線性代數(shù)總結(jié)

線性代數(shù)總結(jié)行列式：定理一：一個(gè)排列中的任意兩個(gè)元素對(duì)換，排列改變奇偶性。推論：奇排列變成標(biāo)準(zhǔn)排列的對(duì)換次數(shù)為奇數(shù)，偶排列變成標(biāo)準(zhǔn)排列的對(duì)換次數(shù)為偶數(shù)。定理二：n階行列式也可以定義為其中t為行標(biāo)排列的逆序數(shù)行列式性質(zhì)：性質(zhì)1：行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等行列式的行與列具有同等重要的性質(zhì)。性質(zhì)2：互換行列式的兩行（列），行列式變號(hào)推論：如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式等于零性質(zhì)3：行列式的某一行（列）中所有的元素乘以同一數(shù)k，等于用數(shù)k乘此行列式推論：行列式中某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式記號(hào)的外面性質(zhì)4：行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式等于零性質(zhì)5：若行列式的某一列（行）的元素都是兩數(shù)之和，例如第i列的元素都是兩數(shù)之和：則D等于下列兩個(gè)行列式之和：性質(zhì)6：把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一列（行）對(duì)應(yīng)的元素上去，行列式不變?nèi)鬾階行列式每個(gè)元素都表示成兩個(gè)數(shù)之和，則它可分解成個(gè)行列式。注意與的區(qū)別余子式：在n階行列式中，把元所在的第i行和第j列劃去后，留下來(lái)的n-1階行列式叫做元的余子式，記為；記叫作元的代數(shù)余子式引理：一個(gè)n階行列式，如果其中第i行所有元素除元外都為零，那么這行列式等于與它的代數(shù)余子式的乘積，即定理三：行列式等于它的任一行的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即或推論：行列式某一行（列）的元素與另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零。即或克拉默法則：如果線性方程組（1）的系數(shù)行列式不等于零，即那么，方程組（1）有唯一解其中是把系數(shù)行列式D中第j列的元素用方程組右端的常數(shù)項(xiàng)代替后所得到的n階行列式，定理四：如果線性方程組（1）的系數(shù)行列式,則（1）一定有解，且解是唯一的定理四＇：如果線性方程組（1）無(wú)解或有兩個(gè)不同的解，則它的系數(shù)行列式必為零定理五：如果齊次線性方程組（２）的系數(shù)行列式，則齊次線性方程組（２）沒有非零解定理五＇：如果齊次線性方程組（２）有非零解，則它的系數(shù)行列式必為零矩陣：矩陣運(yùn)算：Ａ＋Ｂ＝Ｂ＋Ａ；（Ａ＋Ｂ）＋Ｃ＝Ａ＋（Ｂ＋Ｃ）（ＡＢ）Ｃ＝Ａ（ＢＣ）Ａ（Ｂ＋Ｃ）＝ＡＢ＋ＡＣ（Ｂ＋Ｃ）Ａ＝ＢＡ＋ＣＡ只有方陣它的冪才有意義矩陣的轉(zhuǎn)置：對(duì)稱陣：設(shè)Ａ為ｎ階方陣，如果滿足，即那么Ａ稱為對(duì)稱矩陣。方陣的行列式：由ｎ階方陣Ａ的元素所構(gòu)成的行列式，稱為方陣Ａ的行列式，記為或伴隨矩陣：行列式的各元素的代數(shù)余子式所構(gòu)成的如下的矩陣稱為矩陣Ａ的伴隨矩陣，簡(jiǎn)稱伴隨陣。逆矩陣：對(duì)于ｎ階矩陣Ａ，如果有一個(gè)ｎ階矩陣Ｂ，使則說(shuō)矩陣Ａ是可逆的，并把矩陣Ｂ稱為Ａ的逆矩陣，簡(jiǎn)稱逆陣。逆陣是唯一的定理一：若矩陣Ａ可逆，則定理二：若，則矩陣Ａ可逆，且，其中為矩陣Ａ的伴隨陣當(dāng)時(shí)，Ａ稱為奇異矩陣，否則稱為非奇異矩陣，Ａ可逆的充分必要條件是，即可逆矩陣就是非奇異矩陣推論：若或，則若Ａ可逆則亦可逆，且若Ａ可逆，數(shù)則可逆，且若Ａ、Ｂ為同階矩陣且均可逆，則AB亦可逆，且若A可逆，則亦可逆，且當(dāng)時(shí)，還可以定義設(shè)為x的m次多項(xiàng)式，A為n階矩陣，記，稱為矩陣A的m次多項(xiàng)式。矩陣A的兩個(gè)和多項(xiàng)式總是可交換的，即總有如果,，則，從而如果為對(duì)角陣，則，從而分塊矩陣：設(shè)矩陣A與B的行數(shù)相同、列數(shù)相同，采用相同得分塊法，有其中與的行數(shù)相同、列數(shù)相同，那么設(shè)，為數(shù)，那么設(shè)A為矩陣，B為矩陣，分塊成其中的列數(shù)分別等于的行數(shù)，那么，其中設(shè)，則設(shè)A為n階矩陣，若A得分塊矩陣只有在對(duì)角線上有非零子塊，其余子塊都為零矩陣，且在對(duì)角線上的子塊都是方陣，即,其中都是方陣，那么稱A為分塊對(duì)角矩陣。分塊對(duì)角矩陣的行列式具有下述性質(zhì)：由此性質(zhì)可知，若則并有以對(duì)角陣左乘A的結(jié)果是A的每一行乘以中與該行對(duì)應(yīng)的對(duì)角元以對(duì)角陣右乘A的結(jié)果是A的每一列乘以中與該列對(duì)應(yīng)的對(duì)角元線性方程組的變形：，或初等變化：下面三種變換稱為矩陣的初等行變化：（1）對(duì)調(diào)兩行（2）以數(shù)乘某一行中的所有元素（3）把某一行所有元素的k倍加到另一行對(duì)應(yīng)的元素上去矩陣等價(jià)：反身性：A~A對(duì)稱性：若A~B,則B~A傳遞性：若A~B,B~C,則A~C定理一：設(shè)A是一個(gè)矩陣，對(duì)A施行一次初等變換，相當(dāng)于在A的左邊乘以相應(yīng)的m階矩陣；對(duì)A施行一次初等列變化，相當(dāng)于在A的右邊乘以相應(yīng)的n階初等矩陣。定理二：方陣A可逆的充分必要條件是存在有限個(gè)初等矩陣使推論1方陣A可逆的充分必要條件時(shí)A~E推論2：矩陣A與B等價(jià)的充分必要條件是存在m階可逆矩陣P及n階可逆矩陣Q，使PAQ=B對(duì)于n階矩陣A和矩陣B，把分塊矩陣（A,B）化成行最簡(jiǎn)形，如果（A,B）的行