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江蘇省泰州市泰州棟梁學(xué)校2024屆高三(最后沖刺)數(shù)學(xué)試卷考生請(qǐng)注意:1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi),第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.“是函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件2.在中,角所對(duì)的邊分別為,已知,.當(dāng)變化時(shí),若存在最大值,則正數(shù)的取值范圍為A. B. C. D.3.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸出的結(jié)果為3,則可輸入的實(shí)數(shù)值的個(gè)數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.44.若干年前,某教師剛退休的月退休金為6000元,月退休金各種用途占比統(tǒng)計(jì)圖如下面的條形圖.該教師退休后加強(qiáng)了體育鍛煉,目前月退休金的各種用途占比統(tǒng)計(jì)圖如下面的折線圖.已知目前的月就醫(yī)費(fèi)比剛退休時(shí)少100元,則目前該教師的月退休金為().A.6500元 B.7000元 C.7500元 D.8000元5.已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(),則sin()=A. B. C. D.6.若,則“”是“的展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為90”的()A.必要不充分條件 B.充分不必要條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件7.已知,則“直線與直線垂直”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件8.函數(shù)圖像可能是()A. B. C. D.9.如圖,網(wǎng)格紙是由邊長(zhǎng)為1的小正方形構(gòu)成,若粗實(shí)線畫(huà)出的是某幾何體的三視圖,則該幾何體的表面積為()A. B. C. D.10.某設(shè)備使用年限x(年)與所支出的維修費(fèi)用y(萬(wàn)元)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)分別為,,,,由最小二乘法得到回歸直線方程為,若計(jì)劃維修費(fèi)用超過(guò)15萬(wàn)元將該設(shè)備報(bào)廢,則該設(shè)備的使用年限為()A.8年 B.9年 C.10年 D.11年11.已知雙曲線C:()的左、右焦點(diǎn)分別為,過(guò)的直線l與雙曲線C的左支交于A、B兩點(diǎn).若,則雙曲線C的漸近線方程為()A. B. C. D.12.己知四棱錐中,四邊形為等腰梯形,,,是等邊三角形,且;若點(diǎn)在四棱錐的外接球面上運(yùn)動(dòng),記點(diǎn)到平面的距離為,若平面平面,則的最大值為()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知實(shí)數(shù)滿(mǎn)足則點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域的面積為_(kāi)___,的最大值為_(kāi)________14.曲線在處的切線方程是_________.15.假設(shè)10公里長(zhǎng)跑,甲跑出優(yōu)秀的概率為,乙跑出優(yōu)秀的概率為,丙跑出優(yōu)秀的概率為,則甲、乙、丙三人同時(shí)參加10公里長(zhǎng)跑,剛好有2人跑出優(yōu)秀的概率為_(kāi)_______.16.已知點(diǎn)是雙曲線漸近線上的一點(diǎn),則雙曲線的離心率為_(kāi)______三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù),(Ⅰ)當(dāng)時(shí),證明;(Ⅱ)已知點(diǎn),點(diǎn),設(shè)函數(shù),當(dāng)時(shí),試判斷的零點(diǎn)個(gè)數(shù).18.(12分)一酒企為擴(kuò)大生產(chǎn)規(guī)模,決定新建一個(gè)底面為長(zhǎng)方形的室內(nèi)發(fā)酵館,發(fā)酵館內(nèi)有一個(gè)無(wú)蓋長(zhǎng)方體發(fā)酵池,其底面為長(zhǎng)方形(如圖所示),其中.結(jié)合現(xiàn)有的生產(chǎn)規(guī)模,設(shè)定修建的發(fā)酵池容積為450米,深2米.若池底和池壁每平方米的造價(jià)分別為200元和150元,發(fā)酵池造價(jià)總費(fèi)用不超過(guò)65400元(1)求發(fā)酵池邊長(zhǎng)的范圍;(2)在建發(fā)酵館時(shí),發(fā)酵池的四周要分別留出兩條寬為4米和米的走道(為常數(shù)).問(wèn):發(fā)酵池的邊長(zhǎng)如何設(shè)計(jì),可使得發(fā)酵館占地面積最小.19.(12分)已知函數(shù),曲線在點(diǎn)處的切線在y軸上的截距為.(1)求a;(2)討論函數(shù)和的單調(diào)性;(3)設(shè),求證:.20.(12分)如圖,在四棱錐中,四邊形為正方形,平面,點(diǎn)是棱的中點(diǎn),,.(1)若,證明:平面平面;(2)若三棱錐的體積為,求二面角的余弦值.21.(12分)在直角坐標(biāo)系中,是過(guò)定點(diǎn)且傾斜角為的直線;在極坐標(biāo)系(以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),以軸非負(fù)半軸為極軸,取相同單位長(zhǎng)度)中,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)寫(xiě)出直線的參數(shù)方程,并將曲線的方程化為直角坐標(biāo)方程;(2)若曲線與直線相交于不同的兩點(diǎn),求的取值范圍.22.(10分)隨著互聯(lián)網(wǎng)金融的不斷發(fā)展,很多互聯(lián)網(wǎng)公司推出余額增值服務(wù)產(chǎn)品和活期資金管理服務(wù)產(chǎn)品,如螞蟻金服旗下的“余額寶”,騰訊旗下的“財(cái)富通”,京東旗下“京東小金庫(kù)”.為了調(diào)查廣大市民理財(cái)產(chǎn)品的選擇情況,隨機(jī)抽取1200名使用理財(cái)產(chǎn)品的市民,按照使用理財(cái)產(chǎn)品的情況統(tǒng)計(jì)得到如下頻數(shù)分布表:分組頻數(shù)(單位:名)使用“余額寶”使用“財(cái)富通”使用“京東小金庫(kù)”30使用其他理財(cái)產(chǎn)品50合計(jì)1200已知這1200名市民中,使用“余額寶”的人比使用“財(cái)富通”的人多160名.(1)求頻數(shù)分布表中,的值;(2)已知2018年“余額寶”的平均年化收益率為,“財(cái)富通”的平均年化收益率為.若在1200名使用理財(cái)產(chǎn)品的市民中,從使用“余額寶”和使用“財(cái)富通”的市民中按分組用分層抽樣方法共抽取7人,然后從這7人中隨機(jī)選取2人,假設(shè)這2人中每個(gè)人理財(cái)?shù)馁Y金有10000元,這2名市民2018年理財(cái)?shù)睦⒖偤蜑椋蟮姆植剂屑皵?shù)學(xué)期望.注:平均年化收益率,也就是我們所熟知的利息,理財(cái)產(chǎn)品“平均年化收益率為”即將100元錢(qián)存入某理財(cái)產(chǎn)品,一年可以獲得3元利息.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】,令解得當(dāng),的圖像如下圖當(dāng),的圖像如下圖由上兩圖可知,是充要條件【考點(diǎn)定位】考查充分條件和必要條件的概念,以及函數(shù)圖像的畫(huà)法.2、C【解析】
因?yàn)椋?,所以根?jù)正弦定理可得,所以,,所以,其中,,因?yàn)榇嬖谧畲笾?,所以由,可得,所以,所以,解得,所以正?shù)的取值范圍為,故選C.3、C【解析】試題分析:根據(jù)題意,當(dāng)時(shí),令,得;當(dāng)時(shí),令,得,故輸入的實(shí)數(shù)值的個(gè)數(shù)為1.考點(diǎn):程序框圖.4、D【解析】
設(shè)目前該教師的退休金為x元,利用條形圖和折線圖列出方程,求出結(jié)果即可.【詳解】設(shè)目前該教師的退休金為x元,則由題意得:6000×15%﹣x×10%=1.解得x=2.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查由條形圖和折線圖等基礎(chǔ)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題,屬于基礎(chǔ)題.5、A【解析】
由題意可得三角函數(shù)的定義可知:,,則:本題選擇A選項(xiàng).6、B【解析】
求得的二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)為,令時(shí),可得項(xiàng)的系數(shù)為90,即,求得,即可得出結(jié)果.【詳解】若則二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)為,令,即,則項(xiàng)的系數(shù)為,充分性成立;當(dāng)?shù)恼归_(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為90,則有,從而,必要性不成立.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理、充分條件、必要條件及充要條件的判斷知識(shí),考查考生的分析問(wèn)題的能力和計(jì)算能力,難度較易.7、B【解析】
由兩直線垂直求得則或,再根據(jù)充要條件的判定方法,即可求解.【詳解】由題意,“直線與直線垂直”則,解得或,所以“直線與直線垂直”是“”的必要不充分條件,故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩直線的位置關(guān)系,及必要不充分條件的判定,其中解答中利用兩直線的位置關(guān)系求得的值,同時(shí)熟記充要條件的判定方法是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與論證能力,屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】
先判斷函數(shù)的奇偶性可排除選項(xiàng)A,C,當(dāng)時(shí),可分析函數(shù)值為正,即可判斷選項(xiàng).【詳解】,,即函數(shù)為偶函數(shù),故排除選項(xiàng)A,C,當(dāng)正數(shù)越來(lái)越小,趨近于0時(shí),,所以函數(shù),故排除選項(xiàng)B,故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性,識(shí)別函數(shù)的圖象,屬于中檔題.9、C【解析】
根據(jù)三視圖還原為幾何體,結(jié)合組合體的結(jié)構(gòu)特征求解表面積.【詳解】由三視圖可知,該幾何體可看作是半個(gè)圓柱和一個(gè)長(zhǎng)方體的組合體,其中半圓柱的底面半圓半徑為1,高為4,長(zhǎng)方體的底面四邊形相鄰邊長(zhǎng)分別為1,2,高為4,所以該幾何體的表面積,故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查三視圖的識(shí)別,利用三視圖還原成幾何體是求解關(guān)鍵,側(cè)重考查直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).10、D【解析】
根據(jù)樣本中心點(diǎn)在回歸直線上,求出,求解,即可求出答案.【詳解】依題意在回歸直線上,,由,估計(jì)第年維修費(fèi)用超過(guò)15萬(wàn)元.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查回歸直線過(guò)樣本中心點(diǎn)、以及回歸方程的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.11、D【解析】
設(shè),利用余弦定理,結(jié)合雙曲線的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè),由雙曲線的定義可知:因此再由雙曲線的定義可知:,在三角形中,由余弦定理可知:,因此雙曲線的漸近線方程為:.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的定義的應(yīng)用,考查了余弦定理的應(yīng)用,考查了雙曲線的漸近線方程,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.12、A【解析】
根據(jù)平面平面,四邊形為等腰梯形,則球心在過(guò)的中點(diǎn)的面的垂線上,又是等邊三角形,所以球心也在過(guò)的外心面的垂線上,從而找到球心,再根據(jù)已知量求解即可.【詳解】依題意如圖所示:取的中點(diǎn),則是等腰梯形外接圓的圓心,取是的外心,作平面平面,則是四棱錐的外接球球心,且,設(shè)四棱錐的外接球半徑為,則,而,所以,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查組合體、球,還考查空間想象能力以及數(shù)形結(jié)合的思想,屬于難題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、811【解析】
畫(huà)出不等式組表示的平面區(qū)域,數(shù)形結(jié)合求得區(qū)域面積以及目標(biāo)函數(shù)的最值.【詳解】不等式組表示的平面區(qū)域如下圖所示:數(shù)形結(jié)合可知,可行域?yàn)槿切?,且底邊長(zhǎng),高為,故區(qū)域面積;令,變?yōu)?,顯然直線過(guò)時(shí),z最大,故.故答案為:;11.【點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問(wèn)題,涉及區(qū)域面積的求解,屬基礎(chǔ)題.14、【解析】
利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求出導(dǎo)函數(shù),再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解.【詳解】求導(dǎo)得,所以,所以切線方程為故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】
分跑出優(yōu)秀的人為:甲、乙和甲、丙和乙、丙三種情況分別計(jì)算再求和即可.【詳解】剛好有2人跑出優(yōu)秀有三種情況:其一是只有甲、乙兩人跑出優(yōu)秀的概率為;其二是只有甲、丙兩人跑出優(yōu)秀的概率為;其三是只有乙、丙兩人跑出優(yōu)秀的概率為,三種情況相加得.即剛好有2人跑出優(yōu)秀的概率為.故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查了分類(lèi)方法求解事件概率的問(wèn)題,屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】
先表示出漸近線,再代入點(diǎn),求出,則離心率易求.【詳解】解:的漸近線是因?yàn)樵跐u近線上,所以,故答案為:【點(diǎn)睛】考查雙曲線的離心率的求法,是基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(Ⅰ)詳見(jiàn)解析;(Ⅱ)1.【解析】
(Ⅰ)令,;則.易得,.即可證明;(Ⅱ),分①,②,③當(dāng)時(shí),討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可.【詳解】解:(Ⅰ)令,;則.令,,易得在遞減,在遞增,∴,∴在恒成立.∵在遞減,在遞增.∴.∵;(Ⅱ)∵點(diǎn),點(diǎn),∴,.①當(dāng)時(shí),可知,∴∴,,∴.∴在單調(diào)遞增,,.∴在上有一個(gè)零點(diǎn),②當(dāng)時(shí),,,∴,∴在恒成立,∴在無(wú)零點(diǎn).③當(dāng)時(shí),,.∴在單調(diào)遞減,,.∴在存在一個(gè)零點(diǎn).綜上,的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1..【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題,考查了分類(lèi)討論思想,屬于壓軸題.18、(1)(2)當(dāng)時(shí),,米時(shí),發(fā)酵館的占地面積最小;當(dāng)時(shí),時(shí),發(fā)酵館的占地面積最??;當(dāng)時(shí),米時(shí),發(fā)酵館的占地面積最小.【解析】
(1)設(shè)米,總費(fèi)用為,解即可得解;(2)結(jié)合(1)可得占地面積結(jié)合導(dǎo)函數(shù)分類(lèi)討論即可求得最值.【詳解】(1)由題意知:矩形面積米,設(shè)米,則米,由題意知:,得,設(shè)總費(fèi)用為,則,解得:,又,故,所以發(fā)酵池邊長(zhǎng)的范圍是不小于15米,且不超過(guò)25米;(2)設(shè)發(fā)酵館的占地面積為由(1)知:,①時(shí),,在上遞增,則,即米時(shí),發(fā)酵館的占地面積最小;②時(shí),,在上遞減,則,即米時(shí),發(fā)酵館的占地面積最??;③時(shí),時(shí),,遞減;時(shí),遞增,因此,即時(shí),發(fā)酵館的占地面積最??;綜上所述:當(dāng)時(shí),,米時(shí),發(fā)酵館的占地面積最??;當(dāng)時(shí),時(shí),發(fā)酵館的占地面積最??;當(dāng)時(shí),米時(shí),發(fā)酵館的占地面積最小.【點(diǎn)睛】此題考查函數(shù)模型的應(yīng)用,關(guān)鍵在于根據(jù)題意恰當(dāng)?shù)亟⒛P?,利用函?shù)性質(zhì)討論最值取得的情況.19、(1)(2)為減函數(shù),為增函數(shù).(3)證明見(jiàn)解析【解析】
(1)求出導(dǎo)函數(shù),求出切線方程,令得切線的縱截距,可得(必須利用函數(shù)的單調(diào)性求解);(2)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)確定單調(diào)性;(3)不等式變形為,由遞減,得(),即,即,依次放縮,.不等式,遞增得(),,,,先證,然后同樣放縮得出結(jié)論.【詳解】解:(1)對(duì)求導(dǎo),得.因此.又因?yàn)椋郧€在點(diǎn)處的切線方程為,即.由題意,.顯然,適合上式.令,求導(dǎo)得,因此為增函數(shù):故是唯一解.(2)由(1)可知,,因?yàn)椋詾闇p函數(shù).因?yàn)?,所以為增函?shù).(3)證明:由,易得.由(2)可知,在上為減函數(shù).因此,當(dāng)時(shí),,即.令,得,即.因此,當(dāng)時(shí),.所以成立.下面證明:.由(2)可知,在上為增函數(shù).因此,當(dāng)時(shí),,即.因此,即.令,得,即.當(dāng)時(shí),.因?yàn)?,所以,所?所以,當(dāng)時(shí),.所以,當(dāng)時(shí),成立.綜上所述,當(dāng)時(shí),成立.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,考查用導(dǎo)數(shù)證明不等式.本題中不等式的證明,考查了轉(zhuǎn)化與化歸的能力,把不等式變形后利用第(2)小題函數(shù)的單調(diào)性得出數(shù)列的不等關(guān)系:,.這是最關(guān)鍵的一步.然后一步一步放縮即可證明.本題屬于困難題.20、(1)見(jiàn)解析(2)【解析】
(1)由已知可證得平面,則有,在中,由已知可得,即可證得平面,進(jìn)而證得結(jié)論.(2)過(guò)作交于,由為的中點(diǎn),結(jié)合已知有平面.則,可求得.建立坐標(biāo)系分別求得面的法向量,平面的一個(gè)法向量為,利用公式即可求得結(jié)果.【詳解】(1)證明:平面,平面,,又四邊形為正方形,.又、平面,且,平面..中,,為的中點(diǎn),.又、平面,,平面.平面,平面平面.(2)解:過(guò)作交于,如圖為的中點(diǎn),,.又平面,平面.,.所以,又、、兩兩互相垂直,以、、為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.,,,設(shè)平面的法向量,則,即.令,則,..平面的一個(gè)法向量為.二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查面面垂直的證明方法,考查了空間線線、線面、面面位置關(guān)系,考查利用向量法求二面角的方法,難度一般.21、(1)(為參數(shù)),;(2)【解析】分析:(1)直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),其中表示之
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