高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第二篇函數(shù)與基本初等函數(shù)Ⅰ（1-5講）（考點(diǎn)梳理+考點(diǎn)自測(cè)+揭秘高考）理新人教A版

第二篇函數(shù)與基本初等函數(shù)I⑧第1講函數(shù)及其表示

【2014年高考會(huì)這樣考】

1.主要考查函數(shù)的定義域、值域、解析式的求解.

2.在實(shí)際情境中，會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法)表示

函數(shù).

3.考查簡(jiǎn)單的分段函數(shù)，并能簡(jiǎn)單應(yīng)用.

?抓住3個(gè)考點(diǎn)必考必記至基劇本

考點(diǎn)梳理

i.函數(shù)的基本概念

(1)函數(shù)的定義：設(shè)48是非空的數(shù)集,如果按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系E使對(duì)于集合4

中的任意一-個(gè)數(shù)方在集合6中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對(duì)應(yīng),那么就稱￡力一8為從

集合｛到集合6的一一個(gè)函數(shù)，記作尸f(x),xW4

⑵函數(shù)的定義域、值域：

在函數(shù)尸/1(X),“6/中，X叫做自變量，X的取值范圍/叫做函數(shù)的定義域;與X的值

相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)侑的集合"(X)IxG4｝叫做函數(shù)的值域.顯然,值域是集

合6的子集.

(3)函數(shù)的三要素：定義域、值域和對(duì)應(yīng)法則.

(4)相等函數(shù)：如果兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致,那么這兩個(gè)函數(shù)相等，這是

判斷兩個(gè)函數(shù)相等的依據(jù).

(5)函數(shù)的表示法.

表示函數(shù)的常用方法有：解析法、圖象法、列表法.

2.分段函數(shù)

若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)?yīng)關(guān)系不同而分別用幾個(gè)不同的式子來(lái)表示,這種

函數(shù)稱為分段函數(shù).分段函數(shù)雖然山幾部分組成，但它表示的是一個(gè)函數(shù).

3.映射的概念

設(shè)/、8是兩個(gè)非空集合，如果按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系￡使對(duì)于集合4中的任意一個(gè)

元素笛在集合6中都有唯一確定的元素巳與之對(duì)應(yīng),那么就稱對(duì)應(yīng)￡力-8為從集合4

到集合8的一個(gè)映射.

【助學(xué)?微博】

一種方法

求復(fù)合函數(shù)定義域的方法

(1)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇a,6],則復(fù)合函數(shù)Mg(x))的定義域由不等式aWg(x)Wb

求出.

(2)已知函數(shù)f(g(x))的定義域?yàn)閇a,b\,則/U)的定義域?yàn)間(x)在xe[a,b\時(shí)的值域.

兩個(gè)防范

(1)解決函數(shù)的任意問題，把求函數(shù)的定義域放在首位，即遵循“定義域優(yōu)先”的原則.

(2)用換元法解題時(shí)，應(yīng)注意換元前后的等價(jià)性.

考點(diǎn)自測(cè)

1.(人數(shù)A版教材習(xí)題改編)下列各對(duì)函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是().

A./'(x)=lgx,g[x)=21gx

x+1

B.f(x)=lg￡Tpg(x)=lg(x+l)-lg(x—1)

/、/1+u/\/1+0

cg⑺

D.f(x)=(A/%)2,g{x}=yp

答案C

2.已知a,。為實(shí)數(shù)，集合后[[，1],e{a,0},f：LX表示把"中的元素x映射到

集合"中仍為％則a+b等于().

A.-1B.1C.0D.±1

解析由集合性質(zhì)結(jié)合已知條件可得a=l,b—0,：,a+b—l.

答案B

|V+1,xWl,

3.(2012?江西)若函數(shù)/U)=則/?(f(10))=

[1gx,x>\,

A.1g101B.2C.1D.0

解析A10)=lg10=1,故『(『(10))=F(1)=『+1=2.

答案B

4.(2013?杭州模擬)函數(shù)尸。16-4'的值域是().

A.[0,+8)B.[0,4]

C.[0,4)D.(0,4)

解析由已知得0W16-4'<16,0W416-4'〈標(biāo)=4,即函數(shù)尸正16一己的值域是[0,4),

選C.

答案C

5.(2012?江蘇)函數(shù)f(x)=#1—210g$x的定義域?yàn)椤?/p>

1—21og6^0,log6%^l=log66,

解析由題意,知，〈后季，所以函數(shù)/(%)

x>0x>0

的定義域?yàn)?0,

答案(0,炯

02:突破"考向研析案例考向突破

考向一求函數(shù)的定義域

[例1]a⑴函數(shù)f(x)3x+2+(---3x+4)的定義域?yàn)?).

A.(-8,-4]U[2,+8)B.(-4,0)U(0,1)

C.[-4,0)U(0,1]D.[-4,0)U(0,1)

⑵已知函數(shù)A2')的定義域是[1,2],則函數(shù)Hlogzx)的定義域?yàn)?

[審題視點(diǎn)](1)理解各代數(shù)式有意義的前提，列不等式組解得.

(2)根據(jù)求復(fù)合函數(shù)定義域的解法求解.

3x+220,

解析(1)<_?_31+420,=>-4Wx〈l且#0,故選D.

、,.-3x+2+.——-3x+4>0

(2)在函數(shù)/中,定義域?yàn)閇1,2],即1之后2,2忘2飛4,；"(0的定義域?yàn)閇2,4].要

求f(logzx)的定義域,則2Wlog2xW4,4<xW16,f(log2X)的定義域?yàn)閇4,16].

答案(1)D(2)[4,16]

方法錦囊》求函數(shù)定義域的主要依據(jù)是：(1)分式的分母不為零；(2)偶次方根的被開方數(shù)

大于或等于零；(3)對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零，底數(shù)大于零且不等于1；(4)零次基的底數(shù)不為零;

(5)若函數(shù)FJ)的定義域?yàn)椤▌t對(duì)于復(fù)合函數(shù)尸Z[g(x)],其定義域由滿足g(x)G〃的

x來(lái)確定.

【訓(xùn)練1】(2012?山東)函數(shù)/'(x)=k^—+尸7的定義域?yàn)?).

A.[-2,0)U(0,2]B.(-1,0)U(0,2]

C.[-2,2]D.(-1,2]

Inx+1￥0,

解析f(x)有意義，應(yīng)滿足,4一

.*+1>0,

x>—1,且背0,

解得

一2<盡2,

.,"(X)的定義域?yàn)閧x|—l〈xW2且#0}.

答案B

考向二求函數(shù)的解析式

【例2】A⑴已知g+l)=lgX,求f(x)的解析式；

(2)已知f(x)是一次函數(shù)，且滿足3f(x+D—2F(x—l)=2x+17,求f(x)的解析式；

(3)定義在(-1,1)內(nèi)的函數(shù)f(x)滿足2/、(必一人一心=lg(x+l),求函數(shù)Ax)的解析式.

［審題視點(diǎn)］(1)用換元法求解.

(2)已知f(x)是?次函數(shù)，用待定系數(shù)法求解.

(3)式中含有x,一X,故構(gòu)造方程組求解.

解(1)令1+1=3由于x>0,.'">1且^=不二,

22

=lg~~p即F(x)=lgf(尤>1)?

t—1x—1

(2)設(shè)f(x)=4x+6(4#0),

，3f(x+l)-2/U-l)=3|>(x+l)+6]-2[A(x-l)+川=履+54+6=2*+17.

k=2,k=2,

即；"(x)=2x+7.

5什Q17,b=l,

(3)xd(—1,1)時(shí)，有2fC0-f(—x)=lg(x+l).①

以一”代x,得2f(—x)—F(x)=lg(―x+1).②

由①②消去f(—才)，得/'(x)=§g(x+l)+glg(l—x),xe(—1,1).

方法錦囊》函數(shù)解析式的求法

(1)湊配法：山已知條件f(g(x))=尸(x),可將尸(x)改寫成關(guān)于g(x)的表達(dá)式，然后以x

替代g(x)，便得f(x)的解析式；

(2)待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù)等)，可用待定系數(shù)法；

(3)換元法：已知復(fù)合函數(shù)f(g(x))的解析式，可用換元法，此時(shí)要注意新元的取值范圍；

(4)方程思想：已知關(guān)于/?(?與0或/"(一X)的表達(dá)式，可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外

一個(gè)等式組成方程組，通過解方程組求出/'(X).

【訓(xùn)練2】已知?jiǎng)t/'(*)的解析式可取為().

x2x

A.]+*?(xW-1)B.-]+/(xW1)

Axx

C.]+j(xW-1)D.-]+((xW1)

l—g—l

一心\~x.\—x

解■“析由i《/l大==,令中=￡*、=干2-1r且l￡￥—1*./.U)=v+-1一

1+市一1

2t/、2x

7TT=77?L

答案c

考向三分段函數(shù)及其應(yīng)用

【例3】A(2012?江蘇)設(shè)f(x)是定義在R上且周期為2的函數(shù)，在區(qū)間［—1,1］上，/U)

ax+1,—lWx<0,

='6x+20Vv［其中a,6GR.若6］=(號(hào)，則a+3Z?的值為_.

.x+］'''?、'

［審題視點(diǎn)］本題考查分段函數(shù)及函數(shù)的周期性等知識(shí)，題目中挖掘隱含條件A-D-

/U)對(duì)于解決本題至關(guān)重要.

解析因?yàn)镕(x)是定義在R上且周期為2的函數(shù)，所以4|)=(一0,且八一1)=丹1)，

-b+2

21

從而----=—^w+l,3a+2b=-2.①

2+1

由/X—l)=f(l),得一a+l=^^,故6=—2a.②

由①②得a=2,b=-4,從而a+3，=-10.

答案TO

方法錦囊》對(duì)于解決分段函數(shù)問題，其基本方法是“分段歸類”即自變量涉及到哪一段就

用這一段的解析式.

log2X,x>0,1

【訓(xùn)練3】已知函數(shù)/U)=L…若f(a)=g,則a的值為().

2',xWO,

A.-1B.y/2C.-1或TD--1或第

解析若a>0,有l(wèi)og2a=2，

若aWO,有2"=亍a=-l.

答案D

03?揭秘3年高考權(quán)威解港真題展示

熱點(diǎn)突破3——函數(shù)新定義問題

【命題研究】以高等數(shù)學(xué)知識(shí)為背景的新定義問題是近幾年來(lái)高考命題的熱點(diǎn)，在近年

的高考題中常能找到它的影子，如2012年福建卷第10題、2012年湖北卷第7題等.此

類試題著重考查考生的閱讀理解能力、分析問題和解決問題的能力，求解時(shí)可通過選取滿

足題設(shè)條件的特殊函數(shù)，化抽象為直觀，使得此類問題得以突破.預(yù)測(cè)2014年高考仍會(huì)

有函數(shù)新定義題出現(xiàn).

【真題探究】》(2012?湖北)定義在(-8,0)U(0,+8)上的函數(shù)/'(⑼，如果對(duì)于任

意給定的等比數(shù)列｛a｝,｛/(&)｝仍是等比數(shù)列，則稱f(x)為“保等比數(shù)列函數(shù)”.現(xiàn)有

定義在(一8,o)U(0,+8)上的如下函數(shù)：①『(王)=曉②/'(x)=2*；③/'(*)=［*；

@f(x)=ln|x|.

則其中是''保等比數(shù)列函數(shù)"的/Xx)的序號(hào)為().

A.①②B.③④C.①③I).②④

［教你審題］本題是一道自主定義的新函數(shù)試題，如果“單刀直入，強(qiáng)行突破”，解題過

程會(huì)很繁雜，因此，我們可以選擇對(duì)四個(gè)選項(xiàng)中的函數(shù)逐?推理論證，看其是否滿足“保

等比數(shù)列函數(shù)”的定義(見法一)；也可以利用問題在某一特殊情況下不真，則它在一般情

況下也不真的原理，對(duì)所給函數(shù)選取特殊值進(jìn)行驗(yàn)證(見法二).

［解法］法一設(shè)數(shù)列｛a｝的公比為q(g/0).對(duì)于①，/&+：=與=數(shù)是常數(shù)，故

工cina。

①符合條件；對(duì)于②'中『聾不是常數(shù)，故②不符合條件；對(duì)于③'

等1二4而’是常數(shù)fa+1

故③符合條件；對(duì)于④,

logI&II&+J,不是常數(shù)，故④不符合條件.

由“保等比數(shù)列函數(shù)”的定義，知選C.

法二取x為1,2,4,則1,2,4成等比數(shù)列；對(duì)于函數(shù)f(x)=2、，有A1)=2,f(2)=22,

f(4)=24,所以f⑴?『(4)#"(2)了，故函數(shù)F(x)=2"不是”保等比數(shù)列函數(shù)”，可排

除A,D；對(duì)于函數(shù)f(x)=ln|jr|,有F⑴=0,A2)=In2,F(4)=In4,所以

f⑴?/l⑷⑵了,故函數(shù)/U)=In|x|不是“保等比數(shù)列函數(shù)”,可排除B.應(yīng)選C.

答案C

［反思］(1)本題以等比數(shù)列與基本初等函數(shù)知識(shí)為背景，給出了一個(gè)新的概念“保等比數(shù)

列函數(shù)”，把函數(shù)與數(shù)列兩知識(shí)塊自然地融合在一起，考查了靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問題

和解決問題的能力.

(2)求解新定義問題的關(guān)鍵是讀懂新定義的意義，并將其運(yùn)用到新的情境中.對(duì)特殊值的

敏感，對(duì)已知選項(xiàng)的理解，可從中提取有效的信息.特殊值的選定，一要典型，能定性

說明問題；二要簡(jiǎn)單，便于推理運(yùn)算.

【試,試】若對(duì)于函數(shù)/Q)定義域內(nèi)的任意一個(gè)自變量都存在唯一一個(gè)自變量物

使得為f及=1成立，則稱f(x)為好函數(shù)”.給出四個(gè)函數(shù)：①『5)=10'；②

f(x)=l[；③/'(x)=sinx,xG(0,n)；④/'(x)=2'"",xG(0,頁(yè)).其中為"好函數(shù)”

的函數(shù)的個(gè)數(shù)為().

A.1B.2

C.3D.4

解析①/'(XI)F(X2)=10矛1+才2=1,只需汨+*2=0,在唯一；②(蒞)=1吃?lg^=

b只需lgxi=J-，才2唯一；③/'(為)/'(X2)=sinxisin才2=1,加不存在；④f(為)/'(生)

lgx2

=2cosXi+cosX2=l,cosJTI+COS及=0,至唯一.

答案C

ML限時(shí)規(guī)范訓(xùn)練期梯訓(xùn)練場(chǎng)強(qiáng)在

A級(jí)基礎(chǔ)演練(時(shí)間：30分鐘滿分：55分)

一、選擇題(每小題5分，共20分)

L下列各對(duì)函數(shù)中，是同一個(gè)函數(shù)的是).

A.&(/)=寺7

1,x20,

B.f{x)=—g(x)=，

—1,KO

C.f(x)=2，+及/+1,展才)=(2'

D.f(x)=y[x?yjx+l,g{x)=y[x~x+1―

解析對(duì)于選項(xiàng)A,由于/■(x)=W=|x|,氯.)=切=心故它們的值域及對(duì)應(yīng)法則都

不相同，所以它們不是同一個(gè)函數(shù)：時(shí)于選項(xiàng)B,由于函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-8,0)U

(0,+8),而g(x)的定義域?yàn)镽,所以它們不是同一個(gè)函數(shù)；對(duì)于選項(xiàng)C,由于當(dāng)

N*時(shí)，2〃±1為奇數(shù)，所以/U)=2〃+Yk=x,g(x)=(2"-,)21=%它們的定義

域、值域及對(duì)應(yīng)法則都相同，所以它們是同一個(gè)函數(shù)；對(duì)于選項(xiàng)D,由于函數(shù)F(x)=

小.[x+1的定義域?yàn)閇0,+8),而g(x)=m~x+1-的定義域?yàn)?-8,—1]U[0,

+8),它們的定義域不同，所以它們不是同一個(gè)函數(shù).

答案C

2.(2012?江西)下列函數(shù)中，與函數(shù)一定義域相同的函數(shù)為().

八xcsinx

C.y=xeD.y=---

IeinY

解析函數(shù)尸——的定義域?yàn)?|#0,*GR}與函數(shù)尸——的定義域相同，故選D.

濕X

答案D

3.若一系列函數(shù)的解析式相同，值域相同，但定義域不同，則稱這些函數(shù)為“同族函數(shù)”，

則函數(shù)解析式為尸=丁+1,值域?yàn)閧1,3}的同族函數(shù)有().

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

解析由*+1=1,得x=0.由1+1=3,得戶土啦，所以函數(shù)的定義域可以是{0,m},

{0,一/},{0,m,一/},故值域?yàn)閧1,3}的同族函數(shù)共有3個(gè).

答案C

4.(2012?安徽)下列函數(shù)中，不滿足f(2x)=2f(x)的是().

A.f(x)—|x\B.f{x)—x—|x\

C.f{x}—x+1D./(A)——x

解析因?yàn)?"(x)=履與/'(x)=用才|均滿足/'(2x)=2f(x),所以A,B,D滿足條件：對(duì)于

C,若/'(x)=x+l,則f(2x)=2x+l#2『(x)=2*+2.

答案C

二、填空題(每小題5分，共10分)

5.已知函數(shù)/Xx),g(x)分別由下表給出,

則扛g(D］的值為

解析：g⑴=3,./(g⑵)

=3,g(F⑵)=1.

答案12

6.函數(shù)y=y[x+l—yjx—1的值域?yàn)?/p>

解析函數(shù)定義域?yàn)椋?，+8),

2

y

y/x+1+y/x-l

當(dāng)時(shí)是減函數(shù),0<y=/1―/W

y[x+l+y[x—ly]2

故函數(shù)的值域?yàn)?0,72］.

答案(0,M

三、解答題(共25分)

2

7.(12分)記f(x)=lg(2x—3)的定義域?yàn)榧螹,函數(shù)g(x)=1一』的定義域?yàn)榧蠎?yīng)

求:

⑴集合弘N；(2)集合科AM；iAJA：

3

解⑴#={x|2x—3>0}=xx>-

八邛—―2川x叫—3=以.后3,或?“〈1}..

3

(2)"AN={x|>23},或x>5

8.(13分)二次函數(shù)f(x)滿足f(x+l)—F(x)=2%且f(0)=l.

(1)求F(x)的解析式；

(2)在區(qū)間上，函數(shù)尸代/)的圖象恒在直線尸2X+R的上方，試確定實(shí)數(shù)力的

取值范圍.

解⑴由F(0)=l,可設(shè)f(x)=aV+6x+l(aWO),故F(x+1)—f(x)=a(x+l)2+b(x

2a=2,a=l,

+1)+1—{ax+Z?x+1)=2ax+a+b,由題意，得，解得■

[a+b=Ofb=—lf

故f{x)=x—x+l.

(2)山題意，得x+l>2x+/，即3x+l〉加，對(duì)才￡［-1,1］恒成立.令g(x)=V—

3x+l,則問題可轉(zhuǎn)化為g(x)min>處又因?yàn)間(x)在［-1,1］上遞減，所以g(x)min=g(l)

=—1,故水一L

B級(jí)能力突破(時(shí)間：30分鐘滿分：45分)

一、選擇題(每小題5分，共10分)

'|lgx\,0<后10,

1.已知函數(shù)F(x)=<1若a,，，c互不相等，且F(a)=F(b)=F(c),

一]x+6,x>10.

則aA的取值范圍是).

A.(1,10)B.(5,6)

C.(10,12)D.(20,24)

解析a,b,c互不相等，不妨設(shè)a〈伙c,：f(a)

=f(6)=f(c),由圖可知0〈水1,1〈伙10,10<X12.

,."(a)=F(Z)),

11ga|=|1gb\,

lga=-1gb,B|J1ga=lg

ab=1,10<aZ?c=c<12.故應(yīng)選C.

答案C

2.定義兩種運(yùn)算：々?la?—況濯b=7a-bI則函數(shù)f(x)=脛2_2的解析式

為().

A.^G[-2,0)U(0,2]

B.f(x)=也匚a,Xd(—8,-2]U[2,+8)

X

\lx—4

C.f(x)=一^----,才￡(-8,-2]U[2,+8)

x

A/4——

D.f(x)=-N-------,x￡[-2,0)U(0,2]

x

解析V2?x=yl4—x,農(nóng)2=yjx—2"=|x—2\,

y/4-f

,F(x)=

I^-2I-2,

4一f20,[—2W^r^2,

注意到定義域：,今…口—，x￡[-2,0)U(0,2],??.F(x)=-

[\x-n2\^n2〔x#0且xW4

"4x,[—2,0)U(0,2].

x

答案D

二、填空題(每小題5分，共10分)

3.設(shè)f{x)則附+￡)+&+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=.

解析因?yàn)?V)=*，所以代=—巖，巧+“x)=0,所以/Q)+/Q)+/G)+

AD+A2)+A3)+A4)=AD=0.

答案0

[A,2+1,x20,

4.已知函數(shù)F(x)=<則滿足不等式*1一力＞〃2舊的x的取值范圍是

[1,XO,

1—*2〉0,1—9＞2矛，

解析由題意有0/八或《解得一1＜水0或0〈水/一1,，所求x

2X02x20V

的取值范圍為(-1,V2-D.

答案(一1,A/2-I)

三、解答題(共25分)

[1,1WA<2,

5.(12分)設(shè)函數(shù)F(x)={g(x)=f(x)—ax,

[x—1,2<啟3,

x￡[l,3],其中a￡R,記函數(shù)g(x)的最大值與最小值的差為力(a).

⑴求函數(shù)力(a)的解析式；

⑵曲出函數(shù)尸力(x)的圖象并指出力(X)的最小值.

1—ax,KW2,

解⑴由題意知g(x)=

ax—1,2K3,

當(dāng)水0時(shí)，函數(shù)g(肘是[1,3]上的增函數(shù),此時(shí)g(肘皿=g(3)=2—3a,g(x)?in=g(D=1

—a,所以力(a)=l—2a；

當(dāng)蘇1時(shí),函數(shù)g(力是[1,3]上的減函數(shù),此時(shí)g(x)而iu=g(3)=2-3&g(力皿=g(l)=l

一a,所以力(a)=2w—1：

當(dāng)OWdWl時(shí)，若x￡[l,2],則g(x)=l—ax,有g(shù)(2)Wg(x)Wg(l)；

若x￡(2,3],則g(x)=(l—a)x—l,有g(shù)(2)〈g(x)Wg(3),因此g(x)min=g(2)=1—2a,

而g⑶—g⑴=(2—3a)—(1—a)=1—2a,

故當(dāng)時(shí)，g(x)max=g(3)=2—3a,有力?=1—a；

當(dāng)時(shí)，g(x)max=g(l)=1—a有力(a)=a.

〃1-2a水0,

1—a,OWag，

綜上所述，力G)=<

a,

72a—1,3>1.

1

(2)畫出尸/?(x)的圖象，如圖所示，數(shù)形結(jié)合可得力(*).,"=/?

2-

6.(13分)(2012?江蘇)設(shè)集合2={1,2,…，n},記/'(〃)為同時(shí)滿足下列條件的集

合力的個(gè)數(shù)：①力②若xW/l,則2超4③若則2處￡4

⑴求f(4)；

(2)求『(〃)的解析式(用〃表示).

解(1)當(dāng)〃=4時(shí)，符合條件的集合4為：⑵，{1,4},{2,3},{1,3,4},故f(4)=4.

(2)任取偶數(shù)xGA,將x除以2,若商仍為偶數(shù)，再除以2,…，經(jīng)過％次以后，商必為

奇數(shù)，此時(shí)記商為例于是其中勿為奇數(shù)，ASN*.

由條件知，若卬64則xG/o4為偶數(shù)；

若族力,則xG40%為奇數(shù).

于是X是否屬于/由勿是否屬于4確定.設(shè)2是月中所有奇數(shù)的集合，因此f(〃)等于以

的子集個(gè)數(shù).當(dāng)〃為偶數(shù)(或奇數(shù))時(shí)，巴中奇數(shù)的個(gè)數(shù)是決或?qū)?，

%〃為偶數(shù)，

所以F(〃)=〈

2號(hào)，〃為奇數(shù).

特別提醒：教師配贈(zèng)習(xí)題、課件、視頻、圖片、文檔等各種電子資源見《創(chuàng)新設(shè)計(jì)?高

考總復(fù)習(xí)》光盤中內(nèi)容.

第2講函數(shù)的單調(diào)性與最值

【2014年高考會(huì)這樣考】

1.考查求函數(shù)單調(diào)性和最值的基本方法.

2.利用函數(shù)的單調(diào)性求單調(diào)區(qū)間.

3.利用函數(shù)的單調(diào)性求最值和參數(shù)的取值范圍.

4.函數(shù)的單調(diào)性和其它知識(shí)結(jié)合綜合考查求函數(shù)最值、比較大小、解不等式等相關(guān)問題.

?抓住2個(gè)考點(diǎn)必考必記夯基固本

考點(diǎn)梳理

i.函數(shù)的單調(diào)性

(1)單調(diào)函數(shù)的定義

增函數(shù)減函數(shù)

一般地，設(shè)函數(shù)/'(X)的定義域?yàn)?,如果對(duì)于定義域/內(nèi)某個(gè)區(qū)間〃上

的任意兩個(gè)自變量為，也

定義當(dāng)為〈才2時(shí)，都有&1X3,那

當(dāng)乂＜尼時(shí)，都有/'(X】)〉/,(又2)，那么

么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間〃上是增函

就說函數(shù)f(x)在區(qū)間〃上是減函數(shù)

數(shù)

11

圖象描述O玉石Xo￡%x

自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是:?的

(2)單調(diào)區(qū)間的定義

若函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù),則稱函數(shù)f(x)在這區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)

性，區(qū)間〃叫做y=Ax)的單調(diào)區(qū)間.

2.函數(shù)的最值

前提設(shè)函數(shù)尸/,(X)的定義域?yàn)?,如果存在實(shí)數(shù)"滿足

(1)對(duì)于任意XG/,都有f(x)(3)對(duì)于任意xG/,都有f(x)NM；

條件

(2)存在於G/,使得/,(幻=屈(4)存在於G7,使得尸(劉)=M.

結(jié)論"為最大值物為最小值

【助學(xué)?微博】

一個(gè)防范

單調(diào)區(qū)間只能用區(qū)間表示，不能用集合或不等式表示；如有多個(gè)單調(diào)區(qū)間應(yīng)分別寫，不能

用符號(hào)“U”聯(lián)結(jié)，也不能用“或”聯(lián)結(jié).

兩種形式

設(shè)任意Xi,與且X1＜*2,那么

①//一/禺＞Oof(x)在［a,6］上是增函數(shù)：

X\—X2

f町T卷在［a,⑸上是減函數(shù).

②(小一生)"(E)—FCMDOo/V)在［a,b］上是增函數(shù)；(小一通"(xi)—f(x2)"0o/'(x)

在［a,6］上是減函數(shù).

兩條結(jié)論

(1)閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定存在最大值和最小值.當(dāng)函數(shù)在閉區(qū)間上單調(diào)時(shí)最值定在

端點(diǎn)取到.

(2)開區(qū)間上的“單峰”函數(shù)一定存在最大(小)值.

考點(diǎn)自測(cè)

1.已知函數(shù)f(x)=log.3在(0,十8)上單調(diào)遞增,則().

A./-(3XA-2)</,(1)B./(1)</-(-2)</(3)

c.A-2XA1XA3)D.A3XA1XA-2)

解析因?yàn)閒(x)=log/x|在(0,+8)上單調(diào)遞增,所以a>l,f(l)〈/?(2)<f(3).又函數(shù)

f(x)=log,|x|為偶函數(shù),所以=2)=f(—2),所以=(l)<f(-2)<f(3).

答案B

2.(2013?西安調(diào)研)設(shè)/'(x)為定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)*20時(shí)，f(x)單調(diào)遞減，若

xi+x2>0,則/(%)+f(總)的值().

A.恒為正值B.恒等于零

C.恒為負(fù)值D.無(wú)法確定正負(fù)

解析Ax)為奇函數(shù)且時(shí)f(x)為減函數(shù)，故f(x)在R上是減函數(shù)，由小+及>0,得

為>一如故/'(%)<F(一也)，即/(%)—f(一及)〈0,即/'(%)+F(X2)〈O.

答案C

3.(2012?廣東)下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,+8)上為增函數(shù)的是().

A.y=ln(*+2)B.—?\/x+1

C.尸(3、D.尸葉^

解析采用驗(yàn)證法，易知函數(shù)y=ln(x+2)在(-2,+8)上是增函數(shù)，因此在(0,+<?)

上是增函數(shù)，故選A.

答案A

4.(2013-金華模擬)若函數(shù)/?(王)=-步+2&彳與式*)=(0+1)1在區(qū)間［1,2］上都是減

函數(shù)，則a的取值范圍是().

A.(-1,0)B.(-1,0)U(0,1］

C.(0,1)I).(0,1］

解析f(x)=-/+2ax的對(duì)稱軸為x=a,要使F(x)在［1,2］上為減函數(shù)，必須有aWl,

又以x)=(a+l)一在［1,2］上是減函數(shù)，所以a+DL即Q0,故0〈aWl.

答案D

5.(人教A教材習(xí)題改編)函數(shù)f(x)=南在［1,2］的最大值和最小值分別是.

9r9xA-1—224

解析〃才)=告=-=2—七在［1,2］上是增函數(shù)，???f(x)皿=f(2)=*

x十11才十1*十13

f{x)^n=f(S)=1.

答案11

02^突破土住考包研析案期考向突破

考向一函數(shù)單調(diào)性的判斷及應(yīng)用

【例1】A

試討論函數(shù)/Xx)=--(aNO)在(一1,1)上的單調(diào)性.

X—1

［審題視點(diǎn)］可利用定義或?qū)?shù)法討論函數(shù)的單調(diào)性.

解設(shè)一1〈水水1,

一汽加=(+泡一小+出

及―X】

=cl---------；-------------：

X\—\X2—1

當(dāng)a>0時(shí)，F(xiàn)(xi)—F(X2)>O,即/VI)>〃入2),

函數(shù)F(x)在(一1,1)上遞減；

當(dāng)水0時(shí),F(加一F(X2)〈O,即/'(xi)<f(M),

函數(shù)F(x)在(一1,1)上遞增.

方法錦囊》證明函數(shù)的單調(diào)性用定義法的步驟：取值一作差一變形一確定符號(hào)一下結(jié)論.

X

【訓(xùn)練1】已知/Xx)=——(步a).

x—a

(1)若@=-2,試證f(x)在(一8,—2)內(nèi)單調(diào)遞增；

(2)若a>0且f(x)在(1,+8)內(nèi)單調(diào)遞減，求a的取值范圍.

⑴證明任設(shè)水及<—2,

則f(xi)—f(也)=-上一1上

Xi+2及+2

2X\—x-2.

Xi+2照+2.

（汨+2）（應(yīng)+2）>0,矛［一及<0,A^i）</（^）,

???F(x)在(一8,—2)內(nèi)單調(diào)遞增.

⑵解任設(shè)1<汨<尼，貝I」

X\X2a色一xi

f(%)—f(X2)

X\-aX2-ax\—aXi—a

V^>0,X2—x\>0.

**?要使使Xi)—F(X2)>0,只需使一a)(劉一a)>0恒成立，工aW1.

綜上所知o<d〈l,即H的取值范圍為(0,1］.

考向二求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

【例2］A求函數(shù)尸可。+，-6的單調(diào)區(qū)間.

［審題視點(diǎn)］先確定定義域，再利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解.

解令〃=/+*—6,令+x—6可以看作有y={u與u—^+%—6的復(fù)合函數(shù).

由〃=9+X—620,得xW—3或x》2.

：〃=1+X一6在(一8,—3］上是減函數(shù)，在［2,+8)上是增函數(shù)，而尸立在(0,+

8)上是增函數(shù).

.?.尸“心+丫一6的單調(diào)減區(qū)間為(-8,-3］,單調(diào)增區(qū)間為［2,+8).

方法錦囊》求復(fù)合函數(shù)尸〃g(x))的單調(diào)區(qū)間的步驟：

(1)確定定義域；

(2)將復(fù)合函數(shù)分解成兩個(gè)基本初等函數(shù)；

(3)分別確定兩基本初等函數(shù)的單調(diào)性；

(4)按“同增異減”的原則，確定原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

【訓(xùn)I練2］(2013?大連模擬)求函數(shù)尸log1(V—3x+2)的單調(diào)區(qū)間.

解令u=f—3X+2,則原函數(shù)可以看作y=log1u與〃=/一3葉2的復(fù)合函數(shù).

令-3*+2>0,則XI或62.

二函數(shù)尸10弓($—3x+2)的定義域?yàn)?-8,1)u(2,+8).

3

又〃=/—3x+2的對(duì)稱軸才=不，且開口向上.

u=x—3x+2在(-8,1)上是單調(diào)減函數(shù)，

在(2,+8)上是單調(diào)增函數(shù).

而y=log1〃在(0,+8)上是單調(diào)減函數(shù)，

???尸10"(/—3x+2)的單調(diào)減區(qū)間為(2,+°°),

單調(diào)增區(qū)間為(-8,1).

考向三抽象函數(shù)的單調(diào)性及最值

【例3】A已知函數(shù)/i(X)對(duì)于任意X,yeR,總有f(x)+z1(舊=F(x+y),且當(dāng)x>o時(shí)，

2

o

⑴求證：Hx)在R上是減函數(shù)；

(2)求f(x)在［-3,3］上的最大值和最小值.

［審題視點(diǎn)］抽象函數(shù)單調(diào)性的判斷，仍須緊扣定義，結(jié)合題目作適當(dāng)變形.

⑴證明法.?.?函數(shù)/'(才)對(duì)于任意X,yeR總有f(x)+F(y)=f(x+y),???令x=y

=0,得/'(0)=0.

再令尸一筋得f(—才)=—f(x).

在R上任取小>入2，則為一至>0.

fix〉一f(X2)=/(-vi)+/(—也)=f\x\—%).

又?..x>0時(shí)，f(x)<0,

而%i—A2>0,f\x\—X2)<0,即f(x\)</'(%).

因此/'(3)在R上是減函數(shù).

法二設(shè)為>如

則/(%1)—f(%)=f(x、一及+才2)—f(才2)

=/(Xl—A2)+/(A2)—f(X2)=AX1—X2).

又,.,才>0時(shí)，f(x)<0,而為一入2>0,

f(X］—X2)<0,即F(M)<F("，在R上為減函數(shù).

(2)解??,八才)在R上是減函數(shù)，

???f(x)在［-3,3］上也是減函數(shù)，

???f(x)在［―3,3］上的最大值和最小值分別為￡(一3)與f⑶.而A3)=3/(l)=-2,/(-

3)=-f(3)=2.

???f(x)在［-3,3］上的最大值為2,最小值為一2?

方法錦囊》對(duì)于抽象函數(shù)的單調(diào)性的判斷仍然要緊扣單調(diào)性的定義，結(jié)合題目所給性質(zhì)和

相應(yīng)的條件，對(duì)任意的,也在所給區(qū)間內(nèi)比較f(z)—f(X2)與0的大小，或^^—與1

1X2

的大小.有時(shí)根據(jù)需要，需作適當(dāng)?shù)淖冃危喝缧?抱?小或汨=熱+汨一%2等.

X2

【訓(xùn)練3】已知定義在區(qū)間(0,+8)上的函數(shù)六力滿足/1力=『(①)一以或)，且當(dāng)x>l

時(shí)，f(x)〈0.

⑴求f(l)的值;

(2)判斷/Xx)的單調(diào)性；

(3)若f(3)=-L求在⑵9］上的最小值.

解⑴令汨=入2>0，

代入得/U)=F(X］)一/(汨)=0,故f(l)=O.

⑵任取E,也￡(0,+8),且汨〉心，則\>1,

由于當(dāng)X>1時(shí)，/uxo所以《習(xí)〈0,

即Axi)-fix》<0,因此/U),

所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+8)上是單調(diào)遞減函數(shù).

(3)《f(力在［0,+8)上是單調(diào)遞減函數(shù).

F(x)在［2,9］上的最小值為A9).

由<￡)=-(小)—『(及)，得/(J=f⑼—『⑶，

而/'(3)=-1,所以f(9)=-2.

AAx)在［2,9］上的最小值為-2.

03?揭秘3年高考權(quán)威解展真題展態(tài)

規(guī)范解答1——利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的范圍

【命題研究】從近三年的高考試題來(lái)看，函數(shù)單調(diào)性的判斷和應(yīng)用以及函數(shù)的最值問題

是高考的熱點(diǎn)，題型既有選擇題、填空題，又有解答題，難度中等偏高；客觀題主要考查

函數(shù)的單調(diào)性、最值的靈活確定與簡(jiǎn)單應(yīng)用，主觀題在考查基本概念、重要方法的基礎(chǔ)上，

又注重考查函數(shù)方程、等價(jià)轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想方法.

預(yù)測(cè)2014年高考仍將以利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，研究單調(diào)性及利用單調(diào)性求最值或

求參數(shù)的取值范圍為主要考點(diǎn)，重點(diǎn)考查轉(zhuǎn)化與化歸思想及邏輯推理能力.

X

【真題探究】A(木小題滿分13分)(2011?北京)已知函數(shù)Ax)=(x一公

K

(1)求/'(X)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若對(duì)于任意的x&(0,+8),都有/'(x)wL求發(fā)的取值范圍.

e

［教你審題］(1)根據(jù)導(dǎo)函數(shù)大于零和小于零即可得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，但求解過程中要注

意對(duì)參數(shù)★進(jìn)行分類討論.

(2)利用函數(shù)單調(diào)性求出函數(shù)最大值A(chǔ)x)“使即可解出力的取值范圍.

e

［規(guī)范解答］⑴/1)弓V

kk

令/(x)=O,得入=±左(2分)

當(dāng)上0時(shí)，f（x）與f（x）的變化情況如下:

X(―0°,—Jd-k（―h左）k(k,+°°)

+0一0+

F(x)/4庇一10/

所以/■（*）的單調(diào)遞增區(qū)間是（一8,一公和（A,+oo）,單調(diào)遞減區(qū)間是（一上A）.（4分）

當(dāng)/K0時(shí)，f（x）與f（另的變化情況如下：

X（-8,一而k(k,—A)—k1—k,+0°)

f(x)一0+0一

f(x)、0/4福一

所以/'（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（一8,公和（一衣，+8）,單調(diào)遞增區(qū)間是（A,-Id.（6分）

4+11

⑵當(dāng)k>0時(shí)，因?yàn)锳A+D=e-->-,

ke

所以不會(huì)有VxG（O,+8）,f（x）W2（8分）

e

當(dāng)KO時(shí)，由（1）知/Xx）在（0,+8）上的最大值是『（一4）=".（io分）

e

所以VxW（0,+8）,［a）等價(jià)于f（—公="

eee

解得一gwA<0.（12分）

故當(dāng)V