湖北省部分重點(diǎn)中學(xué)2022-2023學(xué)年高一上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（含解析）

湖北省部分重點(diǎn)中學(xué)高一上學(xué)期期末聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題命題人：一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)符合題目要求1.函數(shù)的定義域是(

)A B.C. D.2.已知點(diǎn)在第三象限，則角的終邊位置在()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.設(shè)，，，則的大小關(guān)系為(

)A. B.C. D.4.函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為()A. B. C. D.5.奇函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，則=()A. B.C D.6.函數(shù)的部分圖像大致是()A. B.C. D.7.已知函數(shù)()，若在上有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是()A. B.C. D.8.已知函數(shù)f(x)=|log2(x-1)|,1<x≤3x2-8x+16,x>3，若方程有4個(gè)不同零點(diǎn)，且，則(A.10 B.8 C.6 D.4二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的的0分.9.下列命題為真命題的是(

)A若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則10.下列說法正確的是(

)A.命題的否定為：.B.與同一函數(shù)C.若冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則D.函數(shù)和的圖象關(guān)于直線對(duì)稱11.已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則()A.函數(shù)為奇函數(shù)B.函數(shù)在上單調(diào)遞增C.若，則的最小值為D.函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象12.已知函數(shù)，則下列說法正確的是(

)A.函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)B.關(guān)于x的方程有個(gè)不同的解C.對(duì)于實(shí)數(shù)，不等式恒成立D.當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與x軸圍成的圖形的面積為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13._____________．14.已知函數(shù)的圖象如圖所示.則函數(shù)的解析式為_________.15.以等邊三角形每個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以邊長(zhǎng)為半徑，在另兩個(gè)頂點(diǎn)間作一段弧，三段弧圍成的曲邊三角形就是勒洛三角形.勒洛三角形是由德國(guó)機(jī)械工程專家、機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)家勒洛首先發(fā)現(xiàn)，所以以他的名字命名.一些地方的市政檢修井蓋、方孔轉(zhuǎn)機(jī)等都有應(yīng)用勒洛三角形.如圖，已知某勒洛三角形的一段弧的長(zhǎng)度為，則該勒洛三角形的面積為___________.16.函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且關(guān)于的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為________.四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知角的始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓的交點(diǎn)的坐標(biāo)為，且.(1)求的值；(2)求的值.18.某居民小區(qū)欲在一塊空地上建一面積為的矩形停車場(chǎng)，停車場(chǎng)的四周留有人行通道，設(shè)計(jì)要求停車場(chǎng)外側(cè)南北的人行通道寬3m，東西的人行通道寬4m，如圖所示(圖中單位：m)，問如何設(shè)計(jì)停車場(chǎng)的邊長(zhǎng)，才能使人行通道占地面積最??？最小面積是多少？19.設(shè)函數(shù)．(1)求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值．20.中國(guó)地大物博，大興安嶺的雪花還在飛舞，長(zhǎng)江兩岸的柳枝已經(jīng)發(fā)芽，海南島上盛開著鮮花．燕子每年秋天都要從北方飛向南方過冬，專家發(fā)現(xiàn)，某種兩歲燕子在飛行時(shí)的耗氧量與飛行速度米秒之間滿足關(guān)系：，其中表示燕子耗氧量的單位數(shù)．(1)當(dāng)該燕子的耗氧量為個(gè)單位時(shí)，它的飛行速度大約是多少？(2)若某只兩歲燕子飛行時(shí)的耗氧量變?yōu)樵瓉淼谋?，則它的飛行速度大約增加多少？參考數(shù)據(jù)：，21.已知函數(shù)．(1)若，且函數(shù)有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，解關(guān)于的不等式；(3)若正數(shù)滿足，且對(duì)于任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的值．22.設(shè)函數(shù)(為實(shí)數(shù)).(1)當(dāng)時(shí)，求方程的實(shí)數(shù)解；(2)當(dāng)時(shí)，(ⅰ)存在使不等式成立，求的范圍；(ⅱ)設(shè)函數(shù)若對(duì)任意的總存在使，求實(shí)數(shù)的取值范圍.湖北省部分重點(diǎn)中學(xué)高一上學(xué)期期末聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題命題人：一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)符合題目要求1.函數(shù)的定義域是(

)A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由解析式有意義列不等式求的取值范圍即可.【詳解】因?yàn)橛幸饬x，所以，解不等式可得，所以函數(shù)的定義域是，故選：C.2.已知點(diǎn)在第三象限，則角的終邊位置在()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】由所在的象限有，即可判斷所在的象限.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在第三象限，所以，由，可得角的終邊在第二、四象限，由，可得角的終邊在第二、三象限或軸非正半軸上，所以角終邊位置在第二象限，故選：B.3.設(shè)，，，則的大小關(guān)系為(

)A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性分析和與1和0的關(guān)系，由正切函數(shù)性質(zhì)分析與1和0的關(guān)系，即可得出答案.【詳解】，即，，且，即，由正切函數(shù)性質(zhì)可知，即，故，故選：A.4.函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】判斷函數(shù)的單調(diào)性，計(jì)算區(qū)間端點(diǎn)處函數(shù)值，由局零點(diǎn)存在定理即可判斷答案.【詳解】函數(shù),是單調(diào)遞增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，，故故函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為，故選：B5.奇函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，則=()A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由，可得到函數(shù)的周期是4，利用函數(shù)的周期性和奇偶性，將轉(zhuǎn)化為，代入函數(shù)解析式求解即可.【詳解】解：已知奇函數(shù)滿足，是以4為周期奇函數(shù)，又當(dāng)時(shí)，，，故選：A.6.函數(shù)的部分圖像大致是()A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)基本性質(zhì)及函數(shù)圖像特征分別判斷即可.【詳解】因?yàn)?.所以為奇函數(shù),故選項(xiàng)錯(cuò);,故選項(xiàng)錯(cuò);故選:.7.已知函數(shù)()，若在上有兩個(gè)零點(diǎn)，則取值范圍是()A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】求出的范圍，數(shù)形結(jié)合得到關(guān)于的范圍，求出的取值范圍.【詳解】，，則，故，解得：.故選：A8.已知函數(shù)f(x)=|log2(x-1)|,1<x≤3x2-8x+16,x>3，若方程有4個(gè)不同的零點(diǎn)，且，則A.10 B.8 C.6 D.4【答案】B【解析】【分析】作出f(x)圖像，由圖可知方程的4個(gè)不同的零點(diǎn)為函數(shù)y＝f(x)與函數(shù)y＝m圖像的四個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由圖可知，且.【詳解】作函數(shù)的圖像如圖，有四個(gè)不同的實(shí)根且，可得，且，即為，即有，即為，可得.故選：B.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的的0分.9.下列命題為真命題的是(

)A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】BD【解析】【分析】利用不等式的運(yùn)算法則與性質(zhì)即可求解.【詳解】對(duì)于A：當(dāng)，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：，，故B正確；對(duì)于C：當(dāng)，時(shí)，則，，，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：，，故D正確；故選：BD.10.下列說法正確的是(

)A.命題的否定為：.B.與為同一函數(shù)C.若冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則D.函數(shù)和的圖象關(guān)于直線對(duì)稱【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)全稱量詞的否定是存在量詞，可知A正確；根據(jù)兩個(gè)函數(shù)的定義域不同，可知B不正確；利用待定系數(shù)法求出的解析式，再根據(jù)解析式求出，可知C不正確；根據(jù)函數(shù)與互為反函數(shù)，可知D正確.【詳解】對(duì)于A，命題的否定為：，故A正確；對(duì)于B，與的定義域不同，所以不為同一函數(shù)，故B不正確；對(duì)于C，設(shè)，則，所以，所以，故C不正確；對(duì)于D，函數(shù)與互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故D正確.故選：AD11.已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則()A.函數(shù)為奇函數(shù)B.函數(shù)在上單調(diào)遞增C.若，則的最小值為D.函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象【答案】AC【解析】【分析】利用的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，即可求出的值，從而得出的解析式，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷四個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】因?yàn)榈膱D象關(guān)于直線對(duì)稱，所以，得，，因?yàn)?，所以，所以，?duì)于A：，所以為奇函數(shù)成立，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B：時(shí)，，函數(shù)在上不是單調(diào)函數(shù)；故選項(xiàng)B不正確；對(duì)于C：因?yàn)?，，又因?yàn)椋缘淖钚≈禐榘雮€(gè)周期，即，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D：函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到，故選項(xiàng)D不正確；故選：AC【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用三角函數(shù)對(duì)稱軸求函數(shù)解析式，考查了三角函數(shù)平移變換、三角函數(shù)的周期、單調(diào)性、最值，屬于中檔題12.已知函數(shù)，則下列說法正確的是(

)A.函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)B.關(guān)于x的方程有個(gè)不同的解C.對(duì)于實(shí)數(shù)，不等式恒成立D.當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與x軸圍成的圖形的面積為【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)題意求出函數(shù)的解析式，再畫出函數(shù)的圖象，然后結(jié)合圖象逐個(gè)分析判斷即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，則，，當(dāng)時(shí)，則，，當(dāng)時(shí)，則，，當(dāng)時(shí)，則，，依次類推，可得函數(shù)的解析式，作出函數(shù)的大致圖象如圖所示，對(duì)于A，由，得，令，由圖象可知與的圖象只有3個(gè)交點(diǎn)，所以函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，所以A正確，對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，即，由圖象可知與的圖象只有3個(gè)交點(diǎn)，所以關(guān)于x的方程有3個(gè)不同的解，而當(dāng)時(shí)，，所以B錯(cuò)誤，對(duì)于C，對(duì)于實(shí)數(shù)，不等式恒成立，即恒成立，由圖可知函數(shù)的圖象的每一個(gè)上頂點(diǎn)都在曲線上，所以恒成立，所以C正確，對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，則，此時(shí)函數(shù)的圖象與x軸圍成的圖形的面積為，當(dāng)時(shí)，則，此時(shí)函數(shù)的圖象與x軸圍成的圖形的面積為，當(dāng)時(shí)，則，此時(shí)函數(shù)的圖象與x軸圍成的圖形的面積為，……，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與x軸圍成的圖形的面積為，所以D正確，故選：ACD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13._____________．【答案】【解析】【分析】由于，進(jìn)而結(jié)合誘導(dǎo)公式求解即可.【詳解】由誘導(dǎo)公式可得．故答案為：.14.已知函數(shù)的圖象如圖所示.則函數(shù)的解析式為_________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)最值可求，根據(jù)周期可求，代入特殊值可求.【詳解】由圖可知，，，，，，又，.，當(dāng)時(shí)，，解得.故答案為：.15.以等邊三角形每個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以邊長(zhǎng)為半徑，在另兩個(gè)頂點(diǎn)間作一段弧，三段弧圍成曲邊三角形就是勒洛三角形.勒洛三角形是由德國(guó)機(jī)械工程專家、機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)家勒洛首先發(fā)現(xiàn)，所以以他的名字命名.一些地方的市政檢修井蓋、方孔轉(zhuǎn)機(jī)等都有應(yīng)用勒洛三角形.如圖，已知某勒洛三角形的一段弧的長(zhǎng)度為，則該勒洛三角形的面積為___________.【答案】【解析】【分析】計(jì)算出等邊的邊長(zhǎng)，計(jì)算出由弧與所圍成的弓形的面積，進(jìn)而可求得勒洛三角形的面積.【詳解】設(shè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為，則，解得，所以，由弧與所圍成的弓形的面積為，所以該勒洛三角形的面積.故答案：.16.函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且關(guān)于的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為________.【答案】【解析】【分析】先利用函數(shù)的奇偶性求解實(shí)數(shù)；再利用定義證明函數(shù)的單調(diào)性，利用奇偶性和單調(diào)性將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為分離參數(shù)問題，利用基本不等式以及雙勾函數(shù)的單調(diào)性求解即可.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，由函?shù)為上的奇函數(shù)，可得，即，則實(shí)數(shù)；所以，任取，設(shè)，則，，，則，所以，則函數(shù)為上的增函數(shù)；又函數(shù)為上的奇函數(shù)，所以不等式恒成立，轉(zhuǎn)化為，即對(duì)恒成立，所以對(duì)恒成立，即，令，因，則，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，由雙勾函數(shù)的單調(diào)性知：，函數(shù)單調(diào)遞減，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，所以，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)奇偶性的定義，以及利用奇偶性，單調(diào)性解不等式恒成立問題，利用奇偶性和單調(diào)性將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為分離參數(shù)問題是解決本題的關(guān)鍵.四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知角的始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓的交點(diǎn)的坐標(biāo)為，且.(1)求的值；(2)求的值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)由三角函數(shù)的定義與三角函數(shù)的象限符號(hào)即可求解；(2)由同角三角函數(shù)的關(guān)系即可求解.【小問1詳解】∵角的終邊與單位圓的交點(diǎn)為∴∵∴∴.【小問2詳解】原式又∵∴原式18.某居民小區(qū)欲在一塊空地上建一面積為的矩形停車場(chǎng)，停車場(chǎng)的四周留有人行通道，設(shè)計(jì)要求停車場(chǎng)外側(cè)南北的人行通道寬3m，東西的人行通道寬4m，如圖所示(圖中單位：m)，問如何設(shè)計(jì)停車場(chǎng)的邊長(zhǎng)，才能使人行通道占地面積最小？最小面積是多少？【答案】設(shè)計(jì)矩形停車場(chǎng)南北側(cè)邊長(zhǎng)為30，則其東西側(cè)邊長(zhǎng)為40，人行通道占地面積最小528．【解析】【分析】設(shè)矩形停車場(chǎng)南北側(cè)邊長(zhǎng)為，則其東西側(cè)邊長(zhǎng)為m，人行通道占地面積為，再由基本不等式可得答案.【詳解】設(shè)矩形停車場(chǎng)南北側(cè)邊長(zhǎng)為，則其東西側(cè)邊長(zhǎng)為m，人行通道占地面積為，由均值不等式，得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，，此時(shí)．所以，設(shè)計(jì)矩形停車場(chǎng)南北側(cè)邊長(zhǎng)為30m，則其東西側(cè)邊長(zhǎng)為40m，人行通道占地面積最小528m2．19.設(shè)函數(shù)．(1)求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值．【答案】(1)，(2)最大值為1；最小值為【解析】【分析】(1)代入正弦函數(shù)的周期公式與單調(diào)遞減區(qū)間即可求解；(2)根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與定義域即可求出最大值和最小值.【小問1詳解】由題知，所以函數(shù)的最小正周期，令，得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為．【小問2詳解】因?yàn)椋?，所以?dāng)即時(shí)，有最大值，最大值為1；當(dāng)即時(shí)，有最小值，最小值為.20.中國(guó)地大物博，大興安嶺的雪花還在飛舞，長(zhǎng)江兩岸的柳枝已經(jīng)發(fā)芽，海南島上盛開著鮮花．燕子每年秋天都要從北方飛向南方過冬，專家發(fā)現(xiàn)，某種兩歲燕子在飛行時(shí)的耗氧量與飛行速度米秒之間滿足關(guān)系：，其中表示燕子耗氧量的單位數(shù)．(1)當(dāng)該燕子的耗氧量為個(gè)單位時(shí)，它的飛行速度大約是多少？(2)若某只兩歲燕子飛行時(shí)的耗氧量變?yōu)樵瓉淼谋?，則它的飛行速度大約增加多少？參考數(shù)據(jù)：，【答案】(1)(米/秒)(2)(米/秒)【解析】【分析】(1)由耗氧量和飛行速度的關(guān)系可將表示為對(duì)數(shù)，然后求出即可．(2)記燕子原來的耗氧量為，飛行速度為，現(xiàn)在的耗氧量為，飛行速度為，則可得，然后化為對(duì)數(shù)運(yùn)算即可．【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，即，所以，所以，即它的飛行速度大約是米秒．【小問2詳解】記燕子原來的耗氧量為，飛行速度為，現(xiàn)在的耗氧量為，飛行速度為，則，即，所以，，所以，所以它的飛行速度大約增加米秒．21.已知函數(shù)．(1)若，且函數(shù)有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，解關(guān)于的不等式；(3)若正數(shù)滿足，且對(duì)于任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的值．【答案】(1)；(2)時(shí)；時(shí)；時(shí)；(3)；【解析】【分析】(1)由可得結(jié)果；(2)時(shí)，，分三種情況討論，分別利用一元二次不等式的解法求解即可；(3)時(shí)恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)，即，即，由，可得，則，解不等式即可的結(jié)果．【詳解】(1)時(shí)，，由函數(shù)有零點(diǎn)，可得，即或；(2)時(shí)，，當(dāng)即時(shí)，的解集為，當(dāng)即時(shí)，的解集為，當(dāng)即時(shí)，的解集為；(3)二次函數(shù)開口響上，