第4講三角函數(shù)江西省贛州市厚德外國(guó)語學(xué)校2021年強(qiáng)基計(jì)劃拔尖人才選拔培優(yōu)數(shù)學(xué)講義

一．兩角和、差的三角公式：1.正弦：2.余弦：3.正切：二．正弦、余弦的誘導(dǎo)公式：奇變偶不變，符號(hào)看象限。，三．二倍角公式：1.余弦：2.正弦：、（3）正切：四．輔助角公式：?注意：有實(shí)數(shù)解五．半角公式（萬能公式）：,,六．正弦定理：（為三角形外接圓的半徑）七．余弦定理：八．三角形面積公式：三角這一章的特點(diǎn)是公式多，除了高考要求一些基本知識(shí)點(diǎn)和公式之外，自主招生考試中還有一些需要進(jìn)一步拓展的公式及結(jié)論，歸納如下：三倍角公式：，，。?注意：利用三倍角公式可以推導(dǎo)出這一特殊值：令，則，，。顯然，（舍去負(fù)根）。常見三角不等式：1.若，則；2.若，則.3..三．和差化積與積化和差公式：和差化積積化和差四．三角形中的一些三角恒等式：在中，①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩。以上十個(gè)式子中，前六個(gè)式子可由降冪公式、和差化積、積化和差得到。⑦式與⑧式是等價(jià)的，⑨式與⑩式也是等價(jià)的。這里尤其值得一提的是⑦式：。這是一個(gè)非常有用的式子，在自主招生考試中經(jīng)常用到，希望引起足夠的重視。?注意：銳角中，任意一個(gè)角的正弦大于另一個(gè)角的余弦，如。事實(shí)上，由，即得。由此對(duì)任意銳角，總有。五．三角恒等式：1.（2018中科大）2.已知，則答案：【解析】2.(2018清華)18.的值為（D）A.B.C.D.解析：，故選D3.(2017北大自招)4.的值為（B）A.B.C.D.前三個(gè)都不對(duì)解析：，故選B4.(2017北大博雅)5.的值為（B）.A. B. C. D.前三個(gè)答案都不對(duì)解析：（積化和差）故選B。5.(2017北大博雅)18.已知，則的最大值為（A）.A. B. C. D.前三個(gè)答案都不對(duì)解析：切化正弦，代入已知，整理得，所以或或，注意到，所以只能或，即，；選A。6.（2012“卓越聯(lián)盟”）函數(shù)的值域是。?分析與解答：本題的方法很多，現(xiàn)提供如下幾種解法。解法一：。由故，。解法二：令，則，再用判別式法，求得解法三：數(shù)形結(jié)合法。，可看成是圓上的點(diǎn)到的斜率，由解析幾何有關(guān)知識(shí)，可得。如圖。解法四：導(dǎo)數(shù)法。。令。從而有。解法五：，令，則，，故。7.（2012“北約”）求使得在有唯一解的。?分析與解答：原方程可化為，。令，則，。即關(guān)于對(duì)稱，故在有唯一的解只可能在或取到。時(shí)，，但此時(shí)時(shí)均有，即解不唯一；時(shí)，，此時(shí)解唯一，符合要求。綜上，。8.(2018復(fù)旦)13.令（），下列結(jié)論正確的是⑴是周期函數(shù)；⑵有對(duì)稱軸；⑶圖像關(guān)于對(duì)稱；⑷解析：⑴顯然，所以是周期函數(shù)，故⑴對(duì)；⑵由于，且，知是偶函數(shù)，關(guān)于軸對(duì)稱，故⑵對(duì)；⑶注意到，顯然當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，即圖像不關(guān)于對(duì)稱，故⑶錯(cuò)；⑷先用數(shù)學(xué)歸納法證明。①當(dāng)時(shí)，成立；②假設(shè)當(dāng)時(shí)，成立，則當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，式子也成立。綜上知對(duì)任意都成立。即，故⑷對(duì)。所以，正確的有⑴⑵⑷9.（2011“華約”）、、為的內(nèi)角，且不為直角三角形。求證：；當(dāng)，且的倒數(shù)成等差數(shù)列時(shí)，求的值。?分析與解答：（1）證明：，，兩邊取正切，，。解：。由（1）知，所以。又，所以。即。將代入，，。（此時(shí)為等邊三角形）或。由于，所以或。10.在中，猜想的最大值，并證明之。?分析與解答：證明：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的最大值為,所以11.（2005上海交大）是否存在三邊為連續(xù)自然數(shù)的三角形，使得：最大角是最小角的兩倍；最大角是最小角的三倍；若存在，求出該三角形；若不存在，請(qǐng)說明理由。?分析與解答：此問題可用兩種方法去解，一種是三角法，另一種是純幾何法。解法一：（1）如圖12-4（a），不妨設(shè)。在中，由正弦定理，。又由余弦定理，。于是，，解得，即三邊長(zhǎng)為4、5、6.（a）（b）圖12-4假設(shè)這樣的存在。如圖12-4（b），在中，由正弦定理，,即。又由余弦定理，。于是，，化簡(jiǎn)得，整理得。因n為整數(shù)，故，則邊長(zhǎng)為1、2、3，不構(gòu)成三角形。故這樣的三角形不存在。解法二：（1）如圖12-5（a），設(shè)，延長(zhǎng)BC至D，使。易知。令，則，即這樣的三角形存在，且三邊長(zhǎng)即為4、5、6。（a）（b）圖12-5若這樣的三角形存在，設(shè)，，如圖12-5（b），在AB上取一點(diǎn)D，使，則，故，而。在中，由，知，故。若，三角形三邊長(zhǎng)1、2、3，舍去；若，三邊長(zhǎng)為2、3、4.但此時(shí)為，進(jìn)而推出矛盾！故這樣的三角形不存在。1.(2016清華)13.設(shè)，則（C）A.B.C.D.解析：因?yàn)椋栽降扔?，選C。2.(2016清華)15.設(shè)分別為，則（AB）A.B.C.D.解析：由于，，，即①，②，③，①②③三式子相加得，故B對(duì)D錯(cuò)；又（*），，代入（*）得，，故A對(duì)，C錯(cuò)，綜上選AB3.（2005復(fù)旦）在中，，求。?分析與解答：中，。設(shè)，則（舍去），或，即。故。4.（2011“北約”）的三邊滿足，為的內(nèi)角。求證：。?分析與解答：解法一，由正弦定理，。而，所以。注意到，所以，所以。解法二：由余弦定理，（因?yàn)椋?，所以?.的三個(gè)內(nèi)角成等差數(shù)列，求證：．?分析與解答：證明：要證原式，只要證即只要證而6.（2010清華）求的值。?分析與解答：解法一：遇到高次的，一般采取降次的策略。。（*）因?yàn)椤＂?，而，故。②將①②代入?）式，。解法二：原式。注：解答本題除了對(duì)三角公式必須熟練掌握之外，還需要一定的恒心和代數(shù)功夫。有意思的是：本題還可進(jìn)一步推廣：是一個(gè)定值。另外，也是一個(gè)定值0；也是一個(gè)定值。更進(jìn)一步，是大于1的奇數(shù)，則。7.(2015北大自招)3.已知，對(duì)任意實(shí)數(shù)，函數(shù)的最小值記為，則當(dāng)取遍所有實(shí)數(shù)時(shí)，的最大值為（

）A．B．C．D．前三個(gè)答案都不對(duì)解析：令，令,,則，作圖象知最大值為，選A8.(2014華約)3.函數(shù)（）的最大值為,最小值為,求的值.解析：易知,令,則問題等價(jià)于在上的最大值和最小值分別為和.①當(dāng)對(duì)稱軸,即時(shí),則在上遞減,則,解得；②當(dāng)對(duì)稱軸,即時(shí),則,消去得,解得,舍去.綜上①②可知,為所求.9.（2014年卓越聯(lián)盟）已知(1)已知,求最大值;(2)若求的值.解析：(1)易知,,由于,其中,所以當(dāng),即時(shí),,又在上遞減,所以,當(dāng)時(shí)取到最大值.綜上可知當(dāng)時(shí),.(2)由,且,現(xiàn)在已知,則等價(jià)于,解得.10.中，，求?！痉治雠c解答】：（注意到）。11.（2011“卓越聯(lián)盟”）在中，，AD是A的角平分線，且。求k的取值范圍；若，問k為何值時(shí)，BC最短？【分析與解答】：設(shè)，。由，所以，所以，因?yàn)椋浴?/p>