新教材2021秋高中數(shù)學蘇教版必修第一冊學案：第8章函數(shù)與數(shù)學模型

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8.2函數(shù)與數(shù)學模型

8.2.1幾個函數(shù)模型的比較

1.理解函數(shù)模型是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的4要數(shù)學語言和I：一?在實際情境中.會選擇合適的函數(shù)類型刻

課程川i現(xiàn)實問題的變化規(guī)律

標準2.結(jié)合現(xiàn)實情境中的II體問題.利川計算HI.比較對數(shù)函數(shù)、?元?次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)增K速度的差異.理解”對數(shù)增

長'“直線上升”“指數(shù)爆炸”等術(shù)語的現(xiàn)實含義

。基礎(chǔ)認知?自主學習④

概念認知

1.“指數(shù)爆炸”的含義：

指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0且aWl)隨著x的增大

y增大，且增大的速度越來越快，

a>l時

呈“爆炸”的趨勢

0<a<l時y減小，并逐步趨向于Q

2.三種函數(shù)的增長速度的I：匕較

對于指數(shù)函數(shù)y=ax(a>l),鬲函數(shù)y=xa(a>0)和對數(shù)函數(shù)y=

logax(a>l),當x足夠大時，總有ax>xa>lo%x.

⑴本質(zhì)：通過數(shù)據(jù)運算、圖象的變化歸納出三種函數(shù)的增長特點和

增長速度的差異.

(2)應(yīng)用：根據(jù)現(xiàn)實的增長情況，選擇合適的函數(shù)模型刻畫其變化規(guī)

律.

自我小測

1.小明騎車上學，開始時勻速行駛，途中因交通堵塞停留了一段時

間后，為了趕時間加快速度行駛.與以上事件吻合得最好的圖象是

()

選C.小明勻速運動時，所得圖象為一條直線，目距離學校越來越近,

故排除A.因交通堵塞停留了一段時間，與學校的距離不變，故排除

D.后來為了趕時間加快速度行駛，故排除B.

2.(2021.無錫高一檢測)下列函數(shù)中隨x的增長而增長最快的是()

A.y=exB.y=InxC.y=x100D.y=2X

選A.由于y=e'是指數(shù)函數(shù)，y=Inx是對數(shù)函數(shù)，y=x］。。是幕函數(shù),

y=2*指數(shù)函數(shù)，由于當x足夠大時，指數(shù)函數(shù)的增長速度最快，呈

爆炸式增長，目2個指數(shù)函數(shù)的底數(shù)分別為e和2,且e>2,故增長

速度最快的是y=ex.

3.如圖，點M為。ABCD的邊AB上一動點，過點M作直線1垂直

于AB,且直線1與oABCD的另一邊交于點N.當點M從A-B勻速

運動時，設(shè)點M的運動時間為t,△AMN的面積為S，能大致反映S

與t的函數(shù)關(guān)系的圖象是（）

選C.假設(shè)NA=45°AD=2也,AB=4點M的速度為1,則當0<t<2

時，AM=MN=t，則St2,為二次函數(shù);當2<t<4時，S=t，為

一次函數(shù).

b

(l)y=a+-A.

(2)y=a+bx；

(3)y=a+logbx；

(4)y=a-bx.

由表知x可以取"0”,排除(1),(3),對于(2)：當x=0時，y=a=l,

所以a=l,

當x=l時，y=a+b=2.02.b可以取1,當x=2時，y=l+2=3；

當x=3時，y=l+3=4與表中各數(shù)據(jù)相差較大，可知只有(4)正確.

答案：(4)

5.在同一坐標系中，畫出函數(shù)y=x+5和y=2'在(0,+⑹上的圖象,

并比較x+5與2x的大小.

當0<x<3時，x+5>2',當x=3時，x+5=2',

當x>3時，x+5<2X.

會學情診斷?課時測評《

基礎(chǔ)全面練

一、選擇題

1.向杯中勻速注水時，如果杯中水面的高度h隨時間t變化的圖象

如圖所示，則杯子的形狀為()

ABCD

選B.因為杯中水面的高度先經(jīng)過兩次直線增長，后不變，符合B中

容器的形狀.

2.以下四種說法中，正確的是（）

A.幕函數(shù)增長的速度比一次函數(shù)增長的速度快

n

B.對任意的X>0,X>logaX

x

C.對任意的x>0,a>logax

xn

D.不一定存在Xo,當X>Xo時，總有a>X>IogaX

選D.對于A,鬲函數(shù)的增長速度受鬲指數(shù)的影響,幕指數(shù)不確定,

而一次函數(shù)的增長速度受一次項系數(shù)的影響，增長速度不能比較；對

于B、C,當0<a<l時，顯然不成立；對于D,當a>l,n>0時，一

xn

定存在xo，使得當x>xo時，總有a>x>logax，但若去掉限制條件“a>l,

n>0”，則結(jié)論不成立.

3.某研究小組在一項實驗中獲得一組關(guān)于y,t之間的數(shù)據(jù)，將其整

理得到如圖所示的散點圖，下列函數(shù)中最能近似刻畫y與t之間關(guān)系

的是（）

A.y=2t2B.y=2，

C.y=log2tD.y=t3

選C.根據(jù)圖中的特殊點(2,1),(4,2),通過選項可知只有C：y=log2t

滿足題意.

4.某小型貿(mào)易公司為了實現(xiàn)年終10萬元利潤的目標，特制定了一個

銷售人員年終績效獎勵方案：當銷售利潤為x萬元(4WXW10)時，獎金

y(單位：萬元)隨銷售利潤x(單位：萬元)的增加而增加，但獎金總數(shù)

不超過2萬元，同時不超過銷售利潤的;，則下列函數(shù)中，符合該公

司獎勵方案的函數(shù)模型是(參考數(shù)據(jù)：Ig2M).3,lg3^0.48,lg

5~0.7)()

A.y=0.4xB.y=lgx+1

i

C.y=x-D.y=1.125x

選B.由題意，知符合公司要求的模型只需滿足：

當x￡[4,10]時，①函數(shù)為增函數(shù);②函數(shù)的最大值不超過2:③丫弓

x.選項A中,y=0.4x滿足①，但當x>5時,y>2,不滿足②；選項B

中，y=1gx+1滿足①,當x>10時,y取得最大值2，作出函數(shù)y=

lgx+1和函數(shù)y=1x的圖象(圖略),可知該函數(shù)滿足③，故B項滿

足公司要求；選項C中，y=x；滿足①，但當x>4時,y>2,不滿足

②；選項D中，y=1.125X滿足①，但當x>log22時,y>2,不滿足②.

8

5.植物研究者在研究某種植物1~5年內(nèi)的植株高度時，將得到的數(shù)

據(jù)用散點圖直觀表示.現(xiàn)要根據(jù)這些數(shù)據(jù)用一個函數(shù)模型來描述這種

植物在1~5年內(nèi)的生長規(guī)律，下列函數(shù)模型中符合要求的是()

9植株高度y/m

8

7

6

5

4

3

2

1

0

12345生長階段x/年

A.y=kax+b(k>0,a>0,且a#l)

B.y=klogax+b(k>0,a>0,且a#l)

k

C.y=~+b(k>0)

X

D.y=ax2+bx+c(a>0)

選B.由散點圖可知函數(shù)單調(diào)遞增，但是趨于平緩，選項A：若a￡(0,

1),則它在(0,+8)上遞減，a￡(l,+oo),它在(0,+oo)上遞增且遞

增速率變大，故A錯誤；選項B：若a￡(0,1),則它在(0,+8)上

遞減，若a￡(l,+oo),它在(0,+8)上遞增且遞增速率變小，B正

k

確；選項C：當k>0時，I在(0,+oo)上遞減，C錯誤；選項D：

當a>0時，它開口向上，與散點圖不相符，D錯誤.

6.(多選)甲同學家到乙同學家的途中有一座公園，甲同學家到公園的

距離與乙同學家到公園的距離都是2km.如圖所示表示甲同學從家出

發(fā)到乙同學家經(jīng)過的路程y(km)與時間x(min)的關(guān)系，下列結(jié)論正確

的是()

A.甲同學從家出發(fā)到乙同學家走了60min

B.甲從家到公園的時間是30min

C.甲從家到公園的速度比從公園到乙同學家的速度快

D.當0<x<30時，y與x的關(guān)系式為y=去x

選BD在A中，甲在公園休息的時間是10min,所以只走了50min,

A錯誤；由題中圖象知B正確；甲從家到公園所用的時間比從公園到

乙同學家所用的時間長，而距離相等，所以甲從家到公園的速度比從

公園到乙同學家的速度慢，C錯誤；當0<x<30時，設(shè)y=kx(kWO),

則2=30k,解得k=￡，故y=,x,D正確.

2x

7.(多選)能使不等式log2x<x<2一定成立的x的取值范圍是()

A.(0,+co)B.(2,+oo)

C.(0,2)D.(4,+oo)

2X

選CD.作出y=log2x,y=x,y=2的圖象,

2x

由圖象可知，當0<x<2或x>4時，log2x<x<2.

二、填空題

8.某學校開展研究性學習活動，一組同學得到表中的實驗數(shù)據(jù):

X1.99345.18

y0.991.582.012.353.00

現(xiàn)有如下4個模擬函數(shù)：

①y=0.58x-0.16；(2)y=2x-3.02；

(3)y=x2-5,5x+8；④y=log2X.

請從中選擇一個模擬函數(shù)，使它能近似地反映這些數(shù)據(jù)的規(guī)律,應(yīng)選

畫出散點圖，由圖分析增長速度的變化，可知符合對數(shù)函數(shù)模型，故

選④.

4

3

2

OI23456789

答案：④

9.若已知16Vx<20,利用圖象可判斷出x；和log2x的大小關(guān)系為

作出f(x)=X；和g(x)=log2x的圖象，如圖所示：

由圖象可知，在(0,4)內(nèi),X2>log2X；

I

2

X=4或X=16時，X=log2x；

22

在(4,16)內(nèi),x<log2x；在(16,20)內(nèi)，x>log2X.

答案：X；>10g2X

三、解答題

10.畫出函數(shù)f(x)=爽與函數(shù)g(x)=x-2的圖象，并比較兩者在［0,

+⑹上的大小關(guān)系.

函數(shù)f(x)與g(x)的圖象如圖.

根據(jù)圖象易得：當0Sx<4時，f(x)>g(x)；

當x=4時，f(x)=g(x)；

當x>4時,f(x)<g(x).

11.有甲，乙兩家健身中心，兩家設(shè)備和服務(wù)都相當，但收費方式不

同.甲中心每小時5元；乙中心按月計算，一個月中30h以內(nèi)(含30

h)90元，超過30h的部分每小時2元.某人準備下個月從這兩家中

選擇一家進行健身活動，其活動時間不少于15h,也不超過40h.

⑴設(shè)在甲健身中心活動xh的收費為f(x),在乙健身中心活動xh的

收費為g(x),試求f(x)和g(x)；

⑵選擇哪家健身中心比較合算？為什么？

(l)f(x)=5x,15<x<40,

[90,15<x<30,

g(x)=j

[30+2x,30<x<40.

⑵當5x=90時，x=18,

即當15<x<18時，f(x)<g(x)；

當x=18時,f(x)=g(x).

當18<x<40時，f(x)>g(x).所以當15<x<18時，選甲健身中心比較合

算；當x=18時，兩家健身中心一樣合算；當18<x<40時，選乙健身

中心比較合算.

綜合突破練

一、選擇題

1.某地區(qū)植被被破壞，土地沙漠化越來越嚴重，最近三年測得沙漠

增加值分別為0.2萬公頃、0.4萬公頃和0.76萬公頃，則沙漠增加數(shù)

y公頃關(guān)于年數(shù)x的函數(shù)關(guān)系較為近似的是()

A.y=0.2xB.y=(x2+2x)

2x

c.y=75D.y=0.2+log16x

選C.用排除法，當x=l時，排除B項；當x=2時，排除D項；當

x=3時，排除A項.

2.現(xiàn)在已經(jīng)進入大數(shù)據(jù)時代，目前，數(shù)據(jù)已經(jīng)從TB(1TB=1024GB)

級另U躍升至I」PB(1PB=1024TB),EB(1EB=1024PB)乃至ZB(1ZB

=1024EB)級別，國際數(shù)據(jù)公司(IDC)的研究結(jié)果表明，2008年全球

產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量為0.49ZB,2009年全球產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量為0.8ZB,2010

年全球產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量為1.2ZB2011年全球產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量為1.82ZB,

而到了2020年全球產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量是2011年的44倍，為了較好地描

述2008年起產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量與時間x(單位:年)的關(guān)系，根據(jù)數(shù)據(jù)信息,

選出你認為擬合程度最好的函數(shù)模型是()

A.g(x)=kx+bB.g(x)=a-bx

k

c.g(x)=klogaX+bD.g(x)=-+b

A

選B.由已知列出年份，年份代碼，數(shù)據(jù)量如表：

年份20082009201020112020

年份代碼(X)123413

數(shù)據(jù)量g(x)0.490.81.21.8280.08

畫出散點圖如圖，由散點圖可知數(shù)據(jù)量隨年份的增加而增加，且增加

的速度越來越快,

故擬合程度最好的函數(shù)模型為g(x)=a-b\

4

80:

70

60■

50

40

30

20■

10-.

..........................

O12345678910111213-v

3.(多選)某地一年內(nèi)的氣溫Q(t)(單位：℃)與時間K月份)之間的關(guān)系

如圖所示.已知該年的平均氣溫為10℃,令C(t)表示時間段［0,t］內(nèi)

的平均氣溫，不能正確反映C(t)與t之間的函數(shù)關(guān)系的圖象有()

選BCD.由題圖知，當t=6時，C(t)=0,故C不正確；當t=12時,

C(t)=10,故D不正確；在大于6的某一段時間平均氣溫大于10℃,

故B不正確.

二、填空題

4.如圖所示是某受污染的湖泊在自然凈化過程中某種有害物質(zhì)的殘

留量y與凈化時間t（月）的近似函數(shù)關(guān)系：y=af（t>0,a>0且ag）的圖

象.

中率Z_

I!!!!r

01234〃月

有以下說法：

①第4個月時，殘留量就會低于1；

②每月減少的有害物質(zhì)質(zhì)量都相等；

1

時

-d貝

413

+12=t3.

其中所有正確說法的序號是_______

由于函數(shù)的圖象經(jīng)過點（2,多，

故函數(shù)的解+析式為y=8,.

當t=4時，y=$,故①正確；

當t=1時，y=|，減少!，

當t=2時，y=,，減%,故每月減少有害物質(zhì)質(zhì)量不相等，故②

111

得

-解

--

248

t2=log14,t3=log河,t|+12=t3,故③正確.

答案：①③

5.通過市場調(diào)查知某商品每件的市場價y（單位：元）與上市時間x（單

位：天）的數(shù)據(jù)如下：

上市時間X天41036

市場價y元905190

根據(jù)上表數(shù)據(jù)，當a#0時，下列函數(shù)：①y=ax+k；②丫=ax?+bx+

C:③丫=alogmX中能恰當?shù)拿枋鲈撋唐返氖袌鰞ry與上市時間X的變

化關(guān)系的是（只需寫出序號即可）.

根據(jù)表格提供數(shù)據(jù)可知，y隨x先變小，后變大，即至少有遞減和遞

增兩個過程，而①③對應(yīng)的函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，不符合題意.②為二次

函數(shù)，有遞減和遞增兩個區(qū)間，a>0時，能恰當?shù)拿枋鲈撋唐返氖袌?/p>

價y與上市時間x的變化關(guān)系.

答案：②

6.已知某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的月產(chǎn)量y與月份x滿足關(guān)系y=a-0.5x

+b現(xiàn)已知該廠今年1月、2月生產(chǎn)該產(chǎn)品分別為1萬件、1.5萬件則

a+b=此廠3月份該產(chǎn)品的產(chǎn)量為萬件.

因為y=a-0.5x+b,且當x=1時，y=1,

f1=ax0.5+b,

當x=2時，y=1.5,則有，

[1.5=ax0.25+b,

[a=-2,

解得

[b=2,

所以a+b=O,所以y=-2x0.5、+2.

當x=3時，y=-2x0.125+2=1.75（萬件）.

答案：01.75

7.函數(shù)y=x2與函數(shù)y=xInx在區(qū)間（0,+℃）上增長較快的一^是

當x變大時，x比Inx增長要快，

所以x2要比xInx增長的要快.

答案：y=x2

三、解答題

2

8.若不等式3x<logax在xG（0,I）內(nèi)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

2

【解題指南】原不等式等價于3x<logax,將不等式兩邊分別看成兩

個函數(shù)，作出它們的圖象，研究a的取值范圍.

2

由題意，知3x<logax在xjo,內(nèi)恒成立，當x￡（0,1時，若

a>l,則函數(shù)y=logax的圖象顯然在函數(shù)y=3x?圖象的下方，所以a>l

不成立；

當0<a<l時，y=logax的圖象必過點A、，?或在這個點的上方，則

,11

loga3-3'

所以a4,所以，<a<l.

綜上，a的取值范圍是行，11