橢圓題型歸納（基礎(chǔ)版）解析

橢圓題型歸納（基礎(chǔ)版）題型：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程1、求滿足下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）焦點(diǎn)分別為，，且經(jīng)過點(diǎn)；（2）經(jīng)過點(diǎn)，；（3）經(jīng)過點(diǎn)，且與橢圓有相同的焦點(diǎn)；【解析】（1）因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在y軸上，所以可設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為．方法1：由橢圓的定義知，所以．又，所以，所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)橢圓的一般方程為．將點(diǎn)，代入一般方程，得，解得，，所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（3）設(shè)所求橢圓的方程為，將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入可得，解得舍去．故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為2、方程化簡的結(jié)果是?！驹斀狻俊叻匠?，表示平面內(nèi)到定點(diǎn)、的距離的和是常數(shù)的點(diǎn)的軌跡，∴它的軌跡是以為焦點(diǎn)，長軸，焦距的橢圓；∴；∴橢圓的方程是，即為化簡的結(jié)果．3、已知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，焦距為4，則等于?！驹斀狻拷猓簷E圓的焦點(diǎn)在軸上，，即，且，，，又焦距為4，，得題型：橢圓的定義1、下列說法正確的是（）A．到點(diǎn)的距離之和等于8的點(diǎn)的軌跡是橢圓B．到點(diǎn)的距離之和等于6的點(diǎn)的軌跡是橢圓C．到點(diǎn)的距離之和等于12的點(diǎn)的軌跡是橢圓D．到點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的軌跡是橢圓【解析】對(duì)于選項(xiàng)，，故到點(diǎn)的距離之和等于8的點(diǎn)的軌跡是線段，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)，到點(diǎn)的距離之和等于6的點(diǎn)的軌跡不存在，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)，根據(jù)橢圓的定義，知該軌跡是橢圓，所以該選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)，點(diǎn)的軌跡是線段的垂直平分線，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：C題型：橢圓的幾何性質(zhì)1、已知橢圓C1:x2100+y264=解析：由橢圓C1:x2100+y2642、如圖把橢圓的長軸AB分成8等分,過每個(gè)分點(diǎn)作x軸的垂線交橢圓的上半部分于P1，P2，…，P7七個(gè)點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓的焦點(diǎn),則|P1F|+|P2F|+…+|P7F|=.

【解析】由已知得，如圖，是橢圓的右焦點(diǎn)，由橢圓的對(duì)稱性知，，，又，∴．故答案為35．3、設(shè)AB是橢圓x2a2+y2b2=線,分別交橢圓的上半部分于點(diǎn)P1,P2,…,P99,F1為橢圓的左焦點(diǎn),則|F1A|+|F1P1|+|F1P2|+…+|F1P99|+|F1B|的值是()a a a a解析:由橢圓的定義及其對(duì)稱性可知|F1P1|+|F1P99|=|F1P2|+|F1P98|=…=|F1P49|+|F1P51|=|F1A|+|F1B|=2a,|F1P50|=a,故結(jié)果應(yīng)為50×2a+|F1P50|=101a.3、已知橢圓x23+y22=1左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,上、下頂點(diǎn)分別為B1,B2,則四邊形B1F1B解析:根據(jù)題意,設(shè)四邊形B1F1B2F2的面積為S,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x23+y22=1,其中則c=3-2=1,則F1(1,0),F2(1,0),B1(0,2),B2(0,2),即|OF1|=|OF2|=1,|OB1|=|OB2|=則S=4×S△B1OF1=4×12×|OB1|×|OF1|=24、若點(diǎn)P(a,1)在橢圓eq\f(x2,2)＋eq\f(y2,3)＝1的外部，則a的取值范圍為()解析：由題意知eq\f(a2,2)＋eq\f(1,3)>1，即a2>eq\f(4,3)，解得a>eq\f(2\r(3),3)或a<－eq\f(2\r(3),3).5、在平面直角坐標(biāo)系中，已知頂點(diǎn)和，頂點(diǎn)在橢圓上，則__．【解析】由橢圓方程得：，，．三角形頂點(diǎn)和，頂點(diǎn)在橢圓上，，由正弦定理可知6、已知橢圓的焦距等于，則實(shí)數(shù)的值為?！驹斀狻咳魴E圓的焦點(diǎn)在軸上，則由已知得，得；若橢圓的焦點(diǎn)在軸上，則由已知得，得．綜上，知所求實(shí)數(shù)的值為3或5.7、若橢圓上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和為，則實(shí)數(shù)的值為______，焦點(diǎn)坐標(biāo)為______.【詳解】若，則，得（舍去）；若，則，解得或1（舍去），所以，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故答案為：9；.題型：橢圓的離心率A、簡單求離心率問題1、橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的兩焦點(diǎn)為F1,F2,以解析：如圖,∵△DF1F2為正三角形,N為DF2的中點(diǎn),∴F1N⊥F2N.∵|NF2|=|OF2|=c,∴|NF1|=|F1F2|2-|NF2∴3c+c=2a,∴a=(3+1)c2.2、橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的兩焦點(diǎn)F1,F2,以解析:根據(jù)等腰直角三角形的特征可知a2+a2=4c2,即ca=e=22.3、設(shè)F1,F2分別是橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn),P為直線x=3a2上一點(diǎn),解析：由題意,知∠F2F1P=∠F2PF1=30°,∴∠PF2x=60°.∴|PF2|=2×32a-c=∵|F1F2|=2c,|F1F2|=|PF2|,∴3a2c=2c,∴e=ca4、橢圓的焦點(diǎn)為，是上一點(diǎn)，若，則該橢圓的離心率為?！驹斀狻吭谥?，，設(shè)，則，，又由橢圓定義可知，則離心率求離心率的取值范圍題C、求離心率相同的橢圓方程1、過點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上且與橢圓有相同的離心率的橢圓方程為?！驹斀狻恳?yàn)樗髾E圓與橢圓有相同的離心率，可設(shè)所求橢圓的方程為，又由橢圓過點(diǎn)，代入橢圓的方程，可得，解得，即所求橢圓的方程為，即2、與橢圓有相同離心率且經(jīng)過點(diǎn)的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為________．【詳解】方法一∵，若焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)所求橢圓方程為，則，從而，又，∴m2＝8，n2＝6.∴所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.若焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)橢圓的方程為，則，且，解得，故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故答案為：或3、已知橢圓與橢圓有相同的離心率，且橢圓過點(diǎn)，（1）求橢圓的方程.（2）若直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，求線段的垂直平分線的方程.【詳解】（1）由題意，橢圓的離心率為，∴，∴，∴，∴橢圓方程為；（2）設(shè)，由，得，∴，設(shè)中點(diǎn)為，則，∴．又，∴的垂直平分線方程為，即．題型：橢圓的軌跡方程A、定義法已知B，C是兩個(gè)定點(diǎn)，|BC|＝8，且△ABC的周長等于18.求這個(gè)三角形的頂點(diǎn)A的軌跡方程．解析：以過B，C兩點(diǎn)的直線為x軸，線段BC的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，如圖所示．由|BC|＝8可知點(diǎn)B(－4,0)，C(4,0)．由|AB|＋|AC|＋|BC|＝18，得|AB|＋|AC|＝10>8＝|BC|，因此，點(diǎn)A的軌跡是以B，C為焦點(diǎn)的橢圓，這個(gè)橢圓上的點(diǎn)與兩焦點(diǎn)的距離之和2a＝10，但點(diǎn)A不在x軸上．由a＝5，c＝4，得b2＝a2－c2A的軌跡方程為eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1(y≠0)．2、如果平面上動(dòng)點(diǎn)滿足：，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡的標(biāo)準(zhǔn)方程為______【答案】【詳解】題中所給的方程即：，結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式可得該式的幾何意義即點(diǎn)M到定點(diǎn)的距離與到定點(diǎn)的距離之和為定值10，由于，故該該軌跡方程為橢圓，其中橢圓焦點(diǎn)位于軸上，且，故，據(jù)此可知?jiǎng)狱c(diǎn)的軌跡的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為．B、換元法如圖，設(shè)定點(diǎn)A(6,2)，P是橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1上的動(dòng)點(diǎn)，求線段AP的中點(diǎn)M的軌跡方程．解設(shè)M(x，y)，P(x1，y1)．∵M(jìn)為線段AP的中點(diǎn)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝2x－6，,y1＝2y－2，))又∵eq\f(x\o\al(2,1),25)＋eq\f(y\o\al(2,1),9)＝1，∴點(diǎn)M的軌跡方程為eq\f(x－32,25)＋eq\f(y－12,9)＝eq\f(1,4)C、由圓的相切得到1、已知圓：，定點(diǎn)，動(dòng)圓過點(diǎn)，且與圓相內(nèi)切，那么點(diǎn)的軌跡的方程為________.【詳解】由題意，動(dòng)圓M的半徑為，圓的圓心，半徑，且圓與圓相內(nèi)切，∴，即動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)、的距離之和為定值，且大于，有，，∴根據(jù)橢圓定義知：M的軌跡C為，故答案為：.2、點(diǎn)P(－3,0)是圓C：x2＋y2－6x－55＝0內(nèi)一定點(diǎn)，動(dòng)圓M與已知圓相內(nèi)切且過P點(diǎn)，判斷圓心M的軌跡解析：方程x2＋y2－6x－55＝0化成標(biāo)準(zhǔn)形式為(x－3)2＋y2＝64，圓心為(3,0)，半徑rM與已知圓相內(nèi)切且過P點(diǎn)，所以|MC|＋|MP|＝r＝8，根據(jù)橢圓的定義，動(dòng)點(diǎn)M到兩定點(diǎn)C，P的距離之和為定值8>6＝|CP|，所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是橢圓a=4，c=3，方程為3、已知一動(dòng)圓M與圓C1：(x＋3)2＋y2＝1外切，與圓C2：(x－3)2＋y2＝81內(nèi)切，試求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程．解析：由題意可知C1(－3,0)，r1＝1，C2(3,0)，r2＝9，設(shè)M(x，y)，半徑為R，則|MC1|＝1＋R，|MC2|＝9－R，故|MC1|＋|MC2|＝10，由橢圓定義知，點(diǎn)M的軌跡是一個(gè)以C1，C2為焦點(diǎn)的橢圓，且a＝5，c＝3，故b2＝a2－c2M的軌跡方程為eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1.代數(shù)法1、在△ABC中，B(－6，0)，C(6，0)，直線AB，AC的斜率乘積為，求頂點(diǎn)A的軌跡．【詳解】設(shè)，則，化簡得.所以，頂點(diǎn)A的軌跡是雙曲線(除去與x軸的交點(diǎn))．題型：橢圓焦點(diǎn)所在的位置判斷1、對(duì)于方程，（1）若該方程表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）若該方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（3）若該方程表示橢圓，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．解析：（1）由題意可知，解得，故實(shí)數(shù)m的取值范圍為(2，10)．由題意可知，解得且，故實(shí)數(shù)m的取值范圍為(－6，2)∪(2，10)2、點(diǎn)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的值為________．【詳解】依題意，知橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，∴，且，∴，解得（舍）或，∴.故答案為：3．題型：橢圓焦點(diǎn)三角形的周長問題1、已知F1，F(xiàn)2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上．（1）若點(diǎn)P到焦點(diǎn)F1的距離等于1，求點(diǎn)P到焦點(diǎn)F2的距離，并求出△PF1F2的周長；（2）過F1作直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，求的周長為；（3）若，求點(diǎn)P到焦點(diǎn)F1的距離．（3）在中，由余弦定理可得，即，由橢圓的定義可得，兩式聯(lián)立解得．2、設(shè)，分別是橢圓的左?右點(diǎn)，過的直線與橢圓相交于?兩點(diǎn)，且，，成等差數(shù)列.（1）求的周長.（2）求的長.【詳解】（1）根據(jù)橢圓的定義及題中橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得：的周長為，；成等差數(shù)列，，又；3、已知點(diǎn)，橢圓與直線交于點(diǎn)，，則的周長為?！驹斀狻吭O(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，由題意得與是橢圓的焦點(diǎn)，則直線過橢圓的左焦點(diǎn)，且，所以的周長為題型：橢圓中距離的最值問題1、已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，定點(diǎn)，若點(diǎn)P是橢圓E上的動(dòng)點(diǎn)，則的值的取值范圍?！窘馕觥坑深}意可得，則，故．因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓E上，所以，所以，故，由于，所以2、已知橢圓的右焦點(diǎn)為，為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)，則的最小值為?！驹斀狻吭O(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，則，可得，所以，如圖所示，當(dāng)且僅當(dāng)，，三點(diǎn)共線（點(diǎn)在線段上）時(shí)，此時(shí)取得最小值，又由橢圓，可得且，所以，所以的最小值為1．3、已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為，M為橢圓C上任意一點(diǎn)，N為圓E：上任意一點(diǎn)，則的最小值為___________．【詳解】解：如圖，M為橢圓C上任意一點(diǎn)，N為圓E：上任意一點(diǎn)，則（當(dāng)且僅當(dāng)M、N、E共線時(shí)取等號(hào)），∴，當(dāng)且僅當(dāng)M、N、E、共線時(shí)等號(hào)成立.∵，則，∴的最小值為．故答案為：．4、（1）已知，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)，求的最大值；（2）已知，是橢圓的左焦點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求的最大值和最小值．【詳解】（1）∵，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，∴的最大值為100．（2）設(shè)為橢圓的右焦點(diǎn)，可化為，由已知，得，∴，∴．①當(dāng)時(shí)，有，等號(hào)成立時(shí)，最大，此時(shí)點(diǎn)是射線與橢圓的交點(diǎn)，的最大值是．②當(dāng)時(shí)，有，等號(hào)成立時(shí)，最小，此時(shí)點(diǎn)是射線與橢圓的交點(diǎn)，的最小值是．綜上，可知的最大值為，最小值為．題型：直線與橢圓的位置關(guān)系判斷直線與橢圓的位置關(guān)系1、已知直線l：y＝2x＋m，橢圓C：＋m取何值時(shí)，直線l與橢圓C：（1）有兩個(gè)公共點(diǎn)；（2）有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；（3）沒有公共點(diǎn)．【詳解】直線l的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，得方程組消去y，得9x2＋8mx＋2m2－4＝0①.方程①的判別式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.（1）當(dāng)Δ＞0，即－3＜m＜3時(shí)，方程①有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，可知原方程組有兩組不同的實(shí)數(shù)解．這時(shí)直線l與橢圓C有兩個(gè)公共點(diǎn)．（2）當(dāng)Δ＝0，即m＝±3時(shí)，方程①有兩個(gè)相同的實(shí)數(shù)解，可知原方程組有兩組相同的實(shí)數(shù)解．這時(shí)直線l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)．（3）當(dāng)Δ＜0，即m＜－3或m＞3時(shí)，方程①?zèng)]有實(shí)數(shù)解，可知原方程組沒有實(shí)數(shù)解．這時(shí)直線l與橢圓C沒有公共點(diǎn)．2、若直線和圓沒有交點(diǎn)，則過點(diǎn)的直線與橢圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）【詳解】因?yàn)橹本€和圓沒有交點(diǎn)，所以，即，所以，即點(diǎn)在橢圓內(nèi)，所以過點(diǎn)的直線與橢圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為個(gè)3、已知直線過點(diǎn)，橢圓：，則直線與橢圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）【詳解】因?yàn)?，所以點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，而直線過點(diǎn)，直線與橢圓相交，交點(diǎn)個(gè)數(shù)為24、直線與橢圓的位置關(guān)系是（）【詳解】解：根據(jù)題意得直線過定點(diǎn)，由于點(diǎn)在橢圓內(nèi)，故直線與橢圓的位置關(guān)系是相交關(guān)系.根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系求參數(shù)1、已知橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為、，且點(diǎn)在橢圓上.（1）求的方程；（2）設(shè)是直線上一點(diǎn)，過點(diǎn)作兩條斜率之積為的直線、，且直線、均與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，求的坐標(biāo).【詳解】（1）因?yàn)樵跈E圓上，所以或（舍），所以，橢圓的方程為；（2）如圖，設(shè)，設(shè)、的斜率分別為、，則、的方程為（其中、），由，得，①關(guān)于的方程①的判別式，化簡得，②關(guān)于的方程②有兩個(gè)實(shí)根、分別是切線、的斜率，又，故，解得，所以或.C、橢圓上點(diǎn)到直線的最小最大距離1、已知點(diǎn)是橢圓上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)到直線:的最大距離為?！驹斀狻吭O(shè)直線與橢圓相切，由得，∴，，切線方程為和，與距離較規(guī)遠(yuǎn)的是，∴所求最大距離為．2、已知點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn)，則當(dāng)點(diǎn)P到直線的距離達(dá)到最小值時(shí)，此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為______．【詳解】設(shè)直線：，當(dāng)直線與橢圓相切時(shí)，其中一個(gè)切點(diǎn)到直線的距離最小，故聯(lián)立，整理得，相切時(shí)，易知當(dāng)時(shí)點(diǎn)到直線的距離最小，代入中，解得，代入中，解得，故點(diǎn)坐標(biāo)為.故答案為：.3、已知橢圓＋＝1過點(diǎn)M(2，1)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，平行于OM的直線l在y軸上的截距為m(m≠0)．（1）當(dāng)m＝4時(shí)，判斷直線l與橢圓的位置關(guān)系；（2）當(dāng)m＝4時(shí)，P為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線l距離的最小值．【詳解】(1)由題可知，，當(dāng)m＝4時(shí)，直線l的方程為y＝x＋4，由，整理得x2＋8x＋28＝0.∵Δ＝64－4×28＜0，∴原方程組無解，即直線l和橢圓無交點(diǎn)，此時(shí)直線l和橢圓相離．(2)設(shè)直線a與直線l平行，且直線a與橢圓相切，設(shè)直線a的方程為y＝x＋b，聯(lián)立，整理得x2＋2bx＋2b2－4＝0，∴Δ＝(2b)2－4(2b2－4)＝0，解得b＝±2，∴直線a的方程為y＝xx2y±4=0，所求P到直線l:x2y+8=0的最小距離等于直線l到直線x2y+4=0的距離，此時(shí)d＝＝.4、已知橢圓C：＝1（a＞b＞0）的焦距為，離心率為.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若點(diǎn)A（0，1），點(diǎn)B在橢圓C上，求線段AB長度的最大值.【詳解】（1）依題意，離心率，所以，所以橢圓方程為.（2）設(shè)，則，.由兩點(diǎn)間的距離公式得，所以當(dāng)，時(shí)，的最大值為.5、已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，左、右頂點(diǎn)分別為,過作斜率不為零的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，的周長為，橢圓上一點(diǎn)與連線的斜率之積（點(diǎn)不是左右頂點(diǎn)）.（1）求該橢圓方程；（2）已知定點(diǎn),求橢圓上動(dòng)點(diǎn)N與M點(diǎn)距離的最大值.【詳解】（1）如圖,由的周長為8,得,即.,,設(shè),則.又,得,即,.則橢圓方程為:.（2）設(shè)橢圓上,又,.則當(dāng)時(shí),.即求橢圓上動(dòng)點(diǎn)N與M點(diǎn)距離的最大值為題型：求相交弦的長度A、求相交弦的弦長1、直線x－y＋1＝0被橢圓＋y2＝1所截得的弦長|AB|等于（）【詳解】由得交點(diǎn)為(0,1)，，則|AB|＝＝B、已知弦長求相交弦方程1、已知橢圓(a>b>0)經(jīng)過點(diǎn)A(2,1)，離心率為，過點(diǎn)B(3,0)的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M，N.（1）求橢圓的方程；（2）若|MN|＝，求直線MN的方程．【詳解】（1）由題意，，解得，∴橢圓方程為.（2）由直線MN過點(diǎn)B且與橢圓有兩交點(diǎn)，可設(shè)直線MN方程為y＝k(x－3)，代入橢圓方程,整理得(2k2＋1)x2－12k2x＋18k2－6＝0，且Δ＝24－24k2>0，得k2<1.設(shè)M(x1,y1)，N(x2,y2)，則，，解得，滿足k2<1，∴所求直線方程為．2、已知橢圓，圓的圓心在橢圓上，點(diǎn)到橢圓的右焦點(diǎn)的距離為2，過點(diǎn)作直線交橢圓于?兩點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）若，求直線的方程?！驹斀狻浚?）因?yàn)辄c(diǎn)到橢圓的右焦點(diǎn)的距離為2，所以，所以，又因?yàn)閳A配方得：，所以，因?yàn)閳A心在橢圓上，所以，所以：，，所以橢圓的方程為：；（2）因?yàn)檫^點(diǎn)作直線交橢圓于A，兩點(diǎn)，若直線的斜率不存在，橢圓于上下頂點(diǎn)，此時(shí)，不合題意；故直線的斜率存在，設(shè)為，則直線的方程為，聯(lián)立得，，設(shè)，由韋達(dá)定理得：，，所以，解得：，即，所以直線的方程為；題型：橢圓中的定值問題A、定值題1、已知橢圓的焦距為，且長軸長與短軸長之比為.（1）求橢圓方程；（2）若不與坐標(biāo)軸平行的直線與橢圓相切于點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求直線與直線的斜率之積.【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）設(shè)橢圓的焦距為，則，且，又解得：，所以所求橢圓的方程為.（2）由題意：可設(shè)的方程為(存在且)與橢圓聯(lián)立消去可得由直線與橢圓相切，可設(shè)切點(diǎn)為由判別式，整理得：.解得，因此，直線的斜率為，而直線的斜率為，即直線與直線的斜率之積為.2、已知橢圓：的右焦點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線與橢圓相切，過作，垂足為，求證：為定值.【詳解】（1）解：由題意知，設(shè)橢圓的方程為，可得，解得，，橢圓的方程為；（2）證明：當(dāng)直線過橢圓長軸兩個(gè)頂點(diǎn)時(shí)，與頂點(diǎn)重合，此時(shí)；當(dāng)直線過橢圓短軸兩個(gè)頂點(diǎn)時(shí)，可得；當(dāng)直線不過橢圓頂點(diǎn)時(shí)，設(shè)切線方程為，聯(lián)立，得．由，得．，且，所在直線方程為，聯(lián)立，解得，．故為定值2．3、設(shè)橢圓的離心率為，且與直線相切．（1）求橢圓的方程；（2）若在軸上的截距為的直線與橢圓分別交于、兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且直線、的斜率之和等于，求直線的方程．【詳解】解：（1）由有，，則橢圓方程為，整理為：，聯(lián)立方程，消去得，故有，解得．故所求橢圓方程為：；（2）若直線垂直于軸，則、的斜率都不存在，不合乎題意.設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立，由或，所以，，則，解得，故直線的方程為．4、已知是橢圓不垂直于軸的任意一條弦，是的中點(diǎn)，為橢圓的中心.求證：直線和直線的斜率之積是定值.【詳解】設(shè)，且，則，（1），（2）得：，，.又，，（定值）5、已知橢圓，離心率為，短軸長為．為橢圓的左右頂點(diǎn)，P為橢圓上任一點(diǎn)（不同于），直線分別與直線交于兩點(diǎn)．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若F為橢圓右焦點(diǎn)，試判斷是否為定值，若為定值，求出該值；若不為定值，請(qǐng)說明理由．【詳解】（1），，，橢圓方程為：（2）由（1）可得：，設(shè)，設(shè)，聯(lián)立方程解得：，同理：設(shè)，聯(lián)立方程可得：，，，，，在橢圓上，所以，，，所以為定值B、定點(diǎn)題1、已知是橢圓的左焦點(diǎn)，焦距為，且過點(diǎn).（1）求的方程;（2）過點(diǎn)作兩條互相垂直的直線，若與交于兩點(diǎn)，與交于兩點(diǎn)，記的中點(diǎn)為的中點(diǎn)為，試判斷直線是否過定點(diǎn)，若過點(diǎn)，請(qǐng)求出定點(diǎn)坐標(biāo);若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由.【詳解】（1）由題意可得，解得：或(舍），故橢圓的方程為.（2）由題意知，當(dāng)其中一條的斜率不存在時(shí)，另外一條的斜率為，此時(shí)直線為軸；當(dāng)?shù)男甭识即嬖谇也粸闀r(shí)，設(shè)，設(shè)，聯(lián)立，整理得，，則，所以的中點(diǎn)同理由，可得的中點(diǎn)，則所以直線的方程為化簡得故直線恒過定點(diǎn).綜上，直線過定點(diǎn)2、已知橢圓C：（）的焦距為，且過點(diǎn).（1）求橢圓方程；（2）設(shè)直線l：（）交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)M在直線上，求證：線段的中垂線恒過定點(diǎn)N.【詳解】（1）橢圓過點(diǎn)，即，又，得，所以，，即橢圓方程為；（2）由，得，設(shè)，，則，設(shè)的中點(diǎn)M為，得，即，所以.所以的中垂線方程為，即，故的中垂線恒過點(diǎn).題型：求三角形的面積求面積1、已知橢圓：的離心率為，且過點(diǎn)．（1）求橢圓的方程；（2）斜率為l的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，以為底邊作等腰三角形，頂點(diǎn)為，求△的面積．【詳解】（1）由題意，，解得，故橢圓的方程.（2）令為，則中垂線方程為，聯(lián)立與橢圓方程得：，整理得，若，則，，∴，又在中垂線上，∴，可得，即，，∴，又到的距離，∴.2、一動(dòng)圓過定點(diǎn)，且與定圓相切，（1）求動(dòng)圓圓心的軌跡E的方程．（2）直線l經(jīng)過點(diǎn)A且不與x軸重合，l與軌跡E相交于P、Q兩點(diǎn)，求的面積的最大值．【詳解】（1）設(shè)動(dòng)圓圓心為，半徑為R．定圓C的圓心，半徑為4.點(diǎn)A的圓C內(nèi)．，且，軌跡E是以C、A為焦點(diǎn)，長軸長為4的橢圓，所以橢圓方程為：.（2）設(shè)l的方程為：，代入，得，設(shè)，則，，，，令，則在為增函數(shù)，，即時(shí)，取最大值3.3、已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，若在橢圓上存在點(diǎn)使得，且的面積是2，則該橢圓的長軸長為__________.【詳解】根據(jù)橢圓定義知，由，得為直角三角形，，又的面積為2，，則，，可得，由可得，即，，即.故答案為：.4、如圖所示，已知橢圓的兩焦點(diǎn)分別為，，為橢圓上一點(diǎn)，且．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若點(diǎn)在第二象限，，求的面積．【詳解】（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，焦距為，則由已知得，，所以，所以，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）在中，．由余弦定理，得，即，所以，所以．求面積的最值1、已知橢圓，F(xiàn)1?F2分別為橢圓C的左?右焦點(diǎn)，P為橢圓C上的任一點(diǎn)，且|PF2|的最大值和最小值分別為3和1，過F2的直線為l．（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)直線l與橢圓C交于A?B兩點(diǎn)，求△ABF1的面積的最大值．【詳解】解：（1）由橢圓的性質(zhì)可知，，解得a=2，c=1，b2=a2﹣c2=3，所以橢圓方程為，（2）由題意分析可知直線l的斜率不能為零，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，l的方程為x=my+1，聯(lián)立方程，得(3m2+4)y2+6my﹣9=0，△=36m2+36(3m2+4)>0，∴，，∴所以當(dāng)且僅當(dāng)m=0時(shí)|y1﹣y2|取到最大值3，≤3，即三角形ABF1面積的最大值為3．2、已知橢圓：（）的左、右焦點(diǎn)分別為，，短軸長為，，是上關(guān)于軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，周長的最大值為8.（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）過上的動(dòng)點(diǎn)作的切線，過原點(diǎn)作于點(diǎn).問：是否存在直線，使得的面積為1？若存在，求出此時(shí)直線的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.【詳解】（1）設(shè)與軸的交點(diǎn)為，由題意可知，則，當(dāng)過右焦點(diǎn)時(shí)，的周長取最大值，所以，且，所以橢圓的方程為.（2）不存在直線，使得的面積為1.理由如下.顯然直線斜率存在且不為0，設(shè)直線：，聯(lián)立方程組得，由，得，所以，因?yàn)橹本€，所以直線的方程為，由，得，所以.又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立.因此不存在直線，使得的面積為1.3、已知定點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在橢圓上移動(dòng)時(shí)，求的最大值；【詳解】如圖所示，設(shè)是左焦點(diǎn)，則，，而．∴,當(dāng)點(diǎn)F1在線段AM上時(shí)，等號(hào)成立，即的最大值為．C、已知面積，求直線方程1、已知橢圓：的離心率為，短軸長為2．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，若的面積為（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線的方程．【詳解】（1）由題意可得，解得：故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由題意可知直線的斜率不為0，則設(shè)直線的方程為聯(lián)立，整理得,則，故,因?yàn)榈拿娣e為,所以，設(shè)，則整理得，解得或（舍去），即.故直線的方程為，即.2、如圖，已知圓：，點(diǎn)是圓內(nèi)一個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，線段的垂直平分線和半徑相交于點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）已知經(jīng)過的直線與曲線相交于兩點(diǎn)，當(dāng)面積為，求直線的方程【詳解】（1）依題意可知，，則，所以點(diǎn)的軌跡為以，為焦點(diǎn)，長軸長的橢圓.因?yàn)?，，則，所以曲線的方程為.（2）依題意設(shè)的方程為，代入得.設(shè)，，則，則的面積，解得，即.所以的方程為，即或.D、已知面積，求點(diǎn)的個(gè)數(shù)1、直線：與橢圓相交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上的一點(diǎn)，若三角形的面積為12，則滿足條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為?！驹斀狻坑梢阎傻?，，，由，可得到的距離．作與平行的直線，使與橢圓相切，設(shè)直線的方程為，把的方程代入橢圓方程化簡可得，由△，或，故直線的方程為，或．因?yàn)榕c的距離為，與的距離為．故這樣的點(diǎn)共有2個(gè)2、設(shè)直線l：y＝2x＋2，若l與橢圓的交點(diǎn)為A，B，點(diǎn)P為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則使△PAB的面積為的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為()【詳解】由直線l的方程與橢圓x2+=1的方程組成方程組，解得或，則A（0，2），B（﹣1，0），∴AB==，∵△PAB的面積為﹣1，∴AB邊上的高為h==．設(shè)P的坐標(biāo)為（a，b），代入橢圓方程得：a2+=1，P到直線y=2x+2的距離d==，即2a﹣b=2﹣4或2a﹣b=﹣2；聯(lián)立得：①或②，①中的b消去得：2a2﹣2（﹣2）a+5﹣4=0，∵△=4（﹣2）2﹣4×2×（5﹣4）＞0，∴a有兩個(gè)不相等的根，∴滿足題意的P的坐標(biāo)有2個(gè)；由②消去b得：2a2+2a+1=0，∵△=（2）2﹣4×2×1=0，∴a有兩個(gè)相等的根，滿足題意的P的坐標(biāo)有1個(gè)．綜上，使△PAB面積為﹣1的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為3．題型：求中點(diǎn)弦求中點(diǎn)弦1、以橢圓內(nèi)一點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在的直線方程是。【詳解】設(shè)過點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，則，兩式相減得，因?yàn)?，，，兩邊同時(shí)除以得，得，所以直線方程為，即.2、橢圓C：(的離心率為，是橢圓上一點(diǎn).（1）求橢圓C的方程；（2）為橢圓C的左?右焦點(diǎn)，過焦點(diǎn)的弦中點(diǎn)為，求弦的長.【詳解】(1)橢圓半焦點(diǎn)c，離心率e，依題意有，即，又，聯(lián)立解得，所以橢圓C的方程為；(2)由(1)知，又過的橢圓C的弦中點(diǎn)為，則直線AB斜率為，直線AB：，由消去y得：，即，設(shè)，于是得，而，即，解得，從而得，，所以弦的長為.B、求弦的中點(diǎn)1、直線y＝x＋1被橢圓＋＝1所截得的弦的中點(diǎn)坐標(biāo)是（）解析聯(lián)立消去y，得3x2＋4x－2＝0，設(shè)直線與橢圓交于點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝－，故AB的中點(diǎn)橫坐標(biāo)x0＝＝－.縱坐標(biāo)y0＝x0＋1＝－＋1＝.2、已知橢圓的離心率為，短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為3．（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)直線交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，求線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】（1）因?yàn)闄E圓的離心率為，短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為3，所以，所以，所以橢圓C的方程為設(shè)，由可得，所以，所以線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為C、求斜率1、已知直線交橢圓于，兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)為，則直線的斜率為（）【詳解】設(shè)，因?yàn)槎荚跈E圓上，所以，所以，所以，所以，又因?yàn)椋?，所?、橢圓中，以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率為（）【詳解】解：根據(jù)題意，設(shè)以點(diǎn)為中點(diǎn)弦的兩端點(diǎn)為，，，，則有，兩式相減得可得：，變形可得：，又由點(diǎn)為的中點(diǎn)，則有，，則有，即以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在直線斜率為D、求橢圓的方程1、已知橢圓的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，若的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則橢圓的方程為（）【詳解】設(shè)，則，，則，兩式相減得：，∴===，又==，∴，聯(lián)立，得.∴橢圓方程為.2、已知橢圓的一條準(zhǔn)線方程是，有一條傾斜角為的直線交橢圓于兩點(diǎn)，若的中點(diǎn)為，求橢圓方程.【詳解】設(shè)，則，且①，②，由直線的傾斜角為得直線的斜率為，①②得：，，，③，又，④，而⑤，由③④⑤可得，所求橢圓方程為3、已知橢圓，其右焦點(diǎn)為，直線交橢圓于兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，線段中點(diǎn)為.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)為橢圓上一點(diǎn)，求的最小值及取得最小值時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】（1）設(shè)，，中點(diǎn)為，，由得：，，即.右焦點(diǎn)，，，，橢圓的方程為：.（2）由題意得：.設(shè)，則，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)或.求離心率1、已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，點(diǎn)是橢圓的右焦點(diǎn)，過的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)為，則橢圓的離心率為（）【詳解】設(shè)，，則，，兩式作差整理可得：，，，即，2、已知橢圓的右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為點(diǎn)和點(diǎn)，直線交橢圓于兩點(diǎn)，若恰好為的重心，則橢圓的離心率為（）【詳解】由題設(shè)，則線段的中點(diǎn)為，由三角形重心的性質(zhì)知，即，解得：即代入直線，得①.又B為線段的中點(diǎn)，則，又為橢圓上兩點(diǎn)，，以上兩式相減得，所以，化簡得②由①②及，解得：，即離心率弦中點(diǎn)的軌跡方程1、直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，設(shè)線段的中點(diǎn)為，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方