2019年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（理科）（新課標ⅱ）（含解析版）

絕密★啟用前

2019年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（理科）（新課標H）

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1.設集合A={x|x2-5x+6>0},B={x|x-l<0},貝(JAG3二

A.(-8,1)B.(21)

C.(-3,-1)D.(3,+8)

2.設z=-3+2i,則在復平面內三對應的點位于

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

3.已知43=(2,3),AC=(3，。，BC=1，則AB?3C=

A.-3B.-2

C.2D.3

4.2019年1月3日嫦娥四號探測器成功實現(xiàn)人類歷史上首次月球背面軟著陸，我國航天事

業(yè)取得又一重大成就，實現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決的一個關鍵技術問題是地面與探測

器的通訊聯(lián)系.為解決這個問題，發(fā)射了嫦娥四號中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地月

拉格朗日乙點的軌道運行.％點是平衡點，位于地月連線的延長線上.設地球質量為M

1,月球質量為Mz,地月距離為R,4點到月球的距離為廣，根據(jù)牛頓運動定律和萬有

引力定律，〃滿足方程:

叫M.M,

+,2=(R+r)清.

(2)2

3a3+3dz4+a5

設1=（,由于。的值很小，因此在近似計算中一六3a3,則廠的近似值

(1+0)2

為

A.M------KRB.

5.演講比賽共有9位評委分別給出某選手的原始評分，評定該選手的成績時，從9個原始

評分中去掉1個最高分、1個最低分，得到7個有效評分.7個有效評分與9個原始評分

相比，不變的數(shù)字特征是

A.中位數(shù)B.平均數(shù)

C.方差D.極差

6.若a>b,則

A.ln（4z-/?）>0B.39

C.43Tp>oD.|A|>|Z?|

7.設a,僅為兩個平面，則a〃夕的充要條件是

A.a內有無數(shù)條直線與￡平行B.a內有兩條相交直線與0平行

C.a,/平行于同一條直線D.a,￡垂直于同一平面

22

若拋物線內）的焦點是橢圓二+匕

8.2Pxs>0=1的一個焦點，則°=

3PP

A.2B.3

C.4D.8

9.下列函數(shù)中，以一為周期且在區(qū)間(一，一)單調遞增的是

242

A.y(x)=|cos2x|B.f^x)=|sin2x\

C.fix)=cos|x|D./(x)=sin|x|

兀.

10.已知。￡(0,—),2sin2a=cos2a+l,貝！Jsina二

2

1R?

A.-D.---------

55

rV3

D,

35

22

11.設廠為雙曲線C?7F=l（a〉01〉0）的右焦點，。為坐標原點，以。咒為直徑的

圓與圓好+產=片交于p,。兩點.若|尸0=|0司，則C的離心率為

A.OB.6

C.2D.V5

12.設函數(shù)/(x)的定義域為R,滿足/(x+l)=2/(x),且當xe(O,l］時，f(x)^x(x-l).

Q

若對任意Xe(-8,〃力，都有/(%)>--,則m的取值范圍是

A.一弓

c-*

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.我國高鐵發(fā)展迅速，技術先進.經統(tǒng)計，在經停某站的高鐵列車中，有10個車次的正點

率為0.97,有20個車次的正點率為0.98,有10個車次的正點率為0.99,則經停該站高

鐵列車所有車次的平均正點率的估計值為.

14.已知/(幻是奇函數(shù)，且當光<0時，/(%)=—泮.若/(1112)=8,貝.

7T

15.AABC的內角A氏C的對邊分別為.若人=6,a=2c,3=§,則AABC的面積

為.

16.中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形狀多為長方體、正方體

或圓柱體，但南北朝時期的官員獨孤信的印信形狀是“半正多面體”(圖1).半正多面體

是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體.半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學的對稱美.圖2是

一個棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的表面上，且此正方體

的棱長為1.則該半正多面體共有個面，其棱長為.(本題第一空2分,

第二空3分.)

圖2

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題,

每個試題考生都必須作答.第22、23為選考題，考生根據(jù)要求作答.

(-)必考題：共60分。

17.(12分)

如圖，長方體ABCD-AISCLDI的底面ABC。是正方形，點E在棱AAi上，BE±ECi.

(1)證明：BELL平面EBC；

(2)若AE=4E,求二面角B-EC-Ci的正弦值.

18.(12分)

11分制乒乓球比賽，每贏一球得1分，當某局打成10:10平后，每球交換發(fā)球權，先多

得2分的一方獲勝，該局比賽結束.甲、乙兩位同學進行單打比賽，假設甲發(fā)球時甲得

分的概率為0.5,乙發(fā)球時甲得分的概率為0.4,各球的結果相互獨立.在某局雙方10:10

平后，甲先發(fā)球，兩人又打了X個球該局比賽結束.

(1)求尸(X=2)；

(2)求事件“X=4且甲獲勝”的概率.

19.(12分)

已知數(shù)列｛?｝和｛5,｝滿足。i=l,兒=。，4%+i=3?！耙弧?4,4d+1=3d一4-4.

(1)證明：｛斯+a｝是等比數(shù)列，｛斯-6”｝是等差數(shù)列；

(2)求｛〃”｝和｛兒｝的通項公式.

20.(12分)

y1

已知函數(shù)/(x)=lnx-:---.

x-1

(1)討論本)的單調性，并證明犬X)有且僅有兩個零點；

(2)設xo是其尤)的一個零點，證明曲線y=Inx在點A(xo,Inxo)處的切線也是曲線y=e*

的切線.

21.(12分)

已知點4-2,0),8(2,0),動點M(x,y)滿足直線AM與的斜率之積為-工.記M的軌跡

2

為曲線C.

(1)求C的方程，并說明C是什么曲線；

(2)過坐標原點的直線交C于P,。兩點，點P在第一象限，PELx軸，垂足為E,連

結。E并延長交C于點G.

(i)證明：△PQG是直角三角形；

(ii)求面積的最大值.

(-)選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第

一題計分.

22.［選修4-4：坐標系與參數(shù)方程］(10分)

在極坐標系中，。為極點，點"(夕°,%)(夕。>0)在曲線。：夕=4sin，上，直線/過點

A(4,0)且與垂直，垂足為P.

兀

(1)當a=1時，求。0及/的極坐標方程；

(2)當M在C上運動且尸在線段上時，求尸點軌跡的極坐標方程.

23.［選修4-5：不等式選講］(10分)

已知/(%)=|x—a\x+1x—2\(x—a).

(1)當a=l時，求不等式/(x)<0的解集；

(2)若xe(—oo,l］時，/(%)<0,求。的取值范圍.

2019年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（理科）（新課標口）

參考答案

1.A2.C3.C4.D5.A

6.C7.B8.D9.A10.B

11.A12.B

13.0.9814.-3

15.67316.26；y[2-l

17.解:（i）由已知得，與G，平面AB4A，BEu平面ARB】A,

故31G±BE.

又BE_LECj所以BE,平面E31G.

(2)由(1)知NBEB]=90°.由題設知kRtaABiE,所以NAEB=45°,

故AE=AB,44]=2AB.

以。為坐標原點，D4的方向為x軸正方向，|ZM|為單位長，建立如圖所示的空間直

角坐標系

則C(0,1,0),8(1,1,0),G(°，1，2),E(1,0,1),CE=(1,-1,1),

cq=（0,0,2）.

設平面E2C的法向量為"=（x,y,尤），則

CB-n=0,fx=0,

即1

CE?n=0,[%—y+z=0,

所以可取"二(o,-

設平面ECG的法向量為機二(、，丁，z),則

CCim=0,[2z=0,

\即1

CEm=0,[x-y+z=0.

所以可取帆二（1,L0）.

n-m￡

于是cos<n,m>-

2

所以，二面角3—EC—G的正弦值為手.

18.解:(1)X=2就是10：10平后，兩人又打了2個球該局比賽結束，則這2個球均由甲得

分，或者均由乙得分.因此P(X=2)=0.5x04+(1-0.5)x(1-04)=05.

(2)X=4且甲獲勝，就是10：10平后，兩人又打了4個球該局比賽結束，且這4個球的

得分情況為：前兩球是甲、乙各得1分，后兩球均為甲得分.

因此所求概率為

[0.5x(1-0.4)+(1-0.5)x0.4]x0.5x0.4=0.1.

19.解：(1)由題設得4(?！?1+〃+1)=2(4+〃)，即4+]+〃+]+2).

又因為0+"=1,所以｛?！?2｝是首項為1,公比為。的等比數(shù)列.

由題設得4(a〃+i—d+|)=4(%-d)+8,

即?！?1一d+1=。”一2+2.

又因為0-6尸1,所以｛4-d｝是首項為1,公差為2的等差數(shù)列.

（2）由（1）知，an+bn=^,an-bn=2n-l.

所以4+〃)+(%一“月二吩+"一萬，

b"=1?+幻-（4-2）]=/_〃+；.

20.解：（l）/（x）的定義域為（0,1）,（1,+8）單調遞增.

eJ_1p2_i_1P2

因為/'（e）=1-----<0,/（e2）=2一一--=———>0,

e-1e--1e--1

所以/（x）在（1,+8）有唯一零點XI,即/（尤1）=0.

X0<—<1,f（一）=-InXj+—~-=-f（x；）=0,

%]Xi%1-1

故了（無）在（0,1）有唯一零點一.

占

綜上，/（%）有且僅有兩個零點.

（2）因為一=e-lnA°,故點2（-Inxo,一）在曲線y=e*上.

/與

,即+1

由題設知/（%）=0,即lnxo=」j：,

xo-1

X_in%o_]__迎+1

故直線AB的斜率k=T-------=%=—

x+1

Tnx°-/_o_x%o

1Ao

/T

曲線廣^在點§（Tn%,工）處切線的斜率是工，曲線y=Inx在點4（%,In%）處切

線的斜率也是工,

%

所以曲線y=lnx在點4玉）,111%）處的切線也是曲線產U的切線.

21.解：（1）由題設得」——上=—工，化簡得三+上=l（|.x快2）,所以C為中心

x+2x-2242

在坐標原點，焦點在無軸上的橢圓，不含左右頂點.

（2）（i）設直線P。的斜率為左，則其方程為丁=區(qū)（左＞0）.

y=kx

2

由V/得x=±

一+—=1J1+2S'

[42

記^=,則P(u,uk),。(一"，-uk\￡(沅,0)?

飛1+2k2

kk

于是直線QG的斜率為1，方程為y=](x—〃).

k

y=-(x-?),

由，，得

X，廠一

(2+k2)x2-2uk2x+k2u2-8=0.①

3

設G(%DG)，則-M和%是方程①的解，故%」雜：2),由此得先=uk

2+左2+k1'

uk3.

21

從而直線PG的斜率為2+k

u(3k2+2)I

--------------U

2+k2

所以PQLPG,即△PQG是直角三角形.

____2成護7T

(ii)由⑴得|PQI=2%J1+k2,2+k-

8(—+k)

所以△PQG的面積S=g|PQHPG\=8人(1+42)K

(l+2，(2+?i+2(；+肩2

設右發(fā)+工，則由Q0得后2,當且僅當上1時取等號.

k

Qf

因為S=——7在口，+8)單調遞減，所以當仁2,即上1時，S取得最大值，最大值

1+2/

為更.

9

1A

因此，△PQG面積的最大值為

22.解：⑴因為在C上，當必=三時，Po=4sinj=273.

71

由己知得|OP1=1OAIcos；=2.

設Q9S)為/上除P的任意一點.在RtAOPQ中夕cos[，—=|OP\=2,

經檢驗，點尸(2,g)在曲線夕cos[，—g[=2上.

所以，/的極坐標方程為夕cos[e—]]=2.

(2)設P(p,6?),在Rt4。4P中，|OP|=|QA|cos6=4cos。，即夕=4cos，..

7?IT

因為尸在線段0M上，且A尸，O暇，故。的取值范圍是一,一.

_42_

JTJT

所以，尸點軌跡的極坐標方程為夕=4cos。，0e—.

23.解：(1)當a=l時，/(x)=|x-l|x+|x-2|(x-l).

當x<l時，/(x)=—2(x—I)?<0；當xNl時，/(x)>0.

所以，不等式/(x)<0的解集為(7,1).

(2)因為/(a)=0,所以a21.

當a21,xe(-8,1)時，/(%)=(?-X)x+(2-x)(x-a)=2(a-x)(x-l)<0

所以，a的取值范圍是工+8).

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2019年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷(理科)(新課標口)

答案解析版

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1.設集合4={x|N-5x+6>0},B-{x|x-l<0},則API2=

A.(-8,1)B.(-2,1)

C.(-3,-1)D.(3,+8)

【答案】A

【解析】

【分析】

本題考查集合的交集和一元二次不等式的解法，滲透了數(shù)學運算素養(yǎng).采取數(shù)軸法，利用數(shù)

形結合的思想解題.

【詳解】由題意得，4={%,2,曲3},3={無,<1},則4門3={目％<1}.故選A.

【點睛】本題考點為集合的運算，為基礎題目，難度偏易.不能領會交集的含義易致誤，區(qū)

分交集與并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分.

2.設z=-3+2i,則在復平面內三對應的點位于

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查復數(shù)的共輾復數(shù)和復數(shù)在復平面內的對應點位置，滲透了直觀想象和數(shù)學運算素

養(yǎng).采取定義法，利用數(shù)形結合思想解題.

【詳解】由Z=—3+2，，得3=—3—2z；貝丘=一3—2，,對應點(-3,-2)位于第三象限.故選C.

【點睛】本題考點為共朝復數(shù)，為基礎題目，難度偏易.忽視共輾復數(shù)的定義致錯，復數(shù)與

共輾復數(shù)間的關系為實部同而虛部異，它的實部和虛部分別對應復平面上點的橫縱坐標.

3.已知AB=(2,3),AC=(3,t),BC=1，則=

A.-3B.-2

C.2D.3

【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查平面向量數(shù)量積的坐標運算，滲透了直觀想象和數(shù)學運算素養(yǎng).采取公式法，利用

轉化與化歸思想解題.

【詳解】由5C=AC—A3=(U—3),甌=J12+”3)2=1,得『=3,則BC=的，

A3|BC=(2,3)(l,0)=2xl+3x0=2.故選C.

【點睛】本題考點為平面向量的數(shù)量積，側重基礎知識和基本技能，難度不大.學生易在處

理向量的法則運算和坐標運算處出錯，借助向量的模的公式得到向量的坐標，然后計算向量

數(shù)量積.

4.2019年1月3日嫦娥四號探測器成功實現(xiàn)人類歷史上首次月球背面軟著陸，我國航天

事業(yè)取得又一重大成就，實現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決的一個關鍵技術問題是地面與探

測器的通訊聯(lián)系.為解決這個問題，發(fā)射了嫦娥四號中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地

月拉格朗日4點的軌道運行.4點是平衡點，位于地月連線的延長線上.設地球質量為

Mi,月球質量為Mz,地月距離為R,4點到月球的距離為廣，根據(jù)牛頓運動定律和萬

有引力定律，廠滿足方程：

M

---陷-^+得=2(氏zn+廠)、跖號.

(7?+r)2r2R3

3a3+3a4+a'

設&=二，由于a的值很小，因此在近似計算中3a3,則廠的近似值

R(1+6Z)2

為

RB

A.M------K-腎火

叫

【答案】D

【解析】

【分析】

本題在正確理解題意的基礎上，將有關式子代入給定公式，建立々的方程，解方程、近似

計算.題目所處位置應是“解答題”，但由于題干較長，易使考生“望而生畏”，注重了閱

讀理解、數(shù)學式子的變形及運算求解能力的考查.

【詳解】由。=二，得/=?；?/p>

R

,M]M7，八、M

因為---------I——=(R+r)-T,

(7?+r)2r2R3

M...M

所以+萬康2=Q+a)磔

7?2(l+?)2ai\.i\.

M

解得a=2

3M[

所“小晨R

【點睛】由于本題題干較長，所以，易錯點之一就是能否靜心讀題，正確理解題意；易

錯點之二是復雜式子的變形出錯.

5.演講比賽共有9位評委分別給出某選手的原始評分，評定該選手的成績時，從9個原

始評分中去掉1個最高分、1個最低分，得到7個有效評分.7個有效評分與9個原始評分

相比，不變的數(shù)字特征是

A.中位數(shù)B.平均數(shù)

C.方差D.極差

【答案】A

【解析】

分析】

可不用動筆，直接得到答案，亦可采用特殊數(shù)據(jù)，特值法篩選答案.

【詳解】設9位評委評分按從小到大排列為者<%<%</<%8<x9.

則①原始中位數(shù)為%，去掉最低分看，最高分通，后剩余/<%<%<4,

中位數(shù)仍為A正確.

-1

②原始平均數(shù)%=§（為<々<工<%4</</），后來平均數(shù)

~j1/、

x=—yx2<x3<<xs）

平均數(shù)受極端值影響較大，，輸與丁不一定相同，B不正確

④原極差=%-%，后來極差=4-%2顯然極差變小，D不正確.

【點睛】本題旨在考查學生對中位數(shù)、平均數(shù)、方差、極差本質的理解.

6.若a>b,貝ij

A.ln(?-/?)>0B.3y3&

C.tz3-/?3>0D.\a\>[b\

【答案】C

【解析】

【分析】

本題也可用直接法，因為。>匕，所以當。一匕=1時，ln(a-b)=。，知A錯，

因為y=3工是增函數(shù)，所以3a>3"，故B錯；因為幕函數(shù)y=d是增函數(shù)，a>b,所以

a3>b3>知C正確；取a=1,6=-2,滿足。>匕，1=問<四=2,知D錯.

【詳解】取a=2力=1,滿足。>〃，ln(?-Z7)=0,知A錯，排除A；因為9=3°>3〃=3,

知B錯，排除B；取。=1,6=-2,滿足。>人，l=|a|<|Z?|=2,知D錯，排除D,因為

幕函數(shù)y=是增函數(shù)，a>b,所以/>3,故選c.

【點睛】本題主要考查對數(shù)函數(shù)性質、指數(shù)函數(shù)性質、塞函數(shù)性質及絕對值意義，滲透了邏

輯推理和運算能力素養(yǎng)，利用特殊值排除即可判斷.

7.設a,￡為兩個平面，則a〃/的充要條件是

A.a內有無數(shù)條直線與￡平行

B.a內有兩條相交直線與“平行

C.a,/平行于同一條直線

D.a,￡垂直于同一平面

【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查了空間兩個平面的判定與性質及充要條件，滲透直觀想象、邏輯推理素養(yǎng)，利用面

面平行的判定定理與性質定理即可作出判斷.

【詳解】由面面平行的判定定理知：7內兩條相交直線都與夕平行是。//，的充分條件，

由面面平行性質定理知，若a//〃，則a內任意一條直線都與，平行，所以a內兩條相交

直線都與夕平行是。//，的必要條件，故選B.

【點睛】面面平行的判定問題要緊扣面面平行判定定理，最容易犯的錯誤為定理記不住，憑

主觀臆斷，如：“若aua,bu/3,al1b,則a///?”此類的錯誤.

JQy

8.若拋物線y2=2/zr(p>0)的焦點是橢圓一+—=1的一個焦點，則p=

3PP

A.2B.3

C.4D.8

【答案】D

【解析】

【分析】

利用拋物線與橢圓有共同的焦點即可列出關于夕的方程，即可解出?，或者利用檢驗排除

的方法，如°=2時，拋物線焦點為(1,0),橢圓焦點為(±2,0),排除A,同樣可排除

B,C,故選D.

22

【詳解】因為拋物線V=2p尤(p>0)的焦點(￡0)是橢圓乙+上=1的一個焦點，所以

23Pp

3p—0=(T)2,解得p=8,故選D.

【點睛】本題主要考查拋物線與橢圓的幾何性質，滲透邏輯推理、運算能力素養(yǎng).

'))'Ji

9.下列函數(shù)中，以一為周期且在區(qū)間(一，一)單調遞增的是

242

A.fix)=|cos2尤|B,7(尤尸|sin2x\

C.fi,x)=cos|x|D.fl,x)=sin|x|

【答案】A

【解析】

【分析】

本題主要考查三角函數(shù)圖象與性質，滲透直觀想象、邏輯推理等數(shù)學素養(yǎng).畫出各函數(shù)圖象,

即可做出選擇.

【詳解】因為y=sin|x|圖象如下圖，知其不是周期函數(shù)，排除D；因為y=cos|x|=cosx,

周期為2?,排除C,作出y=|cos2x|圖象，由圖象知，其周期為方，在區(qū)間(?,事)單調

遞增，A正確；作出y=bin2x|的圖象，由圖象知，其周期為在區(qū)間(7,])單調遞減,

排除B,故選A.

【點睛】利用二級結論：①函數(shù)y=|/(x)|的周期是函數(shù)y=/(x)周期的一半;

②y=sin|“W不是周期函數(shù)；

71

10.已知(0,—),2sin2a=cos2a+l,則sina=

2

A.-B.—

55

小n2君

Ir.----u.------

35

【答案】B

【解析】

【分析】

利用二倍角公式得到正余弦關系，利用角范圍及正余弦平方和為1關系得出答案.

【詳解】2sin2a=cos2a+L4sina-cosa=2cos2a.ae0,—cosa>0.

sina>0,2sina=cosa,又5皿20+(：052￡=1，5sin2a=1,sin2a=~?又

sincr>0,sina故選B.

5

【點睛】本題為三角函數(shù)中二倍角公式、同角三角函數(shù)基本關系式的考查，中等難度，判斷

正余弦正負，運算準確性是關鍵，題目不難，需細心，解決三角函數(shù)問題，研究角的范圍后

得出三角函數(shù)值的正負，很關鍵，切記不能憑感覺.

X2

11.設尸為雙曲線C：二_2i=1(a>0,6>0)的右焦點，O為坐標原點，以。尸為直徑的

ab2

圓與圓/+丫2=層交于尸、Q兩點.若|PQ=QE，則C的離心率為

A.近B.也

C.2D.小

【答案】A

【解析】

【分析】

準確畫圖，由圖形對稱性得出P點坐標，代入圓的方程得到c與a關系，可求雙曲線的離心

率.

【詳解】設PQ與左軸交于點4,由對稱性可知軸，

又\PQ\=\OF\=c,.-.|PA|=|,二PA為以OF為直徑的圓的半徑，

.?2為圓心|。4|=夕

二,又P點在圓x?+y?=/上，

222

CC2日口C2_c2

1=a，即—=u,=2.

4--4---------2

e-yfl,故選A.

【點睛】本題為圓錐曲線離心率的求解，難度適中，審題時注意半徑還是直徑，優(yōu)先考

慮幾何法，避免代數(shù)法從頭至尾，運算繁瑣，準確率大大降低，雙曲線離心率問題是圓錐曲

線中的重點問題，需強化練習，才能在解決此類問題時事半功倍，信手拈來.

12.設函數(shù)/(尤)的定義域為R,滿足/(%+1)=2/。)，且當xe(O,l］時,

Q

/(x)=x(x—1).若對任意,都有/(x)2—則根的取值范圍是

97

A.—00,—B.—co,——

43

c.yD.--|

【答案】B

【解析】

【分析】

本題為選擇壓軸題，考查函數(shù)平移伸縮，恒成立問題，需準確求出函數(shù)每一段解析式，分析

出臨界點位置，精準運算得到解決.

【詳解】xe(0,l］時，f(x)=x(x-l),f(x+l)=2f(x),f(x)=2/(x-l),即/(x)右

移1個單位，圖像變?yōu)樵瓉淼?倍.

Q

如圖所示：當2<x<3時，-2)=4(無—2)(%—3),令詡=—§,

78

=

整理得：9/—45%+56=0，二.(3%一7)(3元-8)=0,xr—,x2=—(舍)，

【點睛】易錯警示：圖像解析式求解過程容易求反，畫錯示意圖，畫成向左側擴大到2

倍，導致題目出錯，需加深對抽象函數(shù)表達式的理解，平時應加強這方面練習，提高抽象概

括、數(shù)學建模能力.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.我國高鐵發(fā)展迅速，技術先進.經統(tǒng)計，在經停某站的高鐵列車中，有10個車次的正點

率為0.97,有20個車次的正點率為0.98,有10個車次的正點率為0.99,則經停該站高鐵列

車所有車次的平均正點率的估計值為.

【答案】0.98.

【解析】

【分析】

本題考查通過統(tǒng)計數(shù)據(jù)進行概率的估計，采取估算法，利用概率思想解題.

【詳解】由題意得，經停該高鐵站的列車正點數(shù)約為

10x0.97+20x0.98+10x0.99=39.2,其中高鐵個數(shù)為10+20+10=40,所以該站所有高

392

鐵平均正點率約為^=0.98.

40

【點睛】本題考點為概率統(tǒng)計，滲透了數(shù)據(jù)處理和數(shù)學運算素養(yǎng).側重統(tǒng)計數(shù)據(jù)的概率估算,

難度不大.易忽視概率的估算值不是精確值而失誤，根據(jù)分類抽樣的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，估算出正點

列車數(shù)量與列車總數(shù)的比值.

14.已知/(x)是奇函數(shù)，且當無<0時，八?=—6叱若/(1112)=8,貝ija=.

【答案】-3

【解析】

【分析】

本題主要考查函數(shù)奇偶性，對數(shù)的計算.滲透了數(shù)學運算、直觀想象素養(yǎng).使用轉化思想得

出答案.

【詳解】因為/(x)是奇函數(shù)，且當x<0時，/(x)=—e”.

又因為ln2e(0,l),/(ln2)=8,

所以_e-〃M2=—8,兩邊取以e為底的對數(shù)得—ain2=31n2,所以一a=3,即3?.

【點睛】本題主要考查函數(shù)奇偶性，對數(shù)的計算.

TT

15NABC的內角A,3,C的對邊分別為。，4c.若人=6,a=2c,3=—,則7ABe的面

3

積為.

【答案】6A/3

【解析】

【分析】

本題首先應用余弦定理，建立關于c的方程，應用。的關系、三角形面積公式計算求解，

本題屬于常見題目，難度不大，注重了基礎知識、基本方法、數(shù)學式子的變形及運算求解能

力的考查.

【詳解】由余弦定理得尸=儲+C2_2accos5，

所以(2C)?+C2—2X2CXCX；=62,

即。2=12

解得c=c=—（舍去）

所以a=2c=46，

SAABC=gacsinB=gx4百X2GXF=6G.

【點睛】本題涉及正數(shù)開平方運算，易錯點往往是余弦定理應用有誤或是開方導致錯

誤.解答此類問題，關鍵是在明確方法的基礎上，準確記憶公式，細心計算.

16.中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形狀多為長方體、正方體

或圓柱體，但南北朝時期的官員獨孤信的印信形狀是“半正多面體”（圖1）.半正多面體是由

兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體.半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學的對稱美.圖2是一個棱

數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的表面上,且此正方體的棱長為1.則

該半正多面體共有個面，其棱長為.

圖1圖2

【答案】Q）.共26個面.（2）.棱長為逝—1.

【解析】

【分析】

第一問可按題目數(shù)出來，第二問需在正方體中簡單還原出物體位置，利用對稱性，平面幾何

解決.

【詳解】由圖可知第一層與第三層各有9個面，計18個面，第二層共有8個面，所以該半

正多面體共有18+8=26個面.

如圖，設該半正多面體的棱長為天,則旗=能￥，延長與尸石交于點G,延長

交正方體棱于“，由半正多面體對稱性可知，ABGE為等腰直角三角形，

：.BG=GE=CH=Jx,GH=2x—x+x=（V2+l）x=l,

22

==3-1,即該半正多面體棱長為以

A/2+1x—1

【點睛】本題立意新穎，空間想象能力要求高，物體位置還原是關鍵，遇到新題別慌亂,

題目其實很簡單，穩(wěn)中求勝是關鍵.立體幾何平面化，無論多難都不怕，強大空間想象能力,

快速還原圖形.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17?21題為必

考題，每個試題考生都必須作答.第22、23為選考題，考生根據(jù)要求作答.

(-)必考題：共60分。

17.

如圖，長方體ABCM/CLDI的底面ABC。是正方形，點E在棱441上，BE_LEJ.

(1)證明：B￡_L平面EBiCi；

(2)若AE=AiE,求二面角B-EC-Q的正弦值.

【答案】(1)證明見解析；(2)旦

2

【解析】

【分析】

（1）利用長方體的性質，可以知道耳G，側面44A4,利用線面垂直的性質可以證明出

BgJEB,這樣可以利用線面垂直的判定定理，證明出平面E4G；

（2）以點3坐標原點，以晟4,5。,54分別為蒼7z軸，建立空間直角坐標系，

設正方形A3CD的邊長為=求出相應點的坐標，利用3ELEG，可以求出

之間的關系，分別求出平面EBC、平面ECG的法向量，利用空間向量的數(shù)量積公式求出

二面角3-EC-G的余弦值的絕對值，最后利用同角的三角函數(shù)關系，求出二面角

3—EC—G的正弦值.

【詳解】證明（1）因為ABC?！狝4GA是長方體，所以與。1，側面44切，而跖＜=

平面44A4,所以BE，4G

又「

BE_LECBXCXnECX=Cx,4G，ECIu平面E^G，因此3EJ_平面EqG；

（2）以點3坐標原點，以晟4,5。,54分別為蒼7z軸，建立如下圖所示的空間直角坐標

系，

b

5(0,0,0),C(0,a,0),G(0,a，b),E(a,0,-)

hhh

因為BELECi，所以=On(a,O,1>(—a,a,g=0n—a2+(=0n6=2a,

所以E(a,O,a),EC=(-a,a,-a),CQ=(0,0,2a),BE=(a,0,a),

設根=（%i，X，Zi）是平面BEC的法向量,

m-BE=0,ax+az1=0,

所以=>i=^>m=(l,0,-l),

m?EC=0.-ax{+ayx-azx=0.

設〃=(%,%，Z2)是平面ECC1的法向量,

nCC]=0,2az=0,

所以《2=(1,1,0),

n-EC=0.-ax2+ay2-az2=0.

二面角5—EC-G的余弦值的絕對值為=3

所以二面角3—EC—。的正弦值為§)2=*.

【點睛】本題考查了利用線面垂直的性質定理證明線線垂直，考查了利用空間向量求二角角

的余弦值，以及同角的三角函數(shù)關系，考查了數(shù)學運算能力.

18.

11分制乒乓球比賽，每贏一球得1分，當某局打成10:10平后，每球交換發(fā)球權，先多

得2分的一方獲勝，該局比賽結束.甲、乙兩位同學進行單打比賽，假設甲發(fā)球時甲得

分的概率為0.5,乙發(fā)球時甲得分的概率為0.4,各球的結果相互獨立.在某局雙方10:10

平后，甲先發(fā)球，兩人又打了X個球該局比賽結束.

(1)求尸(X=2)；

(2)求事件“X=4且甲獲勝”的概率.

【答案】(1)0.5;(2)0.1

【解析】

【分析】

⑴本題首先可以通過題意推導出P(X=2)所包含的事件為“甲連贏兩球或乙連贏兩

球”，然后計算出每種事件的概率并求和即可得出結果；

(2)本題首先可以通過題意推導出P(X=4)所包含的事件為“前兩球甲乙各得1分，后兩球

均為甲得分”，然后計算出每種事件的概率并求和即可得出結果。

【詳解】(1)由題意可知，P(X=2)所包含的事件為“甲連贏兩球或乙連贏兩球”

所以尸(X=2)=0.5?0.40.5?0.60.5

(2)由題意可知，P(X=4)包含的事件為“前兩球甲乙各得1分，后兩球均為甲得分”

所以尸(X=4)=0.5倉！D.60.5倉。4+0.50.4倉虬50.4=0.1

【點睛】本題考查古典概型的相關性質，能否通過題意得出P(X=2)以及P(X=4)所包

含的事件是解決本題的關鍵，考查推理能力，考查學生從題目中獲取所需信息的能力，是中

檔題。

19.

已知數(shù)列｛斯｝和出｝滿足。尸1,一=0,4a“*i=34-a+4,4&n+1=3bn-an-4.

(1)證明：｛斯+a｝是等比數(shù)列，｛斯-兒｝是等差數(shù)列；

(2)求｛斯｝和｛6”｝的通項公式.

【答案】⑴見解析；⑵an=^+n-｛,bn=^-n+jo

【解析】

【分析】

⑴可通過題意中的4a“+i=3?！?4+4以及4〃+i=32-&-4對兩式進行相加