《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》第三版課后習(xí)題答案

習(xí)題一:

1.1寫出下列隨機試驗的樣本空間：

(1)某籃球運動員投籃時，連續(xù)5次都命中，觀察其投籃次數(shù)；

解：連續(xù)5次都命中，至少要投5次以上，故。I={5,6,7,…};

⑵擲一顆勻稱的骰子兩次，觀察前后兩次出現(xiàn)的點數(shù)之和；

解:%={2,3,4,…1L12}；

⑶觀察某醫(yī)院一天內(nèi)前來就診的人數(shù)；

解：醫(yī)院一天內(nèi)前來就診的人數(shù)理論上可以從0到無窮，所以。3={0，1，2,…}；

⑷從編號為1，2,3,4,5的5件產(chǎn)品中任意取出兩件，觀察取出哪兩件產(chǎn)品；

解：屬于不放回抽樣，故兩件產(chǎn)品不會相同，編號必是一大一小，故：

d=};

⑸檢查兩件產(chǎn)品是否合格；

解：用0表示合格,1表示不合格，則口5={(0,0),(0,1),(1，0)，(1,1)}：

(6)觀察某地一天內(nèi)的最高氣溫和最低氣溫(假設(shè)最低氣溫不低于T1,最高氣溫不高于T2);

解：用X表示最低氣溫，y表示最高氣溫;考慮到這是一個二維的樣本空間，故：

⑺在單位圓內(nèi)任取兩點，觀察這兩點的距離；

解：Q；={r|0-<x-<?］；

(8)在長為/的線段上任取一點，該點將線段分成兩段，觀察兩線段的長度.

解：A={(x,4xA0,y〉0,x+y=/}；

1.2

⑴A與B都發(fā)生，但C不發(fā)生；ABC:

⑵A發(fā)生，且B與C至少有一個發(fā)生;

(3)A,B,C中至少有一個發(fā)生；AuBuC；

(4)A,B,C中恰有一個發(fā)生;ABCuABCDABC；

(5)A,B,C中至少有兩個發(fā)生；ABUAC^JBC；

(6)A,B,C中至多有一個發(fā)生;左耳。川^口目3；

⑺A;B;C中至多有兩個發(fā)生;ABC

⑻A,B,C中恰有兩個發(fā)生后CuAB。；

注意：此類題目答案一般不唯一，有不同的表示方式。

1.3設(shè)樣本空間O={x|0<x<2},事件4={X0.5WXW1},3={X0.8YXWL6}

具體寫出下列各事件：

(1)AB;(2)A-B;(3)A-B；(4)A^JB

(1)AB=(xjO.8^；x<l}；

(2)A—B={A|0.5<x<0.8)；

(3)A-B-^x|0<x<0,5u0.8x<2};

(4)AuB=同0WxW0.55.6YxW2}

1.6按從小到大次序排列P(A),P(AD8),P(A5),P(A)+P(8),并說明理由.

解：由于ABqA,Aa(Au8),故P(A3)4P(A)〈P(Au8),而由加法公式，有:

產(chǎn)(AD8)?P(A)+P(8)

1.7

解：⑴昆蟲出現(xiàn)殘翅或退化性眼睛對應(yīng)事件概率為：

P(Wu￡)=P(W)+P(￡)-P(WE)=0.175

⑵由于事件W可以分解為互斥事件WE,豆，昆蟲出現(xiàn)殘翅，但沒有退化性眼睛對應(yīng)事件

概率為：P(詼)=P(W)—P(WE)=0.1

⑶昆蟲未出現(xiàn)殘翅，也無退化性眼睛的概率為：P(W￡)=1-P(WuE)=0.825.

1.8

解：⑴由于ABqAABqB,故P(AB)WP(A),尸(A3)?P(8),顯然當(dāng)時P(AB)

取到最大值。最大值是06

(2)由于P(AB)=P(A)+P(6)—P(AD6)。顯然當(dāng)P(ADB)=1時P(AB)取到最小

值，最小值是0.4.

解：因為P(AB)=0,故P(ABC)=O.A,B,C至少有一個發(fā)生的概率為：

P(AufiuC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)一尸(AC)+P(ABC)=0.7

1.10

解

(1)通過作圖，可以知道，P(AB)=P(A^B)-P(B)=0.3

(2)P(AB)=1-P(AB)=1-(尸(A)-尸(A-3))=0.6

(3)由于P(48)=P(才目)=1-P(Au8)=1-(P(A)+P(8)-P(A8))

=1-P(A)—P(B)+P(A8)

P(3)=l—P(A)=0.7

1.11

解：用A,表示事件“杯中球的最大個數(shù)為，個"z=1,2,3?三只球放入四只杯中，放法有

4x4x4=64種，每種放法等可能。

3

對事件4：必須三球放入三杯中，每杯只放一球。放法4X3X2種，故P(A)二三

8

(選排列：好比3個球在4個位置做排列)。

對事件A,：必須三球都放入一杯中。放法有4種。(只需從4個杯中選1個杯子，放入此3

1319

個球，選法有4種)，故尸(A')=—。P(4)=l-------=—

1681616

1.12

解：此題為典型的古典概型，擲一顆勻稱的骰子兩次基本事件總數(shù)為36。.出現(xiàn)點數(shù)和為

“3”對應(yīng)兩個基本事件(1,2),(2,1)。故前后兩次出現(xiàn)的點數(shù)之和為3的概率為

18

同理可以求得前后兩次出現(xiàn)的點數(shù)之和為4,5的概率各是,一。

129

⑴1.13

解：從10個數(shù)中任取三個數(shù)，共有盤)=120種取法，亦即基本事件總數(shù)為120。

⑴若要三個數(shù)中最小的一個是5,先要保證取得5,再從大于5的四個數(shù)里取兩個，取法有

,1

《=6利1,故所求概率為

20

(2)若要三個數(shù)中最大的一個是5,先要保證取得5,再從小于5的五個數(shù)里取兩個，取法

有C；,=10種，故所求概率為上1。

12

1.14

解：分別用4,42,4表示事件：

(1)取到兩只黃球;(2)取到兩只白球;(3)取到一只白球，一只黃球.則

…、2814.C：61.16

P(A)=T=——=—,P(4)=T=—=——，P(A3)=1-P(A)—P(4)=—。

1C%6633-66111-33

1.15

P((4UR)CB)

解:P((AD巨)怛)=

P(B)P(B)

由于P(耳8)=0,故尸((Au豆)忸)=還」⑷"麗=0.5

P(B)P(B)

1.16

(1)P(AuB);(2)P(AuB);

解：(1)P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)=1-=1-0.4X0.5=0.8;

(2)P(AuB)=P(A)+P(B)_P(AB)=1-P(B)P(A\B)=l-0.4x0.5=0.6;

注意：因為P(4B)=0.5,所以P(司B)=l—P(HB)=0.5O

1.17

解：用A,表示事件“第，次取到的是正品"(7=1,2,3),則4表示事件“第，次取到的是

次品"(』,2,3)。P(A)=*；,P(A4)=P(A)P(4|A)=%K4

4U什什JL7JO

⑴事件“在第一、第二次取到正品的條件下，第三次取到次品”的概率為：

-.5

lo

(2)事件“第三次才取到次品”的概率為：

P(A4?尸(A)P(4同p(M&)=畀擠］=急

(3)事件“第三次取到次品”的概率為：-

4

此題要注意區(qū)分事件(1)、(2)的區(qū)別，一個是求條件概率，一個是一般的概率。再例如，

設(shè)有兩個產(chǎn)品，一個為正品，一個為次品。用A,表示事件“第，次取到的是正品”

(i=l,2),

則事件”在第一次取到正品的條件下，第二次取到次品”的概率為：P（A,|A）=1：而事件

“第二次才取到次品”的概率為：P（A&）=P（A）P（可A）區(qū)別是顯然的。

1.18?

解：用4（i=0,1,2）表示事件“在第一箱中取出兩件產(chǎn)品的次品數(shù)廣'。用8表示事件“從

第二箱中取到的是次品”。則

24P(Q_C；1

P（4）

a等p⑷a91

i23

M4）=-,P（B|A）=五，P（B|4）=F，

根據(jù)全概率公式，有：

3

p（3）=p（4）尸（4%）+P（4）P（B|A）+P（4）尸（到4）=工

2o

1.19

解：設(shè)d（i=1,2,3）表示事件“所用小麥種子為z.等種子”，

8表示事件“種子所結(jié)的穗有50顆以上麥粒”。

則p（4）=0.92,P（4）=0.05,P（4）=0.03,尸（6⑷=0.5,。（卻&）=0.15,

p（@&）=0.1,根據(jù)全概率公式，有：

P（B）=P（A）P（q4）+尸（&）尸（@4）+尸（4）尸（耳A）=04705

1.20

解：用8表示色盲，A表示男性，則彳表示女性，由己知條件，顯然有:

P（A）=0.51,P（A）=0.49,P（B\A）=0.05,P（B\A）=0.025,因此：

根據(jù)貝葉斯公式，所求概率為:

?=P(AB)=P(AB)=P(4)P(卻A)=_102

1—P(B)~P(AB)+P(AB)—P(A)P(B|A)+P(A)P(B|X)-T?1

1.21

解：用8表示對試驗呈陽性反應(yīng)，A表示癌癥患者，則彳表示非癌癥患者，顯然有:

P(A)=0.005,P(A)=0.995,P(B|A)=0.95,P(Bp)=0.01,

因此根據(jù)貝葉斯公式，所求概率為：

P(A1B)=P^L=P(A8)_:。⑷配)_=21

1P(B)P(AB)+P(AB)P(A)P(B|A)+P(A)P(B|X)294

1.22

（1）求該批產(chǎn)品的合格率；

（2）從該10箱中任取一箱，再從這箱中任取一件，若此件產(chǎn)品為合格品，問此件產(chǎn)品由

甲、

乙、丙三廠生產(chǎn)的概率各是多少？

解：設(shè)，4=｛產(chǎn)品為甲廠生產(chǎn)）,金=｛產(chǎn)品為乙廠生產(chǎn)）,鳥=｛產(chǎn)品為丙廠生產(chǎn)）,

A=｛產(chǎn)品為合格品）,則

（1）根據(jù)全概率公式，P（A）=P（Bt）+P（B2）P（/1|B2）+P（B3）P（A|fi,）=0.94,該批

產(chǎn)品的合格率為0.94.

（2）根據(jù)貝葉斯公式，P（蜀A）=--------：——P（1）P（d4）------------=—

1P（即P（d.）+P（.）P（HB2）+P（鳥）尸（4鳥）94

7794

同理可以求得。（&|4）=三，尸（闖A）=^,因此，從該10箱中任取一箱，再從這箱中任取

192724

一件，若此件產(chǎn)品為合格品，此件產(chǎn)品由甲、乙、丙三廠生產(chǎn)的概率分別為：—O

949447

1.23

解：記A=｛目標(biāo)被擊中｝,則P(A)=1-P(Z)=1-(1-(19)(1-0.8)(1-0.7)=0.994

1.24

解：記A4=｛四次獨立試驗，事件A至少發(fā)生一次｝,3=｛四次獨立試驗，事件A一次也不

發(fā)生｝。而尸(44)=0.5904,因此P(4)=l-尸(44)=「^)=P(Z)4=0.4096。所以

P(Z)=0.8,P(A)=1-0.8=0.2

三次獨立試驗中，事件A發(fā)生一次的概率為：C；P(A)(1—2(4))2=3x0.2x0.64=0.384。

二、第一章定義、定理、公式、公理小結(jié)及補充:

(10)加法公P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

式當(dāng)P(AB)=0時，P(A+B)=P(A)+P(B)

P(A-B)=P(A)-P(AB)

(11)減法公當(dāng)BuA時,P(A-B)=P(A)-P(B)

式

當(dāng)A=Q時，P(B)=1-P(B)

定義設(shè)A、B是兩個事件，且P(A)>0,則稱四絲為事件A發(fā)生條件下，事

(12)條件概P(A)

率件B發(fā)生的條件概率，記為P(B/A)="竺L

尸⑷

尸血/A)「尸⑷「⑷瓦),i=l,2,…n。

(16)貝葉斯

fp(Bj)P(A/Bj)

公式

J=1

此公式即為貝葉斯公式。

第二章隨機變量

2.1

X23456789101112

P1/361/181/121/95/361/65/361/91/121/181/36

2.2解：根據(jù)fp(X=A)=l,得￡"*=1,即此！?①。

k=0k=01—e

故a-e-\

2.3解：用X表示甲在兩次投籃中所投中的次數(shù)，X~B(2,0.7)

用Y表示乙在兩次投籃中所投中的次數(shù),Y~B(2,0.4)

⑴兩人投中的次數(shù)相同

叫

P{X=Y}=X=O,Y=O}+P{X=1/Y=1}+P{X=2,Y=2}=

+(7'OJ'O.B1x^'o.4'0.61+(；jo-72o.3(,x(3''o.42o.6(,=0.3124

(2)甲比乙投中的次數(shù)多

P{X>Y}=P{X=1,Y=O}+P{X=2,Y=0}+P{X=2,Y=1}=

C'O.7'0.31x(7''0.4°0.62+C"0.720.3°X(7"0.4°0.62+C'0.720.3°xC：0406=0.5628

1232

2.4M：(1)P{1=^X^3}=P{X=1}+P{X=2}+p{X=3}=p+—+—=y

121

(2)P{0.5<X<2.5}=P{X=l}+P{X=2}=—+—

曲，、,”1111-/?:1

2.5解：(1)P{X=2,4,6,…}=/+外+貸+訶=儻------j—=-

1---

4

(2)P{X23}=1—P{X<3}=1—P{X=1}-P{X=2}=1------=-

244

2.6解：設(shè)m表示第i次取出的是次品，X的所有可能取值為0,1,2

P{X=0}=P{4AAA}=P(A)P(&IA)P(AIA&)P(AI4AA)=

1817161512

__X___x__x___—__

2019181719

P{X=D=P{A4*}+P{*4%}+尸悟|耳4工}+P{*44}

218171618217161818216181716232

=——X——X——X-------1--------X—X——X--------1--------X—X—X--------1-------X—X—X——=——

2019181720191817201918172019181795

12323

P{X=2}=1—P{X=0}—P{X=1}=1---------

199595

2.6解：⑴設(shè)X表示4次獨立試驗中A發(fā)生的次數(shù)，則X~B(4,0.4)

P(XN3)=P(X=3)+P(X=4)=(7^0.430.6'+(7,0.440.6°=0.1792

(2)設(shè)Y表示5次獨立試驗中A發(fā)生的次數(shù)，則Y~B(5,0.4)

P(X23)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)=C；0430.62+(j'0.440.6'+(7^0.450.6°=0.31744

2.7(1)X?P(入)=P(O.5X3)=P(1.5)

i5°

P{X=O}=—e_15=e_1-5

0!

(2)X?P(入)=P(0.5X4)=P(2)

1

P{XN2}=l—P{X=0}—P{X=l}=l—R20e-2—〒9e-2=]_3e-2

2.8解：設(shè)應(yīng)配備m名設(shè)備維修人員。又設(shè)發(fā)生故障的設(shè)備數(shù)為X,則乂~3(18Q0.01)。

依題意，設(shè)備發(fā)生故障能及時維修的概率應(yīng)不小于0.99,即P(X〈m)N0.99,也即

P(X>w+l)<0.01

因為n=180較大，p=0.01較小，所以X近似服從參數(shù)為2=180x0.01=1.8的泊松分布。

查泊松分布表，得，當(dāng)m+l=7時上式成立，得m=6。

故應(yīng)至少配備6名設(shè)備維修人員。

2.9解：一個元件使用1500小時失效的概率為

1500

(.15(X)10001000

P(1000<X<1500)=-r-dJx=-----

J1000X

10003

設(shè)5個元件使用1500小時失效的元件數(shù)為Y,則Y~?所求的概率為

P(Y=2)=《(1)2x(|)3=.=0.329

2.10(1)假設(shè)該地區(qū)每天的用電量僅有80萬千瓦時，則該地區(qū)每天供電量不足的概率為:

P{0.8<X<1}=J；12X(1—X)2^=(6X2-Sx3+3/)|[=0.0272

(2)假設(shè)該地區(qū)每天的用電量僅有90萬千瓦時，則該地區(qū)每天供電量不足的概率為：

P{0.9<X<1}=J；12M1-x)2dx=(6x2-8%3+3x4)['§=0.0037

2.11解:要使方程+2&+2K+3=0有實根則使△=(2KJ-4(2K+3)20

解得K的取值范圍為[-8,-1]0[4,+8),又隨機變量K~U(-2,4)則有實根的概率為

[-1-(-2)+4-3]1

P=-------------------------=—

4-(-2)3

2.12解：X~P(A)=P(—)

200

⑴P{X4100}=f-!-e200公=e2002

J。200I。

(.001」-L.v.00上

(2)P{X>300}=f—e200dx=e200=e2

J300200hoo

,3001——---x.300----

(3)P{100<X<300}=I-5-e2^dx=e200=e2-e2

Jloo200hoo

」_1

^{%<100,100<%<300}=^{%<100}^{100<%<300}=(1-/2)(/2_/2)

2.13解：設(shè)每人每次打電話的時間為X,X~￡(0.5),則一個人打電話超過10分鐘的概率為

P(X>10)=0.5e-°&dx=：=e-5

又設(shè)282人中打電話超過10分鐘的人數(shù)為Y,則丫~8(282/5)。

因為“=282較大，p較小，所以V近似服從參數(shù)為4=282x6-71.9的泊松分布。

所求的概率為

P(y>2)=1-P(Y=0)-P(Y=1)

=l-e-l9-1.9e_19=l-2.9e-19=0.56625

2.14解：⑴P(X4105)=①(^^)=①(-0.42)=1-中(0.42)

12

=1-0.6628=0.3372

(2)P(100<X<120)=①(12,；,_①(l00110)

=①(0.83)-①(-0.83)=2①(0.83)—1=2x0.7967-1=0.5934

2.15解：設(shè)車門的最低高度應(yīng)為a厘米，X~N(170,62)

P{X>?}=1-P{X<</}<0.01

P{X<a}=①("77。)>099

a“184厘米

2.19X的可能取值為1,2,3。

。261

因為P(X=l)=T=?=0-6；P(X=3)=，=

C；10C5io

尸(x=2)=1—0.6—0.1=0.3

所以x的分布律為

X123

p0.60.30.1

X的分布函數(shù)為

0x<l

0.6l<x<2

F(x)=-

0.92Ax<3

1x>3

2.20(1)

n

P{y=O}=P{X=]}=0.2

「{丫=12}=P{乂=0}+P{X=7}=0.3+0.4=0.7

p{y=4/}=p{x=卞=0.1

Y02

714萬2

0.20.70.1

%

(2)

P{y=_1}=尸{X=0}+P{X=zr}=0.3+04=0.7

TT3^r

P{y=l}=P{X=￡+P{X=f=02+0.1=0.3

0.70.3

/

2.21(1)

當(dāng)一14x<l時，E(x)=P{X=T}=0.3

當(dāng)14x<2時,尸(x)=P{X=—l}+P{X=l}=0.3+P{X=l}=0.8

P{X=l}=0.8-0.3=0.5

當(dāng)x22時，"尤)=P[X=-1}+P{X=1}+P{X=2}=O.8+P{X=2}=1

P{X=2}=1—0.8=0.2

X-112

P0.30.50.2

(2)

P{y=l}=P{X=-l}+P{X=l}=03+0.5=0.8

P{y=2}=P{X=2}=0.2

Y12

0.80.2

孫

2.22X~N(0,1)fx(x)=-j=e2

兀

(1)設(shè)FY(W，4(y)分別為隨機變量Y的分布函數(shù)和概率密度函數(shù)，則

，4-1)+11X2

%(y)=P{Y<y}=P{2X-1<y}=P{X<寸}=

受1

對弓(y)求關(guān)于y的導(dǎo)數(shù)，得人(y)=$e「亍(芋")'8

-j=eyG(-oo,oo)

(2)設(shè)Fy(y),6(y)分別為隨機變量Y的分布函數(shù)和概率密度函數(shù)，則

x

當(dāng)y40時,FY(y)=P[Y<y}=P{e<y}=P{0}=0

當(dāng)y〉0時，有

81—

X

FY(y)=P{Y<^}=P[e-<^}=P{-XWIny}=P{X>-lny}=匚~^=e^dx

對耳(y)求關(guān)于y的導(dǎo)數(shù)，得

1i_(Wy>0

e2(-iny)r=-==-e2

fY(y)='而<2冗y

oy<0

(3)設(shè)Fy(y),人(y)分別為隨機變量Y的分布函數(shù)和概率密度函數(shù)，則

2

當(dāng)y40時，F(xiàn)Y{y}=P{Y<y}=P{X<y}=P{<Z)}=Q

當(dāng)yX)時，F(xiàn)(y)=P{Y<y}=P{X2<y}=P[-^<X<2

y6H金edx

對K(y)求關(guān)于y的導(dǎo)數(shù)，得

Lb廠丫_L邛(廠丫，-孚y>°

加y)=厲，(6)一詬e3一傳e

y<I

0

10<X<7T

2.23VXU(0,7T)fx(X)=<7i

0其它

(1)

當(dāng)21n;r<y<8時

2

FY{y}=P{Y<y}=P{2}nX<y}=P[\nX<y}=P{0}=Q

當(dāng)一8<y<

y

22v

FY(y)=P{Y<y}=P{21nX<y}=P{lnX<y}=P{X<e}=P{X<1^-dx

Jo7c

1Z]Z-0021FT

對耳(y)求關(guān)于y的導(dǎo)數(shù)，得到人(y)=?G(e2)'=五"

021FT<y<oo

(2)

當(dāng)yNl或yWT時,FY(y)=P{7<y}=P{cosX<y}=P{0)=0

當(dāng)—l<y<l時，4(y)=P{y4y}=P{cosX4y}=P{X2arccosy}=「-dx

Jarccosy冗

對耳(y)求關(guān)于y的導(dǎo)數(shù)，得到

1、，1-1<y<1

----(azrccosy)=——//

=t71

fY(y)兀戊-丫?

0其它

(3)當(dāng)yNl或yW(^K(y)=P{yQy}=P{sinX4y}=P{0}=O

當(dāng)0<y<l口寸，

4(y)=P{YWy}=P{sinX<y}=P{0<X<arcsiny}+P{萬一arcsiny<X</r]

(?arcsiny1pr1

=I—cix+I—dx

J。4J^-arcsiny冗

對耳(y)求關(guān)于y的導(dǎo)數(shù)，得到

1120<y<l

—arcsiny--(〃一arcsiny)=——{—.

/y(y)={771萬J]一/

o其它

第三章隨機向量

3

3.1P{1<X<2,3<Y<5}=F(2,5)+F(1,3)-F(1,5)—F(2,3)=——

128

3.2

9

(3)

P{(X,y)e0=J；辦,J；[(6一x—y)dx=北[(6一y)x一#『辦

=—[(—j2-6y+5—)J)'=—(—y3-3y2+5—y)|'=—x—=—

9Jo2'2'96'2-lo9327

3.5解：（1）

F(x,y)=[：]；2八2"+%〃小=2e&dM=(—e-飛)(—*2飛)=(1—e-')(l

p(y4x)=jj;2e-3+”dxdy=^2e-2'dx[\-'dy=^2e2x(-ey\l)dx

=￡2e小(1-)dx=J；(2e-2x-2e-3x)dx=(—e/'?+ge-3'=1

1

3.6解：P(x2+y2<?2)

Wl+f+V)FE=『Jo呵J"O7r(l+r2)2

二『犯舟亍〃(")=-92收擊|：=1—1_a2

\+<rX+a1

3.7參見課本后面P227的答案

3.8%(x)=￡f(x,y)dy=￡|xy2辦=x拳：=鼻

力(y)=Q(x，y)dx=[：|x)5=##|：=3y2

0<x<2

x3/0<y<1

5

/x(%)=p,/r(y)=<

0其它

。其它

3.9解：X的邊緣概率密度函數(shù)fx(x)為:

①當(dāng)x>l或x<0時，/(x,y)=o,

4(y)=J：4.8)，(2-》心=4.8乂2》-92][=48汨；_2)，+:/]

?'L、LL

fx(x)=0y>1或y<0

0<y<l

A(x)=J；4.8y(2—x)dy=2.4/(2—磯；=2Ax\2-x)

②當(dāng)0VxM1時(x)=Jo4.8y(2—x)dy-2.4y2(2—x)|()=2.4%2(2—x)

Y的邊緣概率密度函數(shù)萬(y)為:

①當(dāng)y>l或y<0時，/(x,y)=O,啟y)=0

②當(dāng)OWyWl時，力(y)=J：4.8y(2—尤)公=4.8乂2x-gx2][=4.8Mlg-2y+gy2]

=2.4y(3_4y+y?)

3.10(1)參見課本后面P227的答案

6dy0<x<l_j6x(l-x)0<x<1

⑵/(x)=Jx~

X其它一其它

0

,t-

6dx0<y<l=J6(77-y)0<y<l

fy(y)=ry其它一［。其它

3.11參見課本后面P228的答案

3.12參見課本后面P228的答案

3.13(1)

20<x<l20<x<1

d---X

fx?=J。3耕3

0其它0其它

0<y<21y0<y<2

-----1------

36

其它0其它

對于04yW2時，4(y)>0,

6x2+3]八]

0<x<l----------"0<x<l

2+〉

所以人⑴所管；

i"《

-+z

36

0其它、。其它

對于OWxKl時，fx(x)>0

3x+y

f+生0<y<20<y<2

6x+2

所以狐3T:A3

—<

2X2+—

3

其它其它

00

一

111i3x-+yi3x-+y7

“zz6X-+2

2

3.14

025X的邊緣分布

10.150.250.350.75

30.050.180.020.25

Y的邊緣分布0.20.430.371

由表格可知P{X=l;Y=2}=0.25WP{X=l}P{Y=2}=0.3225

故P{X=X,；y=y,}NP{x=x,^Y=y}

所以X與Y不獨立

3.15

123X的邊緣分布

11￡1]_

69183

2ab1

—+a+b

33

Y的邊緣分布J_111

a+—b+—

2918

由獨立的條件p{X=x；y=y}=P{X=x,}P{y=y,}則

P{X=2；y=2}=P{X=2}P{Y=2}

P{X=2；y=3}=P{X=2}P{y=3}

AP{X=，}=1

可以列出方程

(；+〃++a)=a

(1+份(?+。+，)="

lo3

-+-+a+h^].

33

a>0,b>0

21

解得一/)

99

X0<x<2

3/0<y<l

3.16解(1)在3.8中人(x)=<24(y)=<

0其它

0其它

3

當(dāng)04x42，OWyWl時，人*加工=-xj

當(dāng)x〉2或x<()時，當(dāng)y>l或y<0時，/x(x)%(y)=O=/(x，y)

所以，X與Y之間相互獨立。

2.4X2(2-X)0<X<1

(2)在3.9中,fx(x)=<

0其它

2.4y(3-4y+y2)0<y<l

人(y)=<

0其它

當(dāng)OKx<l,OWyWl時,

22

fx(x)fY(y)=2.4x(2-x)2.4X3-4y+/)=5.76x(2-x)X3-4y+/)

工/（乂?。?，所以X與Y之間不相互獨立。

3.17W：

Xx

f。）=匚/。，力辦=『Xe-^-^dy=xe

]

/P=￡>■月力=J；xe'益J-(1^

'帚=f(x,y)

故X與Y相互獨立

3.18參見課本后面P228的答案

第四章數(shù)字特征

4.1解：E(X)=￡xiPj=l

E（y）=Zy，p，=0-9

i

?.?甲機床生產(chǎn)的零件次品數(shù)多于乙機床生產(chǎn)的零件次品數(shù)，又?.?兩臺機床的總的產(chǎn)量相同

...乙機床生產(chǎn)的零件的質(zhì)量較好。

4.2解：X的所有可能取值為：3,4,5

P{X=3}==0.1

a

r~

P{X=4}=W=0.3

c；

r2

尸{X=5}=V=0.6

C5

E(X)=￡XR=3X0.1+4X03+5X0.6=4.5

i

4.3參見課本230頁參考答案

4.4解：

P{X=n}=p(\-p)n-',〃=1,2,3......

七⑻2"也吃.一”二百看4

4.6參考課本230頁參考答案

4.7解：設(shè)途中遇到紅燈次數(shù)為X,則乂~8(3,04)

￡(X)="〃=4x0.3=1.2

4.8解

+□0

E(X)=Jf(x)xdx

—00

150023000[

=fX"x+f-----------7(x-300QxJ.

i1500-烹150(y

=500+1000

=1500

4.9參見課本后面230頁參考答案

4.10參見課本后面231頁參考答案

0

4.11解:設(shè)均值為〃，方差為0■，則X~N(〃，0?)根據(jù)題意有：

產(chǎn)(X〉96)=l—P(X<96)

=1一尸(曰<生馬

(J<7

=1一①⑺

=2.3%

①⑺=0.997,解得t=2即cr=12

所以成績在60到84的概率為

P(60<X<84)=<^21)

12(J12

=<D(1獨(-1

=20(1)1

=2x0.84412

=0.68：

4.12E(X2)=Ox0.4+12x0.3+22xO.2+32xO.l=2

E(5X2+4)=4x0.4+(5xl2+4)x0.3+(5x22+4)x0.2+(5x32+4)x0.1=14

￡(y)=E(2X)=「Ixe-Xdx=2「“(—"*)=2[-xe~s\C+Ve-xdx\

4.13解：J°J°°J°

=2(-叫：=2

E(y)=E(e-2X)=^e-2xe-xdx=J%-3'dr=1工=|

4成3

4.14M：V

"T-

1

a<x<I

設(shè)球的直徑為X,則：二

其它

0

4.15參看課本后面231頁答案

4.16解:

fx（幻=「/（X，y）d尸￡12y7y=4x

f（y）=「/（x,?。┓?f12ydx=12y-12y

*/yJ—ooJy?/JJ

E（x）=>Cf⑶?時=J；4x〃=5

E（y）=["、⑴,必1=f12yli2ydy=|

E（XK）=jj/（x,y）xydxdy=^12xydxdy=^12xydydx=—

0<y<x<l0<y<x<l°

E（xb=「/a）.V公=￡4x%=|

[）（y>y=￡12y-\2ydy=|

222216

E（X+y）=￡（x）+E（y）=^

4.17解

：X與Y相互獨立,

E(XY)=E(X)E(y)=￡xlxdx^ye5r辦=(|x3|'yd(-e5-y)

=|x(—ye、-'[+[e5->dy)=；x[5+(-e5-v)|j=|x(5+l)=4

3)，53,3

4.18,4.19,4.20參看課本后面231,232頁答案

4.21設(shè)X表示10顆骰子出現(xiàn)的點數(shù)之和，X,(Z=l,2,10)表示第，顆骰子出現(xiàn)的點數(shù),

10

則*=2乂；，且X，X2，x”,是

/=|

獨立同分布的，XE(X,)=lx-+2xl++6x1=—

6666

ioi