第16屆“希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請賽初2第1試

第十六屆“希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請賽初二第1試一、選擇題（每小題4分，共40分）以下每題的四個選項中，僅有一個是正確的，請將表示正確答案的英文字母寫在下面的表格內(nèi)。題號12345678910共得分答案1。等于A． B． C． D．觀察到分母的每一項與分子的每一項都成的關(guān)系，所以結(jié)果為，選2．已知是不等式的一個解，如果是整數(shù)，那么的最大值是A．-1 B．0 C．1 D．-2將代入不等式中，得，即，為整數(shù)，所以的最大值為，選3．一個兩位數(shù)的個位數(shù)和十位數(shù)字交換位置后，所得的數(shù)比原來的數(shù)大9，這樣的兩位數(shù)中，質(zhì)數(shù)有A．1個 B．3個 C．5個 D．6個設(shè)原來的兩位數(shù)為，則，所以，又要求為質(zhì)數(shù)，所以有三個，選4．有三組數(shù)；；，它們的平均數(shù)分別是，那么，，的平均數(shù)是A． B． C． D．

所以平均數(shù)為，選5．已知，則與1的大小關(guān)系是A． B． C． D．無法確定的，故選6．Giveninthe，arethreesidesofthetriangle，and，thenisA．a(chǎn)cuteangle B.rightangle C.obtuseangle D.acuteangleorobtuseangle假設(shè)為最大邊，則，，則，與題意不符。所以不為最大邊，則一定不是鈍角或直角，所以一定是銳角，選7．如圖1，點是的邊上一點，如果，，且，則是A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．銳角三角形或直角三角形如圖，過做的垂線，垂足為，則

設(shè),則，

利用勾股定理

所以

所以

三角形中，

所以為直角三角形8．已知，則的大小關(guān)系是A．B．C．D．特殊值法，令，，，分別代入得：，，

故選9．某人月初用元人民幣投資股票，由于行情較好，他的資金每月都增加，即使他每月末都取出1000元用于日常開銷，他的資金仍然在三個月后增長了一倍，那么的值是A．9000 B．10000 C．11000 D．11100第一個月月末結(jié)余

第二個月月末結(jié)余

第三個月月末結(jié)余

即，所以，所以10．判斷下列命題的真假：（）甲：在邊長為1的正三角形中（包括邊界）的任意四個點，必有兩點的距離不大于．乙：在邊長為1，一個內(nèi)角為的菱形中（包括邊界）的任意六個點，必有兩點的距離不大于．那么正確的結(jié)論是A．甲真乙真 B．甲真乙假 C．甲假乙真 D．甲假乙假甲命題，如圖，取三角形三個頂點，和中心點，即可滿足任意兩點距離都大于，所以甲命題為假

乙命題，如圖，先取菱形的四個頂點，以四個頂點為圓心，為半徑作圓，則陰影部分的點到四個頂點的距離均大于，我們現(xiàn)在只要在陰影部分中找到兩個點它們之間的距離大于即可，這樣的兩個點顯然是可以找到的，所以乙命題也為假

故選二、A組填空題（每小題4分，共40分．含兩個空的小題，每空2分．）11．計算：______________由等比公式，，12．分解因式：=_______________．原式

13．已知質(zhì)數(shù)與滿足，則=________________根據(jù)奇偶性分析知，、一奇一偶，而、都為質(zhì)數(shù)，所以有一個是

若，則；若，則舍去

則14．如圖2，將直徑的半圓形紙片平放在桌面上，然后讓它繞直徑的一個端點旋轉(zhuǎn)到某個位置，這時它掃過的面積為，則旋轉(zhuǎn)的角度為_________________．如圖，掃過的面積應(yīng)該是一個半圓與一個扇形的面積和，設(shè)旋轉(zhuǎn)的角度為

則，所以15．如圖3，從一個邊長為的正方形紙片中剪去一個寬為的長方形，再從剩下的紙片中沿平行短邊的方向剪去一個邊長為的正方形，若長方形與的面積比是，那么=_________________；正方形與正方形的面積比是____________．，

∴

∴

∴正方形與正方形的面積比是16．已知是整數(shù)，是方程的整數(shù)解，則=_______或__________．方程可化為，即，

又、、均為整數(shù)，所以或17．三種服裝的進價分別是30元、40元、50元，售價分別是35元、元、60元，經(jīng)核算，三種服裝的總利潤相同，且兩種服裝的銷售量之和是服裝銷售量的4倍，則=__________；三種服裝的銷售量之比是___________．種服裝每件利潤為元，種服裝每件利潤為元，三種服裝總利潤相同，則種服裝的銷量是服裝的倍，又兩種服裝的銷售量之和是服裝銷售量的4倍，所以服裝的銷量也是服裝的倍，所以服裝每件利潤也是元，所以

銷量之比為18．已知，，且，則=__________或_____________．原方程可化為，又

所以，

所以

所以或19．已知一個兩位整數(shù)的五次方是一個六位數(shù)，且最高位的數(shù)字與個位數(shù)字都是3，那么=________；中間的四個數(shù)字之和是_____________．個位為，所以，試數(shù)發(fā)現(xiàn)，所以，20．Infigure4，fivepointsarelocatedonaline.Whenthetendistancesbetweenpairsarelistedfromsmallesttolargest，thelistreads：2，4，5，7，8，，13，15，17，19．Thenthevalueofkis__________________．顯然,

和分別是兩端的一段

則

所以三、B組填空題（每小題8分，共40分．每小題兩個空，每空4分．）21．在公式（為常數(shù)）中，當(dāng)時，，則的值為____________或______________．或，解得或，所以或22．已知方程（是常數(shù)，0）的解是或，那么方程（是常數(shù)，且）的解是_______________或______________．原方程可化為

所以或

所以或23．已知的某兩個內(nèi)角的比是4：7且，于，平分交于，則的大小是_______________或_________________．角度比為時，

角度比為時，24．已知正的面積是1，是平面上一點，并且、、的面積相等，那么滿足條件的點共有______________個；的面積是_______________．內(nèi)心與三個旁心，所以點共有個

當(dāng)為內(nèi)心時，面積為

當(dāng)為旁心時，面積為25．某靶場有紅、綠靶標(biāo)共100個，其中紅靶標(biāo)的數(shù)量不到綠靶標(biāo)數(shù)量的．若打中一個紅靶標(biāo)得10分，打中一個綠靶標(biāo)得8．5分，小明打中了全部綠靶標(biāo)和部分紅靶標(biāo)，在計算他所得的總分時，發(fā)現(xiàn)總分與紅靶標(biāo)的總數(shù)無關(guān)（包括打中的和沒有打中的），則靶場有紅靶標(biāo)______________個，打中的紅靶標(biāo)的個數(shù)為_____________．設(shè)有的紅靶標(biāo)，則有個綠靶標(biāo)

則綠靶標(biāo)的的得分為

總分與無關(guān)，則紅靶標(biāo)的得分應(yīng)該恰好為

每個紅靶標(biāo)得分，所以擊中了個紅靶標(biāo)

紅靶標(biāo)達不到綠靶標(biāo)的，所以紅靶標(biāo)不到個

即，又為整數(shù)，所以

即有個紅靶標(biāo)，擊中了個選擇題1．D2．A3．B4．C5．C6．A7．B8．D9．D10．DA組填空題：11．9/4912．13．1214．15．1/3；4/916．-1；117．45；2：2：118．10；-1019．13；1920．12B組填空題：21．-3；-722．；23．；24．4；1或1/325．20；17評析：本套試題的總體難度較小，尤其是