第07講 不等式的恒成立與有解（含解析）-【提高班精講課】2021-2022學(xué)年高一數(shù)學(xué)重點專題18講（滬教版2020必修第一冊上海專用）

第7講不等式的恒成立與有解第7講不等式的恒成立與有解題型與方法梳理 在整個高中，有一類?？嫉木C合題型，即為不等式的恒成立（或有解）問題，其常見形式為：（1）對任意的恒成立或有解，求其中參數(shù)的取值范圍；（2）對任意的恒成立或有解，求其中參數(shù)的取值范圍；恒成立的等價形式還有：對任意的不等式都成立、不等式解集為等；有解的等價形式還有：存在使得不等式成立、不等式能成立、不等式的解集不為空等.【示例】（2017·上海格致中學(xué)高一月考）★★★☆☆已知關(guān)于不等式.若存在，該不等式能成立，求實數(shù)的取值范圍.方法一：分離參變量時，能成立，即有解； ，所以，所以有解，即；令，則且，則，又在時嚴(yán)格遞減，所以，所以的最大值為，所以的取值范圍是. 方法二：二次函數(shù)的圖像當(dāng)，該不等式能成立，即在有解，設(shè)，二次函數(shù)的圖像開口向上，對稱軸為直線.①當(dāng)時，則有，即，解得或，不合乎題意；②當(dāng)時，二次函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，解得，此時，；③當(dāng)時，二次函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，由于，此時，不合乎題意.綜上所述，實數(shù)的取值范圍為.方法三：函數(shù)圖像變換法時，能成立，即有解，令，，，則原題可轉(zhuǎn)化為同一直角坐標(biāo)系內(nèi)，存在，的圖像在的圖像上方.的圖像是一條過定點的線段（不含端點），斜率為，變化時，的斜率發(fā)生變化.根據(jù)圖像的變化可知，應(yīng)使得，即符合題意.上面用得到的三種辦法，也是解決不等式恒成立與有解問題的常用辦法，可以根據(jù)不同的題目靈活使用.方法1：分離參變量<分離轉(zhuǎn)化求最值>使用場景：若在不等式中出現(xiàn)兩個變量，其中一個變量的范圍已知，另一個變量的范圍為所求，且容易通過恒等變形將兩個變量分別置于不等號的兩邊，則可將恒成立（或有解）問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)（或表達式）的最值問題求解.轉(zhuǎn)化為求最值問題后，當(dāng)前常見的求最值方法，有二次函數(shù)的區(qū)間最值、應(yīng)用基本不等式（平均值不等式、三角不等式）、應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性求最值等.求解步驟：（1）分離：將參數(shù)與變量分離，即化為（或）恒成立的形式；（2）轉(zhuǎn)化：（或）恒成立轉(zhuǎn)化為（或）； （或）恒成立轉(zhuǎn)化為（或）；（3）求最值：根據(jù)第2步的轉(zhuǎn)化，求在上的最大（或最?。┲?；（4）如需要，解不等式(或)，得的取值范圍.【例1】（2020·上海市楊浦高級中學(xué)高一期末）★★★★☆已知不等式，若對于任意，該不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）.A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：由題意可知：不等式對于恒成立，即：，對于恒成立，即：，對于恒成立，令，結(jié)合圖形可知的取值范圍是，則，在，上恒成立，，，當(dāng)時，，.故選：B.【例2】（2018·上海市金山中學(xué)高一月考）★★★★☆已知不等式對一切正數(shù)恒成立,則實數(shù)的取值范圍是_____.【答案】【詳解】由且有,又,當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”.故.故答案為：.【例3】（2017·上海市七寶中學(xué)高三開學(xué)考試）★★★☆☆對所有的，不等式恒成立，實數(shù)的取值范圍是____________.【答案】【詳解】，因為對所有的，不等式恒成立，所以，即，解得或.故答案為：【例4】（2020·上海市進才中學(xué)高三期中）★★★★☆已知，其中.若在時恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】.【詳解】根據(jù)題意得，在時恒成立，即在時恒成立，即在時恒成立，即在時恒成立即∵在，單調(diào)遞增，∴，∴，∴實數(shù)的取值范圍是．【練習(xí)】（2019·上海市進才中學(xué)高三期中）設(shè)正數(shù)，滿足恒成立，則的最小值是______.【答案】【詳解】由已知，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，，.，.

方法2：二次函數(shù)圖像法<討論圖像看系數(shù)>使用場景：對形如（或）在其定義域上的不等式恒成立問題，若滿足二次函數(shù)形式，那不妨將題轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)在其定義域上的圖像在坐標(biāo)系中與軸的高低比較. 一般來講，（或）在上的恒成立（或有解）問題，可以利用二次項系數(shù)及判別式進行討論；（或）在（）上的恒成立（或有解）問題，但無法分離參變量的，也轉(zhuǎn)化為討論二次函數(shù)的圖像.【例5】（2020·上海市嘉定區(qū)第一中學(xué)高一月考）★★★☆☆已知函數(shù)的定義域為R，則實數(shù)k的取值范圍是__________．【答案】【詳解】由題意可知，kx2﹣kx+1＞0恒成立，當(dāng)k＝0時，1＞0恒成立，當(dāng)k≠0時，，解可得，0＜k＜4，綜上可得，k的范圍.故答案為：.【例6】（2018·上海市市北中學(xué)高三月考）★★★☆☆若不等式對于一切恒成立，則實數(shù)的最大值為__________．【答案】2【解析】，考慮二次函數(shù)圖像或得.【練習(xí)】（2017·上海交大附中高一期中）★★★☆☆關(guān)于的不等式的解集不為空集，則的取值范圍為________.【答案】或【詳解】因為關(guān)于的不等式的解集不為空集,所以關(guān)于的不等式有解,當(dāng)時,不等式化為無解;當(dāng)時,二次函數(shù)的開口向下,關(guān)于的不等式恒有解;當(dāng)時,二次函數(shù)的開口向上,由關(guān)于的不等式有解,可得判別式大于0,即,化簡得,解得或,又,所以.故實數(shù)的取值范圍是或.故答案為:或.

方法3：函數(shù)圖像變換法<變形畫圖找臨界>使用場景：（1）客觀題；（2）可通過恒等變形將不等式兩邊轉(zhuǎn)化為圖像已知的函數(shù)形式：一邊不含參數(shù)，函數(shù)圖像固定，另一邊含有參數(shù)，函數(shù)圖像會根據(jù)參數(shù)發(fā)生平移或伸縮變換.則可將恒成立問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)的圖像變化問題.解題步驟：（1）變形：恒等變形將不等式兩邊化為圖像易畫的函數(shù)，即化為（或）恒成立的形式；（與僅有其一含參）（2）畫圖：畫出兩個函數(shù)的圖像，含有參數(shù)的函數(shù)根據(jù)參數(shù)進行變換；（3）找臨界：變換圖像，根據(jù)臨界情況判斷符合題設(shè)的情況，求對應(yīng)參數(shù)的取值范圍.恒成立轉(zhuǎn)化為的圖像恒在圖像的上方（可接觸）；恒成立轉(zhuǎn)化為的圖像恒在圖像的上方（不可接觸）；有解轉(zhuǎn)化為存在使得的圖像在圖像的上方；小于的情況同理.【例7】（2019·上海市七寶中學(xué)高一期中）★★★★☆已知不等式對任意恒成立，則實數(shù)的取值范圍是___________.【答案】【詳解】在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),畫出函數(shù)的圖像,畫出函數(shù)圖像的示意圖,如下圖所示：向右平移函數(shù)圖像的過程中可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)從左到右平移到與橫軸的交點為時，要想不等式對任意恒成立,即滿足；再繼續(xù)往右平移時，當(dāng)函數(shù)圖像的左側(cè)經(jīng)過點時,此時,顯然當(dāng)時,不等式對任意恒成立,綜上所述：實數(shù)的取值范圍是.故答案為：【練習(xí)】（編者精選）★★★★☆已知函數(shù)，若在上恒成立，則實數(shù)的取值范圍為_______.【答案】【詳解】即.分類討論,當(dāng)時,分別作出和的圖像,如圖所示:由圖可知,若使均滿足,只需保證,解得:同理,當(dāng)時,需保證,解得:.綜上,的取值范圍是.故答案為：

1、（2020·上海中學(xué)高一期中）★★★☆☆若關(guān)于的不等式有解，則實數(shù)的取值范圍為________.【答案】【詳解】不等式有解等價于有解，所以，故或，填.【點睛】本題考查一元二次不等式有解問題，屬于基礎(chǔ)題.2、（2020·上海市南洋模范中學(xué)高一期中）★★★☆☆已知正數(shù)x，y滿足且有解，則實數(shù)m的取值范圍是_