線性代數(shù)與概率論（曹景龍第五版） 課件 第一章 行列式

線性代數(shù)與概率論（第五版）12章節(jié)內(nèi)容線性代數(shù)第一章行列式第二章矩陣第三章線性方程組概率論第四章隨機事件及其概率第五章隨機變量及其數(shù)字特征第六章幾種重要的概率分布第一章

行列式第一節(jié)行列式的概念第二節(jié)行列式的性質(zhì)第三節(jié)行列式的展開第四節(jié)克萊姆法則3知識思維導圖4引導案例---谷物稱重問題

《九章算術》是我國數(shù)學方面流傳至今最早也是最重要的一部經(jīng)典著作。以解應用題為主，其第八章為方程，就是線性方程組的應用問題。第一題即為谷物稱重問題。問題如下：“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實二十六斗；問上、中、下禾實一秉各幾何？”5分析：上述谷物稱重問題是三元一次方程組的求解問題.而行列式的出現(xiàn)是由線性方程組的求解問題引出來的，它是由解線性方程組產(chǎn)生的一種算式。所以本章將從行列式的概念、性質(zhì)、計算出發(fā)，講解行列式的一個重要應用—克萊姆法則求解線性方程組。第一節(jié)行列式的概念6本節(jié)主要學習目標：[知識目標]了解行列式的概念。熟練掌握二階、三階行列式的計算。

[能力目標]能熟練求出二階、三階、四階行列式的值。二階行列式第一節(jié)行列式的概念7考慮由兩個線性方程式構成的二元線性方程組

二階行列式第一節(jié)行列式的概念8

為了進一步揭示求解公式的規(guī)律,需要引進二階行列式的概念.

二階行列式第一節(jié)行列式的概念9

行標列標(1,2)元素主對角線副對角線二階行列式第一節(jié)行列式的概念10如何計算二階行列式？

二階行列式等于主對角線上兩個元素的乘積減去次對角線上兩個元素的乘積。例1計算第一節(jié)行列式的概念11

1×4-2×3=-2三階行列式第一節(jié)行列式的概念12類似地,考慮由三個線性方程式構成的三元線性方程組

引進三階行列式的概念三階行列式第一節(jié)行列式的概念13如何計算三階行列式？例4第一節(jié)行列式的概念14

=15+(-12)+(-16)-24-(-10)-(-12)=-151×3×5+(-1)×(-3)×(-4)+(-2)×2×4-(-2)×3×(-4)-(-1)×2×5-1×(-3)×4逆序數(shù)第一節(jié)行列式的概念15

考慮由前n個正整數(shù)組成的數(shù)字不重復的排列j1j2…jn中,若有較大的數(shù)排在較小的數(shù)的前面,則稱它們構成一個逆序,并稱逆序的總數(shù)為排列j1j2…jn的逆序數(shù),記作N(j1j2…jn).由1,2這兩個數(shù)字組成排列的逆序數(shù)為

N(12)=0

N(21)=1由1,2,3這三個數(shù)字組成排列的逆序數(shù)為

N(123)=0 N(231)=2 N(312)=2 N(321)=3 N(213)=1 N(132)=1逆序數(shù)第一節(jié)行列式的概念16二階行列式,它是2!=2項的代數(shù)和,每項為來自不同行、不同列的2個元素乘積取正號與取負號的項各占一半,即各為1項若相應列標排列逆序數(shù)為零,則這項前面取正號；若相應列標排列逆序數(shù)為奇數(shù),則這項前面取負號。

若相應列標排列逆序數(shù)為零或偶數(shù),則這項前面取正號；若相應列標排列逆序數(shù)為奇數(shù),則這項前面取負號對應三階行列式二階行列式計算規(guī)律n階行列式第一節(jié)行列式的概念17定義1.1

n階行列式第一節(jié)行列式的概念18n階行列式共有n2個元素,它們排成n行n列,從左上角到右下角的對角線稱為主對角線,從右上角到左下角的對角線稱為次對角線.同一行的元素不可能乘在一起,同一列的元素也不可能乘在一起

總結：n階行列式規(guī)律例3第一節(jié)行列式的概念19

解:在乘積a34a21a42a23中,元素a21與a23的行標同為2,說明這兩個元素皆來自第2行,所以乘積a34a21a42a23不是四階行列式D中的項例4第一節(jié)行列式的概念20

解：適當交換所給項中元素的次序,使得它們的行標按順序排列,得到

a31a24a43a12=a12a24a31a43這時相應列標排列逆序數(shù)

N(2413)=3是奇數(shù),因而項a31a24a43a12前面應取負號負號轉置行列式第一節(jié)行列式的概念21定義1.2

轉置行列式第一節(jié)行列式的概念22行列式D與它的轉置行列式DT之間有什么關系?

容易看出:DT=D可以證明這個結論對于n階行列式也是成立的.轉置行列式第一節(jié)行列式的概念23定理1.1轉置行列式DT的值等于行列式D的值,即

DT=D定理1.1說明:在行列式中,行與列的地位是對等的即:凡有關行的性質(zhì),對于列必然成立;凡有關列的性質(zhì),對于行也必然成立.三角形行列式第一節(jié)行列式的概念24定義1.3若行列式D主對角線以上或以下的元素全為零,則稱行列式D為三角形行列式.如何計算三角形行列式？三角形行列式第一節(jié)行列式的概念25

它當然等于n!項代數(shù)和,其中含有零因子的項一定等于零,可以不必考慮,所以只需考慮可能不為零的項在這樣的項中,必然有一個因子來自第1行,只能是元素a11;必然有一個因子來自第2行,有元素a21,a22可供選擇,但元素a21與元素a11同在第1列,不能乘在一起,從而只能是元素a22;…;必然有一個因子來自第n行,有元素an1,an2,…,ann可供選擇,但元素an1與元素a11同在第1列,不能乘在一起,元素an2與元素a22同在第2列,不能乘在一起,…,從而只能是元素ann.這說明可能不為零的項只有一項a11a22…ann三角形行列式第一節(jié)行列式的概念26由于列標排列逆序數(shù)

N(12…n)=0所以項a11a22…ann前面應取正號.那么,三角形行列式

三角形行列式第一節(jié)行列式的概念27同理,另一種三角形行列式

由此可知:三角形行列式的值等于主對角線上元素的乘積.例5計算第一節(jié)行列式的概念28

=1×2×3×4=24三角形行列式第一節(jié)行列式的概念29

若行列式D主對角線以外的元素全為零,則稱行列式D為對角形行列式,它是三角形行列式的特殊情況,它的值當然等于主對角線上元素的乘積,即

第一節(jié)行列式的概念30本次課程結束第二節(jié)行列式的性質(zhì)31本節(jié)主要學習目標：[知識目標]

熟練掌握行列式的性質(zhì)及推論。[能力目標]

能熟練利用性質(zhì)及推論計算三階、四階行列式的值。行列式的性質(zhì)第二節(jié)行列式的性質(zhì)32考慮三階行列式D=交換行第二節(jié)行列式的性質(zhì)33D1==-D若將第1行與第2行交換,得到行列式行乘系數(shù)第二節(jié)行列式的性質(zhì)34D1=若將第1行乘以數(shù)k,得到行列式=kD行加倍數(shù)第二節(jié)行列式的性質(zhì)35D1=若將第1行的k倍加到第2行上去,得到行列式=D行列式性質(zhì)總結第二節(jié)行列式的性質(zhì)36

從上面觀察得到的結論,可以證明對于n階行列式在一般情況下也是成立的,行列式具有下列性質(zhì):性質(zhì)1交換行列式的任意兩行(列)，行列式變號性質(zhì)2

行列式的任意一行(列)的公因子可以提到行

列式外面性質(zhì)3

行列式的任意一行(列)的k倍加到另外一行

(列)上去,行列式的值不變行列式性質(zhì)推論第二節(jié)行列式的性質(zhì)37推論1如果行列式有一行(列)的元素全為零,則

行列式的值一定等于零推論2

如果行列式有兩行(列)的對應元素相同,

則行列式的值一定等于零推論3

如果行列式有兩行(列)的對應元素成比例，

則行列式的值一定等于零例1第二節(jié)行列式的性質(zhì)38

例1第二節(jié)行列式的性質(zhì)39解：（1）交換第1行與第2行

（2）交換第2行與第3行

=(-1)2×10=10例2第二節(jié)行列式的性質(zhì)40

例2第二節(jié)行列式的性質(zhì)41解：（1）各行的公因子2提到行列式外

=23×3=24例3第二節(jié)行列式的性質(zhì)42

例3第二節(jié)行列式的性質(zhì)43解：（1）第3列的-1倍加到第2列上去

（2）第2列的-k倍加到第1列上去

=M例4第二節(jié)行列式的性質(zhì)44

例4第二節(jié)行列式的性質(zhì)45解：（1）交換第2行與第3行

例4第二節(jié)行列式的性質(zhì)46解：（2）第1行的公因子4提到行列式外面

（3）第3行的3倍加到第2行上去

例4第二節(jié)行列式的性質(zhì)47解：（4）第2行的公因子2提到行列式外面

=-4×2×1=-8例5第二節(jié)行列式的性質(zhì)48

解：由于所給四階行列式中第4列與第1列的對應元素成比例，所以上述四階行列式值為0推論三：如果行列式有兩行(列)的對應元素成比例,則行列式的值一定等于零0例6第二節(jié)行列式的性質(zhì)49

解：交換第1行與第3行

=-1-1例7第二節(jié)行列式的性質(zhì)50

元素a=（）

例7第二節(jié)行列式的性質(zhì)51解：交換第1行與第4行,交換第2行與第3行

=8a已知8a=1

(d)例8第二節(jié)行列式的性質(zhì)52

解：第1行分別加到第2行至第4行上去

=24例9第二節(jié)行列式的性質(zhì)53

解：（1）第1行的-2倍加到第2行上去,第1行的-3倍加到第3行上去,第1行的-4倍加到第4行上

例9第二節(jié)行列式的性質(zhì)54解：（2）第2行的-2倍加到第3行上去,第2行的-7倍加到第4行上去

=160（3）第3行加到第4行上去例10第二節(jié)行列式的性質(zhì)55

解：

例10第二節(jié)行列式的性質(zhì)56解：（1）第2行至第4行皆加到第1行上去

例10第二節(jié)行列式的性質(zhì)57解：

第二節(jié)行列式的概念58本次課程結束第三節(jié)行列式的展開59本節(jié)主要學習目標：[知識目標]

熟練掌握余子式與代數(shù)余子式概念及計算。

熟練掌握行列式展開定理[能力目標]

能運用行列式展開定理進行行列式計算。余子式與代數(shù)余子式定義第三節(jié)行列式的展開60定義1.4

則稱剩余元素構成的n-1階行列式為元素aij的余子式，記作Mij;

Aij=(-1)i+jMij注：n階行列式共有n2個元素,每一個元素都有其

代數(shù)余子式,因此共有n2個代數(shù)余子式.例1第三節(jié)行列式的展開61

例1第三節(jié)行列式的展開62解：

=28+15+0-0-8-0=35

A23=(-1)2+3M23

代數(shù)余子式第三節(jié)行列式的展開63

容易求得第1行各元素的代數(shù)余子式代數(shù)余子式第三節(jié)行列式的展開64元素a11的代數(shù)余子式

元素a12的代數(shù)余子式

元素a13的代數(shù)余子式

代數(shù)余子式第三節(jié)行列式的展開65三階行列式D的值與這些代數(shù)余子式之間有什么關系?

代數(shù)余子式第三節(jié)行列式的展開66這說明三階行列式D的值等于第1行各元素與其代數(shù)余子式乘積之和,稱為三階行列式D按第1行展開。同理,經(jīng)過類似推導,三階行列式D可以按第2行或第3行展開,也可以按第1列或第2列或第3列展開總之,三階行列式D等于任意一行(列)各元素與其代

數(shù)余子式乘積之和.代數(shù)余子式定理1.2n階行列式D等于它的任意一行(列)各元素與其代數(shù)余子式乘積之和,即

=…代數(shù)余子式第三節(jié)行列式的展開68第三節(jié)行列式的展開68定理1.2（續(xù)）注：在計算n階行列式時,只需選擇應用定理1.2中

一個關系式就可以得到所求n階行列式的值=…例2第三節(jié)行列式的展開69已知四階行列式D中第2行的元素自左向右依次為4,3,2,1,它們的余子式分別為5,6,7,8,求四階行列式D的值.解：根據(jù)行列式中元素aij的代數(shù)余子式Aij與余子式Mij之間的關系Aij=(-1)i+jMij容易得到四階行列式D中第2行各元素的代數(shù)余子式.例2第三節(jié)行列式的展開70解：

A22=(-1)2+2M22=(-1)2+2×6=6

A21=(-1)2+1M21=(-1)2+1×5=-5

A23=(-1)2+3M23=(-1)2+3×7=-7

A24=(-1)2+4M24=(-1)2+4×8=8例2第三節(jié)行列式的展開71解：所以四階行列式D按第2行展開,它的值為

=4×(-5)+3×6+2×(-7)+1×8=-8在具體計算行列式時,注意到零元素與其代數(shù)余子式乘積等于零,這一項可以不必考慮,于是應該按零元素比較多的一行(列)展開,以減少計算量.例3第三節(jié)行列式的展開72

解：（1）按第2列展開=0×A12+0×A22+(-1)×A32+0×A42=(-1)×A32=(-1)×(-1)3+2M32

例3第三節(jié)行列式的展開73解：（2）繼續(xù)按第3列展開=0×A13+2×A23+0×A33=2×A23=2×(-1)2+3M23

=2×(-3)=-6例4第三節(jié)行列式的展開74

解：按第1行展開=1×A11+2×A12+0×A13+0×A14=1×A11+2×A12=1×(-1)1+1M11+2×(-1)1+2M12

例4第三節(jié)行列式的展開75解：注意到余子式M11為三角形行列式,其值等于主對角線上元素的乘積余子式M12中第2行與第1行的對應元素成比例,其值等于零因此行列式=40+0=40一般地,若行列式中零元素較少時,可以先應用§1.2行列式的性質(zhì)將行列式中某一行(列)的元素盡可能多的化為零,然后按這一行(列)展開,化為計算低一階的行列式,如此繼續(xù)下去,直至化為三角形行列式或二階行列式,求得結果例5第三節(jié)行列式的展開76

解：（1）第1行的-2倍加到第3行上去

例5第三節(jié)行列式的展開77解：（2）按第1列展開

（4）按第3列展開

（3）第3行的-2倍加到第1行上去

例6第三節(jié)行列式的展開78

解：（1）第2行的-1倍加到第1行上去

例6第三節(jié)行列式的展開79解：（2）第1列的-1倍加到第2列上去

（3）按第1行展開例6第三節(jié)行列式的展開80解：（4）按第1列展開

=(-x2)(-y2)=x2y2第三節(jié)行列式的展開81根據(jù)行列式性質(zhì)的推論容易得到重要結論:n階行列式中任一行(列)元素與其他行(列)對應元素的代數(shù)余子式乘積之和一定等于零.第三節(jié)行列式的展開82本次課程結束第四節(jié)克萊姆法則83本節(jié)主要學習目標：[知識目標]

熟練掌握克萊姆法則的內(nèi)容。[能力目標]

能運用克萊姆法則進行方程組的解的判斷及計算?？巳R姆法則第四節(jié)克萊姆法則84對于由兩個線性方程式構成的二元線性方程組

用消元法求解,得到結論:當a11a22-a12a21≠0時,此線性方程組有唯一解

克萊姆法則第四節(jié)克萊姆法則85這個求解公式可以用行列式表示,以進一步揭示它的規(guī)律.引進記號

克萊姆法則第四節(jié)克萊姆法則86行列式D是由線性方程組中未知量系數(shù)構成的行列式,稱為系數(shù)行列式行列式D1是系數(shù)行列式D中第1列元素由線性方程組常數(shù)項對應替換后所得到的行列式行列式D2是系數(shù)行列式D中第2列元素由線性方程組常數(shù)項對應替換后所得到的行列式克萊姆法則第四節(jié)克萊姆法則87于是上面的結論可以表達為:當系數(shù)行列式D≠0時,此線性方程組有唯一解

一般地,對于由n個線性方程式構成的n元線性方程組,有克萊姆(Cramer)法則.克萊姆法則第四節(jié)克萊姆法則88克萊姆法則已知由n個線性方程式構成的n元線性方程組

由未知量系數(shù)構成的行列式稱為系數(shù)行列式,記作D,即

克萊姆法則第四節(jié)克萊姆法則89克萊姆法則（續(xù)）在系數(shù)行列式D中第1列元素,第2列元素,…,第n列元素分別用線性方程組常數(shù)項對應替換后所得到的行列式,分別記作D1,D2,…,Dn,即

…

…

克萊姆法則第四節(jié)克萊姆法則90克萊姆法則（續(xù)）那么:(1)如果系數(shù)行列式D≠0,則此線性方程組有唯一解

(2)如果系數(shù)行列式D=0,則此線性方程組無唯一解即有無窮多解或無解例1第四節(jié)克萊姆法則91

(1)判別有無唯一解;(2)若有唯一解,則求唯一解.解：(1)計算系數(shù)行