(3.13)-第四章 隨機(jī)性模型

1第四章隨機(jī)性模型1.馬氏鏈模型2.排隊(duì)論模型3.隨機(jī)性存貯策略2第一節(jié)馬氏鏈模型

第四章

1.馬氏鏈簡(jiǎn)介

2.馬氏鏈模型3馬氏鏈模型描述一類重要的隨機(jī)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)（過程）的模型。系統(tǒng)在每個(gè)時(shí)期所處的狀態(tài)是隨機(jī)的。從一時(shí)期到下一時(shí)期的狀態(tài)按一定概率轉(zhuǎn)移。下一時(shí)期的狀態(tài)只取決于本時(shí)期的狀態(tài)和轉(zhuǎn)移概率。已知現(xiàn)在，將來與過去無關(guān)（無后效性）馬氏鏈（MarkovChain）——時(shí)間、狀態(tài)均為離散的隨機(jī)轉(zhuǎn)移過程1.基本概念

一、馬氏鏈簡(jiǎn)介3定義1

一隨機(jī)過程，稱為一個(gè)馬氏鏈，如果

，其中S為一個(gè)有限或可數(shù)集合（稱為馬氏鏈的狀態(tài)空間），并且對(duì)任意的都有：

則稱為馬氏鏈的（一步）轉(zhuǎn)移概率，記為，若與n無關(guān)，則稱此馬氏鏈為齊次的．在本章中，我們只討論齊次馬氏鏈。定義2對(duì)齊次馬氏鏈，描述它的變化進(jìn)程的最重要的量就是它的轉(zhuǎn)移概率,通常寫成矩陣的形式，記為，稱P為馬氏鏈的轉(zhuǎn)移概率矩陣。2.基本性質(zhì)稱為系統(tǒng)由狀態(tài)i經(jīng)過m個(gè)時(shí)間間隔（或m步）轉(zhuǎn)移到狀態(tài)j的k步轉(zhuǎn)移概率。系統(tǒng)由狀態(tài)i

到狀態(tài)j的轉(zhuǎn)移概率只依賴于時(shí)間間隔的長(zhǎng)短，與起始的時(shí)刻無關(guān),則此馬氏鏈?zhǔn)驱R次的。

令4對(duì)于k步轉(zhuǎn)移概率，滿足Chapman-Kolmogrov方程,見定理1。6

定理1

設(shè)為馬氏鏈，其狀態(tài)空間為S，則對(duì)于任意，有若是齊次馬氏鏈，為一步轉(zhuǎn)移概率矩陣，則有

從而由一步轉(zhuǎn)移概率矩陣，可以決定兩步轉(zhuǎn)移概率矩陣，反復(fù)應(yīng)用，得到：由一步轉(zhuǎn)移概率，可以決定所有的高階轉(zhuǎn)移概率。7

定理2

若馬氏鏈的初始分布為，其轉(zhuǎn)移概率矩陣為，則的有限維分布為：

注2

定理2說明，一個(gè)馬氏鏈可由其初始狀態(tài)(或其初始分布）以及轉(zhuǎn)移概率矩陣P所完全確定。即若為初始分布，則第n步的概率分布為8

3.馬氏鏈的狀態(tài)分類

定義：設(shè)i,j為馬氏鏈的兩個(gè)狀態(tài)，若存在n≥1,使，則稱自狀態(tài)i可達(dá)狀態(tài)j，記為i→j.若i→j，j→i則稱狀態(tài)i和j是互通的,記為.若馬氏鏈的所有狀態(tài)兩兩互通，則稱此鏈?zhǔn)遣豢杉s的。

定義為從狀態(tài)i出發(fā)，首次返回到狀態(tài)j的時(shí)刻，為從狀態(tài)i出發(fā)，有限步內(nèi)遲早要返回狀態(tài)j的概率。當(dāng)i=j時(shí)：若，則稱狀態(tài)i是常返的；若，則稱狀態(tài)i是非常返的.可以證明：若狀態(tài)i是常返的，則以概率1，系統(tǒng)將無窮次返回狀態(tài)i；若i為非常返狀態(tài)，則系統(tǒng)將以概率1，有限次返回狀態(tài)i．9

定義：稱狀態(tài)i是周期為t(t>1)的，若除3t,…外均為零，但沒有比t更大的使除外均為零;當(dāng)滿足上述條件的t不存在時(shí)，稱狀態(tài)i為非周期的。非周期的正常返狀態(tài)，稱為遍歷狀態(tài)。

對(duì)于常返狀態(tài)i，我們引入平均返回時(shí)間：

若，則稱狀態(tài)i為正常返的；若，則稱狀態(tài)i為零常返的。定理：狀態(tài)i為常返的充要條件是：10

3.極限概率分布

定理：設(shè)馬氏鏈的狀態(tài)空間為一個(gè)有限集，轉(zhuǎn)移概率矩陣，若該馬氏鏈?zhǔn)欠侵芷?、不可約的，則

與i無關(guān)，并且是方程組在及條件下的唯一解。11例:若顧客的購買是無記憶的，即已知現(xiàn)在顧客購買情況，未來顧客的購買情況不受過去購買歷史的影響，而只與現(xiàn)在購買情況有關(guān)。現(xiàn)在市場(chǎng)上供應(yīng)A、B、C三個(gè)不同廠家生產(chǎn)的50克袋裝味精，用“,,”分別表示“顧客第n次購買A、B、C廠的味精”.若已知第一次顧客購買三個(gè)廠味精的概率依次為0.2，0.4，0.4。又知道一般顧客購買的傾向由下表給出。求顧客第四次購買各家味精的概率。解:第一次購買的概率分布為轉(zhuǎn)移矩陣則顧客第四次購買各家味精的概率為

下次購買ABC上次購買A0.80.10.1B0.50.10.4C0.50.30.212二、馬氏鏈模型例：服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)的設(shè)置問題為適應(yīng)日益擴(kuò)大的旅游事業(yè)的需要，某大城市的甲、乙、丙三個(gè)照相館組成一個(gè)聯(lián)合經(jīng)營(yíng)部，共同經(jīng)營(yíng)出租相機(jī)的業(yè)務(wù)。游客可從甲、乙、丙三個(gè)照相館任何一處租用相機(jī)，使用完畢后還到其中任何一處即可。根據(jù)統(tǒng)計(jì)，其轉(zhuǎn)移概率如下表。還處租處甲乙丙甲0.20.80乙0.800.2丙0.10.30.6131.

問題提出現(xiàn)在想在甲、乙、丙三個(gè)照相館中的一個(gè)附設(shè)相機(jī)維修點(diǎn)，問該維修點(diǎn)設(shè)在哪一個(gè)照相館較為合理？2.模型假設(shè)假設(shè)下次還相機(jī)的地點(diǎn)只與該次租機(jī)地點(diǎn)有關(guān)，而與相機(jī)以前所處的地點(diǎn)無關(guān)。3.

模型建立用表示相機(jī)第n次被租時(shí)所在的店址，，，分別表示相機(jī)第n次被租用時(shí)在甲、乙、丙館。

由于游客還相機(jī)（即下次相機(jī)所在店址）的情況只與該次租機(jī)地點(diǎn)（這次相機(jī)所在店址）有關(guān)，而與相機(jī)以前所處的店址無關(guān)，所以是一個(gè)馬氏鏈。14給出其轉(zhuǎn)移概率矩陣：狀態(tài)空間為：S={1,2,3}.考慮維修點(diǎn)的設(shè)置地點(diǎn)問題，其實(shí)質(zhì)就是要計(jì)算這一馬氏鏈的極限概率分布．4.

模型求解從馬氏鏈的轉(zhuǎn)移概率矩陣P可知：該馬氏鏈?zhǔn)且粋€(gè)非周期、不可約的馬氏鏈，則存在，其中i,j=1,2,3,且滿足方程組15解此方程組得到，5.結(jié)論

通過上面的計(jì)算可以看出，經(jīng)過長(zhǎng)時(shí)間經(jīng)營(yíng)后，該聯(lián)營(yíng)部的每架照相機(jī)歸還到甲、乙、丙照相館的概率分別為，由于還到甲照相館的相機(jī)較多，因此照相機(jī)維修點(diǎn)設(shè)在甲館較好．但由于還到乙館的相機(jī)與還到甲的相差不多，若是乙館的其它因素更為有利的話（比如，交通較方便，零配件的運(yùn)輸較方便，電力供應(yīng)穩(wěn)定等等），亦可考慮把維修點(diǎn)設(shè)在乙館．16第二節(jié)排隊(duì)論模型

第四章

1.排隊(duì)論基本概念

2.電話總機(jī)的設(shè)置17一、排隊(duì)論基本概念1.排隊(duì)模型的組成和特征“排隊(duì)”是指在服務(wù)機(jī)構(gòu)處要求服務(wù)對(duì)象的一個(gè)等待隊(duì)列，而“排隊(duì)論”則是研究各種排隊(duì)現(xiàn)象的理論。

在排隊(duì)論中，我們把要求服務(wù)的對(duì)象稱為“顧客”，而將從事服務(wù)的機(jī)構(gòu)或人稱為“服務(wù)臺(tái)”。在顧客到達(dá)服務(wù)臺(tái)時(shí)，可能立即得到服務(wù)，也可能要等待到可以利用服務(wù)臺(tái)的時(shí)候?yàn)橹埂?8一般的排隊(duì)系統(tǒng)由三個(gè)基本部分組成：輸入過程、排隊(duì)規(guī)則和服務(wù)機(jī)構(gòu)。（1）輸入過程輸入過程也稱顧客到達(dá)過程，輸入過程是用來描述顧客到達(dá)的規(guī)律．顧客源可以是有限的，也可以是無限的；顧客的到來方式可以是一個(gè)一個(gè)的，也可能是成批的；顧客的到達(dá)是相互獨(dú)立的；顧客相繼到達(dá)的時(shí)間間隔可以是確定型的，也可以是隨機(jī)的；顧客相繼到達(dá)的時(shí)間間隔分布，與時(shí)間無關(guān)．（2）排隊(duì)規(guī)則

排隊(duì)規(guī)則一般有等待制和即時(shí)制兩種。等待制是當(dāng)所有服務(wù)員都不空閑時(shí)，顧客便排隊(duì)等待服務(wù)；即時(shí)制是一旦所有服務(wù)員忙碌，顧客便隨即離去。19（3）服務(wù)機(jī)制服務(wù)機(jī)制是指服務(wù)員的數(shù)目、服務(wù)時(shí)間和服務(wù)方式．服務(wù)員的數(shù)目可以是一個(gè)，也可以是多個(gè);一個(gè)服務(wù)系統(tǒng)對(duì)顧客可以逐個(gè)服務(wù)，也可成批服務(wù)；服務(wù)員為每一個(gè)顧客服務(wù)的時(shí)間可以是確定的，也可以是隨機(jī)的，對(duì)于隨機(jī)型的，一般假定每個(gè)顧客所需的服務(wù)時(shí)間是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量;

服務(wù)時(shí)間的分布對(duì)時(shí)間是平穩(wěn)的，即分布均值、方差等參數(shù)都與時(shí)間無關(guān)，都不受時(shí)間的影響．

排隊(duì)論的主要任務(wù)就是：建立數(shù)學(xué)模型來描述排隊(duì)系統(tǒng)的概率規(guī)律性，研究排隊(duì)顧客的平均數(shù)，顧客平均的等待時(shí)間，服務(wù)員平均接待的顧客等數(shù)量規(guī)律，為系統(tǒng)的最優(yōu)設(shè)計(jì)與最優(yōu)控制提供決策依據(jù)．202.排隊(duì)模型的標(biāo)準(zhǔn)形式排隊(duì)模型標(biāo)準(zhǔn)形式即X/Y/Z/A/B/C。其中：X：顧客到達(dá)間隔時(shí)間的分布Y：表示服務(wù)時(shí)間的分布Z：表示服務(wù)臺(tái)數(shù)目A：表示系統(tǒng)容量限制B：表示顧客源數(shù)目C：表示服務(wù)規(guī)則，如先到先服務(wù)FCFS，后到先服務(wù)LCFS，隨機(jī)服務(wù)等。本章中，我們只考慮先到先服務(wù)。3.排隊(duì)模型的數(shù)量指標(biāo)（1）隊(duì)長(zhǎng)：系統(tǒng)中的顧客數(shù)，其期望值記作；（2）排隊(duì)長(zhǎng)：系統(tǒng)中排隊(duì)等待服務(wù)的顧客數(shù)，其期望值記作；21（3）逗留時(shí)間：一個(gè)顧客在系統(tǒng)中的停留時(shí)間，其期望值記作；（4）等待時(shí)間：一個(gè)顧客在系統(tǒng)中排隊(duì)等待的時(shí)間，其期望值記作；注：逗留時(shí)間=等待時(shí)間+服務(wù)時(shí)間（5）忙期：服務(wù)機(jī)構(gòu)連續(xù)工作的時(shí)間長(zhǎng)度；（6）損失率：由于即時(shí)制或排隊(duì)系統(tǒng)條件的限制，使顧客被拒絕服務(wù)而使服務(wù)機(jī)構(gòu)受到損失的概率．4.系統(tǒng)的狀態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)是指系統(tǒng)中顧客的數(shù)量。一般說來，狀態(tài)的取值與時(shí)間有關(guān)，因此在時(shí)刻t狀態(tài)取值n的概率記為，若則稱為穩(wěn)態(tài)解(或統(tǒng)計(jì)平衡狀態(tài)解).穩(wěn)態(tài)的含義是，當(dāng)系統(tǒng)運(yùn)行了無限長(zhǎng)的時(shí)間后，初始出發(fā)狀態(tài)的概率分布的影響將消失，而且系統(tǒng)的狀態(tài)概率分布不再隨時(shí)間變化．22二、電話總機(jī)的設(shè)置

考慮一部電話總機(jī)，它的功能是當(dāng)有用戶呼叫時(shí)，提供一條線路供用戶通話，若為每一用戶準(zhǔn)備一條專線，則費(fèi)用很高；當(dāng)線路較少而需要服務(wù)的用戶很多時(shí)，就會(huì)導(dǎo)致有呼叫而沒有閑置線路的可能，于是，要求通話的用戶必須等待，由此問題產(chǎn)生了：應(yīng)當(dāng)有多少條線路，才能使被延誤的通話數(shù)量低于某一指標(biāo)．1.

呼叫發(fā)生與通話時(shí)間的概率描述

基本假設(shè)：（1）設(shè)電話用戶在這段時(shí)間內(nèi)對(duì)電話站呼叫一次的概率等于；（2）在互不重疊的時(shí)間間隔內(nèi)，總機(jī)收到的呼叫次數(shù)是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量；（3）在這段時(shí)間內(nèi)，呼叫兩次或兩次以上的概率等于．23模型建立與求解：

記表示長(zhǎng)度為t的時(shí)間間隔內(nèi)有k次呼叫的概率；表示長(zhǎng)度為t的時(shí)間間隔內(nèi)，電話用戶對(duì)總機(jī)的呼叫次數(shù)。對(duì)，考慮中有k次呼叫的概率．根據(jù)假設(shè)，可得到：對(duì)于區(qū)間[0,t+?t),可分為兩個(gè)部分[0,t)和[t,t+?t),現(xiàn)在到達(dá)總數(shù)為n,則無外乎三種情況：24[0,t)個(gè)數(shù)概率個(gè)數(shù)概率An0Bn-11Cn-22n-330n可得有k次

呼叫的概率為：則：25當(dāng)k=0時(shí)，有：按照這一規(guī)律發(fā)生的電話呼叫次數(shù)，構(gòu)成了泊松(Poisson)過程，則服從參數(shù)為的泊松分布。從另一個(gè)角度分析：由假設(shè)，連續(xù)兩次呼叫時(shí)間間隔

獨(dú)立同分布，設(shè)初始時(shí)刻,，則

與同分布，則有：

{在(0,t)內(nèi)呼叫次數(shù)為零}=．從而可得出分布函數(shù)和概率分布函數(shù)，即T服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布。262.Erlang等待制系統(tǒng)（M/M/s/∞）

模型假設(shè)：輸入過程：顧客源無限，單個(gè)到來，相互獨(dú)立，到達(dá)過程平穩(wěn)服從泊松分布。排隊(duì)規(guī)則：先到先服務(wù)服務(wù)機(jī)構(gòu)：各顧客服務(wù)的時(shí)間相互獨(dú)立，服從負(fù)指數(shù)分布規(guī)定各服務(wù)臺(tái)平均服務(wù)率相同：令（系統(tǒng)服務(wù)強(qiáng)度），只有當(dāng)時(shí)才不會(huì)排成無限的隊(duì)列。即有一個(gè)顧客到達(dá)的概率是λ?t+ο(?t)（λ表單位時(shí)間），一個(gè)顧客被服務(wù)完（離去）的概率是μ?t+ο(?t)。27

模型建立與求解：j-1jj+1當(dāng)j>s時(shí)，各狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)移概率存在如下圖示關(guān)系：01j-1jj+1當(dāng)js時(shí)，有：整個(gè)服務(wù)機(jī)構(gòu)的平均服務(wù)率為jμ（當(dāng)js)或?yàn)閟μ(當(dāng)j>s)28由上述模型，可得到：遞推法求解得到：式中．需要指出的是，的值由一個(gè)無窮級(jí)數(shù)所表示。29當(dāng)a<s時(shí)，該級(jí)數(shù)收斂，有,當(dāng)a≥s時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散，．因此，對(duì)于任何一個(gè)限指標(biāo)j，也就是說，不存在平穩(wěn)分布，等待服務(wù)的隊(duì)列持續(xù)不斷地加長(zhǎng)，隊(duì)列趨于無窮長(zhǎng)的概率為1,令

上式稱為等待制下的Erlang公式，對(duì)所考慮的模型，它表示所有線路被占用，因而一個(gè)新到來的呼叫不能被立即服務(wù)的概率.以表示電話系統(tǒng)平衡時(shí)平均占用的線路數(shù)，直接計(jì)算可得上式說明：系統(tǒng)平衡時(shí)必有顧客要求的服務(wù)強(qiáng)度等于實(shí)際提供的服務(wù)強(qiáng)度。30此式也對(duì)平衡條件a<s提供了解釋：當(dāng)a<s時(shí)，若能達(dá)到平衡，應(yīng)有，這意味著要求提供的線路數(shù)超過實(shí)際可能的線路數(shù)，這當(dāng)然是做不到的；當(dāng)a=s時(shí)是臨界情況，只有線路毫不間斷地充分利用，才可能平衡，但顧客來到是隨機(jī)的，必然有線路閑置的時(shí)刻，這些“浪費(fèi)”的時(shí)間不斷累積，因而達(dá)不到平衡．上述模型，排隊(duì)論中以標(biāo)準(zhǔn)形式：M/M/s/∞表示，第一個(gè)M表示到達(dá)規(guī)律服從泊松分布，第二個(gè)M表示服務(wù)時(shí)間為指數(shù)分布，第三個(gè)數(shù)s表示系統(tǒng)中有s個(gè)服為員，第四個(gè)符號(hào)表示隊(duì)列長(zhǎng)度無限．313.Erlang消失制系統(tǒng)（M/M/s/N）下面討論當(dāng)全部線路均已占用，再來的通話要求自動(dòng)放棄的情況，這種規(guī)則稱為消失制．采用這一規(guī)則的系統(tǒng)稱為Erlang消失制系統(tǒng)．假設(shè)系統(tǒng)只有s條線路；當(dāng)有j條被占用時(shí)，系統(tǒng)處于狀態(tài)．以表示時(shí)刻t時(shí)系統(tǒng)處于狀態(tài)Ej的概率，以下考慮所應(yīng)滿足的關(guān)系，先假設(shè)，記t時(shí)刻被占用的線路數(shù)為，則，由全概率公式有

由假設(shè)可知：32又由所以33令有類似地可以證明若t=0時(shí)，系統(tǒng)處于狀態(tài)Ei，則上述微分方程組的初始條件為利用如上的方程組與相應(yīng)初值，可以得到任何時(shí)刻系統(tǒng)處于任何狀態(tài)的概率。下面求出平衡分布。令Pj表示平衡分布達(dá)到時(shí)系統(tǒng)處于狀態(tài)Ej概率，顯然Pj與t無關(guān)，令，我們得到平衡概率分布滿足方程組：34化簡(jiǎn)得到這一分布稱為截?cái)嗟牟此煞植迹摻Y(jié)果表示：平衡分布只依賴于，注意到表示單位時(shí)間內(nèi)發(fā)生的呼叫次數(shù)，是一次通話的平均時(shí)間，則表示顧客所要求的電話總機(jī)服務(wù)強(qiáng)度。35令當(dāng)系統(tǒng)平衡時(shí)，它表示實(shí)際提供服務(wù)的平均線路數(shù)，另一方面，它也是被占用線路數(shù)的時(shí)間平均值，再令,這個(gè)數(shù)表示了每條線路的實(shí)際平均負(fù)載，或者說系統(tǒng)的效率，顯然有，其次，當(dāng)系統(tǒng)平衡時(shí)處于狀態(tài)Es概率是當(dāng)系統(tǒng)處于狀態(tài)Es時(shí)，所有的線路被占用，再來的呼叫不能被服務(wù)，因此P(s,a)也表示不能立即接通的通話要求所占的比例；這個(gè)量對(duì)話務(wù)工程顯然很重要，因此式上式被稱做Erlang消失公式。消失制系統(tǒng)還可得到：

36第三節(jié)隨機(jī)性存貯策略

第四章

1.需求是離散的隨機(jī)變量

2.需求是連續(xù)的隨機(jī)變量

3.（s,S）型隨機(jī)存貯策略37一、需求是離散的隨機(jī)變量

報(bào)童問題:每售出一份賺a元，若未能售出每份賠b元，每天售出r份的概率為p(r),問每天最好購進(jìn)多少份報(bào)紙，才能獲利最大？1.問題分析該問題是報(bào)童每天報(bào)紙的訂貨量Q為何值時(shí)，收入的期望值達(dá)到最大？換句話說，如何適當(dāng)?shù)剡x擇Q值，使因不能售出報(bào)紙的損失及因缺貨失去銷售機(jī)會(huì)的損失，兩者期望值之和最??？可從損失最小和贏利最大兩個(gè)角度解決該問題。2.模型建立與求解算法一：以計(jì)算損失期望值最小的方法求解

38當(dāng)時(shí)，此時(shí)因報(bào)紙不能售出而承擔(dān)損失，其期望值為當(dāng)時(shí)，此時(shí)因缺貨而少賺錢，損失的期望值為綜合得到，當(dāng)訂報(bào)數(shù)量為Q時(shí)，損失的總期望值為為使利潤(rùn)最大，應(yīng)使C(Q)最小，即

化簡(jiǎn)39算法二：以贏利最大的角度求解來確定報(bào)童的最佳訂報(bào)量

當(dāng)時(shí)，報(bào)童只售出了r份報(bào)紙，共賺(元)，未售出的報(bào)紙，退還給報(bào)社，每份賠b(元)，共賠(元).此時(shí)贏利的期望值為當(dāng)需求時(shí)，贏利的期望值為則贏利的總期望值為為使贏利最大，則C(Q)要最大。40則滿足：化簡(jiǎn)

某商店打算出售甲商品，每單位甲商品進(jìn)價(jià)50元，售價(jià)70元，若不能售出，則必須減價(jià)為40元，減價(jià)后一定可以售出，已知銷售量r服從參數(shù)為λ的泊松分布根據(jù)以往統(tǒng)計(jì)，平均售出數(shù)λ=6，問該店應(yīng)訂購多少甲種商品？例題：解：令，查表得F(6)=0.6063,F(7)=0.7440由于，則訂貨量為7單位時(shí)，獲利的期望值最大。41二、需求是連續(xù)型隨機(jī)變量

問題：設(shè)貨物單位成本為K，貨物單位售價(jià)為P，單位存貯量為，需求量f(r)是連續(xù)的隨機(jī)變量，概率密度函數(shù)為，其分布函數(shù)

生產(chǎn)或訂購的數(shù)量為Q，問如何確定Q的值，使贏利的期望值最大？模型建立與求解：當(dāng)訂購數(shù)量為Q時(shí)，實(shí)際銷售量為，需支付的存貯費(fèi)用貨物的總成本為KQ．贏利值為贏利的期望值為42記顯然上式表明：贏利最大與損失最小所得出的Q值相同，從而求贏利最大可以轉(zhuǎn)化為求極小，當(dāng)Q可以連續(xù)取值時(shí)，是Q的連續(xù)函數(shù)．令記則從中解出極小值Q，經(jīng)檢驗(yàn)是最小值。43

問題：商店在一個(gè)月中的銷售量是隨機(jī)的，每到月底，商店的經(jīng)理要根據(jù)倉庫存貨的多少來決定是否訂購貨物，以供下個(gè)月的銷售．經(jīng)理采用的一種簡(jiǎn)單的策略是制訂一個(gè)下界s和一個(gè)上界S，當(dāng)月底存貨不少于s時(shí)就不訂貨；當(dāng)存貨少于s時(shí)則訂貨，且訂貨的數(shù)量使得下月初的存貨量達(dá)到S，這種策略稱為（s,S）型隨機(jī)存貯策略．在考慮（s,S）型隨機(jī)存貯策略時(shí)，我們只考慮訂購貨物費(fèi)、存貯費(fèi)、缺貨損失費(fèi)及貨物的進(jìn)價(jià)，存貯策略的優(yōu)劣以平均意義下的總費(fèi)用為標(biāo)準(zhǔn)，根據(jù)需求是連續(xù)的還是離散的，下面我們分兩種情形來討論（s,S）型隨機(jī)存貯策略．二、（s,S）型隨機(jī)存貯策略441.需求為連續(xù)型隨機(jī)變量

模型假設(shè)：商品在一月中的銷售量r是連續(xù)的隨機(jī)變量，其概率密度函數(shù)為f(r)；每件商品的進(jìn)價(jià)為K，每件商品一月的存貯費(fèi)為C1，每件商品的缺貨損失費(fèi)為C2，每次訂購貨物的費(fèi)用為C3（與訂貨數(shù)量無關(guān)）；記月底的存貨量為I，訂貨量為Q，并且訂貨以后，立即到貨，于是下月初貨物存貯達(dá)到S=I+Q．

模型分析與求解：本月所需的各種費(fèi)用如下：訂貨費(fèi)：C3+KQ需支付的存貯費(fèi)用的期望值：45需支付的缺貨損失費(fèi)用的期望值：本月總費(fèi)用的期望值為如何求出s,S,使得C(S)最??？先確定S的值：因Q可以連續(xù)取值，所以C(S)是S的連續(xù)函數(shù).確定S的值46再確定s：找到s(s≤S)，使得下列不等式成立：當(dāng)s=S時(shí)，不等式顯然成立．當(dāng)s<S時(shí)，上面不等式右端存貯費(fèi)用期望值大于左端存儲(chǔ)費(fèi)用期望值，右端缺貨費(fèi)用期望值小于左端缺貨費(fèi)用期望值，一減一增后，使不等式成立的可能性是存在的，若滿足上述不等式的s不只一個(gè)，則選取其中最小的s作為（s,S）型存貯策略的．47

綜上所述，我們得到的存貯策略是：每個(gè)月底檢查庫存，若庫存I<s時(shí)，需訂貨，訂貨的數(shù)量為Q=s-I，當(dāng)庫存Is時(shí)，本月不訂貨.這種存貯策略是：定期訂貨但訂貨數(shù)量不確定，訂貨數(shù)量的多少，取決于庫存，對(duì)于不易清點(diǎn)數(shù)量的存貯，人們常把存貯分兩堆存放，一堆的數(shù)量為，其余的放另一堆，平常從另放的一堆中取用，當(dāng)動(dòng)用了數(shù)量為的一堆時(shí)，月底即訂貨，若沒有動(dòng)用數(shù)量為的一堆時(shí)，月底可以不訂貨，因此這種方法，俗稱二堆方法．482.需求為離散型隨機(jī)變量

模型假設(shè)：商品在一個(gè)月中需求取值為，其中，對(duì)應(yīng)的概率為，滿足．每件商品的進(jìn)價(jià)為K，每件商品一個(gè)月的存貯費(fèi)為C1，每件商品的缺貨損失費(fèi)為C2，每次訂購貨物的費(fèi)用為C3（與訂貨數(shù)量無關(guān)）；記月底的存貨量為I，訂貨量為Q（每月最多訂一次貨），并且訂貨以后，立即到貨，于是下月初貨物存貯達(dá)到I+Q．

模型分析與求解：本月所需的各種費(fèi)用如下：訂貨費(fèi)：C3+KQ49存貯費(fèi)：當(dāng)需求r<I+Q時(shí)，沒有售出的貨物需支付存貯費(fèi)，所需存貯費(fèi)的期望值為需支付的缺貨損失費(fèi)用的期望值：當(dāng)需求r>I+Q時(shí)，(r-I-Q)件貨物需支付缺貨費(fèi)，其期望值為本月總費(fèi)用的期望值為令S=I+Q求出S值，使C(S)最小。50S值解法如下:將需求量r的取值按大小順序排列為，其中，記S只從中取值，當(dāng)S取值時(shí)，記為求S的值，使C(S)最小。由于若，則51令得到