第13章 立體幾何初步 章末題型歸納總結(jié) -2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)同步學(xué)與練（蘇教版2019必修第二冊(cè)）（解析版）

第第頁(yè)第13章立體幾何初步章末題型歸納總結(jié)章末題型歸納目錄模塊一：本章知識(shí)思維導(dǎo)圖模塊二：典型例題經(jīng)典題型一：幾何體的表面積與體積、直觀圖經(jīng)典題型二：外接球、內(nèi)切球、棱切球經(jīng)典題型三：空間中的平行關(guān)系經(jīng)典題型四：空間中的垂直關(guān)系經(jīng)典題型五：空間角的求法（線線角、線面角、二面角）經(jīng)典題型六：空間距離的求法（線線距、線面距、點(diǎn)面距、面面距）經(jīng)典題型七：截面問題以及范圍與最值問題模塊三：數(shù)學(xué)思想與方法分類與整合思想②等價(jià)轉(zhuǎn)換思想③函數(shù)與方程思想

模塊一：本章知識(shí)思維導(dǎo)圖

模塊二：典型例題經(jīng)典題型一：幾何體的表面積與體積、直觀圖例1．（2024·高二·浙江麗水·期末）如圖，將一個(gè)圓柱等分切割，再將其重新組合成一個(gè)與圓柱等底等高的幾何體，n越大，組合成的新幾何體就越接近一個(gè)“長(zhǎng)方體”.若新幾何體的表面積比原圓柱的表面積增加了10，則圓柱的側(cè)面積是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)題意，設(shè)圓柱的底面半徑為，高，其軸截面的面積為，新幾何體的表面積比原圓柱的表面積增加的為軸截面的面積，若新幾何體的表面積比原圓柱的表面積增加了，即所以圓柱的側(cè)面積為.故選：A.例2．（2024·全國(guó)·一模）已知正三棱臺(tái)的上?下底面的邊長(zhǎng)分別為2和4，且棱臺(tái)的側(cè)面與底面所成的二面角為，則此三棱臺(tái)的表面積為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)分別是的中點(diǎn)，連接，設(shè)分別是正三角形和正三角形的中心，則，且，由于平面平面，所以，由于平面，所以平面，由于平面，所以，所以是棱臺(tái)的側(cè)面與底面所成的二面角的平面角，所以，過作，垂足為，則，所以，所以三棱臺(tái)的表面積為.故選：C例3．（2024·福建莆田·二模）柏拉圖多面體是指每個(gè)面都是全等正多邊形的正多面體，具有嚴(yán)格對(duì)稱，結(jié)構(gòu)等價(jià)的特點(diǎn)．六氟化硫具有良好的絕緣性和廣泛的應(yīng)用性．將六氟化硫分子中的氟原子按圖1所示方式連接可得正八面體（圖2）．若正八面體外接球的體積為，則此正八面體的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】根據(jù)題意，作正八面體如下所示，連接，設(shè)，根據(jù)其對(duì)稱性可知，過點(diǎn)，又該八面體為正八面體，則面，又面，故；顯然正八面體的外接球球心為，設(shè)其半徑為，，則，在直角三角形中，；由可得，則；故該八面體的表面積.故選：D.例4．（2024·黑龍江哈爾濱·一模）冰嘎別名冰尜，是東北民間少年兒童游藝品，俗稱“陀螺”．通常以木鏇之，大小不一，一般徑寸余，上端為圓柱形，下端為錐形．如圖所示的是一個(gè)陀螺立體結(jié)構(gòu)圖．己知分別是上、下底面圓的圓心，，底面圓的半徑為2，則該陀螺的體積為（

）

A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意可知圓柱的高為，故該陀螺的體積為，故選：D例5．（2024·高二·浙江杭州·期末）所有的頂點(diǎn)都在兩個(gè)平行平面內(nèi)的多面體叫做擬柱體，其中平行的兩個(gè)面叫底面，其它面叫側(cè)面，兩底面之間的距離叫高，經(jīng)過高的中點(diǎn)且平行于兩個(gè)底面的截面叫中截面．似柱體的體積公式為，這里、為兩個(gè)底面面積，為中截面面積，為高．如圖，已知多面體中，是邊長(zhǎng)為的正方形，且，均為正三角形，，，則該多面體的體積為（）

A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖，分別過點(diǎn)，作的垂線，垂足分別為點(diǎn)，，連接，，容易求得，.取的中點(diǎn)，連接，易得，則，所以多面體的體積.故選：B例6．（2024·高一·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖所示，是的直觀圖，其中，那么是（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．鈍角三角形【答案】B【解析】根據(jù)斜二測(cè)畫法可得，所以是直角三角形.故選：B.例7．（2024·高二·四川樂山·期末）如圖，正方形是用斜二測(cè)畫法畫出的水平放置的一個(gè)平面四邊形ABCD的直觀圖，若，則四邊形ABCD周長(zhǎng)為（

）A． B．4 C． D．8【答案】D【解析】根據(jù)斜二測(cè)畫法特點(diǎn)可知，所以為等腰直角三角形，所以，所以在原始圖形中，根據(jù)勾股定理可得所以四邊形的周長(zhǎng)為.故選：D例8．（2024·高二·上海崇明·期中）的斜二測(cè)直觀圖如圖所示，則的面積是（

）A． B． C． D．4【答案】D【解析】依題意，由斜二測(cè)畫法規(guī)則知，的底邊，邊上的高，所以的面積是.故選：D例9．（2024·高二·山東·學(xué)業(yè)考試）如圖，在四棱柱中，底面為矩形，側(cè)面為菱形，平面平面，．(1)求證：平面；(2)求四棱柱的體積．【解析】（1）在四棱柱中，，，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面平面，所以平面．（2）取中點(diǎn)為，連結(jié)．在四棱柱中，，因?yàn)樗倪呅螢榱庑危?，又因?yàn)?，所以為等邊三角形，所以．又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，所以四棱柱的高．因?yàn)榈酌鏋榫匦?，，所以四棱柱的底面積為，故四棱柱的體積為．例10．（2024·高二·黑龍江大慶·開學(xué)考試）在邊長(zhǎng)為a的正方形中，E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)，M、N分別為、的中點(diǎn)，現(xiàn)沿、、折疊，使B、C、D三點(diǎn)重合，構(gòu)成一個(gè)三棱錐，如圖所示．

(1)在三棱錐中，求證：；(2)求四棱錐的體積．【解析】（1）在三棱錐中，因?yàn)椋?，，?所以面．又平面，所以；（2）因?yàn)樵谥?，M、N分別為、的中點(diǎn)，所以四邊形的面積是面積的．又三棱錐與四棱錐的高相等，所以，四棱錐的體積是三棱錐的體積的，因?yàn)?，所以．因?yàn)椋?，故四棱錐的體積為．例11．（2024·高一·河南洛陽(yáng)·階段練習(xí)）如圖，四面體被一平面所截，截面是一個(gè)平行四邊形.求證：.【解析】∵四邊形為平行四邊形，∴，又平面，平面，∴平面.而平面平面，平面，∴，∴.例12．（2024·高一·湖南張家界·期中）如圖，在四棱錐中，，，平面，，.設(shè)M，N分別為，的中點(diǎn).

(1)求證：平面平面；(2)求三棱錐的體積.【解析】（1）證明：∵M(jìn)，N分別為，的中點(diǎn)，∴，又平面，平面，∴平面.在中，，，∴.又，∴.∵平面，平面，∴平面.又，∴平面平面.（2）∵，，，∴，∴三棱錐的體積.經(jīng)典題型二：外接球、內(nèi)切球、棱切球例13．（2024·高二·上?！ｎ}練習(xí)）求解多面體的外接球時(shí)，經(jīng)常用到截面圖.如圖所示，設(shè)球O的半徑為R，截面圓O′的半徑為r，M為截面圓上任意一點(diǎn)，球心O到截面圓O′的距離為d，則R、r、d滿足的關(guān)系式是.【答案】【解析】在中，根據(jù)勾股定理得，即.故答案為：.例14．（2024·高二·福建南平·階段練習(xí)）已知三棱錐滿足底面，在中，，，，是線段上一點(diǎn)，且．球?yàn)槿忮F的外接球，過點(diǎn)作球的截面，若所得截面圓的面積的最小值與最大值之和為，則球的表面積為.【答案】【解析】若將三棱錐補(bǔ)成直三棱柱，且三棱錐和該直三棱柱的外接球都是球，記三角形的外心為，設(shè)球的半徑為，，則球心到平面的距離為，即，連接，則，∴，在中，取的中點(diǎn)為，連接，，則，，∴．在中，，由題意得到當(dāng)截面與直線垂直時(shí)，截面面積最小，設(shè)此時(shí)截面圓的半徑為，則，所以最小截面圓的面積為，當(dāng)截面過球心時(shí)，截面面積最大為，∴，，球的表面積為．故答案為：.例15．（2024·高二·重慶·期中）已知三棱錐中，平面，且，三棱錐的外接球表面積為，則三棱錐的體積最大值是.【答案】【解析】棱錐的外接球表面積為，又因?yàn)闉橥饨訄A直徑,所以,所以.故答案為：例16．（2024·高二·重慶·期中）正四面體中，是棱的中點(diǎn)，是棱上一動(dòng)點(diǎn)，的最小值為，則該正四面體的外接球表面積是.【答案】【解析】由題設(shè)，如下圖，將面與面沿展開為一個(gè)平面，要使的最小值為，即展開圖中，是棱的中點(diǎn)，令，故，所以，故正四面體的棱長(zhǎng)，則，，如圖，若是的中心，為正四面體的外接球球心，且球體半徑為，所以，故該正四面體的外接球表面積是.故答案為：例17．（2024·高三·遼寧大連·期中）在三棱錐中，平面，，，則三棱錐外接球表面積的最小值為.【答案】【解析】設(shè)，在等腰中，，設(shè)的外心是，外接圓半徑是，則，∴，設(shè)外接球球心是，則平面，平面，則，同理，，又平面，所以，是直角梯形，設(shè)，外接球半徑為，即，則，所以，在直角中，，，，，∴，，令，則，，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值是．故答案為：.例18．（2024·高二·安徽亳州·階段練習(xí)）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，在棱上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)二面角為直二面角時(shí)，四面體的外接球表面積為．

【答案】【解析】如圖，連接交于點(diǎn)，因?yàn)?，所以，同理，由二面角的定義知，為二面角的平面角，，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，設(shè)，，，，解得，提取出四面體，如下圖，則，，又因?yàn)槊娼菫橹倍娼?，取中點(diǎn)，連接，在底面等邊，其外接圓圓心為三角形的重心，則所以，在等腰三角形中，設(shè)外接圓半徑為，其外接圓圓心在上，設(shè)為，過作垂線，其交點(diǎn)為，則為球心，連接，，由正弦定理，，求得，，設(shè)外接球半徑為，則所以外接球的表面積為.故答案為：例19．（2024·高二·湖南長(zhǎng)沙·開學(xué)考試）已知圓錐的底面半徑為6，側(cè)面積為，則該圓錐的內(nèi)切球（圓錐的側(cè)面和底面都與球相切）的體積為．【答案】【解析】作軸截面圖如圖，設(shè)截面的圓心為，由已知，，，則，，在中，．設(shè)內(nèi)切球半徑為，由等面積法，,所以，得，所以內(nèi)切球體積．故答案為：.例20．（2024·高三·甘肅·階段練習(xí)）傳說古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑上刻著一個(gè)圓柱，圓柱內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，這個(gè)球的直徑恰好與圓柱的高相等.“圓柱容球”是阿基米德最為得意的發(fā)現(xiàn).在一個(gè)“圓柱容球”模型中，若球的體積為，則該模型中圓柱的表面積為.【答案】【解析】設(shè)球的半徑為，則圓柱的底面半徑為，母線長(zhǎng)為，則球的體積為，所以，所以圓柱表面積為.故答案為：.例21．（2024·高二·四川·階段練習(xí)）已知在直三棱柱中存在內(nèi)切球，若，則該三棱柱外接球的表面積為.【答案】【解析】由已知是直角三角形，，的內(nèi)切圓半徑為，直三棱柱中存在內(nèi)切球，則其高為，分別取的中點(diǎn)，連接，則也是該直三棱柱的高，的中點(diǎn)是其外接球球心，，所以外接球的表面積為．故答案為：．例22．（2024·高二·河南·階段練習(xí)）已知棱長(zhǎng)均為的多面體由上?下全等的正四棱錐和拼接而成，其中四邊形為正方形，如圖所示，記該多面體的外接球半徑為，該多面體的棱切球（與該多面體的所有棱均相切的球）的半徑為，則．

【答案】【解析】在多面體中，為正方形的中心，如圖所示：由題意可知既是多面體的外接球的球心，也是棱切球的球心，過點(diǎn)作于點(diǎn)，在中，，，所以，所以，所以故答案為：例23．（2024·高三·河南·階段練習(xí)）在正三棱錐中，，，若球O與三棱錐的六條棱均相切，則球O的表面積為．【答案】【解析】如圖示：取的中心E，連接PE，則平面ABC，且與棱均相切的球的球心O在PE上.連接AE并延長(zhǎng)交BC于D，則D為BC的中點(diǎn)，，連接OD.因?yàn)槠矫鍭BC，所有.因?yàn)槠矫?，平面，，所有平?因?yàn)槠矫?，所?過O作，交PA于點(diǎn)F.球O的半徑為r，則.由題意：為正三角形，因?yàn)?，所以，?因?yàn)椋?，所以，所?設(shè)，所以，因?yàn)?，所以，解?，所以，故球O的表面積為．故答案為：例24．（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知正三棱柱的各棱長(zhǎng)均為，以A為球心的球與棱相切，則球A于正三棱柱內(nèi)的部分的體積為.【答案】【解析】如圖，正三棱柱的各棱長(zhǎng)均為，以A為球心與棱相切的球的半徑為，則以平面為截面的上半球的體積為.又，球A位于正三棱柱內(nèi)的部分的體積為.故答案為：.經(jīng)典題型三：空間中的平行關(guān)系例25．（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在三棱柱中，四邊形是菱形，四邊形是正方形，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn).求證：平面；【解析】連接交于，連接，因?yàn)樗倪呅问钦叫危允堑闹悬c(diǎn)，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面；?6．（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，P是平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn)，E是PD的中點(diǎn)．(1)求證：平面EAC．(2)若M是CD上異于C，D的點(diǎn)，連接PM交CE于點(diǎn)G，連接BM交AC于點(diǎn)H，求證：．【解析】（1）連接交于，連接，因?yàn)樗倪呅问瞧叫兴倪呅?，所以為中點(diǎn)，又因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以是的中位線，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平?（2）因?yàn)槠矫?，平面平面，平面，所?例27．（2024·高二·黑龍江雞西·期末）兩個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形和各與對(duì)方所在平面垂直，、分別是對(duì)角線、上的點(diǎn)，且.

(1)求證：平面；(2)設(shè)，，求與的函數(shù)關(guān)系式；(3)求、兩點(diǎn)間的最短距離.【解析】（1）過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，連接、，因?yàn)?，所以，由已知可得，，，所以，，，所以，，所以，，又，所以，因?yàn)槠矫?，，平面，所以，平面，同理可得，平面，因?yàn)槠矫妫矫?，，所以，平面平面，因?yàn)槠矫?，所以直線平面.（2）由（1）可知，，，所以，，所以，，同理可得，，又平面平面，平面平面，，平面，所以，平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)?，，所以，所以，是直角三角形，所以，，即；?）由，且，所以當(dāng)，即、分別為線段、中點(diǎn)時(shí)，有最小值，、兩點(diǎn)間的最短距離為.例28．（2024·高一·遼寧阜新·期末）已知在正方體中，M、E、F、N分別是、、、的中點(diǎn).求證：(1)E、F、D、B四點(diǎn)共面(2)平面平面.【解析】（1）證明：分別是、的中點(diǎn)，所以，又，所以四邊形是平行四邊形，.，即確定一個(gè)平面，故E、F、D、B四點(diǎn)共面.（2）（2）M、N分別是、的中點(diǎn)，.又平面，平面，平面.連接，如圖所示，則，.四邊形是平行四邊形..又平面，平面.平面.都在平面,且,所以平面平面.例29．（2024·高一·浙江嘉興·期中）如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，為上的點(diǎn)，且，為中點(diǎn)．

(1)證明：平面.(2)在上是否存在一點(diǎn)，使得平面？若存在，指出點(diǎn)位置，并證明你的結(jié)論；若不存在，說明理由．【解析】（1）連交于，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以是中位線，所以．又平面AEC，平面．所以平面AEC．（2）上存在點(diǎn)，且，使得平面，證明：上取點(diǎn)，且，因?yàn)闉樯系狞c(diǎn)，且，所以在中，，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，又在中，，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，因?yàn)?，，平面，所以平面平面，因?yàn)槠矫?，所以平面．?jīng)典題型四：空間中的垂直關(guān)系例30．（2024·高一·全國(guó)·專題練習(xí)）已知平面五邊形如圖1所示，其中，是正三角形．現(xiàn)將四邊形沿翻折，使得，得到的圖形如圖2所示．求證：平面平面．【解析】如圖，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)槭堑冗吶切?，為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，，所以四邊形為矩形，所以，又因?yàn)?，所以，即，因?yàn)?，，，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面平面．?1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖1，在等邊中，是邊上的高，、分別是和邊的中點(diǎn)，現(xiàn)將沿翻折成使得平面平面，如圖2.

(1)求證：平面；(2)在線段上是否存在一點(diǎn)，使？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.【解析】（1）證明：如圖1，在中，、分別是和邊的中點(diǎn)，所以，，因?yàn)槠矫?，平面，所以，平?（2）在線段上取點(diǎn)，使，過點(diǎn)在平面內(nèi)作于點(diǎn)，連接.由題意得，平面平面.因?yàn)?，平面平面，平面平面，平面，所以，平面，因?yàn)槠矫?，所以?在中，因?yàn)?，，所以，，所以，，翻折前，為等邊三角形，則，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，，即，翻折后，仍有，所以，，故，在中，，因?yàn)?，則.又因?yàn)?，則平分，因?yàn)槭切边吷系闹芯€，則，且，所以，是等邊三角形，則，又因?yàn)?，、平面，所以，平面，因?yàn)槠矫?，所以，，綜上，在線段上存在一點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)，.例32．（2024·高一·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖；在直三棱柱中，，，．求證；

【解析】證明：在中，因?yàn)?，可得，所以為直角三角形，可得，由在直三棱柱中，可得平面，且平面，所以，又因?yàn)?，且平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫裕?3．（2024·高一·全國(guó)·專題練習(xí)）在四面體中，分別是和的中點(diǎn).證明：平面平面；【解析】因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以.又是的中點(diǎn)，所以.因?yàn)?，所?又，平面.所以平面.因?yàn)槠矫?，所以平面平?例34．（2024·高一·河南洛陽(yáng)·階段練習(xí)）在四棱錐中，底面是正方形，平面．

(1)求證：平面⊥平面；(2)求證：平面⊥平面．【解析】（1）因?yàn)槠矫?，平面，所以，又因?yàn)榈酌媸钦叫危?，又因?yàn)槠矫?，所以平面，又平面，所以平面⊥平?（2）因?yàn)槠矫?，平面，所以，又因?yàn)榈酌媸钦叫危裕忠驗(yàn)槠矫?，所以平面，又平面，所以平面⊥平?例35．（2024·高三·全國(guó)·階段練習(xí)）如圖，在五面體中，四邊形的對(duì)角線交于點(diǎn)，為等邊三角形，，，.(1)證明：平面；(2)若，求五面體的體積.【解析】（1）連接EF，在和中，，所以，所以，又，，所以≌，則為的中點(diǎn)，所以．在中，，又為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，平面，，，，平面?）取的中點(diǎn)，連結(jié)，與交于點(diǎn)，連結(jié)．因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，，，所以平面，又平面，所以，又所以平面．因?yàn)椋瑸榈冗吶切危驗(yàn)?，所以而，在中，，在等邊中，BF是AC的中線，CM是AB的中線，所以G是等邊的重心，所以在中，，則四邊形的面積為．故五面體的體積為．例36．（2024·高一·陜西渭南·期末）如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，，分別是，的中點(diǎn)．求證：

(1)平面；(2)．【解析】（1）四棱錐的底面是矩形，，平面，平面，，又，、平面，平面；（2）由（1）知平面，同理可得，平面，，分別是，的中點(diǎn)，，平面，又平面，.例37．（2024·陜西榆林·一模）在三棱錐中，為的中點(diǎn).(1)證明：⊥平面.(2)若，平面平面，求點(diǎn)到平面的距離.【解析】（1）因?yàn)椋瑸榈闹悬c(diǎn)，所以，又因?yàn)槠矫妫浴推矫?（2）因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，平面，所以平面，因?yàn)?，所以均為等邊三角形，故，故，所以，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，由勾股定理得，取的中點(diǎn)，連接，在中，，故⊥，故，，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，所以，解得.經(jīng)典題型五：空間角的求法（線線角、線面角、二面角）例38．（2024·湖南岳陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知長(zhǎng)方體的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，為其上底面的中心，在此長(zhǎng)方體內(nèi)挖去四棱錐后所得的幾何體的體積為.(1)求線段的長(zhǎng)；(2)求異面直線與所成的角.【解析】（1）依題意，得，解得；（2）如圖，取的中點(diǎn)，連接，則，所以是兩異面直線與所成的角，因?yàn)槠矫?，所以平面，又平面，所以，在中，，則，所以，所以異面直線與所成的角為.例39．（2024·高二·黑龍江雞西·期末）如圖，平面，四邊形是正方形，且，試求：

(1)點(diǎn)到的距離；(2)求異面直線與所成的角.【解析】（1）由于平面，平面，所以，,四邊形是正方形,所以,又，連接相交于，所以為邊長(zhǎng)為的等邊三角形，所以,故到的距離為,（2）取的中點(diǎn)為，連接,由于是的中點(diǎn)，所以,故即為直線與所成的角或其補(bǔ)角，由于，,,所以為等邊三角形，所以,故直線與所成的角為，例40．（2024·高二·上?！て谥校┤鐖D，已知分別是正方體的棱的中點(diǎn)，且與相交于點(diǎn)．(1)求證：點(diǎn)Q在直線DC上；(2)求異面直線與所成角的大?。窘馕觥浚?）平面平面，由于平面，平面，所以，也即點(diǎn)Q在直線DC上.（2）根據(jù)正方體的性質(zhì)可知，所以異面直線與所成角為，由于分別是的中點(diǎn)，所以，所以異面直線與所成角的大小為.例41．（2024·高二·上?！るA段練習(xí)）如圖所示圓錐中，CD為底面的直徑，A，B分別為母線PD與PC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是底面圓周上一點(diǎn)，若，，圓錐的高為.

(1)求圓錐的側(cè)面積S；(2)求異面直線AE與PC所成角的大小【解析】（1）設(shè)圓錐底面半徑為，母線長(zhǎng)為，因?yàn)闉橹睆?，是的中位線，所以，，所以側(cè)面積.（2）連接，由分別為的中點(diǎn)，得，所以為異面直線與所成的角或其補(bǔ)角，在中，，，取中點(diǎn)為，連接，則，，所以，在中，，所以異面直線AE與PC所成角的大小為.例42．（2024·上海青浦·一模）已知四棱錐，底面為正方形，邊長(zhǎng)為，平面．(1)求證：平面；(2)若直線與所成的角大小為，求的長(zhǎng)．【解析】（1）平面，平面，，又底面為正方形，則且，平面，平面．（2）平面，，為銳角，又，為直線與所成的角，，在中，，，在中，，，于是．例43．（2024·上海長(zhǎng)寧·一模）如圖，在三棱錐中，平面平面為的中點(diǎn).

(1)求證：；(2)若，求異面直線與所成的角的大小.【解析】（1）在三棱錐中，由為的中點(diǎn)，得，而平面平面，平面平面，平面，因此平面，又平面，所以.（2）分別取的中點(diǎn)，連接，于是，則是異面直線與所成的角或其補(bǔ)角，由（1）知，，又，，則，于是，令，則，又，則有，，又平面，平面，則，，，由分別為的中點(diǎn)，得，顯然，即有，，則，所以異面直線與所成的角的大小.例44．（2024·高二·四川自貢·階段練習(xí)）如圖，在正方體中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為棱，AB的中點(diǎn)．

(1)求證：E、F、C、四點(diǎn)共面：(2)求異面直線與BC所成角的余弦值．【解析】（1）連接.在中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為棱，AB的中點(diǎn)，則，在正方體中，，，且，四邊形是平行四邊形，，則，故、、、四點(diǎn)共面.（2）由（1）知，，則即為所求異面直線與BC所成的角，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，在中，，則，所以.故所求異面直線與BC所成角的余弦值為．例45．（2024·高一·福建寧德·階段練習(xí)）在直三棱柱中，，，，D是的中點(diǎn).

(1)求證：平面；(2)求異面直線與所成的角.【解析】（1）設(shè)與的交點(diǎn)為，連接，因?yàn)闉橹比庵?，且，則四邊形為正方形，所以為的中點(diǎn)，又D是的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平?（2）由（1）可知，，所以為直線與所成的角（或其補(bǔ)角），在中，，，，由余弦定理可得，，則，即異面直線與所成的角為.例46．（2024·高二·新疆阿克蘇·階段練習(xí)）如圖，在正方體中，求異面直線與所成的角的大??；【解析】連接，，如下圖所示：因?yàn)?，所以四邊形是平行四邊形，則，所以異面直線與所成的角即為直線與所成的角，即是異面直線與所成角的平面角，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則，所以為正三角形，因此.即異面直線與所成的角的大小為.例47．（2024·高三·山東菏澤·開學(xué)考試）如圖，在三棱柱中，在底面ABC上的射影為線段BC的中點(diǎn)，M為線段的中點(diǎn)，且，.(1)求三棱錐的體積；(2)求MC與平面所成角的正弦值.【解析】（1）取BC的中點(diǎn)O，連接OA，，因?yàn)樵诘酌鍭BC上的射影為O，所以面ABC，在三棱柱中，面面，所以面因?yàn)槊?，所以，在中，M為線段的中點(diǎn)，，因?yàn)?，所以，因?yàn)槊?，面，，所以面，中，，，所以，，所以；?）設(shè)C到平面的距離為d，則在中，，，所以，所以，設(shè)MC與平面所成角為，則，所以MC與平面所成角的正弦值為.例48．（2024·高三·全國(guó)·階段練習(xí)）如圖，在三棱臺(tái)中，平面，，，.(1)求證：平面平面；(2)求與平面所成角正弦值.【解析】（1）由，得，由平面，平面，則，又平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫妫?）將棱臺(tái)補(bǔ)全為如下棱錐，由，，，易知，，由平面，平面，則，，，所以，.可得，設(shè)到平面的距離為h，又，則，可得，設(shè)與平面所成角為，，則.例49．（2024·高三·河北衡水·期中）在如圖所示的直三棱柱中，D、E分別是的中點(diǎn).(1)求證:平面;(2)若為等邊三角形，且，M為上的一點(diǎn)，求直線與直線所成角的正切值.【解析】（1）取的中點(diǎn)，連接在中，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以平面平面，所以平面在矩形中，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以平面平面，所以平面，因?yàn)?，平面，所以平面平面因?yàn)槠矫?，所以平面；?）因?yàn)槿庵鶠橹比庵云矫嫫矫?，連接，因?yàn)闉檎切?，為中點(diǎn)，所以，平面平面，所以平面，取的中點(diǎn)，連接，可得，故平面，又因?yàn)?，則且，故四邊形為平行四邊形，所以，所以即為直線與直線所成角，設(shè)，在中，，所以.例50．（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在三棱柱中，所有的棱長(zhǎng)都相等，側(cè)棱底面，求直線與平面所成角的正弦值.

【解析】取的中點(diǎn)O，連接，，易得.因?yàn)閭?cè)棱底面，側(cè)棱側(cè)棱，所以側(cè)棱底面，底面，所以.因?yàn)?，，平面，故平面，所以所求直線與平面所成的角為.由平面，平面可得.因?yàn)樗械睦忾L(zhǎng)都相等，不妨假設(shè)棱長(zhǎng)為2，則，，，則.所以直線與平面所成的角的正弦值為.例51．（2024·高二·上?！て谀┰谌鐖D所示的圓錐中，是頂點(diǎn)，是底面的圓心，、是圓周上兩點(diǎn)，且，．(1)若圓錐側(cè)面積為，求圓錐的體積；(2)設(shè)圓錐的高為2，是線段上一點(diǎn)，且滿足，求直線與平面所成角的正切值．【解析】（1）設(shè)圓錐底面半徑為，母線長(zhǎng)為，，則側(cè)面積，解得，于是圓錐的高，圓錐的體積．（2）中，，，則點(diǎn)是線段中點(diǎn)，取中點(diǎn)，連接，，則，又，則，由直線平面，平面，得，結(jié)合，且，平面，所以平面，因此直線是在平面內(nèi)的射影，從而是直線與平面所成的角，∵，∴，又，得，即直線與平面所成的角的正切值為例52．（2024·高二·重慶·期末）在如圖所示的四棱錐中，底面ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在棱AB，PC上，且滿足，．(1)證明：平面PAD；(2)若平面底面ABCD，和為正三角形，求直線EF與底面ABCD所成角的正切值．【解析】（1）在中過點(diǎn)F作并交PD于點(diǎn)G，則，由得，由得，是平行四邊形，，是平行四邊形，，而平面PAD，平面PAD，平面PAD；（2）在平面PCD中過點(diǎn)F作于點(diǎn)O，連接OE，若平面底面ABCD，由平面底面ABCD，平面，底面ABCD，即為直線EF與底面ABCD所成角，設(shè)，則，在，由題意知底面ABCD是菱形，，取EB的中點(diǎn)M，連接CM，則四邊形為平行四邊形，有，在中，，由余弦定理，得，故，在，，∴直線EF與底面ABCD所成角的正切值．例53．（2024·高二·上海·期末）如圖，已知正方形的邊長(zhǎng)為1，平面，三角形是等邊三角形．(1)求異面直線與所成的角的大小；(2)在線段上是否存在一點(diǎn)，使得與平面所成的角大小為？若存在，求出的長(zhǎng)度，若不存在，說明理由.【解析】（1）因?yàn)闉檎叫?，則，則異面直線與所成的角為與所成的角，即或其補(bǔ)角，因?yàn)槿切问堑冗吶切?，則平面，平面，，．所以異面直線AC與BD所成的角為．（2）作交于點(diǎn)，連接，平面，平面，則與平面所成的角為，設(shè)，則，則.例54．（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖所示，在三棱錐中，．

(1)求證：；(2)求二面角的余弦值；(3)求點(diǎn)到平面的距離．【解析】（1）取的中點(diǎn)為，連接，因?yàn)?，故，同理，而平面，故平面，而平面，?（2）如圖，過作，垂足分別為，連接.由（1）可得平面，而平面，故平面平面，而平面平面，平面，故平面，而平面，所以，而平面，所以平面，因平面，故，故為二面角的平面角.因?yàn)?，故，故，由?）可得，故，因?yàn)椋?，故，故，所以，同理，由平面，平面可得，故，?（3）由（1）可得平面，由（2）可得，故點(diǎn)到平面的距離為.例55．（2024·高二·浙江金華·期末）如圖，已知四棱錐的底面是菱形，，對(duì)角線交于點(diǎn)平面，平面是過直線的一個(gè)平面，與棱交于點(diǎn)，且．

(1)求證：；(2)若平面交于點(diǎn)，求的值；(3)若二面角的大小為，求的長(zhǎng)．【解析】（1）四棱錐的底面是菱形，，又平面，平面，則平面，而平面平面，平面，所以.（2）由平面，平面，得平面平面，而，平面，于是平面，又平面，則，即三點(diǎn)共線，由平面，平面，則，如圖，在中，過點(diǎn)作的垂線，垂足為，于是，設(shè)，由，得，，，從而，所以，即．（3）

過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，由平面，平面，則，而平面，則平面，而平面，于是，則有為二面角的平面角，即，在菱形中，由，得，則，由（2）得，所以.例56．（2024·湖南岳陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知平面與底面所成角為，且．(1)求證：平面；(2)求二面角的大?。窘馕觥浚?）因?yàn)槠矫?，平面，所以，又由已知得，，則，即，又平面，所以平面；（2）因?yàn)槠矫?，平面，所以，所以為二面角的平面角，因?yàn)槠矫媾c底面所成角為，所以為與底面所成角，由，得，在中，，則，所以二面角的大小為．例57．（2024·高一·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖①梯形ABCD中，，，，且，將梯形沿BE折疊得到圖②，使平面平面BCDE，CE與BD相交于O，點(diǎn)P在AB上，且，R是CD的中點(diǎn)，過O，P，R三點(diǎn)的平面交AC于Q．(1)證明：Q是AC的中點(diǎn)；(2)證明：平面BEQ；(3)M是AB上一點(diǎn)，已知二面角為45°，求的值．【解析】（1）在圖①中過C作，則，圖②中，連接BD，CE，又∵，∴，∴，∴且．∴，∴，在中，，∴，又平面ACD，平面ACD，∴平面ACD，平面平面，∴，∴，又R是CD的中點(diǎn)，∴Q是AC的中點(diǎn)；（2）如圖，在直角梯形BCDE中，，∴中，，，∴∴，∴又∵平面平面BCDE，平面平面BCDE，∴平面BCDE，平面BCDE，∴，又，平面ACE，又平面ACE，∴，在中，，，∴∴，又由（1）Q是AC的中點(diǎn)，∴，，∴平面ACD，又平面ACD，∴又∵，，∴平面ADE，∴，又，∴平面BEQ；（3）如圖，過M作，過H作于點(diǎn)G，連結(jié)MG，則∠MGH為二面角的平面角，∴，設(shè)，∴又，∴在中，，由得，即，∴，∴例58．（2024·高一·山東青島·階段練習(xí)）如圖，將邊長(zhǎng)為的正方形沿對(duì)角線折起，使得點(diǎn)到點(diǎn)的位置，連接，為的中點(diǎn).(1)若平面平面，求點(diǎn)到平面的距離；(2)不考慮點(diǎn)與點(diǎn)重合的位置，若二面角的余弦值為，求的長(zhǎng)度.【解析】（1）連接，，則，平面平面，平面平面＝AC，平面，平面，又平面，，又正方形的邊長(zhǎng)為，,，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，，，即點(diǎn)到平面的距離；（2）取的中點(diǎn)，連接，，，，，為二面角的平面角，，由題可知，在中，，，，，，.例59．（2024·高一·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，在矩形中，，，E為的中點(diǎn)，把和分別沿AE，DE折起，使點(diǎn)B與點(diǎn)C重合于點(diǎn)P．(1)求證：平面⊥平面；(2)求二面角的大小．【解析】（1）由⊥，得⊥，同理，⊥．又∵，平面，∴⊥平面．又平面，∴平面⊥平面．（2）如圖所示，取的中點(diǎn)F，連接，∵四邊形為矩形，∴，因?yàn)椋浴?，⊥，故就是二面角的平面角．又⊥平面，平面，所以⊥，∵，∴，∴．∴二面角P－AD－E的大小為．例60．（2024·高二·全國(guó)·專題練習(xí)）四邊形是正方形，平面，且．求：

(1)二面角的平面角的度數(shù)；(2)二面角的平面角的度數(shù)；(3)二面角的平面角的度數(shù)．【解析】（1）平面，平面，，又四邊形為正方形，，平面，平面，又平面，平面平面，二面角的平面角的度數(shù)為；（2）平面，平面，平面，，．為二面角的平面角．又由題意可得，二面角的平面角的度數(shù)為；（3）平面，平面，平面，，．為二面角的平面角．又四邊形為正方形，，即二面角的平面角的度數(shù)為.例61．（2024·高三·甘肅·階段練習(xí)）如圖，已知四棱錐的底面為直角梯形，，，，．

(1)證明：與平面不垂直；(2)證明：平面平面；(3)如果，二面角等于，求二面角的大?。窘馕觥浚?）若平面，則，由已知，得，這與矛盾，所以與平面不垂直．（2）取、的中點(diǎn)、，連接、、，由，，得，，為直角梯形的中位線，，又，平面，由平面，得，又且梯形兩腰、必交，平面,又平面，平面平面,（3）由（2）及二面角的定義知為二面角的平面角,作于，連，由于平面,平面,故,,平面,故平面平面,所以故為二面角的平面角,即，由已知，得，又．，．，故二面角的大小為．經(jīng)典題型六：空間距離的求法（線線距、線面距、點(diǎn)面距、面面距）例62．（2024·四川·一模）如圖，在四棱錐中，，，平面平面．(1)證明：平面；(2)已知，且，求點(diǎn)D到平面的距離．【解析】（1）因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，且，平面，所以平面，又因?yàn)椋云矫妫?）由（1）可知，平面，且平面，所以平面平面，過作直線的垂線，垂足為，則平面，由，，可得，，，，因?yàn)槠矫妫矫妫裕瑒t，可得，在直角梯形中，因?yàn)?，可得，所以，在等腰中，，取的中點(diǎn)，連接，可得，且，所以，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由，可得，解得，所以點(diǎn)到平面的距離為．例63．（2024·高一·河南洛陽(yáng)·階段練習(xí)）如圖，四棱錐中，底面為平行四邊形，，平面，E為的中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)設(shè)，，求點(diǎn)D到平面的距離.【解析】（1）連接，交于點(diǎn)O，連接，∵四邊形是平行四邊形，∴是的中點(diǎn)，又∵E為的中點(diǎn)，∴是三角形的中位線，∴，又∵平面，平面，∴平面；.（2）∵平行四邊形中，，，，∴，則，故，又∵平面，∴，，都是直角三角形，∵，∴，，，∴，∴，∴，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，且，所以，，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由得：，解得.例64．（2024·高三·全國(guó)·階段練習(xí)）如圖，四棱錐中，底面ABCD為直角梯形，，，，，為等邊三角形，．

(1)證明：BD平面；(2)求點(diǎn)C到面PBD的距離．【解析】（1）取中點(diǎn)，連，因?yàn)?，，，，所以四邊形為正方形，為等腰直角三角形，則得，，故，因?yàn)椋?，平面，所以平面?）設(shè)點(diǎn)C到平面PBD的距離為h,由（1）得，，則面積為，取中點(diǎn)，連，則，且，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，，平面，所以平面，又面積為，三棱錐的體積為，得.即點(diǎn)C到平面PBD的距離.例65．（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，為菱形外一點(diǎn)，平面，，為棱的中點(diǎn).若，求到平面的距離.

【解析】因?yàn)槠矫?，不在平面?nèi)，所以平面，則到平面的距離即為點(diǎn)到平面的距離，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，因?yàn)椋?，平?，四邊形為菱形，所以，解得，即到平面的距離為.例66．（2024·上?！つM預(yù)測(cè)）已知三棱錐中，平面為中點(diǎn)，過點(diǎn)分別作平行于平面的直線交于點(diǎn).

(1)求直線與平面所成的角的正切值；(2)證明：平面平面，并求直線到平面的距離.【解析】（1）因?yàn)槠矫妫B接，則即為直線與平面所成的角，又，，，為中點(diǎn)，可得，，所以，即直線與平面所成的角的正切值為.（2）由題知，平面，平面，，平面，所以平面平面.因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，平面，，所以平面，又平面，所以就是直線到平面的距離，又為中點(diǎn)，則，即直線到平面的距離為.例67．（2024·河南·二模）如圖所示，正六棱柱的底面邊長(zhǎng)為1，高為.

(1)證明：平面平面；(2)求平面與平面間的距離.【解析】（1）在正六棱柱中，因?yàn)榈酌鏋檎呅?，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平?因?yàn)?，，所以四邊形為平行四邊形，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，又，所以平面平?（2）平面與平面間的距離等價(jià)于點(diǎn)到平面的距離，設(shè)為.連接，則四面體的體積.因?yàn)?，，，所以，從而，所以，所以，即平面與平面間的距離為.例68．（2024·高一·廣東揭陽(yáng)·期末）如圖在直三棱柱中，，，，E是上的一點(diǎn)，且，D、F、G分別是、、的中點(diǎn)，與相交于．(1)求證：平面；(2)求平面與平面的距離．【解析】（1）證明：由直三棱柱的性質(zhì)得平面平面，又，平面平面，平面，平面，又平面，，，在和中，，，即，又，平面平面．（2）由題意知，在中，，又，，平面，平面，平面，、分別為、的中點(diǎn)，，又，，平面，平面，平面，平面，平面，，平面平面．平面，平面平面，平面，為平行平面與之間的距離，，即平面與之間的距離為．經(jīng)典題型七：截面問題以及范圍與最值問題例69．（2024·湖南岳陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在長(zhǎng)方體中，，一小蟲從頂點(diǎn)出發(fā)沿長(zhǎng)方體的表面爬到頂點(diǎn)，則小蟲走過的最短路線的長(zhǎng)為.【答案】【解析】如圖，若小蟲爬行路線經(jīng)過棱，則最短路程為；若小蟲爬行路線經(jīng)過棱，則最短路程為；若小蟲爬行路線經(jīng)過棱，則最短路程為.綜上所述，小蟲走過的最短路線的長(zhǎng)為.故答案為：.例70．（2024·高二·江西南昌·期中）如圖，在長(zhǎng)方體中，若，且面對(duì)角線上存在一點(diǎn)使得最短，則的最小值為.

【答案】【解析】把沿翻折，使矩形和在一個(gè)平面上，連接，則的最小值為，在中，可知，由余弦定理得，所以的最小值為.故答案為：.例71．（2024·高二·重慶南岸·期中）如圖，在長(zhǎng)方體中，且，為棱上的一點(diǎn)．當(dāng)取得最小值時(shí)，的長(zhǎng)為．【答案】【解析】將側(cè)面、側(cè)面延展至同一平面，如下圖所示：當(dāng)點(diǎn)、、三點(diǎn)共線時(shí)，取最小值，在上圖矩形中，，，則，即，此時(shí)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，如下圖所示，連接，易知四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形，則，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，，由勾股定理可得.故答案為：.例72．（2024·高一·廣西玉林·階段練習(xí)）如圖，在棱長(zhǎng)為4的正方體中，的中點(diǎn)是P，過點(diǎn)作與截面平行的截面，則該截面的周長(zhǎng)為（

）

A． B． C． D．4【答案】C【解析】分別取的中點(diǎn)，連接，可得，可得四邊形為平行四邊形，可得，因?yàn)?，所以四邊形為平行四邊形，可得，所以，所以四邊形為平行四邊形，，平面即為過點(diǎn)的截面，平面，平面，所以平面，因?yàn)?，所以四邊形為平行四邊形，可得，平面，平面，所以平面，且，平面，所以平面平面，，，所以截面的周長(zhǎng)為.故選：C.例73．（2024·高一·北京大興·期末）已知點(diǎn)P在棱長(zhǎng)為2的正方體表面運(yùn)動(dòng)，且，則線段AP的長(zhǎng)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】點(diǎn)在棱長(zhǎng)為2的正方體表面運(yùn)動(dòng)，且，則點(diǎn)的軌跡是線段的中垂面截正方體所得截面多邊形，分別取棱的中點(diǎn)，則，因此點(diǎn)在線段的中垂面上，點(diǎn)的軌跡是六邊形，如圖，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，若點(diǎn)為線段中點(diǎn)，有，，于是點(diǎn)為線段上任意一點(diǎn)，，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，，為鈍角，則，即，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，，，，為鈍角，則，即，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，由，邊上的高為，此時(shí)，由對(duì)稱性知，當(dāng)點(diǎn)在折線上時(shí)，，所以線段AP的長(zhǎng)的取值范圍是.故選：D例74．（2024·高一·江蘇鹽城·期中）如圖，在正方體中，的中點(diǎn)為Q，過A，Q，三點(diǎn)的截面是（

）

A．三角形 B．矩形 C．菱形 D．梯形【答案】D【解析】如圖所示，取的中點(diǎn)P，連接PQ、、、和，，分別是，的中點(diǎn)，故，且，，故，，故四點(diǎn)共面，故四邊形是過A，Q，三點(diǎn)的截面，且四邊形是梯形．故選：D．例75．（2024·河南新鄉(xiāng)·三模）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，是棱的中點(diǎn)，過三點(diǎn)的截面把正方體分成兩部分，則該截面的周長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖，取BC的中點(diǎn)，連接EF，AF，,、分別為棱、的中點(diǎn)，則，正方體中，則有，所以平面為所求截面，因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為2，所以，，，所以四邊形的周長(zhǎng)為.故選：A.例76．（2024·高一·浙江杭州·期中）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，過點(diǎn)的平面截正方體所得的截面的面積（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接.則過點(diǎn)的平面截正方體所得的截面為五邊形.因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，為的中點(diǎn)，所以，所以，在中，，在中，，同理可得.令上的高為，所以，所以.因?yàn)?，所以，所以，同理可得，故截面的面積.故選：B例77．（2024·高一·河南鄭州·期中）如圖，正三棱錐中，，側(cè)棱長(zhǎng)為，一只蟲子從A點(diǎn)出發(fā)，繞三棱錐的三個(gè)側(cè)面爬行一周后，又回到A點(diǎn)，則蟲子爬行的最短距離是（

）

A． B． C． D．【答案】B【解析】將正三棱錐沿剪開，得到側(cè)面展開圖，如圖所示，因?yàn)?，即，由的周長(zhǎng)為，要使的周長(zhǎng)的最小，則共線，即，又由正三棱錐側(cè)棱長(zhǎng)為，是等邊三角形，所以，即蟲子爬行的最短距離是.故選：B.例78．（多選題）（2024·高二·福建廈門·階段練習(xí)）已知正方體的棱長(zhǎng)為1，P是空間中任意一點(diǎn).下列結(jié)論正確的是（

）A．若點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)，則始終有B．若點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)，則過P，B，三點(diǎn)的正方體截面面積的最小值為C．若點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)，三棱錐體積為定值D．若點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為【答案】ACD【解析】對(duì)于A：因?yàn)闉檎襟w，所以平面，，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，故A正確；對(duì)于B：過點(diǎn)作，則過，，的截面為，設(shè)，，則，四邊形為平行四邊形，，，，所以，，所以當(dāng)時(shí)截面面積最小，最小為，故B錯(cuò)；對(duì)于C：因?yàn)闉檎襟w，所以，因?yàn)槠矫妫矫?，所以∥平面，所以點(diǎn)到平面的距離為定值，三棱錐，即三棱錐的體積為定值，故C正確；對(duì)于D：展開三角形和矩形得到下圖：連接，此時(shí)最小，，解得，故D正確.故選：ACD.例79．（多選題）（2024·高一·江蘇南京·階段練習(xí)）在正方體中，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，若過三點(diǎn)的平面將正方體截為兩個(gè)部分，則所得截面的形狀可能為（

）A．等邊三角形 B．矩形C．菱形 D．等腰梯形【答案】ABD【解析】當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，過三點(diǎn)的截面是等邊三角形，A正確；當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，過三點(diǎn)的截面為矩形，B正確；若截面為菱形，則必有，此時(shí)點(diǎn)與重合，故C錯(cuò)誤；當(dāng)點(diǎn)與中點(diǎn)重合時(shí)，記的中點(diǎn)為F，連接，易知，由正方體性質(zhì)可知，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以且，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，則，所以過三點(diǎn)的截面為等腰梯形，D正確.故選：ABD例80．（多選題）（2024·高一·海南省直轄縣級(jí)單位·期中）如圖正方體，棱長(zhǎng)為1，為中點(diǎn)，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，過A、、的平面截該正方體所得的截面記為.若，則下列結(jié)論正確的是（

）

A．當(dāng)時(shí)，為四邊形B．當(dāng)時(shí)，為等腰梯形C．當(dāng)時(shí)，為六邊形D．當(dāng)時(shí)，的面積為【答案】ABD【解析】對(duì)于A，如圖1，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于，連接.因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面平面，所以，則四邊形即為所求截面，故A項(xiàng)正確；對(duì)于B項(xiàng)，如圖2，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于，連接.因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面平面，所以，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以.又，所以點(diǎn)與點(diǎn)重合，所以，截面即為梯形.又，，，所以，，所以，所以，截面四邊形為等腰梯形，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，如圖3，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，交延長(zhǎng)線于，連接，交于點(diǎn)，連接.可知，截面為五邊形，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，如圖4，截面即為四邊形.易知.又，在中，，所以，，所以，的面積為，故D正確.故選：ABD.例81．（多選題）（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為4，M是側(cè)面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含邊界），點(diǎn)P在棱上，且，則下列結(jié)論正確的有（

）

A．沿正方體的表面從點(diǎn)A到點(diǎn)P的最短距離為B．保持與垂直時(shí)，點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡長(zhǎng)度為C．若保持，則點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡長(zhǎng)度為D．平面被正方體截得截面為等腰梯形【答案】BCD【解析】對(duì)于A，將正方體的下面和側(cè)面展開可得如圖圖形，連接，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，如圖：因?yàn)槠矫妫矫?，，又，，，平面，所以平面，平?所以'，同理可得，，，平面.所以平面.所以過點(diǎn)作交交于，過作交交于，由，可得，平面，平面，所以平面，同理可得平面.則平面平面.設(shè)平面交平面于，則的運(yùn)動(dòng)軌跡為線段，由點(diǎn)在棱上，且，可得，所以，故B正確；對(duì)于C，如圖：若，則在以為球心，為半徑的球面上，過點(diǎn)作平面，則，此時(shí).所以點(diǎn)在以為圓心，2為半徑的圓弧上，此時(shí)圓心角為.點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡長(zhǎng)度，故C正確；對(duì)于D，如圖：延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，連接交于，連接，所以平面被正方體截得的截面為.，所以.，所以，所以，所以，且，所以截面為梯形，，所以截面為等腰梯形.故D正確.故選：BCD.例82．（多選題）（2024·高三·重慶渝中·階段練習(xí)）已知截面定義：用一個(gè)平面去截一個(gè)幾何體，得到的平面圖形（包含圖形內(nèi)部）稱為這個(gè)幾何體的一個(gè)截面.則下列關(guān)于正方體截面的說法，正確的是（

）A．截面圖形可以是七邊形B．若正方體的截面為三角形，則只能為銳角三角形C．當(dāng)截面是五邊形時(shí)，截面可以是正五邊形D．當(dāng)截面是梯形時(shí)，截面不可能為直角梯形【答案】BD【解析】對(duì)于A：平面最多和正方體的六個(gè)面都相交，所以最多條交線，所以形成的多邊形最多為六邊形，所以截面圖形一定不是七邊形，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：設(shè)，，，由勾股定理得，所以，，，所以角均為銳角，所以為銳角三角形，故B正確；對(duì)于C：正方體組對(duì)面相互平行，由面面平行的性質(zhì)定理可知，五邊形中有兩組對(duì)邊平行，所以截面五邊形不可能為正五邊形，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：截面分別交棱、于點(diǎn)、，假設(shè)四邊形為直角梯形，，則，又因?yàn)榍?、共面，所以或，?dāng)時(shí)，因?yàn)槊?，面，則面，又面面，所以，又因?yàn)?，所以四邊形為平行四邊形，與假設(shè)矛盾，當(dāng)，因?yàn)?、且，面，所以平面，即平面，又因?yàn)槠矫妫?，與矛盾，所以假設(shè)不成立，故D錯(cuò)誤；故選：BD例83．（多選題）（2024·高一·湖北·期末）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，為線段上一動(dòng)點(diǎn)（包括端點(diǎn)），則（

）

A．三棱錐的體積為定值B．當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，三棱錐的外接球的體積為C．過點(diǎn)平行于平面的平面被正方體截得的多邊形的面積為D．直線與平面所成角的正弦值的范圍為【答案】BD【解析】對(duì)于A，因?yàn)榍?，故四邊形為平行四邊形，所以，平面，平面，平面，，所以點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，三棱錐的外接球即為正方體的外接球，正方體的外接球直徑為，，故三棱錐外接球的體積為，故B正確；對(duì)于C，且，則四邊形為平行四邊形，所以，平面，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，，平面，所以，平面平面，所以，過點(diǎn)平行于平面的平面被正方體截得的多邊形為，是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，該三角形的面積為，故C錯(cuò)誤；設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由知，點(diǎn)到平面的距離為，當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，因?yàn)椋魹榈闹悬c(diǎn)時(shí)，，，當(dāng)點(diǎn)為線段的端點(diǎn)時(shí)，，即，設(shè)直線與平面所成角為，，故D正確.故選：BD．例84．（多選題）（2024·高一·浙江寧波·期中）已知正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)E、F分別是棱、的中點(diǎn)，點(diǎn)P在四邊形內(nèi)（包含邊界）運(yùn)動(dòng)，則下列說法正確的是（）A．若P是線段的中點(diǎn)，則平面平面B．若P在線段上，則異面直線與所成角的范圍是C．若平面，則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為D．若平面，則長(zhǎng)度的取值范圍是【答案】AD【解析】對(duì)于A：因?yàn)?、分別是線段、的中點(diǎn)，所以，則，則，所以，如圖，連接又由平面，平面，所以，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面平面，即選項(xiàng)A正確；對(duì)于B：在正方體中，，所以與所成的角為與所成的角，連接、，，則為正三角形，所以與所成角的取值范圍為，即選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C：設(shè)平面與直線交于點(diǎn)，連接、，則為的中點(diǎn)，分別取、的中點(diǎn)，，連接、、，由，所以平面，同理可得平面，又因?yàn)椋云矫嫫矫?，又由平面，所以直線平面，故點(diǎn)的軌跡是線段，易得，即選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于D：取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，因?yàn)椋?，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以平面，連接、，則，又因?yàn)椋裕云矫?，連接、，由，且，得，故、、、四點(diǎn)共面，所以平面平面，因?yàn)槠矫妫云矫?，所以點(diǎn)的軌跡為線段，由知，連接，，在中，，所以，所以，則，故線段長(zhǎng)度的最小值為，線段長(zhǎng)度的最大值為，所以長(zhǎng)度的取值范圍是，即選項(xiàng)D正確．故選：AD．例85．（多選題）（2024·高一·河北張家口·階段練習(xí)）已知在三棱錐中，平面平面為等腰直角三角形，且腰，為平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)，為的中點(diǎn)，滿足平面，下列說法中正確的是（

）A．PC與平面所成角正弦值的范圍為B．與平面所成角正弦值的范圍為C．在內(nèi)的軌跡長(zhǎng)度為1D．在內(nèi)的軌跡長(zhǎng)度為2【答案】AC【解析】連接，為等腰直角三角形，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，則平面，而平面，故.又為等腰直角三角形且可得，因?yàn)椋?，所以，過作，連結(jié)，因?yàn)槠矫?，平面平面，平面平面，故平面，故為與平面所成角的平面角，而，其中，故，故A正確，B錯(cuò)誤；取分別為的中點(diǎn)，連接，則，而平面，平面，故平面，同理平面，但平面，故平面平面，當(dāng)時(shí)，則有平面，故平面，則線段為在三角形內(nèi)的軌跡，長(zhǎng)度為.故C正確，D錯(cuò)誤.故選：AC.例86．（多選題）（2024·高一·江蘇·階段練習(xí)）已知正三棱柱的棱長(zhǎng)均為2，點(diǎn)D是棱上（不含端點(diǎn)）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．則下列結(jié)論正確的是（

）A．的周長(zhǎng)既有最小值，又有最大值B．棱上總存在點(diǎn)E，使得直線平面C．三棱錐外接球的表面積的取值范圍是D．當(dāng)點(diǎn)D是棱靠近三分點(diǎn)時(shí)，二面角的正切值為【答案】BC【解析】對(duì)A，如圖展開側(cè)面，易得當(dāng)在與的交點(diǎn)處時(shí)，取得最小值，因?yàn)槭抢馍希ú缓它c(diǎn)）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，故無最大值，故的周長(zhǎng)有最小值，但無最大值，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，在上取一點(diǎn)使得，則，當(dāng)時(shí)，則有平行四邊形，故，又平面，平面，故直線平面，故B正確；對(duì)C，由題意，三棱錐外接球即四棱錐的外接球，取中點(diǎn),中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，交正方形的外接圓于，則，易得平面平面，根據(jù)外接球的性質(zhì)有外接球的球心在平面中，且為的外接圓圓心，由對(duì)稱性，可得當(dāng)在中點(diǎn)時(shí)，最大，此時(shí)外接球直徑最小，此時(shí)，故外接球直徑，此時(shí)外接球表面積，當(dāng)在或者點(diǎn)時(shí)，三棱錐外接球即正三棱柱的外接球，此時(shí)外接球的一條直徑與和的外接圓直徑構(gòu)成直角三角形，此時(shí)外接球直徑，此時(shí)外接球表面積，因?yàn)辄c(diǎn)是棱上（不含端點(diǎn)）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，故三棱錐外接球的表面積的取值范圍是，故C正確；對(duì)D，設(shè)到平面的距離為，則由，即，故.設(shè)到線段的距離，則，解得，故二面角的正切值為，故D錯(cuò)誤.故選：BC.例87．（多選題）（2024·山東日照·模擬預(yù)測(cè)）已知正方體的棱長(zhǎng)為，是空間中任意一點(diǎn)，下列正確的是（

）A．若是棱動(dòng)點(diǎn)，則異面直線與所成角的正切值范圍是B．若在線段上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為C．若在半圓弧上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，三棱錐外接球的表面積為D．若過點(diǎn)的平面與正方體每條棱所成角相等，則截此正方體所得截面面積的最大值為【答案】ACD【解析】對(duì)A，如圖所示，由于，可知即為異面直線與所成角，設(shè)連接，設(shè)，則在中，，故A正確；對(duì)于B，將三角形與四邊形沿展開到同一個(gè)平面上，如圖所示，由圖可知，線段的長(zhǎng)度即為的最小值，在中，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，如圖當(dāng)為半圓弧的中點(diǎn)時(shí)，三棱錐的體積最大，此時(shí)，三棱錐的外接球球心是的中點(diǎn)，連結(jié)，則半徑的長(zhǎng)為，其表面積為，故C正確；對(duì)于D，平面α與正方體的每條棱所在直線所成的角都相等，只需與過同一頂點(diǎn)所成的角相等即可，如圖，，則平面與正方體過點(diǎn)A的三條棱所成的角相等，當(dāng)點(diǎn)分別為棱的中點(diǎn)，連結(jié)，可得平面平行于平面，且為正六邊形，此時(shí)該截面是最大截面，由于正方體的棱長(zhǎng)為1，所以正六邊形的邊長(zhǎng)為，則面積為，故D正確.故選：ACD模塊三：數(shù)學(xué)思想與方法分類與整合思想例88．（2024·河北邯鄲·高一校考階段練習(xí)）等腰直角三角形的直角邊長(zhǎng)為1，現(xiàn)將該三角形繞其某一邊旋轉(zhuǎn)一周，則所形成的幾何體的表面積為（）A． B．或C． D．或【答案】B【解析】如果是繞直角邊旋轉(zhuǎn)，形成圓錐，圓錐底面半徑為，高為，母線就是直角三角形的斜邊，故所形成的幾何體的表面積；如果繞斜邊旋轉(zhuǎn)，形成的是上下兩個(gè)圓錐，圓錐的半徑是直角三角形斜邊的高，兩個(gè)圓錐的母線都是直角三角形的直角邊，即母線長(zhǎng)是，故所形成的幾何體的表面積，綜上所述，所形成幾何體的表面積是或.故選：B.例89．（2024·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）如果點(diǎn)是兩條異面直線、外一點(diǎn)，則過點(diǎn)且與、都平行的平面?zhèn)€數(shù)的所有可能值是（

）A．1 B．2 C．0或1 D．無數(shù)【答案】C【解析】1、若點(diǎn)與直線構(gòu)成的平面與直線平行，則過且與、都平行的平面?zhèn)€數(shù)為0；2、若點(diǎn)與直線構(gòu)成的平面與直線平行，則過且與、都平行的平面?zhèn)€數(shù)為0；3、若點(diǎn)與直線不與直線平行，或點(diǎn)與直線不與直線平行，則點(diǎn)且與、都平行的平面?zhèn)€數(shù)為1.故選：C例90．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）到空間不共面的四點(diǎn)距離相等的平面的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．4C．7 D．8【答案】C【解析】當(dāng)空間四點(diǎn)不共面時(shí)，則四點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)三棱錐．當(dāng)平面一側(cè)有一點(diǎn)，另一側(cè)有三點(diǎn)時(shí)，如圖，令截面與三棱錐的四個(gè)面之一平行，第四個(gè)頂點(diǎn)到這個(gè)截面的距離與其相對(duì)的面到此截面的距離相等，這樣的平面有4個(gè)；當(dāng)平面一側(cè)有兩點(diǎn)，另一側(cè)有兩點(diǎn)時(shí)，如圖，當(dāng)平面過AB，BD，CD，AC的中點(diǎn)時(shí)，滿足條件．因?yàn)槿忮F的相對(duì)棱有三對(duì)，則此時(shí)滿足條件的平面有3個(gè)．所以滿足條件的平面共有7個(gè)，故選：C例91．（2024·上海徐匯·高二海市南洋模范中學(xué)校考階段練習(xí)）從同一點(diǎn)引出的4條直線可以確定個(gè)平面，則不可能取的值是（

）A．6 B．4 C．3 D．1【答案】C【解析】A：當(dāng)4條直線中任何三條都不共面時(shí)，如四棱錐的四條側(cè)棱，此時(shí)4條直線可以確定個(gè)平面，所以不選A．B：當(dāng)4條直線中有三條都共面時(shí)，此時(shí)4條直線可以確定個(gè)平面，所以不選B．C條直線在空間中的位置關(guān)系有：任何三條都不共面；有三條都共面；4條直線共面，所以不存在其他的位置關(guān)系，所以選C．D：當(dāng)4條直線共面時(shí)，此時(shí)4條直線只可以確定1個(gè)平面，所以不選D．故選：C．例92．（2024·全國(guó)·開灤第二中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）中，其邊長(zhǎng)分別為3，4，5，分別以它的邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的體積之和為______．【答案】【解析】由題意不妨設(shè)：，邊上的高為，則，可得，若以邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，則所形成的幾何體為圓錐，其底面半徑，高為，故此時(shí)圓錐的體積為；若以邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，則所形成的幾何體為圓錐，其底面半徑，高為，故此時(shí)圓錐的體積為；若以邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，則所形成的幾何體為兩個(gè)共底面的圓錐，其底面半徑，高為，且，故所得幾何體的體積為；故體積之和為.故答案為：.等價(jià)轉(zhuǎn)換思想例93．（2024·全國(guó)·高一專題練習(xí)）在正方體中，、、、分別是該點(diǎn)所在棱的中點(diǎn)，則下列圖形中、、、四點(diǎn)共面的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】對(duì)于選項(xiàng)，如下圖，點(diǎn)、、、確定一個(gè)平面，該平面與底面交于，而點(diǎn)不在平面上，故、、、四點(diǎn)不共面；對(duì)于選項(xiàng)，連結(jié)底面對(duì)角線，由中位線定理得，又，則，故、、、四點(diǎn)共面對(duì)于選項(xiàng)C，顯然、、所確定的平面為正方體的底面，而點(diǎn)不在該平面內(nèi)，故、、、四點(diǎn)不共面；對(duì)于選項(xiàng)D，如圖，取部分棱的中點(diǎn)，順次連接，得一個(gè)正六邊形，即點(diǎn)、、確