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2023-2024學(xué)年福建省安溪六中高考沖刺模擬數(shù)學(xué)試題考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.函數(shù)的部分圖象如圖所示,則()A.6 B.5 C.4 D.32.若函數(shù)函數(shù)只有1個零點,則的取值范圍是()A. B. C. D.3.已知,則,不可能滿足的關(guān)系是()A. B. C. D.4.某人造地球衛(wèi)星的運行軌道是以地心為一個焦點的橢圓,其軌道的離心率為,設(shè)地球半徑為,該衛(wèi)星近地點離地面的距離為,則該衛(wèi)星遠地點離地面的距離為()A. B.C. D.5.已知函數(shù),給出下列四個結(jié)論:①函數(shù)的值域是;②函數(shù)為奇函數(shù);③函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減;④若對任意,都有成立,則的最小值為;其中正確結(jié)論的個數(shù)是()A. B. C. D.6.?dāng)?shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合,也可以組成世間萬物的絢麗畫面.一些優(yōu)美的曲線是數(shù)學(xué)形象美、對稱美、和諧美的結(jié)合產(chǎn)物,曲線恰好是四葉玫瑰線.給出下列結(jié)論:①曲線C經(jīng)過5個整點(即橫、縱坐標均為整數(shù)的點);②曲線C上任意一點到坐標原點O的距離都不超過2;③曲線C圍成區(qū)域的面積大于;④方程表示的曲線C在第二象限和第四象限其中正確結(jié)論的序號是()A.①③ B.②④ C.①②③ D.②③④7.已知函數(shù)有兩個不同的極值點,,若不等式有解,則的取值范圍是()A. B.C. D.8.已知拋物線:,點為上一點,過點作軸于點,又知點,則的最小值為()A. B. C.3 D.59.已知復(fù)數(shù),其中,,是虛數(shù)單位,則()A. B. C. D.10.關(guān)于圓周率π,數(shù)學(xué)發(fā)展史上出現(xiàn)過許多很有創(chuàng)意的求法,如著名的浦豐實驗和查理斯實驗.受其啟發(fā),我們也可以通過設(shè)計下面的實驗來估計的值:先請全校名同學(xué)每人隨機寫下一個都小于的正實數(shù)對;再統(tǒng)計兩數(shù)能與構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對的個數(shù);最后再根據(jù)統(tǒng)計數(shù)估計的值,那么可以估計的值約為()A. B. C. D.11.設(shè)復(fù)數(shù)滿足,在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為,則()A. B. C. D.12.已知函數(shù),若方程恰有兩個不同實根,則正數(shù)m的取值范圍為()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知雙曲線的兩條漸近線方程為,若頂點到漸近線的距離為1,則雙曲線方程為.14.某幾何體的三視圖如圖所示(單位:cm),則該幾何體的表面積是______cm2,體積是_____15.已知點為雙曲線的右焦點,兩點在雙曲線上,且關(guān)于原點對稱,若,設(shè),且,則該雙曲線的焦距的取值范圍是________.16.已知F為拋物線C:x2=8y的焦點,P為C上一點,M(﹣4,3),則△PMF周長的最小值是_____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù)(1)當(dāng)時,證明,在恒成立;(2)若在處取得極大值,求的取值范圍.18.(12分)某工廠,兩條相互獨立的生產(chǎn)線生產(chǎn)同款產(chǎn)品,在產(chǎn)量一樣的情況下通過日常監(jiān)控得知,生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品為合格品的概率分別為和.(1)從,生產(chǎn)線上各抽檢一件產(chǎn)品,若使得至少有一件合格的概率不低于,求的最小值.(2)假設(shè)不合格的產(chǎn)品均可進行返工修復(fù)為合格品,以(1)中確定的作為的值.①已知,生產(chǎn)線的不合格產(chǎn)品返工后每件產(chǎn)品可分別挽回損失元和元.若從兩條生產(chǎn)線上各隨機抽檢件產(chǎn)品,以挽回損失的平均數(shù)為判斷依據(jù),估計哪條生產(chǎn)線挽回的損失較多?②若最終的合格品(包括返工修復(fù)后的合格品)按照一、二、三等級分類后,每件分別獲利元、元、元,現(xiàn)從,生產(chǎn)線的最終合格品中各隨機抽取件進行檢測,結(jié)果統(tǒng)計如下圖;用樣本的頻率分布估計總體分布,記該工廠生產(chǎn)一件產(chǎn)品的利潤為,求的分布列并估算該廠產(chǎn)量件時利潤的期望值.19.(12分)已知橢圓的右焦點為,離心率為.(1)若,求橢圓的方程;(2)設(shè)直線與橢圓相交于、兩點,、分別為線段、的中點,若坐標原點在以為直徑的圓上,且,求的取值范圍.20.(12分)如圖,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠ABC=90°,AB=AA1,M,N分別是AC,B1C1的中點.求證:(1)MN∥平面ABB1A1;(2)AN⊥A1B.21.(12分)已知,,不等式恒成立.(1)求證:(2)求證:.22.(10分)某企業(yè)現(xiàn)有A.B兩套設(shè)備生產(chǎn)某種產(chǎn)品,現(xiàn)從A,B兩套設(shè)備生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中各抽取了100件產(chǎn)品作為樣本,檢測某一項質(zhì)量指標值,若該項質(zhì)量指標值落在內(nèi)的產(chǎn)品視為合格品,否則為不合格品.圖1是從A設(shè)備抽取的樣本頻率分布直方圖,表1是從B設(shè)備抽取的樣本頻數(shù)分布表.圖1:A設(shè)備生產(chǎn)的樣本頻率分布直方圖表1:B設(shè)備生產(chǎn)的樣本頻數(shù)分布表質(zhì)量指標值頻數(shù)2184814162(1)請估計A.B設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量指標的平均值;(2)企業(yè)將不合格品全部銷毀后,并對合格品進行等級細分,質(zhì)量指標值落在內(nèi)的定為一等品,每件利潤240元;質(zhì)量指標值落在或內(nèi)的定為二等品,每件利潤180元;其它的合格品定為三等品,每件利潤120元.根據(jù)圖1、表1的數(shù)據(jù),用該組樣本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的頻率代替從所有產(chǎn)品中抽到一件相應(yīng)等級產(chǎn)品的概率.企業(yè)由于投入資金的限制,需要根據(jù)A,B兩套設(shè)備生產(chǎn)的同一種產(chǎn)品每件獲得利潤的期望值調(diào)整生產(chǎn)規(guī)模,請根據(jù)以上數(shù)據(jù),從經(jīng)濟效益的角度考慮企業(yè)應(yīng)該對哪一套設(shè)備加大生產(chǎn)規(guī)模?
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】
根據(jù)正切函數(shù)的圖象求出A、B兩點的坐標,再求出向量的坐標,根據(jù)向量數(shù)量積的坐標運算求出結(jié)果.【詳解】由圖象得,令=0,即=kπ,k=0時解得x=2,令=1,即,解得x=3,∴A(2,0),B(3,1),∴,∴.故選:A.【點睛】本題考查正切函數(shù)的圖象,平面向量數(shù)量積的運算,屬于綜合題,但是難度不大,解題關(guān)鍵是利用圖象與正切函數(shù)圖象求出坐標,再根據(jù)向量數(shù)量積的坐標運算可得結(jié)果,屬于簡單題.2、C【解析】
轉(zhuǎn)化有1個零點為與的圖象有1個交點,求導(dǎo)研究臨界狀態(tài)相切時的斜率,數(shù)形結(jié)合即得解.【詳解】有1個零點等價于與的圖象有1個交點.記,則過原點作的切線,設(shè)切點為,則切線方程為,又切線過原點,即,將,代入解得.所以切線斜率為,所以或.故選:C【點睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)零點問題中的應(yīng)用,考查了學(xué)生數(shù)形結(jié)合,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運算的能力,屬于較難題.3、C【解析】
根據(jù)即可得出,,根據(jù),,即可判斷出結(jié)果.【詳解】∵;∴,;∴,,故正確;,故C錯誤;∵,故D正確故C.【點睛】本題主要考查指數(shù)式和對數(shù)式的互化,對數(shù)的運算,以及基本不等式:和不等式的應(yīng)用,屬于中檔題4、A【解析】
由題意畫出圖形,結(jié)合橢圓的定義,結(jié)合橢圓的離心率,求出橢圓的長半軸a,半焦距c,即可確定該衛(wèi)星遠地點離地面的距離.【詳解】橢圓的離心率:,(c為半焦距;a為長半軸),設(shè)衛(wèi)星近地點,遠地點離地面距離分別為r,n,如圖:則所以,,故選:A【點睛】本題主要考查了橢圓的離心率的求法,注意半焦距與長半軸的求法,是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.5、C【解析】
化的解析式為可判斷①,求出的解析式可判斷②,由得,結(jié)合正弦函數(shù)得圖象即可判斷③,由得可判斷④.【詳解】由題意,,所以,故①正確;為偶函數(shù),故②錯誤;當(dāng)時,,單調(diào)遞減,故③正確;若對任意,都有成立,則為最小值點,為最大值點,則的最小值為,故④正確.故選:C.【點睛】本題考查三角函數(shù)的綜合運用,涉及到函數(shù)的值域、函數(shù)單調(diào)性、函數(shù)奇偶性及函數(shù)最值等內(nèi)容,是一道較為綜合的問題.6、B【解析】
利用基本不等式得,可判斷②;和聯(lián)立解得可判斷①③;由圖可判斷④.【詳解】,解得(當(dāng)且僅當(dāng)時取等號),則②正確;將和聯(lián)立,解得,即圓與曲線C相切于點,,,,則①和③都錯誤;由,得④正確.故選:B.【點睛】本題考查曲線與方程的應(yīng)用,根據(jù)方程,判斷曲線的性質(zhì)及結(jié)論,考查學(xué)生邏輯推理能力,是一道有一定難度的題.7、C【解析】
先求導(dǎo)得(),由于函數(shù)有兩個不同的極值點,,轉(zhuǎn)化為方程有兩個不相等的正實數(shù)根,根據(jù),,,求出的取值范圍,而有解,通過分裂參數(shù)法和構(gòu)造新函數(shù),通過利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性、最值,即可得出的取值范圍.【詳解】由題可得:(),因為函數(shù)有兩個不同的極值點,,所以方程有兩個不相等的正實數(shù)根,于是有解得.若不等式有解,所以因為.設(shè),,故在上單調(diào)遞增,故,所以,所以的取值范圍是.故選:C.【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、最值來求參數(shù)取值范圍,以及運用分離參數(shù)法和構(gòu)造函數(shù)法,還考查分析和計算能力,有一定的難度.8、C【解析】
由,再運用三點共線時和最小,即可求解.【詳解】.故選:C【點睛】本題考查拋物線的定義,合理轉(zhuǎn)化是本題的關(guān)鍵,注意拋物線的性質(zhì)的靈活運用,屬于中檔題.9、D【解析】試題分析:由,得,則,故選D.考點:1、復(fù)數(shù)的運算;2、復(fù)數(shù)的模.10、D【解析】
由試驗結(jié)果知對0~1之間的均勻隨機數(shù),滿足,面積為1,再計算構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對,滿足條件的面積,由幾何概型概率計算公式,得出所取的點在圓內(nèi)的概率是圓的面積比正方形的面積,即可估計的值.【詳解】解:根據(jù)題意知,名同學(xué)取對都小于的正實數(shù)對,即,對應(yīng)區(qū)域為邊長為的正方形,其面積為,若兩個正實數(shù)能與構(gòu)成鈍角三角形三邊,則有,其面積;則有,解得故選:.【點睛】本題考查線性規(guī)劃可行域問題及隨機模擬法求圓周率的幾何概型應(yīng)用問題.線性規(guī)劃可行域是一個封閉的圖形,可以直接解出可行域的面積;求解與面積有關(guān)的幾何概型時,關(guān)鍵是弄清某事件對應(yīng)的面積,必要時可根據(jù)題意構(gòu)造兩個變量,把變量看成點的坐標,找到試驗全部結(jié)果構(gòu)成的平面圖形,以便求解.11、B【解析】
設(shè),根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義得到、的關(guān)系式,即可得解;【詳解】解:設(shè)∵,∴,解得.故選:B【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.12、D【解析】
當(dāng)時,函數(shù)周期為,畫出函數(shù)圖像,如圖所示,方程兩個不同實根,即函數(shù)和有圖像兩個交點,計算,,根據(jù)圖像得到答案.【詳解】當(dāng)時,,故函數(shù)周期為,畫出函數(shù)圖像,如圖所示:方程,即,即函數(shù)和有兩個交點.,,故,,,,.根據(jù)圖像知:.故選:.【點睛】本題考查了函數(shù)的零點問題,確定函數(shù)周期畫出函數(shù)圖像是解題的關(guān)鍵.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】由已知,即,取雙曲線頂點及漸近線,則頂點到該漸近線的距離為,由題可知,所以,則所求雙曲線方程為.14、20+45,8【解析】試題分析:由題意得,該幾何體為三棱柱,故其表面積S=2×1體積V=12×4×2×2=8,故填:20+4考點:1.三視圖;2.空間幾何體的表面積與體積.15、【解析】
設(shè)雙曲線的左焦點為,連接,由于.所以四邊形為矩形,故,由雙曲線定義可得,再求的值域即可.【詳解】如圖,設(shè)雙曲線的左焦點為,連接,由于.所以四邊形為矩形,故.在中,由雙曲線的定義可得,.故答案為:【點睛】本題考查雙曲線定義及其性質(zhì),涉及到求余弦型函數(shù)的值域,考查學(xué)生的運算能力,是一道中檔題.16、5【解析】
△PMF的周長最小,即求最小,過做拋物線準線的垂線,垂足為,轉(zhuǎn)化為求最小,數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】如圖,F(xiàn)為拋物線C:x2=8y的焦點,P為C上一點,M(﹣4,3),拋物線C:x2=8y的焦點為F(0,2),準線方程為y=﹣2.過作準線的垂線,垂足為,則有,當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時,等號成立,所以△PMF的周長最小值為55.故答案為:5.【點睛】本題考查拋物線定義的應(yīng)用,考查數(shù)形結(jié)合與數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析(2)【解析】
(1)根據(jù),求導(dǎo),令,用導(dǎo)數(shù)法求其最小值.設(shè)研究在處左正右負,求導(dǎo),分,,三種情況討論求解.【詳解】(1)因為,所以,令,則,所以是的增函數(shù),故,即.因為所以,①當(dāng)時,,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.若,則若,則所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是,所以在處取得極小值,不符合題意,②當(dāng)時,所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.若,則若,則所以的單調(diào)遞減區(qū)間是,單調(diào)遞增區(qū)間是,所以在處取得極大值,符合題意.③當(dāng)時,,使得,即,但當(dāng)時,即所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,所以,即函數(shù))在上單調(diào)遞減,不符合題意綜上所述,的取值范圍是【點睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性和極值,還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運算求解的能力,屬于難題.18、(1)(2)①生產(chǎn)線上挽回的損失較多.②見解析【解析】
(1)由題意得到關(guān)于的不等式,求解不等式得到的取值范圍即可確定其最小值;(2)①.由題意利用二項分布的期望公式和數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)給出結(jié)論即可;②.由題意首先確定X可能的取值,然后求得相應(yīng)的概率值可得分布列,最后由分布列可得利潤的期望值.【詳解】(1)設(shè)從,生產(chǎn)線上各抽檢一件產(chǎn)品,至少有一件合格為事件,設(shè)從,生產(chǎn)線上抽到合格品分別為事件,,則,互為獨立事件由已知有,則解得,則的最小值(2)由(1)知,生產(chǎn)線的合格率分別為和,即不合格率分別為和.①設(shè)從,生產(chǎn)線上各抽檢件產(chǎn)品,抽到不合格產(chǎn)品件數(shù)分別為,,則有,,所以,生產(chǎn)線上挽回損失的平均數(shù)分別為:,所以生產(chǎn)線上挽回的損失較多.②由已知得的可能取值為,,,用樣本估計總體,則有,,所以的分布列為所以(元)故估算估算該廠產(chǎn)量件時利潤的期望值為(元)【點睛】本題主要考查概率公式的應(yīng)用,二項分布的性質(zhì)與方差的求解,離散型隨機變量及其分布列的求解等知識,意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.19、(1);(2).【解析】
(1)由橢圓的離心率求出、的值,由此可求得橢圓的方程;(2)設(shè)點、,聯(lián)立直線與橢圓的方程,列出韋達定理,由題意得出,可得出,【詳解】(1)由題意得,,.又因為,,所以橢圓的方程為;(2)由,得.設(shè)、,所以,,依題意,,易知,四邊形為平行四邊形,所以.因為,,所以.即,將其整理為.因為,所以,.所以,即.【點睛】本題考查橢圓方程的求法和直線與橢圓位置關(guān)系的綜合運用,解題時要認真審題,注意挖掘題設(shè)中的隱含條件,合理地進行等價轉(zhuǎn)化,考查計算能力,屬于中等題.20、(1)詳見解析;(2)詳見解析.【解析】
(1)利用平行四邊形的方法,證明平面.(2)通過證明平面,由此證得.【詳解】(1)設(shè)是中點,連接,由于是中點,所以且,而且,所以與平行且相等,所以四邊形是平行四邊形,所以,由于平面,平面,所以平面.(2)連接,由于直三棱柱中,而,,所以平面,所以,由于,所以.由于四邊形是矩形且,
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