考研數(shù)學(xué)一(概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì))模擬試卷50(題后含答案及解析)

考研數(shù)學(xué)一（概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)）模擬試卷50(題后含答案及解析)題型有：1.選擇題2.填空題3.解答題選擇題下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求。1．設(shè)A，B為任意兩個(gè)不相容的事件且P(A)＞0，P(B)＞0，則下列結(jié)論正確的是()．A．B．C．P(AB)=P(A)P(B)D．P(A—B)=P(A)正確答案：D解析：因?yàn)锳，B不相容，所以P(AB)=0，又P(A—B)=P(A)一P(AB)，所以P(A－B)=P(A)，選(D)．知識(shí)模塊：概率統(tǒng)計(jì)2．設(shè)X～N(μ，42)，Y～N(μ，52)，令P=P(X≤μ一4)，q=P(Y≥μ+5)，則()．A．p＞qB．p＜qC．p=qD．p，q的大小由μ的取值確定正確答案：C解析：知識(shí)模塊：概率統(tǒng)計(jì)3．設(shè)X為隨機(jī)變量，E(X)=μ，D(X)=σ2，則對(duì)任意常數(shù)C有()．A．E[(X—C)]2=E[(X一μ)]2B．E[(X－C)]2≥E[(X—μ)]2C．E[(X—C)]2=E(X2)一C2D．E[(X－C)2]＜E[(X一μ)2]正確答案：B解析：E[(X-C)2]－E[(X-μ)2]=[E(X2)一2CE(X)+C2]一[E(X2)一2μE(X)+μ2]=C2+2E(X)[E(X)－C]一[E(X)]2=[C—E(X)]2≥0，選(B)．知識(shí)模塊：概率統(tǒng)計(jì)4．設(shè)隨機(jī)變量X～F(m，n)，令P｛X＞Fα(m，n)｝=α(0＜α＜1)，若P(X＜k)=α，則k等于()．A．Fα(m，n)B．F1－α(m，n)C．D．正確答案：B解析：根據(jù)左右分位點(diǎn)的定義，選(B)．知識(shí)模塊：概率統(tǒng)計(jì)5．若事件A1，A2，A3兩兩獨(dú)立，則下列結(jié)論成立的是()．A．A1，A2，A3相互獨(dú)立B．兩兩獨(dú)立C．P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)D．相互獨(dú)立正確答案：B解析：由于A1，A2，A3兩兩獨(dú)立，所以也兩兩獨(dú)立，但不一相互獨(dú)立，選(B)．知識(shí)模塊：概率統(tǒng)計(jì)6．設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，則隨機(jī)變量y=min｛X，2｝的分布函數(shù)()．A．是階梯函數(shù)B．恰有一個(gè)間斷點(diǎn)C．至少有兩個(gè)間斷點(diǎn)D．是連續(xù)函數(shù)正確答案：B解析：FY(y)=P(Y≤y)=P｛min(X，2)≤y｝=1一P｛min(X，2)＞y｝=1一P(X＞y，2＞y)=1一P(X＞y)P(2＞y)當(dāng)y≥2時(shí)，F(xiàn)Y(y)=1；當(dāng)y＜2時(shí)，F(xiàn)Y(y)=1一P(X＞y)=P(X≤y)=FX(y)，而FX(x)=，所以當(dāng)0≤y＜2時(shí)，F(xiàn)Y(y)=1－e－y；當(dāng)y＜0時(shí)，F(xiàn)Y(y)=0，即FY(y)=，顯然FY(y)在y=2處間斷，選(B)．知識(shí)模塊：概率統(tǒng)計(jì)7．若(X，Y)服從二維正態(tài)分布，則①X，Y一定相互獨(dú)立；②若ρXY=0，則X，Y一定相互獨(dú)立；③X和Y都服從一維正態(tài)分布；④X，Y的任一線性組合服從一維正態(tài)分布，上述幾種說法中正確的是()．A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④正確答案：B解析：因?yàn)?X，Y)服從二維正態(tài)分布，所以X，Y都服從一維正態(tài)分布，aX+bY服從一維正態(tài)分布，且X，Y獨(dú)立與不相關(guān)等價(jià)，所以選(B)．知識(shí)模塊：概率統(tǒng)計(jì)填空題8．設(shè)事件A，B相互獨(dú)立，P(A)=0．3，且P(A+)=0．7，則P(B)=________．正確答案：解析：知識(shí)模塊：概率統(tǒng)計(jì)9．設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為λ的泊松分布，且P(X=0)=P(X=1)，則P(X≥1)=________．正確答案：1一e－2解析：X的分布律為P(X=k)=e－λ(k=0，1，2，…)，由P(X=0)=P(X=1)得λ=2，P(X≥1)=1一P(X=0)=1一e－2．知識(shí)模塊：概率統(tǒng)計(jì)10．設(shè)X～P(1)，Y～P(2)，且X，Y相互獨(dú)立，則P(X+Y=2)=_________．正確答案：解析：P(X+Y=2)=P(X=0，Y=2)+P(X=1，Y=1)+P(X=2，Y=0)，由X，Y相互獨(dú)立得P(X+Y=2)=P(X=0)P(Y=2)+P(X=1)P(Y=1)+P(X=2)P(Y=0)=知識(shí)模塊：概率統(tǒng)計(jì)11．設(shè)隨機(jī)變量X在[一1，2]上服從均勻分布，隨機(jī)變量Y=，則D(Y)=_________．正確答案：解析：隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f(x)=，隨機(jī)變量Y的可能取值為一1，0，1，知識(shí)模塊：概率統(tǒng)計(jì)12．設(shè)X為總體，E(X)=μ，D(X)=σ2，X1，X2，…，Xn為來自總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，S2=，則E(S2)=_________·正確答案：σ2解析：知識(shí)模塊：概率統(tǒng)計(jì)13．設(shè)A，B是兩個(gè)隨機(jī)事件，且P(A)=0．4，P(B)=0．5，=_________．正確答案：0.2解析：因?yàn)橄嗷オ?dú)立，故=P(A)[1一P(B)]=0．4×0．5=0．2知識(shí)模塊：概率統(tǒng)計(jì)14．設(shè)一次試驗(yàn)成功的概率為p，進(jìn)行100次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，當(dāng)p=_______時(shí)，成功次數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差最大，其最大值為________．正確答案：p=，最大值為5解析：設(shè)成功的次數(shù)為X，則X～B(100，p)，D(X)=100p(1－p)，標(biāo)準(zhǔn)差為．令f(p)=p(1-p)(0＜P＜1)，由f’(p)=1—2p=0得=一2＜0，所以時(shí)，成功次數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差最大，最大值為5．知識(shí)模塊：概率統(tǒng)計(jì)15．設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f(x)=，則E(X)=__________，D(X)=_________．正確答案：E(X)=1，D(X)=解析：因?yàn)橹R(shí)模塊：概率統(tǒng)計(jì)16．設(shè)總體X～N(μ，σ2)，X1，X2，…，Xn是來自總體X的樣本，S2=，則D(S2)=_________．正確答案：解析：知識(shí)模塊：概率統(tǒng)計(jì)解答題解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。設(shè)(X，Y)的聯(lián)合概率密度為f(x，y)=，求：17．(X，Y)的邊緣密度函數(shù)；正確答案：當(dāng)0＜x＜1時(shí)，fX(x)=∫－∞＋∞f(x，y)dy=∫02xdy=2x，當(dāng)x≤0或x≥1時(shí)，fX(x)=0，所以fX(x)=，同理fY(y)=．涉及知識(shí)點(diǎn)：概率統(tǒng)計(jì)18．Z=2X—Y的密度函數(shù)．正確答案：當(dāng)z≤0時(shí)，F(xiàn)(z)=0；當(dāng)z≥2時(shí)，F(xiàn)(z)=1；當(dāng)0＜z＜2時(shí)，涉及知識(shí)點(diǎn)：概率統(tǒng)計(jì)19．設(shè)兩臺(tái)同樣的記錄儀，每臺(tái)無故障工作的時(shí)問服從參數(shù)為5的指數(shù)分布，首先開動(dòng)其中一臺(tái)，當(dāng)發(fā)生故障時(shí)停用而另一臺(tái)自動(dòng)開動(dòng)，求兩臺(tái)記錄儀無故障工作的總時(shí)間T的概率密度．正確答案：用X，Y分別表示兩臺(tái)記錄儀先后開動(dòng)無故障工作的時(shí)間，則T=X+Y，由已知條件得X，Y的密度為fX(x)=．當(dāng)t≤0時(shí)，F(xiàn)T(t)=0；當(dāng)t＞0時(shí)，F(xiàn)T(t)=P(X+Y≤t)==25∫0te－5xdx∫0t－xe－5ydy=5∫0te－5x[1一e－5(t－x)]dx=5∫0t(e－5x—e－5t)dx=(1一e－5t)一5te－5tT的密度函數(shù)為f(t)=．涉及知識(shí)點(diǎn)：概率統(tǒng)計(jì)20．設(shè)某種零件的長(zhǎng)度L～N(18，4)，從一大批這種零件中隨機(jī)取出10件，求這10件中長(zhǎng)度在16～22之間的零件數(shù)X的概率分布、數(shù)學(xué)期望和方差．正確答案：顯然X～B(10，p)，其中p=P(16≤L≤22)，因?yàn)長(zhǎng)～N(18，4)，所以～N(0，1)，所以p=P(16≤L≤22)=(－1≤≤2)=φ(2)一φ(一1)=φ(2)+φ(1)一1=0．8185因此E(X)=np=10×0．8185=8．185，D(X)=npq=10×0．8185×(1—0．8185)=1．4856．涉及知識(shí)點(diǎn)：概率統(tǒng)計(jì)21．設(shè)總體X的分布律為P(X=k)=(1－p)k－1p(k=1，2，…)，其中p是未知參數(shù)，X1，X2，…，Xn為來自總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，求參數(shù)p的矩估計(jì)量和極大似然估計(jì)量．正確答案：涉及知識(shí)點(diǎn)：概率統(tǒng)計(jì)設(shè)總體X的概率密度為f(x)=，其中未知參數(shù)θ＞0，設(shè)X1，X2，…，Xn是來自總體X的簡(jiǎn)單樣本．22．求θ的最大似然估計(jì)量；正確答案：設(shè)x1，x2，…，xn為樣本值，似然函數(shù)為涉及知識(shí)點(diǎn)：概率統(tǒng)計(jì)23．該估計(jì)量是否是無偏估計(jì)量?說明理由．正確答案：參數(shù)θ的無偏估計(jì)量．涉及知識(shí)點(diǎn)：概率統(tǒng)計(jì)24．設(shè)，求矩陣A可對(duì)角化的概率．正確答案：由｜λE一A｜==(λ－1)(λ一2)(λ—Y)=0得矩陣A的特征值為λ1=1，λ2=2，λ3=Y．若Y≠1，2時(shí)，矩陣A一定可以對(duì)角化；當(dāng)Y=1時(shí)，A=，λ=1為二重特征值，因?yàn)閞(E—A)=2，所以A不可對(duì)角化；當(dāng)Y=2時(shí)，A=，λ=2為二重特征值，因?yàn)閞(2E－A)=1，所以A可對(duì)角化，故A可對(duì)角化的概率為P(Y≠1，2)+P(Y=2)=P(Y=0)+P(Y=2)+P(Y=3)=．涉及知識(shí)點(diǎn)：概率統(tǒng)計(jì)設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為2的指數(shù)分布，令U=，求：25．(U，V)的分布；正確答案：因?yàn)閄服從參數(shù)為2的指數(shù)分布，所以X的分布函數(shù)為(U，V)的可能取值為(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)．P(U=0，V=0)=P(X≤1，X≤2)=P(X≤1)=F(1)=1一e－2；P(U=0，V=1)=P(X≤1，X＞2)=0；P(U=1，V=1)=P(X＞1，X＞2)=P(X＞2)=1一F(2)=e－4；P(U=1，V=0)=P(X＞1，X≤2)=e－2一e－4．(U，V)的聯(lián)合分布律為涉及知識(shí)點(diǎn)：概率統(tǒng)計(jì)26．U，V的相關(guān)系數(shù)．正確答案：由U～得E(U)=e－2，E(V)=e－4，E(UV)=e－4，E(U2)=e－2，E(V2)=e－4，則D(U)=E(U2)一[E(U)]2=e－2一e－4，D(V)=E(V2)一[E(V)]2=e－4－e－8，Cov(U，V)=E(UV)一E(U)E(V)=e－4一e－6，于是ρUV=．涉及知識(shí)點(diǎn)：概率統(tǒng)計(jì)27．設(shè)隨機(jī)變量X，Y相互獨(dú)立且都服從N(μ，σ2)分布，令Z=max｛X，Y｝，求E(Z)．正確答案：因?yàn)閄，Y都服從N(μ，σ2)分布，所以U=～N(0，1)，且U，V相互獨(dú)立，則X=σU+μ，Y=σV+μ，故Z=max{X，Y}=σmax{U，V}+μ，由U，V相互獨(dú)立得(U，V)的聯(lián)合密度函數(shù)為f(μ，ν)=(一∞＜μ，ν＜+∞)．于是E(Z)=σE[max｛U，V｝]+μ．而E[max｛U，V｝]=∫－∞＋∞dμ∫－∞＋∞max{μ，ν}f(μ，ν)dν涉及知識(shí)點(diǎn)：概率統(tǒng)計(jì)28．設(shè)總體X～N(μ，σ2)，X1，X2，…，Xn＋1為總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，記服從的分布