第3章-應(yīng)變分析

Chapter3應(yīng)變分析

3-1、位移與變形

1、位移：物體內(nèi)各點(diǎn)位置的改變

位移矢量一般記為即位移分量：在坐標(biāo)軸上的三個(gè)分量（3-1）2、變形：物體內(nèi)部各部之間產(chǎn)生的相對(duì)運(yùn)動(dòng)。即不含剛體位移的位移。xyz3、位移和變形的關(guān)系：位移變形剛體位移剛體平移剛體轉(zhuǎn)動(dòng)線變形角變形*物體內(nèi)各點(diǎn)之間不產(chǎn)生相對(duì)位移*物體內(nèi)各點(diǎn)之間產(chǎn)生相對(duì)位移4、約定：彈塑性力學(xué)分析中不考慮物體的剛體位移3-2、一點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)：1．問題的提出：位移不能反映物體內(nèi)一點(diǎn)處變形的強(qiáng)烈程度。如鐵絲受拉：一米原長(zhǎng)，伸長(zhǎng)量5cm，單位伸長(zhǎng)0.05；30cm原長(zhǎng)，伸長(zhǎng)量3cm，單位伸長(zhǎng)0.1．變形大，不一定變形厲害。應(yīng)變就是用來表示變形的程度2．線應(yīng)變和角應(yīng)變（正應(yīng)變和切應(yīng)變）物體受力發(fā)生變形，若從物體中任取一微元體，其變形有兩種形式：一是微元體線段（邊）的伸長(zhǎng)或縮短，一是微元體夾角的增大或減小。前者定義為線應(yīng)變，也叫正應(yīng)變。后者定義為切應(yīng)變。(i)

線應(yīng)變：物體內(nèi)一點(diǎn)P(x,y,z)在方向上的線應(yīng)變：變形前在P點(diǎn)處沿方向所取的微線段：變形后Δr的增量規(guī)定>0>0為正

<0<0為負(fù)

(ii)

切應(yīng)變：物體內(nèi)一點(diǎn)P(x,y,z)的兩垂直方向和方向之間的角度變化量，稱之為和方向的切應(yīng)變。變形后、兩垂直方向間角度的變化量則：變形后x、y兩垂直方向間夾角的變化量。規(guī)定：兩軸正向間的夾角減小為正，夾角增大為負(fù)。NP(x,y,z)

3、一點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)：

(i)一般地，物體內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)是不相同的，是位置坐標(biāo)（x,y,z）的函數(shù)。

(ii)

在規(guī)定的坐標(biāo)系中，一點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)可由坐標(biāo)軸向的線應(yīng)變和坐標(biāo)軸向間的切應(yīng)變來確定，共有九個(gè)分量：并且：類似于應(yīng)力張量，一點(diǎn)應(yīng)變狀態(tài)的張量表示為：（3-2）且為一二階對(duì)稱張量。3-3、應(yīng)變分量與位移分量之間的微分關(guān)系—幾何方程:應(yīng)變是與位移有關(guān)的。物體中各質(zhì)點(diǎn)相對(duì)位置的改變，則產(chǎn)生變形。因此要分析物體的變形，就要研究各點(diǎn)的位置的變化。1、單元體分析:

取物體中一點(diǎn)P(x,y,z)附近的單元體，在外力作用下產(chǎn)生變形。為了方便起見，分別按坐標(biāo)面討論。<i>Oxy平面：微元體pabd（六面體在xy平面上的投影部分）。xy1°變形前后各點(diǎn)位置坐標(biāo)：

變形前變形后2°考察xy3°忽略二階微量時(shí),可求得應(yīng)變分量為:（3-3）—P點(diǎn)沿x軸方向棱邊pa的線應(yīng)變：xyxy—P點(diǎn)沿y

軸方向棱邊pb

的線應(yīng)變：（3-4）考察，由于很小，故有xy—P點(diǎn)沿x,y

兩垂直方向棱邊角度的變化：**在以上的式子中，應(yīng)注意到于是有：（3-5）<ii>類似地，在oyz

面分析，可求出：(3-6)(3-7)在ozx

面分析，可求出：(3-8)

2、幾何方程:記：簡(jiǎn)記為：稱為應(yīng)變張量3-4、旋轉(zhuǎn)分量與位移分量間的微分關(guān)系：1、定義：位移場(chǎng)的旋度由此得旋轉(zhuǎn)分量：（3-9）（3-10）簡(jiǎn)記為：2、位移場(chǎng)分析：研究一微線段PQ的變化：變形前：變形后：位移分量是坐標(biāo)的函數(shù)把采用多元函數(shù)的Taylor級(jí)數(shù)展開并略去二階以上微量：其中為了表示成應(yīng)變分量的關(guān)系，對(duì)作如下改寫：（3-11）（3-12）（3-13）**分析位移分量的組成：第一項(xiàng)為微元段的剛性平移所產(chǎn)生的位移，即剛性平動(dòng)。第二，三，四項(xiàng)為線應(yīng)變和切應(yīng)變所產(chǎn)生的位移，即純變形。第五，六項(xiàng)為微元段的剛性轉(zhuǎn)動(dòng)所產(chǎn)生的位移，即剛體轉(zhuǎn)動(dòng)。當(dāng)不考慮由于剛體平動(dòng)和剛體轉(zhuǎn)動(dòng)產(chǎn)生的剛體位移時(shí)，寫出只由于物體受力變形所引起的位移分量為：(3-14)簡(jiǎn)記為：(3-15)整理成設(shè)P、Q間的單元體變形后在xy坐標(biāo)面上的投影為，只考慮剛性移動(dòng)后的投影為，剛體繞平行于z軸的PC線旋轉(zhuǎn)的角度可看作是對(duì)角線轉(zhuǎn)動(dòng)的角度3、旋轉(zhuǎn)分量的得出：考察0xy平面微元體的變化情況：于是同理可證:即成立。或成立。4、相對(duì)位移張量:<i>定義：相對(duì)位移張量為由位移分量分別對(duì)坐標(biāo)x,y,z變量的一階偏導(dǎo)數(shù)所組成的張量。(3-16)<ii>定義：相對(duì)位移張量的分解：其中為應(yīng)變張量，對(duì)稱；為轉(zhuǎn)動(dòng)張量,反對(duì)稱。數(shù)學(xué)上,任何一個(gè)二階張量都可以唯一地分解成一個(gè)對(duì)稱張量和一個(gè)反對(duì)稱張量。(3-17)考慮到應(yīng)變張量的對(duì)稱性,有:例題：1、物體處于無應(yīng)變狀態(tài),即試求位移分量。解：1°由應(yīng)變和位移的關(guān)系:2°確定f1,f2,f3的函數(shù)形式:考察由此知:f1,f2,f3各函數(shù)中只含有一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)其中ai,bi,ci,di為常數(shù)。3°確定各系數(shù)ai，bi，ci，di

（i=1，2，3）于是有：d1=d2=d3=0，b1=-b2

c2=-c3b3=-c1

代入：不妨記：a1，a2，a3

分別為u0，v0，w0，表示剛體平動(dòng)。b2=ωz

，c1=ωy，c3=ωx為剛體轉(zhuǎn)動(dòng)分量。則有：矩陣形式：矢量形式：其中：*參考理論力學(xué)中運(yùn)動(dòng)學(xué)分析的剛體運(yùn)動(dòng)部分。剛體的運(yùn)動(dòng)是剛體基點(diǎn)的平動(dòng)和繞基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)的合成。3-5.應(yīng)變狀態(tài)分析1、目的：對(duì)一點(diǎn)的各個(gè)方向線應(yīng)變和兩垂直方向的切應(yīng)變的分析，往往是為了分析應(yīng)力，從工程實(shí)踐上，經(jīng)常進(jìn)行的是變形的分析和測(cè)量（如電測(cè)實(shí)驗(yàn)）。同時(shí)，也是彈塑性理論基本方程的需要。2、應(yīng)變狀態(tài)分析：<i>給定坐標(biāo)系下一點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)，應(yīng)變張量<iii>過P點(diǎn)任意兩垂直方向間的剪應(yīng)變：<ii>在過該點(diǎn)P的任一指定方向方向上的線應(yīng)變（3-21）（3-22）1°可以求得過此點(diǎn)任一指定方向的線應(yīng)變?chǔ)臢2°可以求得過此點(diǎn)任兩個(gè)垂直方向的切應(yīng)變:由此知，此點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)已確定。3、結(jié)論：已知變形物體中某一點(diǎn)的應(yīng)變分量則：3°表示一點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)εij也是一個(gè)二階對(duì)稱張量：*與一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)比較：2、主應(yīng)變確定：（i）在給定坐標(biāo)中，一點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)（ii）設(shè)定主方向：則由定義,主應(yīng)變?chǔ)乓鹁€段r的變形3-6主應(yīng)變和應(yīng)變不變量1、主應(yīng)變的概念：一點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)，存在過該點(diǎn)的方向，在該方向上任取微線段PQ，受力后的變形只沿該方向伸長(zhǎng)或縮短，則定義此方向?yàn)橹鞣较?，其?yīng)變?chǔ)艦橹鲬?yīng)變。類似于應(yīng)力狀態(tài)，一定存在三個(gè)相互垂直的形變方向，它們所形成的三個(gè)直角在形變之后保持為直角（即切應(yīng)變?yōu)榱悖?，沿著這三個(gè)形變主方向的正應(yīng)變稱為主應(yīng)變。即可寫成：利用前面的討論結(jié)論：不考慮剛體位移時(shí)，整理：（3-23）（3-24）3、應(yīng)變特征方程：（3-25）展開：其中（3-26）（3-27）（3-28）（3-29）4、討論：（i）由應(yīng)變特征方程可求得ε的三個(gè)實(shí)根：ε1>ε2>ε3（ii）由主應(yīng)變方程組可求出對(duì)應(yīng)ε1、ε2、ε3的方向余弦:ε1:l1,m1,n1ε2:l2,m2,n2ε3:l3,m3,n3（iii）在主應(yīng)變狀態(tài)下，應(yīng)變特征方程為：其中分別為第一、第二、第三應(yīng)變不變量3-7位移邊界條件1、提出：彈塑性力學(xué)的解要滿足給定的邊界條件。一般地，受力物體的邊界分為兩大部分，一部分是已知邊界上的受力情況（包括不受外力的自由邊界），一部分是給定邊界上的位移和約束情況（如沉降，固定等），分別被稱為外力邊界和位移邊界。外力邊界條件：給出邊界上外力與應(yīng)力的關(guān)系：位移邊界條件：給定邊界上位移值：1、例題：（2）（1）AB邊界：限定位移為零：彈性層：彈性半空間：AB邊位移邊界條件：3-8體積應(yīng)變提出：組成物體的每個(gè)微元體不但形狀發(fā)生了改變，而且它的體積也將發(fā)生改變，所以也要研究任一點(diǎn)附近的單位體積的變化。1、分析：

1°取單元體dxdydz.

變形前：dv=dxdydz

變形后：受力產(chǎn)生變形，是兩種情況的疊加：純剪切：只引起單元體的形狀改變，不引起體積變化（由于剪切變形引起體積的改變是高階微量，可以略去）拉(壓)變形：引起體積的改變。2°只考慮由拉(壓)變形引起的單元體體積改變：邊長(zhǎng)變化：變形后體積：3°體積應(yīng)變定義：（3-30）顯然，第一應(yīng)變不變量J1具有明顯的幾何意義：J1

就是體積應(yīng)變。4°考慮位移場(chǎng)的散度：即體積應(yīng)變?chǔ)葹槲灰茍?chǎng)的散度。2、應(yīng)變張量的分解：<i>當(dāng)θ=0時(shí)，稱為物體是不可壓縮的，因此不可壓縮的條件為：或（3-31）（3-32）其中1°εm=1/3(εx+εy+εz)為平均正應(yīng)變分量。<ii>應(yīng)變張量分解：（3-33）2°記為應(yīng)變張量為偏斜應(yīng)變張量，又稱應(yīng)變偏量為球形應(yīng)變張量則有：（3-34）3°偏斜應(yīng)變張量Ds的體積應(yīng)變：（3-35）在偏斜應(yīng)變狀態(tài)下的體積應(yīng)變?yōu)榱?，這在塑性力學(xué)中是很重要的一個(gè)結(jié)論。4°球形應(yīng)變張量Dm的體積改變：（3-36）3、偏斜應(yīng)變張量的不變量：（與應(yīng)力偏量的不變量類比）顯然，球形應(yīng)變狀態(tài)只改變其體積而不改變其形狀。（3-37）（3-38）若x,y,z取為主應(yīng)變方向，即主應(yīng)變狀態(tài)下偏斜應(yīng)變張量的不變量為：（3-39）（3-40）3-10、應(yīng)變率的概念：1、物體內(nèi)各點(diǎn)的速度：對(duì)于物體內(nèi)任一點(diǎn)P(x,y,z)，t時(shí)刻速度分量為:位移分量為2、應(yīng)變對(duì)時(shí)間的變化率—應(yīng)變率

考察故有應(yīng)變率張量：3、一些固體材料在受溫度不高和緩慢塑性變形時(shí)，其力學(xué)性質(zhì)實(shí)際上與應(yīng)變率關(guān)系不大，一般考慮的不是應(yīng)變率，而是應(yīng)變?cè)隽?。記為（注意不是?yīng)變分量對(duì)坐標(biāo)的微分）。3-11、變形協(xié)調(diào)方程：1、問題的提出：

1°根據(jù)連續(xù)性假定，受力物體在變形前后都是連續(xù)的。

2°由幾何方程εij=1/2(uj,i+ui,j)可知，給定位移函數(shù)ui可唯一地確定應(yīng)變分量εij3°由于εij=1/2(uj,i+ui,j)是導(dǎo)出關(guān)系，數(shù)學(xué)上它們之間并不是相互獨(dú)立的，而存在著一定的相互制約關(guān)系。

4°物理上，相互獨(dú)立的應(yīng)變分量不能保證物體的連續(xù)性，物體內(nèi)在變形時(shí)會(huì)出現(xiàn)分裂和重疊。2、變形協(xié)調(diào)關(guān)系—應(yīng)變分量間的關(guān)系考慮幾何關(guān)系：ABCDABC