浙江省舟山市重點中學(xué)2024年高三下第一次測試數(shù)學(xué)試題含解析_第1頁
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文檔簡介

浙江省舟山市重點中學(xué)2024年高三下第一次測試數(shù)學(xué)試題考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.設(shè)正項等差數(shù)列的前項和為,且滿足,則的最小值為A.8 B.16 C.24 D.362.已知,則,不可能滿足的關(guān)系是()A. B. C. D.3.拋物線的焦點為,準(zhǔn)線為,,是拋物線上的兩個動點,且滿足,設(shè)線段的中點在上的投影為,則的最大值是()A. B. C. D.4.已知拋物線:的焦點為,準(zhǔn)線為,是上一點,直線與拋物線交于,兩點,若,則為()A. B.40 C.16 D.5.已知集合,則()A. B. C. D.6.設(shè)實數(shù)、滿足約束條件,則的最小值為()A.2 B.24 C.16 D.147.我國古代有著輝煌的數(shù)學(xué)研究成果,其中的《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》、《海島算經(jīng)》、《孫子算經(jīng)》、《緝古算經(jīng)》,有豐富多彩的內(nèi)容,是了解我國古代數(shù)學(xué)的重要文獻.這5部專著中有3部產(chǎn)生于漢、魏、晉、南北朝時期.某中學(xué)擬從這5部專著中選擇2部作為“數(shù)學(xué)文化”校本課程學(xué)習(xí)內(nèi)容,則所選2部專著中至少有一部是漢、魏、晉、南北朝時期專著的概率為()A. B. C. D.8.己知全集為實數(shù)集R,集合A={x|x2+2x-8>0},B={x|log2x<1},則等于()A.[4,2] B.[4,2) C.(4,2) D.(0,2)9.已知函數(shù),下列結(jié)論不正確的是()A.的圖像關(guān)于點中心對稱 B.既是奇函數(shù),又是周期函數(shù)C.的圖像關(guān)于直線對稱 D.的最大值是10.已知a,b是兩條不同的直線,α,β是兩個不同的平面,且,,則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件11.已知斜率為的直線與雙曲線交于兩點,若為線段中點且(為坐標(biāo)原點),則雙曲線的離心率為()A. B.3 C. D.12.已知函數(shù),將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度,得到函數(shù)的圖象,若函數(shù)的圖象的一條對稱軸是,則的最小值為A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度,得到一個偶函數(shù)圖象,則________.14.某同學(xué)周末通過拋硬幣的方式?jīng)Q定出去看電影還是在家學(xué)習(xí),拋一枚硬幣兩次,若兩次都是正面朝上,就在家學(xué)習(xí),否則出去看電影,則該同學(xué)在家學(xué)習(xí)的概率為____________.15.從一箱產(chǎn)品中隨機地抽取一件,設(shè)事件抽到一等品,事件抽到二等品,事件抽到三等品,且已知,,,則事件“抽到的產(chǎn)品不是一等品”的概率為________16.的展開式中,的系數(shù)是______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù)的圖象向左平移后與函數(shù)圖象重合.(1)求和的值;(2)若函數(shù),求的單調(diào)遞增區(qū)間及圖象的對稱軸方程.18.(12分)已知函數(shù)(,為自然對數(shù)的底數(shù)),.(1)若有兩個零點,求實數(shù)的取值范圍;(2)當(dāng)時,對任意的恒成立,求實數(shù)的取值范圍.19.(12分)已知函數(shù).(1)若,證明:當(dāng)時,;(2)若在只有一個零點,求的值.20.(12分)已知函數(shù).(1)討論函數(shù)單調(diào)性;(2)當(dāng)時,求證:.21.(12分)已知動圓E與圓外切,并與直線相切,記動圓圓心E的軌跡為曲線C.(1)求曲線C的方程;(2)過點的直線l交曲線C于A,B兩點,若曲線C上存在點P使得,求直線l的斜率k的取值范圍.22.(10分)如圖,在四棱錐中,底面,底面是直角梯形,為側(cè)棱上一點,已知.(Ⅰ)證明:平面平面;(Ⅱ)求二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

方法一:由題意得,根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì),得成等差數(shù)列,設(shè),則,,則,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立,從而的最小值為16,故選B.方法二:設(shè)正項等差數(shù)列的公差為d,由等差數(shù)列的前項和公式及,化簡可得,即,則,當(dāng)且僅當(dāng),即時等號成立,從而的最小值為16,故選B.2、C【解析】

根據(jù)即可得出,,根據(jù),,即可判斷出結(jié)果.【詳解】∵;∴,;∴,,故正確;,故C錯誤;∵,故D正確故C.【點睛】本題主要考查指數(shù)式和對數(shù)式的互化,對數(shù)的運算,以及基本不等式:和不等式的應(yīng)用,屬于中檔題3、B【解析】

試題分析:設(shè)在直線上的投影分別是,則,,又是中點,所以,則,在中,所以,即,所以,故選B.考點:拋物線的性質(zhì).【名師點晴】在直線與拋物線的位置關(guān)系問題中,涉及到拋物線上的點到焦點的距離,焦點弦長,拋物線上的點到準(zhǔn)線(或與準(zhǔn)線平行的直線)的距離時,常常考慮用拋物線的定義進行問題的轉(zhuǎn)化.象本題弦的中點到準(zhǔn)線的距離首先等于兩點到準(zhǔn)線距離之和的一半,然后轉(zhuǎn)化為兩點到焦點的距離,從而與弦長之間可通過余弦定理建立關(guān)系.4、D【解析】

如圖所示,過分別作于,于,利用和,聯(lián)立方程組計算得到答案.【詳解】如圖所示:過分別作于,于.,則,根據(jù)得到:,即,根據(jù)得到:,即,解得,,故.故選:.【點睛】本題考查了拋物線中弦長問題,意在考查學(xué)生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力.5、C【解析】

解不等式得出集合A,根據(jù)交集的定義寫出A∩B.【詳解】集合A={x|x2﹣2x﹣30}={x|﹣1x3},,故選C.【點睛】本題考查了解不等式與交集的運算問題,是基礎(chǔ)題.6、D【解析】

做出滿足條件的可行域,根據(jù)圖形即可求解.【詳解】做出滿足的可行域,如下圖陰影部分,根據(jù)圖象,當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過點時,取得最小值,由,解得,即,所以的最小值為.故選:D.【點睛】本題考查二元一次不等式組表示平面區(qū)域,利用數(shù)形結(jié)合求線性目標(biāo)函數(shù)的最值,屬于基礎(chǔ)題.7、D【解析】

利用列舉法,從這5部專著中選擇2部作為“數(shù)學(xué)文化”校本課程學(xué)習(xí)內(nèi)容,基本事件有10種情況,所選2部專著中至少有一部是漢、魏、晉、南北朝時期專著的基本事件有9種情況,由古典概型概率公式可得結(jié)果.【詳解】《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》、《海島算經(jīng)》、《孫子算經(jīng)》、《緝古算經(jīng)》,這5部專著中有3部產(chǎn)生于漢、魏、晉、南北朝時期.記這5部專著分別為,其中產(chǎn)生于漢、魏、晉、南北朝時期.從這5部專著中選擇2部作為“數(shù)學(xué)文化”校本課程學(xué)習(xí)內(nèi)容,基本事件有共10種情況,所選2部專著中至少有一部是漢、魏、晉、南北朝時期專著的基本事件有,共9種情況,所以所選2部專著中至少有一部是漢、魏、晉、南北朝時期專著的概率為.故選D.【點睛】本題主要考查古典概型概率公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題,利用古典概型概率公式求概率時,找準(zhǔn)基本事件個數(shù)是解題的關(guān)鍵,基本亊件的探求方法有(1)枚舉法:適合給定的基本事件個數(shù)較少且易一一列舉出的;(2)樹狀圖法:適合于較為復(fù)雜的問題中的基本亊件的探求.在找基本事件個數(shù)時,一定要按順序逐個寫出:先,….,再,…..依次….…這樣才能避免多寫、漏寫現(xiàn)象的發(fā)生.8、D【解析】

求解一元二次不等式化簡A,求解對數(shù)不等式化簡B,然后利用補集與交集的運算得答案.【詳解】解:由x2+2x-8>0,得x<-4或x>2,

∴A={x|x2+2x-8>0}={x|x<-4或x>2},

由log2x<1,x>0,得0<x<2,

∴B={x|log2x<1}={x|0<x<2},

則,

∴.

故選:D.【點睛】本題考查了交、并、補集的混合運算,考查了對數(shù)不等式,二次不等式的求法,是基礎(chǔ)題.9、D【解析】

通過三角函數(shù)的對稱性以及周期性,函數(shù)的最值判斷選項的正誤即可得到結(jié)果.【詳解】解:,正確;,為奇函數(shù),周期函數(shù),正確;,正確;D:,令,則,,,,則時,或時,即在上單調(diào)遞增,在和上單調(diào)遞減;且,,,故D錯誤.故選:.【點睛】本題考查三角函數(shù)周期性和對稱性的判斷,利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)最值,屬于中檔題.10、C【解析】

根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理和判定定理判斷與的關(guān)系即可得到答案.【詳解】若,根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理,可得;若,根據(jù)線面平行的判定定理,可得.故選:C.【點睛】本題主要考查了線面平行的性質(zhì)定理和判定定理,屬于基礎(chǔ)題.11、B【解析】

設(shè),代入雙曲線方程相減可得到直線的斜率與中點坐標(biāo)之間的關(guān)系,從而得到的等式,求出離心率.【詳解】,設(shè),則,兩式相減得,∴,.故選:B.【點睛】本題考查求雙曲線的離心率,解題方法是點差法,即出現(xiàn)雙曲線的弦中點坐標(biāo)時,可設(shè)弦兩端點坐標(biāo)代入雙曲線方程相減后得出弦所在直線斜率與中點坐標(biāo)之間的關(guān)系.12、C【解析】

將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度,得到函數(shù)的圖象,因為函數(shù)的圖象的一條對稱軸是,所以,即,所以,又,所以的最小值為.故選C.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

根據(jù)平移后關(guān)于軸對稱可知關(guān)于對稱,進而利用特殊值構(gòu)造方程,從而求得結(jié)果.【詳解】向左平移個單位長度后得到偶函數(shù)圖象,即關(guān)于軸對稱關(guān)于對稱即:本題正確結(jié)果:【點睛】本題考查根據(jù)三角函數(shù)的對稱軸求解參數(shù)值的問題,關(guān)鍵是能夠通過平移后的對稱軸得到原函數(shù)的對稱軸,進而利用特殊值的方式來進行求解.14、【解析】

采用列舉法計算古典概型的概率.【詳解】拋擲一枚硬幣兩次共有4種情況,即(正,正),(正,反),(反,正),(反,反),在家學(xué)習(xí)只有1種情況,即(正,正),故該同學(xué)在家學(xué)習(xí)的概率為.故答案為:【點睛】本題考查古典概型的概率計算,考查學(xué)生的基本計算能力,是一道基礎(chǔ)題.15、0.35【解析】

根據(jù)對立事件的概率和為1,結(jié)合題意,即可求出結(jié)果來.【詳解】解:由題意知本題是一個對立事件的概率,抽到的不是一等品的對立事件是抽到一等品,,抽到不是一等品的概率是,故答案為:.【點睛】本題考查了求互斥事件與對立事件的概率的應(yīng)用問題,屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

先將原式展開成,發(fā)現(xiàn)中不含,故只研究后面一項即可得解.【詳解】,依題意,只需求中的系數(shù),是.故答案為:-40【點睛】本題考查二項式定理性質(zhì),關(guān)鍵是先展開再利用排列組合思想解決,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1),;(2),,.【解析】

(1)直接利用同角三角函數(shù)關(guān)系式的變換的應(yīng)用求出結(jié)果.(2)首先把函數(shù)的關(guān)系式變形成正弦型函數(shù),進一步利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用求出結(jié)果.【詳解】(1)由題意得,,(2)由,解得,所以對稱軸為,.由,解得,所以單調(diào)遞增區(qū)間為.,【點睛】本題考查的知識要點:三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換,正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用,主要考查學(xué)生的運算能力和轉(zhuǎn)換能力,屬于基礎(chǔ)題型.18、(1);(2)【解析】

(1)將有兩個零點轉(zhuǎn)化為方程有兩個相異實根,令求導(dǎo),利用其單調(diào)性和極值求解;(2)將問題轉(zhuǎn)化為對一切恒成立,令,求導(dǎo),研究單調(diào)性,求出其最值即可得結(jié)果.【詳解】(1)有兩個零點關(guān)于的方程有兩個相異實根由,知有兩個零點有兩個相異實根.令,則,由得:,由得:,在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,又當(dāng)時,,當(dāng)時,當(dāng)時,有兩個零點時,實數(shù)的取值范圍為;(2)當(dāng)時,,原命題等價于對一切恒成立對一切恒成立.令令,,則在上單增又,,使即①當(dāng)時,,當(dāng)時,,即在遞減,在遞增,由①知函數(shù)在單調(diào)遞增即,實數(shù)的取值范圍為.【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,極值,最值問題,考查學(xué)生轉(zhuǎn)化能力和分析能力,是一道難度較大的題目.19、(1)見解析;(2)【解析】

分析:(1)先構(gòu)造函數(shù),再求導(dǎo)函數(shù),根據(jù)導(dǎo)函數(shù)不大于零得函數(shù)單調(diào)遞減,最后根據(jù)單調(diào)性證得不等式;(2)研究零點,等價研究的零點,先求導(dǎo)數(shù):,這里產(chǎn)生兩個討論點,一個是a與零,一個是x與2,當(dāng)時,,沒有零點;當(dāng)時,先減后增,從而確定只有一個零點的必要條件,再利用零點存在定理確定條件的充分性,即得a的值.詳解:(1)當(dāng)時,等價于.設(shè)函數(shù),則.當(dāng)時,,所以在單調(diào)遞減.而,故當(dāng)時,,即.(2)設(shè)函數(shù).在只有一個零點當(dāng)且僅當(dāng)在只有一個零點.(i)當(dāng)時,,沒有零點;(ii)當(dāng)時,.當(dāng)時,;當(dāng)時,.所以在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.故是在的最小值.①若,即,在沒有零點;②若,即,在只有一個零點;③若,即,由于,所以在有一個零點,由(1)知,當(dāng)時,,所以.故在有一個零點,因此在有兩個零點.綜上,在只有一個零點時,.點睛:利用函數(shù)零點的情況求參數(shù)值或取值范圍的方法(1)利用零點存在的判定定理構(gòu)建不等式求解.(2)分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域(最值)問題求解.(3)轉(zhuǎn)化為兩熟悉的函數(shù)圖象的上、下關(guān)系問題,從而構(gòu)建不等式求解.20、(1)見解析(2)見解析【解析】

(1)根據(jù)的導(dǎo)函數(shù)進行分類討論單調(diào)性(2)欲證,只需證,構(gòu)造函數(shù),證明,這時需研究的單調(diào)性,求其最大值即可【詳解】解:(1)的定義域為,,①當(dāng)時,由得,由,得,所以在上單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減;②當(dāng)時,由得,由,得,或,所以在上單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增;③當(dāng)時,,所以在上單調(diào)遞增;④當(dāng)時,由,得,由,得,或,所以在上單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.(2)當(dāng)時,欲證,只需證,令,,則,因存在,使得成立,即有,使得成立.當(dāng)變化時,,的變化如下:0單調(diào)遞增單調(diào)遞減所以.因為,所以,所以.即,所以當(dāng)時,成立.【點睛】考查求函數(shù)單調(diào)性的方法和用函數(shù)的最值證明不

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