同一平面內(nèi)的路段AB的兩個(gè)端點(diǎn)作為觀測(cè)點(diǎn)，現(xiàn)測(cè)得∠PAB＝90°，∠PAQ＝∠PBA＝∠PBQ＝60°，則P，Q兩點(diǎn)間的距離為_(kāi)_______m.解析：由已知，得∠QAB＝∠PAB－∠PAQ＝30°.又∠PBA＝∠PBQ＝60°，所以∠AQB＝30°，所以AB＝BQ.又PB為公共邊，所以△PAB≌△PQB，所以PQ＝PA.在Rt△PAB中，AP＝AB·tan60°＝900，故PQ＝900，所以P，Q兩點(diǎn)間的距離為900m.答案：900【變式】2．為了測(cè)量某新建的信號(hào)發(fā)射塔AB的高度，先取與發(fā)射塔底部B的同一水平面內(nèi)的兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)C，D，測(cè)得∠BDC＝60°，∠BCD＝75°，CD＝40m，并在點(diǎn)C的正上方E處觀測(cè)發(fā)射塔頂部A的仰角為30°，且CE＝1m，則發(fā)射塔高AB＝________m.解析：如圖，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB，垂足為F，則EF＝BC，BF＝CE＝1，∠AEF＝30°.在△BCD中，由正弦定理得，BC＝eq\f(CD·sin∠BDC,sin∠CBD)＝eq\f(40·sin60°,sin45°)＝20eq\r(6).所以EF＝20eq\r(6)，在Rt△AFE中，AF＝EF·tan∠AEF＝20eq\r(6)×eq\f(\r(3),3)＝20eq\r(2)，所以AB＝AF＋BF＝20eq\r(2)＋1(m)．答案：20eq\r(2)＋1【考點(diǎn)】二、測(cè)量角度問(wèn)題例、在一次海上聯(lián)合作戰(zhàn)演習(xí)中，紅方一艘偵察艇發(fā)現(xiàn)在北偏東45°方向，相距12nmile的水面上，有藍(lán)方一艘小艇正以每小時(shí)10nmile的速度沿南偏東75°方向前進(jìn)，若紅方偵察艇以每小時(shí)14nmile的速度，沿北偏東45°＋α方向攔截藍(lán)方的小艇，若要在最短的時(shí)間內(nèi)攔截住，求紅方偵察艇所需的時(shí)間和角α的正弦值．【解】如圖，設(shè)紅方偵察艇經(jīng)過(guò)x小時(shí)后在C處追上藍(lán)方的小艇，則AC＝14x，BC＝10x，∠ABC＝120°.根據(jù)余弦定理得(14x)2＝122＋(10x)2－240xcos120°，解得x＝2.故AC＝28，BC＝20.根據(jù)正弦定理得eq\f(BC,sinα)＝eq\f(AC,sin120°)，解得sinα＝eq\f(20sin120°,28)＝eq\f(5\r(3),14).所以紅方偵察艇所需要的時(shí)間為2小時(shí)，角α的正弦值為eq\f(5\r(3),14).測(cè)量角度問(wèn)題的基本思路測(cè)量角度問(wèn)題的關(guān)鍵是在弄清題意的基礎(chǔ)上，畫(huà)出表示實(shí)際問(wèn)題的圖形，并在圖形中標(biāo)出有關(guān)的角和距離，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后將解得的結(jié)果轉(zhuǎn)化為實(shí)際問(wèn)題的解．[提醒]方向角是相對(duì)于某點(diǎn)而言的，因此在確定方向角時(shí)，必須先弄清楚是哪一個(gè)點(diǎn)的方向角．【變式】已知在島A南偏西38°方向，距島A3海里的B處有一艘緝私艇．島A處的一艘走私船正以10海里/小時(shí)的速度向島北偏西22°方向行駛，問(wèn)緝私艇朝何方向以多大速度行駛，恰好用0.5小時(shí)能截住該走私船？eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(參考數(shù)據(jù)：sin38°≈\f(5\r(3),14)，sin22°≈\f(3\r(3),14)))解：如圖，設(shè)緝私艇在C處截住走私船，D為島A正南方向上一點(diǎn)，緝私艇的速度為每小時(shí)x海里，則BC＝0.5x，AC＝5，依題意，∠BAC＝180°－38°－22°＝120°，由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos120°，所以BC2＝49，所以BC＝0.5x＝7，解得x＝14.又由正弦定理得sin∠ABC＝eq\f(AC·sin∠BAC,BC)＝eq\f(5×\f(\r(3),2),7)＝eq\f(5\r(3),14)，所以∠ABC＝38°，又∠BAD＝38°，所以BC∥AD，故緝私艇以每小時(shí)14海里的速度向正北方向行駛，恰好用0.5小時(shí)截住該走私船．【考點(diǎn)】三、求解幾何計(jì)算問(wèn)題例1、(2020·湖南衡陽(yáng)第三次聯(lián)考)如圖，在平面四邊形ABCD中，0<∠DAB<eq\f(π,2)，AD＝2，AB＝3，△ABD的面積為eq\f(3\r(3),2)，AB⊥BC.(1)求sin∠ABD的值；(2)若∠BCD＝eq\f(2π,3)，求BC的長(zhǎng)．【解】(1)因?yàn)椤鰽BD的面積S＝eq\f(1,2)AD×ABsin∠DAB＝eq\f(1,2)×2×3sin∠DAB＝eq\f(3\r(3),2)，所以sin∠DAB＝eq\f(\r(3),2).又0<∠DAB<eq\f(π,2)，所以∠DAB＝eq\f(π,3)，所以cos∠DAB＝coseq\f(π,3)＝eq\f(1,2).由余弦定理得BD＝eq\r(AD2＋AB2－2AD·ABcos∠DAB)＝eq\r(7)，由正弦定理得sin∠ABD＝eq\f(ADsin∠DAB,BD)＝eq\f(\r(21),7).(2)法一：因?yàn)锳B⊥BC，所以∠ABC＝eq\f(π,2)，sin∠DBC＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－∠ABD))＝cos∠ABD＝eq\r(1－sin2∠ABD)＝eq\f(2\r(7),7).在△BCD中，由正弦定理eq\f(CD,sin∠DBC)＝eq\f(BD,sin∠DCB)可得CD＝eq\f(BDsin∠DBC,sin∠DCB)＝eq\f(4\r(3),3).由余弦定理DC2＋BC2－2DC·BCcos∠DCB＝BD2，可得3BC2＋4eq\r(3)BC－5＝0，解得BC＝eq\f(\r(3),3)或BC＝－eq\f(5\r(3),3)(舍去)．故BC的長(zhǎng)為eq\f(\r(3),3).法二：因?yàn)锳B⊥BC，所以∠ABC＝eq\f(π,2)，sin∠DBC＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－∠ABD))＝cos∠ABD＝eq\r(1－sin2∠ABD)＝eq\f(2\r(7),7).cos∠DBC＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－∠ABD))＝sin∠ABD＝eq\f(\r(21),7).sin∠BDC＝sin(π－∠BCD－∠DBC)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－∠DBC))＝eq\f(\r(3),2)cos∠DBC－eq\f(1,2)sin∠DBC＝eq\f(\r(7),14).在△BCD中，由正弦定理eq\f(BC,sin∠BDC)＝eq\f(BD,sin∠BCD)，可得BC＝eq\f(BDsin∠BDC,sin∠BCD)＝eq\f(\r(7)×\f(\r(7),14),\f(\r(3),2))＝eq\f(\r(3),3).求解該題第(2)問(wèn)時(shí)易出現(xiàn)的問(wèn)題是不能靈活利用“AB⊥BC”，將已知條件和第(1)問(wèn)中所求值轉(zhuǎn)化為△BCD內(nèi)的邊角關(guān)系．解決平面圖形中的計(jì)算問(wèn)題時(shí)，學(xué)會(huì)對(duì)條件進(jìn)行分類與轉(zhuǎn)化是非常重要的，一般來(lái)說(shuō)，盡可能將條件轉(zhuǎn)化到三角形中，這樣就可以根據(jù)條件類型選用相應(yīng)的定理求解．如該題中，把條件轉(zhuǎn)化到△BCD中后，利用正弦定理和余弦定理就可以求出BC的長(zhǎng)．【變式】如圖，在平面四邊形ABCD中，∠ABC為銳角，AD⊥BD，AC平分∠BAD，BC＝2eq\r(3)，BD＝3＋eq\r(6)，△BCD的面積S＝eq\f(3（\r(2)＋\r(3)）,2).(1)求CD；(2)求∠ABC.解：(1)在△BCD中，S＝eq\f(1,2)BD·BC·sin∠CBD＝eq\f(3（\r(2)＋\r(3)）,2)，因?yàn)锽C＝2eq\r(3)，BD＝3＋eq\r(6)，所以sin∠CBD＝eq\f(1,2).因?yàn)椤螦BC為銳角，所以∠CBD＝30°.在△BCD中，由余弦定理得CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cos∠CBD＝(2eq\r(3))2＋(3＋eq\r(6))2－2×2eq\r(3)×(3＋eq\r(6))×eq\f(\r(3),2)＝9.所以CD＝3.(2)在△BCD中，由正弦定理得eq\f(BC,sin∠BDC)＝eq\f(CD,sin∠CBD)，即eq\f(2\r(3),sin∠BDC)＝eq\f(3,sin30°)，解得sin∠BDC＝eq\f(\r(3),3)，因?yàn)锽C<BD，所以∠BDC為銳角，所以cos∠BDC＝eq\f(\r(6),3).在△ACD中，由正弦定理得eq\f(AC,sin∠ADC)＝eq\f(CD,sin∠CAD)，即eq\f(AC,cos∠BDC)＝eq\f(3,sin∠CAD).①在△ABC中，由正弦定理得eq\f(AC,sin∠ABC)＝eq\f(BC,sin∠BAC)，即eq\f(AC,sin∠ABC)＝eq\f(2\r(3),sin∠BAC).②因?yàn)锳C平分∠BAD，所以∠CAD＝∠BAC.由①②得eq\f(sin∠ABC,cos∠BDC)＝eq\f(3,2\r(3))，解得sin∠ABC＝eq\f(\r(2),2).因?yàn)椤螦BC為銳角，所以∠ABC＝45°.【考點(diǎn)】四、余弦定理與其他知識(shí)的融合例1、(2020·山東德州3月模擬)已知函數(shù)f(x)＝4sinxcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6))).(1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(A,2)))＝1，a＝2，求△ABC面積的最大值．【解】(1)函數(shù)f(x)＝4sinxcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))＝4sinx·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)cosx＋\f(1,2)sinx))＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),4)sin2x＋\f(1,2)·\f(1－cos2x,2)))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))＋1.令2kπ－eq\f(π,2)≤2x－eq\f(π,6)≤2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，求得kπ－eq\f(π,6)≤x≤kπ＋eq\f(π,3)，k∈Z，可得函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,6)，kπ＋\f(π,3)))，k∈Z.(2)在△ABC中，因?yàn)閒eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(A,2)))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A－\f(π,6)))＋1＝1，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A－\f(π,6)))＝0，又0<A<π，所以A＝eq\f(π,6).所以△ABC的面積為eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(bc,4).因?yàn)閍＝2，所以由余弦定理可得a2＝4＝b2＋c2－eq\r(3)bc≥2bc－eq