九年級數(shù)學(xué)上冊試題 25.4解直角三角形的應(yīng)用-滬教版（含答案）

25.4解直角三角形的應(yīng)用一、單選題1．已知兩點(diǎn)，若點(diǎn)對點(diǎn)的仰角為，那么對的俯角是（）．A． B． C． D．2．如圖，為測河兩岸相對兩抽水泵的距離，在距點(diǎn)的處，測得，則間的距離為（）．A． B． C． D．3．從地面上的兩處望正西方向山頂，仰角分別為和兩處相距，那么山高為（）．A． B． C． D．4．如圖是攔水壩的橫斷面，斜坡AB的水平寬度為12米，斜面坡度為1:2，則斜坡AB的長為()米A． B． C． D．245．小明同學(xué)從A地沿北偏西60°方向走100m到B地，再從B地向正南方向走200m到C地，此時小明同學(xué)離A地()A．150m B．50m C．100m D．100m6．小明在學(xué)完《解直角三角形》一章后，利用測角儀和校園旗桿的拉繩測量校園旗桿的高度，如圖，旗桿的高度與拉繩的長度相等，小明先將拉到的位置，測得為水平線），測角儀的高度為米，則旗桿的高度為（）A．米 B．米 C．米 D．米7．國家電網(wǎng)近來實(shí)施了新一輪農(nóng)村電網(wǎng)改造升級工程，解決了農(nóng)村供電“最后公里”問題，電力公司在改造時把某一輸電線鐵塔建在了一個坡度為的山坡的平臺上（如圖），測得米，米，米，則鐵塔的高度約為（）（參考數(shù)據(jù)：）A． B． C． D．8．?dāng)?shù)學(xué)實(shí)踐活動課中小明同學(xué)測量某建筑物的高度，如圖，已知斜坡的坡度為，小明在坡底點(diǎn)處測得建筑物頂端處的仰角為，他沿著斜坡行走米到達(dá)點(diǎn)處，在測得建筑物頂端處的仰角為，小明和建筑物的剖面在同一平面內(nèi)，小明的身高忽略不計．則建筑物的高度約為（）（參考數(shù)據(jù)：）A．米 B．米 C．米 D．米9．某興趣小組想測量一座大樓AB的高度．如圖，大樓前有一段斜坡BC，已知BC的長為12米它的坡度．在離C點(diǎn)40米的D處，用測量儀測得大樓頂端A的仰角為37度，測角儀DE的高度為1.5米，求大樓AB的高度約為（）米（）A．39.3 B．37.8 C．33.3 D．25.710．某公園有一座古塔，古塔前有一個斜坡坡角，斜坡高米，是平行于水平地面的一個平臺、小華想利用所學(xué)知識測量古塔的高度，她在平臺的點(diǎn)處水平放置一平面鏡，她沿著方向移動，當(dāng)移動到點(diǎn)時，剛好在鏡面中看到古塔頂端點(diǎn)的像，這時，測得小華眼睛與地面的距離米，米，米，米，已知，根據(jù)題中提供的相關(guān)信息，古塔的高度約為（參考數(shù)據(jù)：）（）A． B． C． D．二、填空題11．一個長方體木箱沿斜面下滑，當(dāng)木箱滑至如圖位置時，，已知木箱高，斜面坡角為，則木箱端點(diǎn)距地面的高度為_________．12．在傾斜角為的斜坡上植樹，若要求兩棵樹的水平距離為，則斜坡上相鄰兩樹的坡面距離為______．13．如圖，已知斜坡長，坡角（即）為，，現(xiàn)計劃在斜坡中點(diǎn)D處挖去部分斜坡，修建一個平行于水平線的休閑平臺和一條新的斜坡．若修建的斜坡的坡度為3∶1，休閑平臺的長是______m．14．如圖，某測量小組為了測量山BC的高度，在地面A處測得山頂B的仰角45°，然后沿著坡度為1：的坡面AD走了200米達(dá)到D處，此時在D處測得山頂B的仰角為60°，則山高BC＝___米（結(jié)果保留根號）．15．如圖1，一扇窗戶打開一定角度，其中一端固定在窗戶邊上的點(diǎn)處，另一端在邊上滑動，圖2為某一位置從上往下看的平面圖，測得，，長為32厘米，則的長為_______厘米．16．如圖，小麗的房間內(nèi)有一張長高的床靠墻擺放，在上方安裝空調(diào)，空調(diào)下沿與墻垂直，出風(fēng)口離墻，空調(diào)開啟后，擋風(fēng)板與夾角成，風(fēng)沿方向吹出，為了讓空調(diào)風(fēng)不直接吹到床上，空調(diào)安裝的高度(的長)至少為__________(精確到個位)(參考數(shù)據(jù)：)17．如圖，為測量某物體的高度，在點(diǎn)測得點(diǎn)的仰角為，朝物體方向前進(jìn)到達(dá)點(diǎn)，再次測得點(diǎn)的仰角為，則物體的高度為______．18．如圖，某建筑物的頂部有一塊標(biāo)識牌，小明在斜坡上處測得標(biāo)識牌頂部的仰角為，沿斜坡走下來在地面處測得標(biāo)識牌底部的仰角為60°，已知斜坡的坡角為30°，米．則標(biāo)識牌的高度是米__________．19．如圖，數(shù)學(xué)實(shí)習(xí)小組在高300米的山腰（即米）P處進(jìn)行測量，測得對面山坡上A處的俯角為30°，對面山腳B處的俯角60°，已知，點(diǎn)P，H，B，C，A在同一個平面上，點(diǎn)H，B，C在同一條直線上，且，則A，B兩點(diǎn)間的距離為___________米．20．有一種雙層長方體垃圾桶AB＝70cm，BC＝25cm，CF＝30cm，側(cè)面如圖1所示，隔板EG等分上下兩層，下方內(nèi)桶BCHG繞底部軸（CF）旋轉(zhuǎn)開，若點(diǎn)H恰好能卡在原來點(diǎn)G的位置，則內(nèi)桶邊CH的長度應(yīng)設(shè)計為___；現(xiàn)將CH調(diào)整為25cm，打開最大角度時，點(diǎn)H卡在隔板上，如圖2所示，則可完全放入下方桶內(nèi)的球體的直徑不大于____．三、解答題21．北京聯(lián)合張家口成功申辦2022年冬奧會后，滑雪運(yùn)動已成為人們喜愛的娛樂健身項(xiàng)目．如圖是某滑雪場為初學(xué)者練習(xí)用的斜坡示意圖，出于安全因素考慮，決定將斜坡的傾角由降為，已知原斜坡坡面長為200米，點(diǎn)在同一水平地面上，求改善后的斜坡坡角向前推進(jìn)的距離．(結(jié)果保留整數(shù)．參考數(shù)據(jù):，)22．如圖，在甲建筑物上從點(diǎn)到點(diǎn)掛一長為的宣傳條幅，在乙建筑物的頂部點(diǎn)測得條幅頂端的仰角為，測得條幅底端點(diǎn)的俯角為，求底部不能直接到達(dá)的甲、乙兩建筑物之間的水平距離．(答案保留根號)23．某商場為緩解我市“停車難”問題，擬建造地下停車庫，如圖是該地下停車庫坡道入口的設(shè)計示意圖．其中，AB⊥BD．∠BAD＝18°，C在BD上，BC＝0.5m．車庫坡道入口上方要張貼限高標(biāo)志．以便告知駕駛員所駕車輛能否安全駛?cè)耄疄闃?biāo)明限高，請你根據(jù)該圖計算CE的長度（即點(diǎn)C到AD的距離）．（參考數(shù)據(jù)：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.33）（結(jié)果精確到0.1m）24．我市里運(yùn)河有一座人行天橋如圖所示，天橋高為6米，坡面BC的坡度為1：1，文化墻PM在天橋底部正前方8米處（PB的長），為了方便行人推車過天橋，有關(guān)部門決定降低坡度，使新坡面的坡度為1：．有關(guān)部門規(guī)定，文化墻距天橋底部小于3米時應(yīng)拆除，天橋改造后，該文化墻PM是否需要拆除？請說明理由．（參考數(shù)據(jù)：1.414，1.732）25．如圖，在一條筆直的海岸線上有，兩個觀測站，在的正東方向．有一艘小船從處沿北偏西方向出發(fā)，以每小時20海里速度行駛半小時到達(dá)處，從處測得小船在它的北偏東的方向上．（1）求的距離；（2）小船沿射線的方向繼續(xù)航行一段時間后，到達(dá)點(diǎn)處，此時，從測得小船在北偏西的方向．求點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離．（上述兩小題的結(jié)果都保留根號）26．如圖，在同一平面內(nèi)，兩條平行高速公路l1和l2間有一條“Z”型道路連通，其中AB段與高速公路l1成30°角，長為20km；BC段與AB、CD段都垂直，長為10km，CD段長為30km，求兩高速公路間的距離（結(jié)果保留根號）．27．如圖，河流的兩岸、互相平行，河岸上有一排間隔為的電線桿、、某人在河岸的處測得，然后沿河岸走了到達(dá)處，測得．求河流的寬度．（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，，，，，）28．如圖所示，A、B為兩個村莊，AB、BC、CD為公路，BD為地，AD為河寬，且CD與AD互相垂直.現(xiàn)在要從E處開始鋪設(shè)通往村莊A、村莊B的一電纜，共有如下兩種鋪設(shè)方案：方案一：；方案二：.經(jīng)測量得AB=4千米，BC=10千米，CE=6千米，∠BDC＝45°，∠ABD＝15°．已知：地下電纜的修建費(fèi)為2萬元／千米，水下電纜的修建費(fèi)為4萬元／千米.（1）求出河寬AD（結(jié)果保留根號）；（2）求出公路CD的長；（3）哪種方案鋪設(shè)電纜的費(fèi)用低？請說明你的理由.答案一、單選題1．A【分析】根據(jù)俯角和仰角的定義和平行線的性質(zhì)即可得到B對A的仰角為．【解析】解：如圖，∵A對B的俯角為，∴B對A的仰角為．故選A．2．A【分析】在中，，由此可以求出之長．【解析】解：在中，，．又，，．故選：．3．A【分析】設(shè)山高為，利用三角函數(shù)分別表示和BC的長．根據(jù)得方程求解．【解析】解：設(shè)山高為，在中，，∴，在中，，∴．∵，∴．解得：．故選：．4．B【分析】根據(jù)斜面坡度為1：2，斜坡AB的水平寬度為12米，可得AE=12，BE=6，然后利用勾股定理求出AB的長度．【解析】解：如圖,過B作BE⊥AD于點(diǎn)E，∵斜面坡度為1：2，AE=12，∴BE=6，在Rt△ABC中，．故選：B．5．D【分析】根據(jù)在Rt△ABD中利用三角函數(shù)分別求AD，BD的長，從而得到CD的長．再利用勾股定理求AC的長即可．【解析】解：如圖：由B在A的北偏西60°方向可求得∠B=60°，在Rt△ABD中，AD=AB?sin60°=，BD=AB?cos60°=50，∴CD=BC-BD=150．∴AC==．故選D．6．C【分析】設(shè)PA=PB=PB′=x，在RT△PCB′中，根據(jù)，列出方程即可解決問題．【解析】解：設(shè)PA=PB=PB′=x，在RT△PCB′中，∴∴，∴（1-）x=1，∴x=．故選C．7．C【分析】延長AB交ED于G，過C作CF⊥DE于F，得到GF=BC=5，設(shè)DF=3k，CF=4k，解直角三角形得到結(jié)論．【解析】解：延長AB交ED于G，過C作CF⊥DE于F，則四邊形BGFC是矩形∴GF=BC=5，∵山坡CD的坡度為1：0.75，∴設(shè)DF=3k，CF=4k，∴CD=5k=35，∴k=7，∴DF=21，BG=CF=28，∴EG=GF+DF+DE=5+21+19=45，∵∠AED=52.5°，∴AG=EG?tan52.5°=45×1.30=58.5，∴AB=AG-BG=30.5米，答：鐵塔AB的高度約為30.5米．故選：C．8．D【分析】如圖，過F點(diǎn)作FH⊥CD，垂足為H，作FG⊥EB，垂足為G.利用坡度先求出FG與EG，設(shè)DE=CD=x，表示出FH，CH，再利用三角函數(shù)即可解得.【解析】如圖，過F點(diǎn)作FH⊥CD，垂足為H，作FG⊥EB，垂足為G.根據(jù)題意易知DC=DE，EF=13m，∠CFH=35°，HF=GD，HD=FG∵斜坡的坡度為，且EF=13m故FG=5m，EG=12m設(shè)DE=CD=x，則FH=DE+EG=x+12，CH=CD-HD=CD-FG=x-5在直角三角形CHF中，解得x≈44.7故選D9．C【分析】延長AB交直線DC于點(diǎn)F，過點(diǎn)E作EH⊥AF，垂足為點(diǎn)H，在Rt△BCF中利用坡度的定義求得CF的長，則DF即可求得，然后在直角△AEH中利用三角函數(shù)求得AF的長，進(jìn)而求得AB的長．【解析】解：延長AB交直線DC于點(diǎn)F，過點(diǎn)E作EH⊥AF，垂足為點(diǎn)H．∵在Rt△BCF中，=，∴設(shè)BF=k，則CF=k，BC=2k．又∵BC=12，∴k=6，∴BF=6，CF=，∵DF=DC+CF，∴DF=40+，∵在Rt△AEH中，tan∠AEH=，∴AH=tan37°×（40+）≈37.785（米），∵BH=BF-FH，∴BH=6-1.5=4.5．∵AB=AH-HB，∴AB=37.785-4.5≈33.3．故選C．10．C【分析】由正切定義求出CE，延長GD交AB于點(diǎn)H，則BH＝DE＝1.8（米），DH＝BE＝BC+CE＝18（米），HG＝DH+DG＝26（米），證明△AHG∽△MNG，求出AH的長，則可求出答案．【解析】解：在Rt△CDE中，tan∠DCE，∴0.9，∴CE＝2，延長GD交AB于點(diǎn)H，則BH＝DE＝1.8（米），DH＝BE＝BC+CE＝18（米），HG＝DH+DG＝26（米），∵∠AHG＝∠MNG＝90°，∠AGH＝∠MGN，∴△AHG∽△MNG，∴，即，∴AH＝19.5（米），∴AB＝AH+HB＝21.3（米）．答：古塔的高度AB為21.3米．故選：C．二、填空題11．3【分析】連接AE，在Rt△ABE中，利用勾股定理求得AE的長，利用三角函數(shù)即可求得，然后在Rt△AEF中，利用三角函數(shù)求得的長．【解析】解：連接AE，在Rt△ABE中，已知AB=3ｍ，BE=，∴根據(jù)勾股定理得．又∵，∴．在Rt△AEF中，，∴．故答案為：3．12．【分析】由題意可知，利用角的余弦即可求出的長．【解析】解：，，，米，米，故答案為：．13．20【分析】由三角函數(shù)的定義，即可求得AC與BC的長，又由坡度的定義，即可求得EH的長，繼而求得休閑平臺DE的長．【解析】解：如圖，延長交于點(diǎn)H,在中，，，∴，∵點(diǎn)D為中點(diǎn)，∴，又∵，∴，∵斜坡的坡度為：，∴，∴，即休閑平臺的長是．故答案為：20．14．100．【分析】作DF⊥AC于F．解直角三角形分別求出BE、EC即可解決問題．【解析】解：作DF⊥AC于F．∵DF：AF＝1：，AD＝200米，∴tan∠DAF＝，∴∠DAF＝30°，∴DF＝AD＝×200＝100（米），∵∠DEC＝∠BCA＝∠DFC＝90°，∴四邊形DECF是矩形，∴EC＝DF＝100（米），∵∠BAC＝45°，BC⊥AC，∴∠ABC＝45°，∵∠BDE＝60°，DE⊥BC，∴∠DBE＝90°﹣∠BDE＝90°﹣60°＝30°，∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBE＝45°﹣30°＝15°，∠BAD＝∠BAC﹣∠1＝45°﹣30°＝15°，∴∠ABD＝∠BAD，∴AD＝BD＝200（米），在Rt△BDE中，sin∠BDE＝，∴BE＝BD?sin∠BDE＝200×＝100（米），∴BC＝BE+EC＝100+100（米）；故答案為：100．15．【分析】作AC⊥OB于點(diǎn)C，然后根據(jù)題意和銳角三角函數(shù)可以求得AC和BC的長，再根據(jù)直角三角形中的性質(zhì)即可得到AB的長．【解析】解：作AC⊥OB于點(diǎn)C，如右圖2所示，則∠ACO=∠ACB=90°，∵，∴，∴AC=OC，設(shè)AC=x，則OC=x，∵由解得，∴（厘米），即AB的長為厘米．故答案為：．16．【分析】連接AF,作FH⊥AD構(gòu)造直角三角形運(yùn)用三角函數(shù)解出FH,再將床高加上即可求出EC的值．【解析】當(dāng)A、F在一條直線時,就正好不會吹到床上,連接AF,過點(diǎn)F作FH⊥AD,∵AD=200,HD=20,∴AH=180,∵∠EFA=136°,∴∠FAD=46°,∴FH=．∴ED=FH=187.2,∴EC=187.2+50=237.2≈237．故答案為237．17．【分析】首先根據(jù)題意分析圖形，本題涉及到兩個直角三角形，應(yīng)利用其公共邊AB及CD＝DC?BC＝20構(gòu)造方程關(guān)系式，進(jìn)而可解，即可求出答案．【解析】∵在直角三角形ADB中，∠D＝30°，∴＝tan30°，∴BD＝＝AB，∵在直角三角形ABC中，∠ACB＝60°，∴BC＝＝AB，∵CD＝20，∴CD＝BD?BC＝AB?AB＝20，解得：AB＝m．故答案為：．18．【分析】過點(diǎn)B作BM⊥EA的延長線于點(diǎn)M，過點(diǎn)B作BN⊥CE于點(diǎn)N，通過解直角三角形可求出BM，AM，CN，DE的長，再結(jié)合CD＝CN＋EN?DE即可求出結(jié)論．【解析】解：過點(diǎn)B作BM⊥EA的延長線于點(diǎn)M，過點(diǎn)B作BN⊥CE于點(diǎn)N，如圖所示．在Rt△ABM中，AB＝10米，∠BAM＝30°，∴AM＝AB?cos30°＝5（米），BM＝AB?sin30°＝5（米）．在Rt△ADE中，AE＝10（米），∠DAE＝60°，∴DE＝AE?tan60°＝10（米）．在Rt△BCN中，BN＝AE＋AM＝10＋5（米），∠CBN＝45°，∴CN＝BN?tan45°＝10＋5（米），∴CD＝CN＋EN?DE＝10＋5＋5?10＝15?5（米）．故答案為：15?5．19．200【分析】在直角△PHB中，根據(jù)三角函數(shù)即可求得PB的長，然后在直角△PBA中利用三角函數(shù)即可求解．【解析】解：由題意得.∵，，，為直角三角形.在中，（米）.在中，（米）.A，B兩點(diǎn)之間的距離為200米.故答案為：200.20．21【分析】①由題意，EG等分上下兩層，，勾股定理直接求解即可②過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，分別通過勾股定理和三角函數(shù)求出，繼而求出，過點(diǎn)作于點(diǎn),交于點(diǎn)，過作于點(diǎn)，通過證明，繼而用勾股定理和銳角三角函數(shù)解直角三角形，求出，即為球的直徑大小【解析】①點(diǎn)恰好能卡在原點(diǎn)的位置故答案為：②如圖：根據(jù)旋轉(zhuǎn)，，,過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn),交于點(diǎn)，過作于點(diǎn)又,球體的直徑不大于21故答案為21．三、解答題21．解：，，，∴在中，，米，∵在中，，米，米，答：改善后的斜坡坡角向前推進(jìn)的距離為104米．22．解：過點(diǎn)作于，，，，是矩形，，，∵在中，，，∵在中，，，∵，∴，解得：米即米．23．解：在Rt△ABD中，∠ABD＝90°，∠BAD＝18°，AB＝9，∴BD＝tan18°×AB≈0.33×9＝2.97米，∵∠DCE+∠ADB=90°，∠BAD+∠ADB=90°，∴∠DCE=∠BAD＝18°，在Rt△CDE中，∠CED＝90°，∠DCE＝18°，CD＝BD﹣BC＝2.97﹣0.5＝2.47（米），∴CE＝cos18°×CD≈0.95×2.47≈2.3（米）．24．解：該文化墻PM不需要拆除，理由：設(shè)新坡面坡角為α，新坡面的坡度為1：，∴tanα，∴α＝30°．作CD⊥AB于點(diǎn)D，則CD＝6米，∵新坡面的坡度為1：，∴tan∠CAD，解得，AD＝6，∵坡面BC的坡度為1：1，CD＝6米，∴BD＝6米，∴AB＝AD﹣BD＝（6）米，又∵PB＝8米，∴PA＝PB﹣AB＝8﹣（6）＝14﹣614﹣6×1．732≈3．6米＞3米，∴該文化墻PM不需要拆除．25．解：（1）如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，在中