專題19 絕對值的化簡與最值問題 專項(xiàng)講練-2024年小升初數(shù)學(xué)無憂銜接 （解析版）

第第頁專題19絕對值的化簡與最值問題專項(xiàng)講練1.最值問題一直都是初中數(shù)學(xué)中的最難點(diǎn)，但也是高分的必須突破點(diǎn)，需要牢記絕對值中的最值情況規(guī)律，解題時能達(dá)到事半功倍的效果。2.絕對值化簡分為已知范圍的絕對值化簡與無范圍的絕對值化簡兩類，屬于重難點(diǎn)題型，考卷中會經(jīng)常出現(xiàn)它的身影，且易錯，屬于必掌握類型。1.目的是在數(shù)軸上找一點(diǎn)x，使x到a和b的距離和的最小值：分類情況（的取值范圍）圖示取值情況當(dāng)時無法確定當(dāng)時的值為定值，即為當(dāng)無法確定結(jié)論：式子在時，取得最小值為。2.目的是在數(shù)軸上找一點(diǎn)x，使x到a和b的距離差的最大值和最小值：分類情況（的取值范圍）圖示取值情況當(dāng)時的值為定值，即為—當(dāng)時當(dāng)?shù)闹禐槎ㄖ?，即為結(jié)論：式子在時，取得最小值為；在時，取得最大值。3.最小值規(guī)律：①當(dāng)兩個絕對值相加：若已知，的最小值為，且數(shù)的點(diǎn)在數(shù)，的點(diǎn)的中間；②當(dāng)三個絕對值相加：若已知，的最小值為，且此時=；③當(dāng)有（奇數(shù)）個絕對值相加：且，則取中間數(shù)，即時，取得最小值；④當(dāng)有（偶數(shù)）個絕對值相加：，且，則取中間段，即當(dāng)時，取得最小值為：。4.絕對值的性質(zhì)：①正數(shù)的絕對值是它本身，即；②0的絕對值是0，即；③負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，即；④絕對值具有非負(fù)性，即。5.已知范圍的絕對值化簡步驟：①判斷絕對值符號里式子的正負(fù)；兩數(shù)相減：大的數(shù)－小的數(shù)＞0，轉(zhuǎn)化到數(shù)軸上：右－左＞0；小的數(shù)－大的數(shù)＜0，轉(zhuǎn)化到數(shù)軸上：左－右＜0.兩數(shù)相加：正數(shù)＋正數(shù)＞0，化到數(shù)軸上：原點(diǎn)右側(cè)兩數(shù)相加＞0；負(fù)數(shù)＋負(fù)數(shù)＜，化到數(shù)軸上：原點(diǎn)左側(cè)兩數(shù)相加＜0；正數(shù)＋負(fù)數(shù)：取絕對值較大數(shù)的符號，轉(zhuǎn)化到數(shù)軸上：原點(diǎn)兩側(cè)兩數(shù)相加，取離原點(diǎn)遠(yuǎn)的符號.②將絕對值符號改為小括號：若正數(shù)，絕對值前的正負(fù)號不變（即本身）；若負(fù)數(shù)，絕對值前的正負(fù)號改變（即相反數(shù)）.③去括號：括號前是“＋”，去括號，括號內(nèi)不變；括號前是“－”，去括號，括號內(nèi)各項(xiàng)要變號.④化簡（合并同類項(xiàng)）.考點(diǎn)1、兩個絕對值的和的最值例1．（2022秋·江蘇·七年級期中）我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚說過“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微”，數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題的重要思想方法．例如，代數(shù)式的幾何意義是數(shù)軸上x所對應(yīng)的點(diǎn)與2所對應(yīng)的點(diǎn)之間的距離：因?yàn)?，所以的幾何意義就是數(shù)軸上x所對應(yīng)的點(diǎn)與－1所對應(yīng)的點(diǎn)之間的距離．（?。┌l(fā)現(xiàn)問題：代數(shù)式的最小值是多少？（ⅱ）探究問題：如圖，點(diǎn)A、B、P分別表示數(shù)－1、2、x，AB＝3∵的幾何意義是線段PA與PB的長度之和，∴當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時，PA＋PB＝3，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A的左側(cè)或點(diǎn)B的右側(cè)時，PA＋PB＞3∴的最小值是3請你根據(jù)上述自學(xué)材料，探究解決下列問題：(1)的最小值是______；(2)利用上述思想方法解不等式：；(3)當(dāng)a為何值時，代數(shù)式的最小值是2【答案】(1)5(2)或(3)-2或-6【分析】（1）把原式轉(zhuǎn)化看作是數(shù)軸上表示x的點(diǎn)與表示3與-2的點(diǎn)之間的距離最小值，進(jìn)而問題可求解；（2）根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，然后根據(jù)數(shù)軸可直接進(jìn)行求解；（3）根據(jù)原式的最小值為2，得到表示4的點(diǎn)的左邊和右邊，且到4距離為2的點(diǎn)即可．【詳解】（1）解：，表示到與到的距離之和，當(dāng)點(diǎn)在線段上，，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)或點(diǎn)的右側(cè)時，，的最小值是5；（2）解：如圖所示，滿足，表示到和1距離之和大于4的范圍，當(dāng)點(diǎn)在和1之間時，距離之和為4，不滿足題意；當(dāng)點(diǎn)在的左邊或1的右邊時，距離之和大于4，則范圍為或；（3）解：當(dāng)為或時，代數(shù)式為或，數(shù)軸上表示數(shù)2的點(diǎn)到表示數(shù)4的點(diǎn)的距離為，數(shù)軸上表示數(shù)6的點(diǎn)到表示數(shù)4的點(diǎn)的距離也為，因此當(dāng)為或時，原式的最小值是．【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)軸上的動點(diǎn)問題及數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離，熟練掌握數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離問題是解題的關(guān)鍵．變式1．（2022秋·浙江·七年級專題練習(xí)）的最小值為_________；此時取值范圍是_________．【答案】6【分析】根據(jù)x的不同取值去絕對值計(jì)算即可；【詳解】當(dāng)時，，∵，∴；當(dāng)時，；當(dāng)時，，∵，∴；綜上所述：的最小值為6，此時取值范圍為．故答案是：6；．【點(diǎn)睛】本題主要考查了絕對值的應(yīng)用，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．變式2．（2022秋·浙江·七年級專題練習(xí)）閱讀下面的材料：點(diǎn)A、B在數(shù)軸上分別表示實(shí)數(shù)a、b，A、B兩點(diǎn)之間的距離表示為∣AB∣，當(dāng)A、B兩點(diǎn)中有一點(diǎn)在原點(diǎn)時，不妨設(shè)點(diǎn)A在原點(diǎn)，如圖1，∣AB∣＝∣OB∣=∣b∣=∣a-b∣；當(dāng)A、B兩點(diǎn)都不在原點(diǎn)時：①如圖2，點(diǎn)A、B都在原點(diǎn)的右邊：∣AB∣=∣OB∣-∣OA∣=∣b∣-∣a∣=b-a=∣a-b∣；②如圖3，點(diǎn)A、B都在原點(diǎn)的左邊：∣AB∣=∣OB∣-∣OA∣=∣b∣-∣a∣=-b-（-a）=∣a-b∣；③如圖4，點(diǎn)A、B在原點(diǎn)的兩邊：∣AB∣=∣OA∣+∣OB∣=∣a∣+∣b∣=a+（-b）=∣a-b∣，綜上，數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)之間的距離∣AB∣=∣a-b∣．回答下列問題：(1)數(shù)軸上表示2和5的兩點(diǎn)之間的距離是_________，數(shù)軸上表示-2和-5的兩點(diǎn)之間的距離是________，數(shù)軸上表示1和-3的兩點(diǎn)之間的距離是___________；(2)數(shù)軸上表示x和-1的兩點(diǎn)A和B之間的距離是________，如果∣AB∣=2，那么x為__________．(3)當(dāng)代數(shù)式∣x+1∣+∣x-2∣取最小值時，相應(yīng)的x的取值范圍是__________．【答案】(1)3，3，4(2)，1或-3(3)【分析】（1）根據(jù)材料提供的方法進(jìn)行計(jì)算數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離，緊緊抓住在數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)之間的距離∣AB∣=∣a-b∣解題即可．（2）根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離得到，然后根據(jù)絕對值的意義求出x的值．（3）把原題看成點(diǎn)x到點(diǎn)-1和點(diǎn)2的距離之和，即可得到答案．【詳解】（1）解：數(shù)軸上表示2和5的兩點(diǎn)之間的距離為，數(shù)軸上表示-2和-5的兩點(diǎn)之間的距離為，數(shù)軸上表示1和-3的兩點(diǎn)之間的距離為；故答案為：3，3，4；（2）解：數(shù)軸上表示x和-1的兩點(diǎn)A和B之間的距離是，根據(jù)題意得，即，所以x=1或-3，故答案為，1或-3；（3）解：代數(shù)式∣x+1∣+∣x-2∣可以看成x到-1和2的距離和，只有在-1和2之間才會有最小距離3，所以x的取值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離以及絕對值，重點(diǎn)是讀懂題干的兩點(diǎn)間的距離以及絕對值的意義是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)2、兩個絕對值的差的最值例1．（2022秋·重慶·七年級期末）數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做數(shù)a的絕對值，記作．?dāng)?shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與表示數(shù)b的點(diǎn)的距離記作，如表示數(shù)軸上表示數(shù)3的點(diǎn)與表示數(shù)5的點(diǎn)的距離，表示數(shù)軸上表示數(shù)3的點(diǎn)與表示數(shù)－5的點(diǎn)的距離，表示數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與表示數(shù)3的點(diǎn)的距離．根據(jù)以上材料回答下列問題：（將結(jié)果直接填寫在答題卡相應(yīng)位置，不寫過程）（1）若，則_______，若，則_______；（2）若，則x能取到的最小值是_______；最大值是_______；（3）若，則x能取到的最大值是_______；（4）關(guān)于x的式子的取值范圍是_______．【答案】（1）0，1；（2）-1，3；（3）-1；（4）大于或等于3【分析】（1）根據(jù)絕對值表示的意義和中點(diǎn)計(jì)算方法得出答案；（2）|x-3|+|x+1|=4表示的意義，得到x的取值范圍，進(jìn)而得到最大值和最小值；（3）若|x-3|-|x+1|=4，所表示的意義，確定x的取值范圍，進(jìn)而求出最大值；（4）根據(jù)|x-2|+|x+1|的意義，求出|x-2|+|x+1|的最小值為3，從而確定取值范圍．【詳解】解：（1）|x-2|=|x+2|表示數(shù)軸上表示x的點(diǎn)到表示2和-2的距離相等，因此到2和-2距離相等的點(diǎn)表示的數(shù)為，|x-3|=|x+1|表示數(shù)軸上表示x的點(diǎn)到表示3和-1的距離相等，因此到3和-1距離相等的點(diǎn)表示的數(shù)為=1，故答案為：0，1；（2）|x-3|+|x+1|=4表示的意義是數(shù)軸上表示x的點(diǎn)到表示3和-1兩點(diǎn)的距離之和為4，可得-1≤x≤3，因此x的最大值為3，最小值為-1；故答案為：-1，3；（3）|x-3|-|x+1|=4表示的意義是數(shù)軸上表示數(shù)x的點(diǎn)與表示數(shù)3的點(diǎn)距離比它到表示-1的點(diǎn)的距離大4，根據(jù)數(shù)軸直觀可得，x≤-1，即x的最大值為-1，故答案為：-1；（4）式子|x-2|+|x+1|表示的意義是數(shù)軸上表示x的點(diǎn)到表示2和-1兩點(diǎn)的距離之和，由數(shù)軸直觀可得，|x-2|+|x+1|最小值為3，因此|x-2|+|x+1|≥3，故答案為：大于或等于3．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)軸表示數(shù)的意義，理解絕對值的意義和兩點(diǎn)距離的計(jì)算方法是正確解答的關(guān)鍵．變式1．（2022·上海七年級期中）代數(shù)式，當(dāng)時，可化簡為______；若代數(shù)式的最大值為與最小值為，則的值______．【答案】

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-9【分析】當(dāng)時，可得x-1＜0，x+2＜0，利用絕對值的性質(zhì)即可化簡，分別化簡當(dāng)時以及當(dāng)x＞1時，根據(jù)當(dāng)時，，求出a，b即可．【詳解】解：當(dāng)時，x-1＜0，x+2＜0，∴，當(dāng)時，，當(dāng)x＞1時，∵當(dāng)時，，∴代數(shù)式的最大值為3，最小值為-3，∴a=3，b=-3，∴ab=-9，故答案為：3，-9．【點(diǎn)睛】本題主要考查了絕對值的化簡，解題的關(guān)鍵是對x進(jìn)行分類討論，再化簡代數(shù)式．變式2．（2022秋·山東青島·七年級?？茧A段練習(xí)）我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚說過“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微”，數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題的重要思想方法．我們知道的幾何意義是在數(shù)軸上數(shù)x對應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，也就是說表示在數(shù)軸上數(shù)x與數(shù)0對應(yīng)點(diǎn)之間的距離．提出問題：有理數(shù)a，b在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)分別記為點(diǎn)A和點(diǎn)B，AB兩點(diǎn)之間的距離記為，那么與有理數(shù)a，b有怎樣的關(guān)系？探究問題：探究一：如果A，B兩點(diǎn)中有一點(diǎn)在原點(diǎn)，不妨假設(shè)A點(diǎn)在原點(diǎn)，即a＝0．當(dāng)b＝2時，，如圖1所示；當(dāng)b＝－3時，，如圖2所示；由此可以推斷當(dāng)b＝n時，______．探究二：如果A，B兩點(diǎn)都不在原點(diǎn)，即，．（1）當(dāng)A，B兩點(diǎn)都在原點(diǎn)的右側(cè)時，如圖3所示：；（2）當(dāng)A，B兩點(diǎn)都在原點(diǎn)的左側(cè)時，如圖4所示：；（3）當(dāng)A，B兩點(diǎn)在原點(diǎn)的兩側(cè)時，如圖5所示，請你仿照上述探究過程，寫出A，B兩點(diǎn)之間的距離______．解決問題：有理數(shù)a，b在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)分別記為點(diǎn)A和點(diǎn)B，AB兩點(diǎn)之間的距離記為，那么______．（用含有a，b的式子表示）實(shí)際應(yīng)用：（1）數(shù)軸上，表示有理數(shù)－6和－1的兩點(diǎn)之間的距離是______；（2）數(shù)軸上，表示x和2的兩點(diǎn)P和Q之間的距離是5，則x＝______．拓展延伸：結(jié)合數(shù)軸回答下列問題：（1）的最小值是_____；（2）的最大值是______．【答案】探究一：n；探究二（2）；（3）；解決問題：；實(shí)際應(yīng)用（1）5；（2）7或；拓展延伸（1）4；（2）9【分析】探究一：根據(jù)絕對值的概念可得；探究二（2）根據(jù)絕對值的概念計(jì)算即可；（3）根據(jù)絕對值的概念計(jì)算即可；解決問題：根據(jù)絕對值的概念計(jì)算即可；實(shí)際應(yīng)用（1）根據(jù)絕對值的概念計(jì)算即可；（2）根據(jù)絕對值的概念列方程解答即可；拓展延伸（1）根據(jù)絕對值的概念計(jì)算即可；（2）根據(jù)絕對值的概念計(jì)算即可．【詳解】探究一：當(dāng)b＝n時，，故答案為：n；探究二：（2），故答案為：；（3），故答案為：；解決問題：，故答案為：；實(shí)際應(yīng)用（1）有理數(shù)－6和－1的兩點(diǎn)之間的距離是，故答案為：5；（2）∵表示x和2的兩點(diǎn)P和Q之間的距離是5，∴，∴或，得或，故答案為：7或；拓展延伸（1）從數(shù)軸上可以看出，當(dāng)x位于到1之間時它們的距離和最小，最小值為4，∴的最小值是4，故答案為：4；（2）從數(shù)軸上可以看出，當(dāng)x位于到5之間時它們的距離差最大，最大值為9，∴的最大值是9，故答案為：9．【點(diǎn)睛】此題考查了絕對值概念的理解，解題的關(guān)鍵是要注意負(fù)數(shù)絕對值的計(jì)算方法．考點(diǎn)3、多個絕對值的和的最值例1．（2022秋·浙江·七年級校聯(lián)考階段練習(xí)）我們知道，|a|可以理解為|a﹣0|，它表示：數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，這是絕對值的幾何意義．進(jìn)一步地，數(shù)軸上的兩個點(diǎn)A，B，分別用數(shù)a，b表示，那么A，B兩點(diǎn)之間的距離為AB＝|a﹣b|，反過來，式子|a﹣b|的幾何意義是：數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)和表示數(shù)b的點(diǎn)之間的距離．利用此結(jié)論，回答以下問題：（一）數(shù)軸上表示數(shù)的點(diǎn)和表示數(shù)3的點(diǎn)之間的距離是．（二）數(shù)軸上點(diǎn)A用數(shù)a表示，（1）若|a﹣3|＝5，那么a的值是．（2）當(dāng)|a+2|+|a﹣3|＝5時，這樣的整數(shù)a有個．（3）|a﹣3|+|a+2022|最小值是．（4）3|a﹣3|+|a+2022|+|a+3|最小值是．（5）|3a+3|+|a+4|+|4a-8|最小值是．【答案】（一）11；（二）（1）8或；（2）6；（3）2025；（4）2031；（5）15．【分析】（一）根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離公式求解可得；（二）（1）利用絕對值的意義知，然后分別求解可得；（2）的幾何意義是表示數(shù)軸上到表示和表示3的點(diǎn)的距離之和是5的點(diǎn)的坐標(biāo)，據(jù)此可得；（3）表示數(shù)軸上到表示3與表示的點(diǎn)距離之和，求其最小值即可；（4）表示數(shù)軸上到表示，，3，3，3的點(diǎn)的距離的和，根據(jù)兩點(diǎn)間線段最短和絕對值的幾何意義可知，當(dāng)a取最中間（或兩個）數(shù)時即當(dāng)時值最小，然后去掉絕對值符號計(jì)算求解；（5）表示數(shù)軸上到表示，，，，2，2，2，2的點(diǎn)的距離的和，當(dāng)或時值最小，然后去絕對值求解即可．【詳解】（一）解：數(shù)軸上表示數(shù)-8的點(diǎn)和表示數(shù)3的點(diǎn)之間的距離是=11；故答案為：11．（二）（1）解：，，或，故答案為8或．（2）解：的意義是表示數(shù)軸上到表示和表示3的點(diǎn)的距離之和是5的點(diǎn)的坐標(biāo)，，是整數(shù)，共6個；故答案為：6．（3）解：表示數(shù)軸上到表示3與表示的點(diǎn)距離之和，當(dāng)時，有最小值，最小值為：=2025；故答案為：2025．（4）解：表示數(shù)軸上到表示，，3，3，3的點(diǎn)的距離的和，當(dāng)時，取最小值，即最小值==2025+6=2031，故答案為：2031．（5）解：表示數(shù)軸上到表示，，，，2，2，2，2的點(diǎn)的距離的和，當(dāng)時有最小值，即最小值==15，故答案為：15．【點(diǎn)睛】此題考查絕對值的性質(zhì)，熟練掌握絕對值的意義和性質(zhì)，逐步探索變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．變式1．（2022秋·全國·七年級專題練習(xí)）【問題提出】的最小值是多少？【閱讀理解】為了解決這個問題，我們先從最簡單的情況入手．的幾何意義是這個數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，那么可以看作這個數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)到1的距離；就可以看作這個數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)到1和2兩個點(diǎn)的距離之和，下面我們結(jié)合數(shù)軸研究的最小值．我們先看表示的點(diǎn)可能的3種情況，如圖所示：如圖①，在1的左邊，從圖中很明顯可以看出到1和2的距離之和大于1．如圖②，在1，2之間（包括在1，2上），可以看出到1和2的距離之和等于1．如圖③，在2的右邊，從圖中很明顯可以看出到1和2的距離之和大于1.因此，我們可以得出結(jié)論：當(dāng)在1，2之間（包括在1，2上）時，有最小值1．【問題解決】(1)的幾何意義是，請你結(jié)合數(shù)軸研究：的最小值是；(2)請你結(jié)合圖④探究的最小值是，由此可以得出a為；(3)的最小值是；(4)的最小值為；(5)如圖⑤，已知a使到-1，2的距離之和小于4，請直接寫出a的取值范圍是．【答案】(1)a在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)到4和7兩個點(diǎn)的距離之和；3(2)2；2(3)6(4)1021110(5)【分析】（1）由的幾何意義以及有最小值1即可直接求得結(jié)果；（2）當(dāng)a取中間值即a＝2時，求得最小值；（3）由題意可得出，取中間數(shù)即a=3時，絕對值最??；（4）由題意可得出，取中間值a＝1011時，求得最小值；（5）由已知得：，解出絕對值不等式即為a的取值范圍．【詳解】（1）由題可知，的幾何意義是a這個數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)點(diǎn)到4和7兩個點(diǎn)的距離之和當(dāng)a在4和7之間時（包括4，7上），a到4和7的距離之和等于3，此時取得最小值是3故答案為：a在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)到3和6兩個點(diǎn)的距離之和；3（2）當(dāng)a取中間數(shù)2時，絕對值最小的最小值是1＋0＋1＝2故答案為：2；2（3）當(dāng)a取最中間數(shù)時，絕對值最小的最小值是；（4）當(dāng)a取中間數(shù)1011時，絕對值最小，的最小值為：故答案為：1021110（5）a使它到－1，2的距離之和小于4①當(dāng)時，則有解得：；②當(dāng)時，則有③當(dāng)時，則有解得：綜上，a的取值范圍為：故答案為：【點(diǎn)睛】此題主要考查了絕對值的性質(zhì)，解這類問題的基本步驟是：求零點(diǎn)、分區(qū)間、定性質(zhì)、去符號，即令各絕對值代數(shù)式為0，得若干個絕對值為零的點(diǎn)，這些點(diǎn)把數(shù)軸分成幾個區(qū)間，再在各區(qū)間內(nèi)化簡求值即可．變式2．（2022秋·浙江寧波·七年級?？计谥校?shù)軸是初中數(shù)學(xué)的一個重要工具，利用數(shù)軸可以將數(shù)與形完美結(jié)合．通過研究數(shù)軸，我們發(fā)現(xiàn)了許多重要的規(guī)律，比如：數(shù)軸上點(diǎn)A和點(diǎn)B表示的數(shù)為a，b，則A，B兩點(diǎn)之間的距離，若，則可化簡為．請你利用數(shù)軸解決以下問題：(1)已知點(diǎn)P為數(shù)軸上任一動點(diǎn)，點(diǎn)P對應(yīng)的數(shù)記為m，若點(diǎn)P與表示有理數(shù)－2的點(diǎn)的距離是3個單位長度，則m的值為______；(2)已知點(diǎn)P為數(shù)軸上任一動點(diǎn)，點(diǎn)P對應(yīng)的數(shù)記為m，若數(shù)軸上點(diǎn)P位于表示﹣5的點(diǎn)與表示2的點(diǎn)之間，則______；(3)已知點(diǎn)A，B，C，D在數(shù)軸上分別表示數(shù)a，b，c，d，四個點(diǎn)在數(shù)軸上的位置如圖所示，若，則等于______．(4)若，則式子的最小值為_______．【答案】(1)1或﹣5(2)7(3)4(4)54【分析】（1）由題意可知，，再接方程即可；（2）由點(diǎn)P位于表示﹣5的點(diǎn)與表示2的點(diǎn)之間，得到表示點(diǎn)P到2和﹣5的距離和，由，即可得到答案；（3）由題意得到，，則，即可得到答案；（4）由題意可得，根據(jù)絕對值的幾何意義，相當(dāng)于找一點(diǎn)，使得這個點(diǎn)到，1，﹣4，9，﹣16，25距離和最小，即可得到答案．【詳解】（1）解：∵點(diǎn)P與表示有理數(shù)﹣2的點(diǎn)的距離是3個單位長度，∴，∴或，解得或，故答案為：1或﹣5；（2）∵點(diǎn)P位于表示﹣5的點(diǎn)與表示2的點(diǎn)之間，∴表示點(diǎn)P到2和﹣5的距離和，∵，∴，故答案為：7；（3）∵，，∴，故答案為：4（4）∵，∴，根據(jù)絕對值的幾何意義，相當(dāng)于找一點(diǎn)，使得這個點(diǎn)到，1，﹣4，9，﹣16，25距離和最小，只能取，當(dāng)時，有最小值，此時原式＝＝54，故答案為：54．【點(diǎn)睛】此題考查了數(shù)軸，熟練掌握數(shù)軸上點(diǎn)的特征，兩點(diǎn)間距離的求法，絕對值的意義是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)4、絕對值的最值的其他應(yīng)用例1．（2023·重慶沙坪壩·重慶一中?？家荒＃┰诙囗?xiàng)式中，除首尾項(xiàng)a、外，其余各項(xiàng)都可閃退，閃退項(xiàng)的前面部分和其后面部分都加上絕對值，并用減號連接，則稱此為“閃減操作”．每種“閃減操作”可以閃退的項(xiàng)數(shù)分別為一項(xiàng)，兩項(xiàng)，三項(xiàng)．“閃減操作”只針對多項(xiàng)式進(jìn)行．例如：“閃減操作”為，與同時“閃減操作”為，…，下列說法：①存在對兩種不同的“閃減操作”后的式子作差，結(jié)果不含與e相關(guān)的項(xiàng)；②若每種操作只閃退一項(xiàng)，則對三種不同“閃減操作”的結(jié)果進(jìn)行去絕對值，共有8種不同的結(jié)果；③若可以閃退的三項(xiàng)，，滿足：，則的最小值為．其中正確的個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】①根據(jù)“閃減操作”的定義，舉出符合條件的式子進(jìn)行驗(yàn)證即可；②先根據(jù)“閃減操作”的定義進(jìn)行運(yùn)算，再分類討論去絕對值，即可判斷；③根據(jù)“閃減操作”的定義和絕對值的幾何意義，求出，，的最小值，即可得出結(jié)論．【詳解】①“閃減操作”后的式子為，“閃減操作”后的式子為，對這兩個式子作差，得：，結(jié)果不含與e相關(guān)的項(xiàng)，故①正確；②若每種操作只閃退一項(xiàng)，共有三種不同“閃減操作”：“閃減操作”結(jié)果為，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，“閃減操作”結(jié)果為，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，“閃減操作”結(jié)果為，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，共有12種不同的結(jié)果，故②錯誤；③∵，在數(shù)軸上表示點(diǎn)與和的距離之和，∴當(dāng)距離取最小值時，的最小值為，同理：，在數(shù)軸上表示點(diǎn)與和的距離之和，∴當(dāng)距離取最小值時，的最小值為，，在數(shù)軸上表示點(diǎn)與和的距離之和，∴當(dāng)距離取最小值時，的最小值為，∴當(dāng)，，都取最小值時，，此時，的最小值為，故③正確；故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了新定義運(yùn)算，絕對值的幾何意義，熟練掌握絕對值的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．變式1．（2022秋·湖南郴州·七年級校聯(lián)考期末）對于有理數(shù)，，，，若，則稱和關(guān)于的“美好關(guān)聯(lián)數(shù)”為，例如，則，則2和3關(guān)于1的“美好關(guān)聯(lián)數(shù)”為3．(1)和5關(guān)于2的“美好關(guān)聯(lián)數(shù)”為______；(2)若和2關(guān)于3的“美好關(guān)聯(lián)數(shù)”為4，求的值；(3)若和關(guān)于1的“美好關(guān)聯(lián)數(shù)”為1，和關(guān)于2的“美好關(guān)聯(lián)數(shù)”為1，和關(guān)于3的“美好關(guān)聯(lián)數(shù)”為1，…，和的“美好關(guān)聯(lián)數(shù)”為1，…．①的最小值為______；②的值為______．【答案】(1)8(2)或；(3)①1；②840【分析】（1）認(rèn)真讀懂題意，利用新定義計(jì)算即可；（2）利用新定義計(jì)算求未知數(shù)x；（3）①讀懂題意尋找規(guī)律，利用規(guī)律計(jì)算；②由①得到的規(guī)律寫出含有絕對值的等式，一一分析到2、4、6、8、．．．40的距離和為1的時候兩點(diǎn)表示的數(shù)的和的最小值，最后得出最小值．【詳解】（1）解：，故答案為：8；（2）解：∵x和2關(guān)于3的“美好關(guān)聯(lián)數(shù)”為4，∴，∴，解得或；（3）解：①∵和關(guān)于1的“美好關(guān)聯(lián)數(shù)”為1，∴，∴在數(shù)軸上可以看作數(shù)到1的距離與數(shù)到1的距離和為1，∴只有當(dāng)時，有最小值1，故答案為：1；②由題意可知：，的最小值；，的最小值；，的最小值；，的最小值；，的最小值；∴的最小值：．故答案為：840．【點(diǎn)睛】本題考查了絕對值的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握絕對值的意義，數(shù)軸上點(diǎn)與點(diǎn)的距離．變式2．（2022·重慶渝北·七年級?？计谥校╅喿x下列材料：一般地，我們把按一定順序排列的三個數(shù)x1，x2，x3，叫做數(shù)列x1，x2，x3，計(jì)算：|x1|，，，我們把計(jì)算結(jié)果的最小值稱為數(shù)列x1，x2，x3的價值．例如，對于數(shù)列2，﹣1，3，因?yàn)閨2|＝2，＝，＝．所以數(shù)列2，﹣1，3的價值為，改變這三個數(shù)的順序按照上述方法可計(jì)算出其它數(shù)列的價值．比如，數(shù)列﹣1，2，3的價值為；數(shù)列3，﹣1，2的價值為1，通過計(jì)算，發(fā)現(xiàn)：對于“2，﹣1，3”這三個數(shù)，按照不同的排列順序可得到不同的數(shù)列，這些數(shù)列的價值的最小值為．根據(jù)以上材料，解答下列問題：(1)求數(shù)列﹣2，7，1的價值；(2)由“﹣2，7，1”這三個數(shù)按照不同的順序排列共有多少種不同的數(shù)列，寫出這些數(shù)列，并求出它們的價值的最小值和最大值；(3)將2，﹣7，a（a＞1）這三個數(shù)按照不同的順序排列，可得到若干個數(shù)列．若這些數(shù)列的價值的最小值為1，請直接寫出a的值．【答案】(1)2(2)最小值是，最大值是2(3)2或9【分析】（1）根據(jù)新定義，即可求解；（2）根據(jù)題意可得由“﹣2，7，1”這三個數(shù)按照不同的順序排列的數(shù)列有6種，然后分別求出每個數(shù)列的價值，即可求解；（3）根據(jù)題意可得或或，且a＞1，可得a＝5或9或2或8，然后根據(jù)這些數(shù)列的價值的最小值為1，即可求解．【詳解】（1）解：∵|﹣2|＝2，，＝2，∴數(shù)列﹣2，7，1的價值為2；（2）解：由“﹣2，7，1”這三個數(shù)按照不同的順序排列的數(shù)列有6種，具體如下：數(shù)列﹣2，7，1；數(shù)列﹣2，1，7；數(shù)列7，﹣2，1；數(shù)列7，1，﹣2；數(shù)列1，7，﹣2；數(shù)列1，﹣2，7；由（1）知數(shù)列﹣2，7，1的價值是2；∵|﹣2|＝2，，，∴數(shù)列﹣2，1，7的價值是；同理可求：數(shù)列7，﹣2，1的價值是2；數(shù)列7，1，﹣2的價值是2；數(shù)列1，7，﹣2的價值是1；數(shù)列1，﹣2，7的價值是；綜上可知，這些數(shù)列的價值的最小值是，最大值是2；（3）解：若這些數(shù)列的價值的最小值為1，則或或，且a＞1，解得：a＝5或9或2或8，當(dāng)a＝5時，，∴a＝5不符合，舍去；當(dāng)a＝8時，則，∴a＝8，不符合，舍去；綜上，a的值為2或9．【點(diǎn)睛】本題主要考查了絕對值的應(yīng)用，理解新定義，利用分類討論思想解答是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)5、絕對值的化簡例1．（2022秋·山東濰坊·七年級統(tǒng)考期末）有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上對應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，則的值為___________．【答案】/【分析】根據(jù)數(shù)軸得到，，，，根據(jù)絕對值的性質(zhì)去掉絕對值，化簡即可得到答案．【詳解】解：，，，原式故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸、絕對值，掌握正數(shù)的絕對值等于正數(shù)，負(fù)數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù)是解題關(guān)鍵．例2．（2022秋·福建泉州·七年級校考期中）已知：，且，則共有個不同的值，若在這些不同的值中，最大的值為，則____________．【答案】3【分析】根據(jù)絕對值的性質(zhì)進(jìn)行化簡即可【詳解】，，，，，，，三個數(shù)中有兩負(fù)一正，當(dāng)，為負(fù)，為正數(shù)時，當(dāng)，為負(fù)，為正數(shù)時，當(dāng)，為負(fù)，為正數(shù)時，共有個不同的值，若在這些不同的值中，最大的值為，，，，故答案為：3【點(diǎn)睛】本題主要考查了絕對值，掌握絕對值的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵變式1.（2022·湖南長沙·七年級期末）有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上位置如圖，則的值為（

）．A． B． C．0 D．【答案】A【分析】根據(jù)數(shù)軸，確定每個數(shù)的屬性，每個代數(shù)式的屬性，后化簡即可．【詳解】根據(jù)數(shù)軸上點(diǎn)的位置得：，且，則，，，則．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)軸和有理數(shù)的大小比較與絕對值的化簡，掌握獲取數(shù)軸信息，熟練化簡是解題的關(guān)鍵．變式2．（2022秋·江蘇蘇州·七年級統(tǒng)考期末）分類討論是重要的數(shù)學(xué)方法，如化簡，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，．求解下列問題：(1)當(dāng)時，值為______，當(dāng)時，的值為______，當(dāng)x為不等于0的有理數(shù)時，的值為______；(2)已知，，求的值；(3)已知：，這2023個數(shù)都是不等于0的有理數(shù)，若這2023個數(shù)中有n個正數(shù)，，則m的值為______（請用含n的式子表示）【答案】(1)，1，(2)或3(3)【分析】（1）根據(jù)絕對值的定義求解即可；（2）已知，，所以，，一正兩負(fù)，根據(jù)（1）的結(jié)論解即可；（3）個正數(shù)，負(fù)數(shù)有個，式子中有個正1，個，相加得答案．【詳解】（1）解：，，，故答案為：，1，．（2），，，，，的正負(fù)性可能為：①當(dāng)為正數(shù)，，為負(fù)數(shù)時：原式；②當(dāng)為正數(shù)，，為負(fù)數(shù)時，原式；③當(dāng)為正數(shù)，，為負(fù)數(shù)時，原式，原式或3．（3）∵有個正數(shù)，負(fù)數(shù)的個數(shù)為，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是數(shù)字的規(guī)律，有理數(shù)的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是一個不等于0的數(shù)除以它的絕對值等于1或，將題目轉(zhuǎn)化為由幾個正1和幾個的問題．考點(diǎn)6、絕對值的方程例1.（2022·湖北咸寧·七年級期末）閱讀下列材料，回答問題：“數(shù)形結(jié)合”的思想是數(shù)學(xué)中一種重要的思想．例如：在我們學(xué)習(xí)數(shù)軸的時候，數(shù)軸上任意兩點(diǎn)，A表示的數(shù)為a，B表示的數(shù)為b，則A，B兩點(diǎn)的距離可用式子（表示，例如：5和的距離可用或表示．(1)【知識應(yīng)用】我們解方程時，可用把看作一個點(diǎn)x到5的距離，則該方程可看作在數(shù)軸上找一點(diǎn)P（P表示的數(shù)為x）與5的距離為2，所以該方程的解為或所以，方程的解為___（直接寫答案，不離過程）．(2)【知識拓展】我們在解方，可以設(shè)A表示數(shù)5，B表示數(shù)，P表示數(shù)x，該方程可以看作在數(shù)軸上找一點(diǎn)P使得，因?yàn)?，所以由可知，P在線段AB上都可，所以該方程有無數(shù)解，x的取值范圍是．類似的，方程的___（填“唯一”或“不唯一”），x的取值是___，（“唯一”填x的值，“不唯一”填x的取值范圍）；(3)【拓展應(yīng)用】解方程【答案】(1)或(2)不唯一；(3)或【分析】（1）將方程的解看作在數(shù)軸上找一點(diǎn)P與的距離為2，進(jìn)而可得方程的解；（2）類比題干中的求解方法，進(jìn)行求解即可；（3）由題意知，設(shè)P點(diǎn)表示的數(shù)為x，分類討論：①若P點(diǎn)在A，B之間，表示出的值，然后列方程求解；②若P點(diǎn)在A點(diǎn)的左邊，表示出的值，然后列方程求解；③若點(diǎn)P在B點(diǎn)的右邊，表示出的值，然后列方程求解．(1)解：方程的解，可以看作在數(shù)軸上找一點(diǎn)P與的距離為2∴或故答案為：或．(2)解：由題意知，設(shè)A表示數(shù)，B表示數(shù)6，P表示數(shù)x，∴該方程可以看作在數(shù)軸上找一點(diǎn)P使得，∵，∴P在線段AB上都可，∴該方程有無數(shù)解，x的取值范圍是故答案為：不唯一；．(3)解：由題意知，設(shè)P點(diǎn)表示的數(shù)為x，分類討論：①若P點(diǎn)在A，B之間則（不合題意，舍去）②若P點(diǎn)在A點(diǎn)的左邊則∴③若點(diǎn)P在B點(diǎn)的右邊∴綜上所述：原方程的解為或．【點(diǎn)睛】本題考查了絕對值的意義，數(shù)軸上點(diǎn)的距離．解題的關(guān)鍵在于明確絕對值的意義．例2．（2023春·廣東河源·七年級?？奸_學(xué)考試）滿足的x的值是（

）．A．0 B． C． D．【答案】C【分析】先將范圍分類，再去絕對值進(jìn)行運(yùn)算，最后核對選項(xiàng)即可．【詳解】時，，，舍去；時，得，∴或，得，滿足，可??；時，，舍去；綜上所述，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)雜的含有絕對值的一次方程，遇到絕對值須先判斷絕對值內(nèi)式子正負(fù)，在不確定范圍的情況下，按照絕對值為0進(jìn)行未知數(shù)范圍的分類討論是常見的辦法．對未知數(shù)進(jìn)行范圍分類而去除絕對值是解題的關(guān)鍵．變式1．（2022·河南安陽市·七年級期末）閱讀下面材料：在數(shù)軸上與所對的兩點(diǎn)之間的距離：；在數(shù)軸上與所對的兩點(diǎn)之間的距離：；在數(shù)軸上與所對的兩點(diǎn)之間的距離：；在數(shù)軸上點(diǎn)、分別表示數(shù)、，則、兩點(diǎn)之間的距離．回答下列問題：（1）數(shù)軸上表示和的兩點(diǎn)之間的距離是_______；數(shù)軸上表示數(shù)和的兩點(diǎn)之間的距離表示為_______；數(shù)軸上表示數(shù)_______和_______的兩點(diǎn)之間的距離表示為；（2）七年級研究性學(xué)習(xí)小組在數(shù)學(xué)老師指導(dǎo)下，對式子進(jìn)行探究：①請你在草稿紙上畫出數(shù)軸，當(dāng)表示數(shù)的點(diǎn)在與之間移動時，的值總是一個固定的值為：_______．②請你在草稿紙上畫出數(shù)軸，要使，數(shù)軸上表示點(diǎn)的數(shù)_______．【答案】（1）3；|x?3|；x，-2；（2）5；?3或4．【分析】（1）根據(jù)題意找出數(shù)軸上任意點(diǎn)間的距離的計(jì)算公式，然后進(jìn)行計(jì)算即可；（2）①先化簡絕對值，然后合并同類項(xiàng)即可；②分為x＞3和x＜?2兩種情況討論．【詳解】解：（1）數(shù)軸上表示?2和?5的兩點(diǎn)之間的距離為：|?2?（?5）|=3；數(shù)軸上表示數(shù)x和3的兩點(diǎn)之間的距離為：|x?3|；數(shù)軸上表示數(shù)x和?2的兩點(diǎn)之間的距離表示為：|x＋2|；故答案為：3，|x?3|，x，-2；（2）①當(dāng)x在-2和3之間移動時，|x＋2|＋|x?3|=x＋2＋3?x=5；②當(dāng)x＞3時，x?3＋x＋2=7，解得：x=4，當(dāng)x＜?2時，3?x?x?2＝7．解得x=?3，∴x=?3或x=4．故答案為：5；?3或4．【點(diǎn)睛】本題考查的是絕對值的定義和化簡，根據(jù)題意找出數(shù)軸上任意兩點(diǎn)之間的距離公式是解題的關(guān)鍵．變式2．（2022秋·成都市七年級期中）問題背景數(shù)軸是一個非常重要的數(shù)學(xué)工具，它使數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)建立起一一對應(yīng)的關(guān)系，揭示了數(shù)點(diǎn)之間的內(nèi)在聯(lián)系，它是“數(shù)形結(jié)合”的基礎(chǔ)，我們知道，它的幾何意義是數(shù)軸上表示4的點(diǎn)與原點(diǎn)（即表示0的點(diǎn)）之間的距離，又如式子，它的幾何意義是數(shù)軸上表示數(shù)7的點(diǎn)與表示數(shù)3的點(diǎn)之間的距離，即若點(diǎn)A、B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a、b，則A、B之間的距離可表示為．問題探究(1)若，則．(2)若，則．(3)若，則．問題解決(4)若在數(shù)軸上有兩個點(diǎn)M、N，它們在數(shù)軸上的點(diǎn)表示的數(shù)分別為m、n，滿足且的值最小，則兩個點(diǎn)M、N之間的距離是．【答案】(1)或(2)(3)或(4)5或4【分析】（1）根據(jù)絕對值的意義得出或，求出x的值即可；（2）分、、三種情況進(jìn)行討論，求出x的值即可；（3）分、、三種情況進(jìn)行討論，求出x的值即可：（4）先分類討論求出m為3或，再根據(jù)絕對值的意義求出，最后求出的值即可．【詳解】（1）解：∵，∴或，解得：或．故答案為：或．（2）解：分三種情況討論：①時，化簡為：，此方程無解；②時，化簡為：，解得；③時，化簡為：，此方程無解．故答案為：．（3）解：分三種情況討論：①時，，化簡得：，解得；②時，，化簡得：，此方程無解；③時，，化簡得：，解得．故答案為：或．（4）分三種情況討論：①時，，化簡，解得；②時，，化簡，此方程無解；③時，，化簡，解得．∴m為3或，∵表示數(shù)軸上的點(diǎn)到，，這三個點(diǎn)的距離之和，∴當(dāng)時，的值最小，∴或．故答案為：5或4．【點(diǎn)睛】本題考查的是絕對值，數(shù)軸的有關(guān)知識，解題關(guān)鍵是理解絕對值的幾何意義，注意進(jìn)行分類討論．A級（基礎(chǔ)過關(guān)）1.（2022·河南周口·七年級期末）有理數(shù)，在數(shù)軸上對應(yīng)的位置如圖所示，那么代數(shù)式的值是(

)A．-1 B．1 C．3 D．-3【答案】D【分析】先根據(jù)數(shù)軸求出－1<a<0，0<b<1，|a|<|b|，再去掉絕對值，然后根據(jù)分式的性質(zhì)計(jì)算即可．【詳解】解：根據(jù)數(shù)軸可知：－1<a<0，0<b<1，|a|<|b|，∴原式．故選：D．2．（2023秋·貴州銅仁·七年級統(tǒng)考期末）在解決數(shù)學(xué)實(shí)際問題時，常常用到數(shù)形結(jié)合思想，比如：的幾何意義是數(shù)軸上表示數(shù)的點(diǎn)與表示數(shù)-2的點(diǎn)的距離，的幾何意義是數(shù)軸上表示數(shù)的點(diǎn)與表示數(shù)3的點(diǎn)的距離．當(dāng)取得最小值時，的取值范圍是（

）A． B． C．或 D．【答案】B【分析】以和3為界點(diǎn)，將數(shù)軸分成三部分，對的值進(jìn)行分類討論，然后根據(jù)絕對值的意義去絕對值符號，分別求出代數(shù)式的值進(jìn)行比較即可．【詳解】解：如圖，當(dāng)時，，，；當(dāng)時，，，；當(dāng)時，，，；綜上所述，當(dāng)時，取得最小值，所以當(dāng)取得最小值時，的取值范圍是．故選：B．【點(diǎn)睛】本題結(jié)合數(shù)軸考查了絕對值的意義以及絕對值的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是以和3為界點(diǎn)對的值進(jìn)行分類討論，進(jìn)而得出代數(shù)式的值．3．（2023秋·四川達(dá)州·七年級統(tǒng)考期末）已知，，在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡的結(jié)果是___________．【答案】【分析】根據(jù)數(shù)軸上點(diǎn)的位置判斷出絕對值里邊式子的正負(fù)，再利用絕對值的代數(shù)意義化簡、去括號、合并同類項(xiàng)即可解答．【詳解】解：由數(shù)軸上點(diǎn)的位置得：，且，，，，則原式．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)軸、絕對值、去括號、合并同類項(xiàng)等知識點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．4．（2023春·黑龍江哈爾濱·七年級?？茧A段練習(xí)）同學(xué)們都知道，表示5與1差的絕對值，也可以表示數(shù)軸上5和1這兩點(diǎn)間的距離；表示3與之差的絕對值，實(shí)際上也可理解為3與在數(shù)軸上所對的兩點(diǎn)之間的距離；自然地，對進(jìn)行變式得，同樣可以表示3與兩數(shù)在數(shù)軸上所對的兩點(diǎn)之間的距離．試探索：(1)________；(2)表示與________之間的距離；表示與________之間的距離；(3)當(dāng)時，可取整數(shù)__________．（寫出一個符合條件的整數(shù)即可）(4)由以上探索，結(jié)合數(shù)軸猜想：對于任何有理數(shù)，的最小值為__________．【答案】(1)5(2)2，(3)2（答案不唯一）(4)10【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離的表示方法即可解答；（2）根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離的表示方法即可解答；（3）利用絕對值及數(shù)軸求解即可；（4）根據(jù)數(shù)軸及絕對值，即可解答．【詳解】（1）解：表示數(shù)軸上表示3的點(diǎn)到表示的點(diǎn)的距離，即為5．故答案為5．（2）解：表示與2之間的距離；表示與之間的距離．故答案為：2，．（3）解：∵表示數(shù)軸上有理數(shù)x所對應(yīng)的點(diǎn)到2和所對應(yīng)的點(diǎn)的距離之和為5，∴當(dāng)x在與2之間的線段上（即），∴可取整數(shù)．故答案為：2（答案不唯一）．（4）解：∵理解為：在數(shù)軸上表示x到和6的距離之和，∴當(dāng)x在與6之間的線段上（即）時，即的值有最小值，最小值為．故答案為：10．【點(diǎn)睛】本題主要考查了整式的加減、數(shù)軸、絕對值等知識點(diǎn)，掌握整式加減、去絕對值符號以及數(shù)軸的特點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵．6．（2022秋·湖南邵陽·七年級統(tǒng)考期末）點(diǎn)A、B在數(shù)軸上分別表示實(shí)數(shù)a、b，A、B兩點(diǎn)之間的距離記作．當(dāng)A、B兩點(diǎn)中有一點(diǎn)為原點(diǎn)時，不妨設(shè)A點(diǎn)在原點(diǎn)．如圖所示，則，當(dāng)A、B兩點(diǎn)都不在原點(diǎn)時：（1）如圖所示，點(diǎn)A、B都在原點(diǎn)的右邊，不妨設(shè)點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè).則（2）如圖所示，點(diǎn)A、B都在原點(diǎn)的左邊，不妨設(shè)點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè).則（3）如圖所示，點(diǎn)A、B分別在原點(diǎn)的兩邊，不妨設(shè)點(diǎn)A在原點(diǎn)的右側(cè)，則回答下列問題：(1)綜上所述，數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)之間的距離_______________．(2)數(shù)軸上表示3和的兩點(diǎn)A和B之間的距離_______________．(3)數(shù)軸上表示x和的兩點(diǎn)A和B之間的距離__________．如果，則x的值為___________．(4)若代數(shù)式有最小值，則最小值為_______________．【答案】(1)(2)8(3)，(4)7【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸上A，B兩點(diǎn)的位置即可得出答案；（2）按照數(shù)軸上的位置進(jìn)行計(jì)算即可；（3）根據(jù)數(shù)軸進(jìn)行計(jì)算，列方程解絕對值方程即可；（4）根據(jù)絕對值的性質(zhì)進(jìn)行化簡即可．【詳解】（1）解：綜上所述，數(shù)軸上兩點(diǎn)A和B之間的距離；故答案為：；（2）解：數(shù)軸上表示3和的兩點(diǎn)A和B之間的距離；故答案為：8；（3）解：數(shù)軸上表示x和的兩點(diǎn)A和B之間的距離如果，∴，∴或，解得或，則的值為-2或-8；故答案為；-2或-8；（4）解若代數(shù)式有最小值，的值即為-5與2兩點(diǎn)間的距離，此時最小，最小值為|2?（?5）|＝7，則最小值為7．故答案為7．【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，以及絕對值，絕對值方程，熟練掌握各自的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．7．（2022秋·浙江·七年級專題練習(xí)）同學(xué)們都知道，表示5與之差的絕對值，實(shí)際上也可理解為5與兩數(shù)在數(shù)軸上所對的兩點(diǎn)之間的距離．試探索：（1）計(jì)算_____________；（2）使得這樣的整數(shù)有____________（寫出所有符合條件的整數(shù)）；（3）由以上探索猜想對于任何有理數(shù)，式子是否有最小值？如果有，請寫出其最小值，如果沒有，請說明理由．【答案】（1）7；（2），，，，，0，1；（3）有，最小值為5.5．【分析】（1）直接去括號，再按照去絕對值的方法去絕對值就可以了．（2）要x的整數(shù)值可以進(jìn)行分段計(jì)算，令x+5=0或x-2=0時，分為3段進(jìn)行計(jì)算，最后確定x的值．（3）根據(jù)（2）方法去絕對值，分為3種情況去絕對值符號，計(jì)算三種不同情況的值，最后討論得出最小值．【詳解】解：（1）原式=|5+2|=7故答案為：7；（2）令x+5=0或x-1=0時，則x=-5或x=1當(dāng)x＜-5時，∴-（x-1）-（x+5）=6，-x+1-x-5=6，x=-5（范圍內(nèi)不成立）當(dāng)-5≤x≤1時，∴-（x-1）+（x+5）=6，x+5-x+1=6，6=6，∴x=-5，-4，-3，-2，-1，0，1當(dāng)x＞1時，∴（x-1）+（x+5）=6，x-1+x+5=6，2x=2，x=1，x=1（范圍內(nèi)不成立）∴綜上所述，符合條件的整數(shù)x有：-5，-4，-3，-2，-1，0，1；（3）令x-2=0或x+3.5=0時，則x=2或x=-3.5當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，∴對于任何有理數(shù)x，式子|也有最小值，為5.5【點(diǎn)睛】此題主要考查了去絕對值和數(shù)軸相聯(lián)系的綜合試題以及去絕對值的方法和去絕對值在數(shù)軸上的運(yùn)用，難度較大，去絕對的關(guān)鍵是確定絕對值里面的數(shù)的正負(fù)性．8．（2022·遼寧大連·七年級校聯(lián)考階段練習(xí)）同學(xué)們知道，是數(shù)軸上表示數(shù)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離，，那么就是數(shù)軸上表示數(shù)的點(diǎn)與表示數(shù)的點(diǎn)之間的距離．（1），則的值為；（2）若為整數(shù)，且，則的值為；（3）若，求的值．【答案】（1）或；（2），，，；（3）或【分析】（1）的意義是到表示的點(diǎn)的距離是5的點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）的意義是表示到表示和表示的點(diǎn)的距離之和是3的點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）的意義是表示到表示和表示的點(diǎn)的距離之和是4的點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】解：（1），解得：或；（2），當(dāng)時，，，當(dāng)時，，解得：（舍去），當(dāng)時，，解得：（舍去），綜上：，，，；（3）若數(shù)軸上表示數(shù)的點(diǎn)在表示的點(diǎn)左側(cè)，則，解得；若數(shù)軸上表示數(shù)的點(diǎn)在表示的點(diǎn)與表示的點(diǎn)之間（包括和），則．若數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)在表示3的點(diǎn)右側(cè)，則，解得．綜上所述，的值為或．【點(diǎn)睛】本題考查了絕對值、數(shù)軸，解題的關(guān)鍵是理解并應(yīng)用絕對值．9．（2022秋·浙江·七年級專題練習(xí)）結(jié)合數(shù)軸與絕對值的知識回答下列問題：(1)數(shù)軸上表示4和1的兩點(diǎn)之間的距離是_____；表示和2兩點(diǎn)之間的距離是_____；一般地，數(shù)軸上表示數(shù)和數(shù)的兩點(diǎn)之間的距離等于．如果表示數(shù)和的兩點(diǎn)之間的距離是3，那么_____；(2)若數(shù)軸上表示數(shù)的點(diǎn)位于與2之間，求的值；(3)當(dāng)取何值時，的值最小，最小值是多少？請說明理由．【答案】(1)3，5，1或(2)6(3)當(dāng)時，式子的值最小，最小值是9，理由見解析【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離公式求解即可；（2）先確定a+4、a-2的正負(fù)，然后再化簡絕對值，最后再合并同類項(xiàng)即可；（3）根據(jù)表示一點(diǎn)到-5，1，4三點(diǎn)的距離的和．即可求解．【詳解】（1）解：數(shù)軸上表示4和1的兩點(diǎn)之間的距離是4-1=3；表示-3和2兩點(diǎn)之間的距離是2-（-3）=5；依題意有|a-（-2）|=3，∴a-（-2）=3或a-（-2）=-3解得a=1或-5．故答案為：3，5，1或-5．（2）解：∵數(shù)a的點(diǎn)位于-4與2之間，∴a+4＞0，a-2＜0∴|a+4|+|a-2|=a+4-a+2=6．（3）解：∵表示一點(diǎn)到-5，1，4三點(diǎn)的距離的和．∴當(dāng)a=1時，式子的值最小，∴的最小值是9．【點(diǎn)睛】本題主要考查了絕對值的意義、數(shù)軸、數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離等知識點(diǎn)，掌握數(shù)形結(jié)合思想成為解答本題的關(guān)鍵．10．（2022秋·湖北武漢·七年級?？茧A段練習(xí)）（1）閱讀材料：從代數(shù)角度上看，數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離等于這兩點(diǎn)所對應(yīng)的數(shù)的差的絕對值；從幾何角度上看，數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離等于以這兩點(diǎn)為端點(diǎn)組成的線段的長度．例如：點(diǎn)A、B在數(shù)軸上分別對應(yīng)的數(shù)為a、b，則A、B兩點(diǎn)間的距離可表示為．（完成下面填空）Ⅰ．?dāng)?shù)軸上有三點(diǎn)A、B、P，分別對應(yīng)的數(shù)為、2、x，如圖①，當(dāng)時，；如圖②，當(dāng)時，_____；如圖③，當(dāng)時，_______；Ⅱ．由Ⅰ可得：∵，，∴，，∴在時有最小值為_______．（2）直接應(yīng)用：求的最小值．（3）應(yīng)用拓展：若，當(dāng)時，直接寫出S的取值范圍_______．【答案】（1）I、，；II、5；（2）9；（3）．【分析】（1）I根據(jù)絕對值的意義即可得到答案；II根據(jù)I比較三種情況即可得到答案；（2）根據(jù)（1）可得到當(dāng)x在兩點(diǎn)之間時最短即可得到答案；（3）根據(jù)（1）可得到當(dāng)時最小值，即可得到答案．【詳解】（1）I．解：由題意可得，當(dāng)時，，當(dāng)時，故答案為，；II．由題意可得，在時有最小值為5，故答案為5；（2）解：由（1）可得，當(dāng)x在，4兩點(diǎn)之間時最短，即當(dāng)時，的最小值，最小值為，故的最小值為9；（3）由（1）可得，表示到1，6，三點(diǎn)的距離之和，∴可得到當(dāng)時最小值，最小值為：，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查絕對值的意義，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找到最小距離的點(diǎn)在最小與最大亮點(diǎn)之間．11．（2022秋·浙江溫州·七年級?？茧A段練習(xí)）數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中的一種重要思想，利用數(shù)軸可以將數(shù)與形完美結(jié)合．一般地，數(shù)軸上表示數(shù)m，n的兩點(diǎn)之間的距離等于，如：數(shù)軸上表示4和的兩點(diǎn)之間的距離是，根據(jù)以上材料，結(jié)合數(shù)軸與絕對值的知識回答下列問題：(1)若數(shù)軸上表示數(shù)x的點(diǎn)位于表示與5的點(diǎn)之間，求的值．(2)若P是數(shù)軸上一點(diǎn)，它表示數(shù)p，若對任意的有理數(shù)p都成立，求a的最大值．【答案】(1)(2)a的最大值為7【分析】（1）直接化簡絕對值即可得到答案；（2）分當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，三種情況化簡絕對值即可得到答案．【詳解】（1）解：∵，∴；（2）解：當(dāng)時，；當(dāng)時，當(dāng)時，；當(dāng)時，；∴要使得無論p取何值都成立，a的最大值為7．【點(diǎn)睛】本題主要考查了化簡絕對值，熟知化簡絕對值的方法是解題的關(guān)鍵．B級（能力提升）1．（2022·廣東廣州·七年級?？计谥校┤鐖D，、、、是數(shù)軸上的四個整數(shù)所對應(yīng)的點(diǎn)，且，而數(shù)在與之間，數(shù)在與之間，若，且、、、中有一個是原點(diǎn)，則此原點(diǎn)可能是（

）A．點(diǎn)或點(diǎn) B．點(diǎn)或點(diǎn) C．點(diǎn) D．點(diǎn)【答案】A【分析】先根據(jù)圖形和已知條件找出各線段長度，然后由推測原點(diǎn)位置．【詳解】解：由“B-A=C-B=D-C=1且數(shù)m在A與B之間，數(shù)n在C與D之間”可以得出：①當(dāng)原點(diǎn)是B點(diǎn)或C點(diǎn)時，與已知相矛盾，故原點(diǎn)不可能是B點(diǎn)或C點(diǎn)；②當(dāng)原點(diǎn)在A點(diǎn)或D點(diǎn)且時，，綜上可知：數(shù)軸原點(diǎn)可能是A點(diǎn)或D點(diǎn)．故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)軸和絕對值，解決本題的關(guān)鍵在于理解絕對值的幾何意義．2．（2022秋·山東七年級課時練習(xí)）已知有理數(shù)a，c，若，且，則所有滿足條件的數(shù)c的和是（）A．﹣6 B．2 C．8 D．9【答案】D【分析】根據(jù)絕對值的代數(shù)意義對進(jìn)行化簡，或，解得或有兩個解，分兩種情況再對進(jìn)行化簡，繼而有兩個不同的絕對值等式，和，每個等式同樣利用絕對值的代數(shù)意義化簡，分別得到c的值有兩個，故共有四個值，再進(jìn)行相加，得到所有滿足條件的數(shù)的和．【詳解】，或，或，當(dāng)時，等價于，即，或，或；當(dāng)時，等價于，即，或，或，故或或或，所有滿足條件的數(shù)的和為：．故答案為：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了絕對值的代數(shù)意義，負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，正數(shù)的絕對值是它本身，0的絕對值是0，解題的關(guān)鍵在于經(jīng)過兩次分類討論，的值共有4種可能，不能重復(fù)也不能遺漏．3.（2022·浙江·溫州七年級期中試）代數(shù)式|x﹣1|﹣|x+2|的最大值為a，最小值為b，下列說法正確的是（）A．a(chǎn)＝3，b＝0B．a(chǎn)＝0，b＝﹣3C．a(chǎn)＝3，b＝﹣3D．a(chǎn)＝3，b不存在【答案】C【分析】分三種情況：當(dāng)x≥1時；當(dāng)-2＜x＜1時；當(dāng)x≤-2時；進(jìn)行討論可求代數(shù)式|x-1|-|x+2|的值，即可求出a與b的值．【詳解】解：當(dāng)x≥1時，|x﹣1|﹣|x+2|＝x﹣1﹣x﹣2＝﹣3；當(dāng)﹣2＜x＜1時，|x﹣1|﹣|x+2|＝﹣（x﹣1）﹣（x+2）＝﹣2x﹣1；當(dāng)x≤﹣2時，|x﹣1|﹣|x+2|＝﹣（x﹣1）+（x+2）＝3．∵代數(shù)式|x﹣1|﹣|x+2|的最大值為a，最小值為b，∴a＝3，b＝﹣3．故選：C．【點(diǎn)睛】考查了絕對值，如果用字母a表示有理數(shù)，則數(shù)a絕對值要由字母a本身的取值來確定：①當(dāng)a是正有理數(shù)時，a的絕對值是它本身a；②當(dāng)a是負(fù)有理數(shù)時，a的絕對值是它的相反數(shù)-a；③當(dāng)a是零時，a的絕對值是零．注意分類思想的運(yùn)用．4．（2022秋·廣西·七年級期末）對于有理數(shù)，，，若，則稱是關(guān)于的“相關(guān)數(shù)”，例如，，則3是2關(guān)于2的“相關(guān)數(shù)”．若是關(guān)于1的“相關(guān)數(shù)”，是關(guān)于2的“相關(guān)數(shù)”，…，是關(guān)于4的“相關(guān)數(shù)”．則______．（用含的式子表示）【答案】9﹣3|x﹣1|【分析】先讀懂“相關(guān)數(shù)”的定義，列出對應(yīng)等式，再根據(jù)等式分析各個數(shù)的取值范圍，去絕對值，進(jìn)而求出結(jié)果．【詳解】解：依題意有：|x1﹣1|+|x﹣1|＝1，①|(zhì)x2﹣2|+|x1﹣2|＝1，②|x3﹣3|+|x2﹣3|＝1，③|x4﹣4|+|x3﹣4|＝1，④由①可知0≤x，x1≤2，若否，則①不成立，由②可知1≤x1，x2≤3，若否，則②不成立，同理可知2≤x2，x3≤4，3≤x3，x4≤5，∴x1﹣1+|x﹣1|＝1，⑤x2﹣2+2﹣x1＝1，⑥x3﹣3+3﹣x2＝1，⑦3×⑤+2×⑥+⑦，得x1+x2+x3﹣3+3|x﹣1|＝6，∴x1+x2+x3＝9﹣3|x﹣1|．故答案為：9﹣3|x﹣1|．【點(diǎn)睛】本題考查絕對值和新定義問題．解題的關(guān)鍵在于讀懂題意，列出等式，根據(jù)等式判斷出五個數(shù)的取值范圍，進(jìn)而去絕對值符號，最后得出結(jié)果．注意可以取特殊值，如x＝1或x＝2，來驗(yàn)證計(jì)算的結(jié)果是否正確．5．（2022·湖南·長沙市怡海中學(xué)七年級階段練習(xí)）如圖1，點(diǎn)A，B，C是數(shù)軸上從左到右排列的三個點(diǎn)，分別對應(yīng)的數(shù)為﹣5，b，4．某同學(xué)將刻度尺如圖2放置，使刻度尺上的數(shù)字0對齊數(shù)軸上的點(diǎn)A，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)B對齊刻度1.8cm，點(diǎn)C對齊刻度5.4cm．（1）求數(shù)軸上點(diǎn)B所對應(yīng)的數(shù)b；（2）點(diǎn)P是圖1數(shù)軸上一點(diǎn)，P到A的距離是到B的距離的兩倍，求點(diǎn)P所表示的數(shù)；（3）若點(diǎn)Q在數(shù)軸上表示的數(shù)為x，則|x+5|+|x﹣4|的最小值為，|x+5|﹣|x﹣4|的最大值為．【答案】（1）；（2）或；（3），【分析】（1）根據(jù)的距離求得單位為多少cm，再根據(jù)長度求得的距離即可求解；（2）設(shè)點(diǎn)表示的數(shù)為，求得P到A的距離和P到B的距離，列方程求解即可；（3）對點(diǎn)Q在數(shù)軸上表示的數(shù)x，分情況討論求解即可．【詳解】解：（1）根據(jù)題意得的距離為，的長度為，的長度為由此可知一個單位長度為則的距離為在的右邊，∴數(shù)軸上點(diǎn)B所對應(yīng)的數(shù)為；（2）設(shè)點(diǎn)表示的數(shù)為，則P到A的距離為，P到B的距離為由題意可得：，即或解得或故答案為或（3）當(dāng)時，，∴當(dāng)時，，∴當(dāng)時，，∴綜上所述的最小值為，的最大值為故答案為，【點(diǎn)睛】此題考查了數(shù)軸上的動點(diǎn)問題，涉及了數(shù)軸的定義，數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離，解題的關(guān)鍵是熟練掌握數(shù)軸的基本性質(zhì)．6．（2022秋·江蘇蘇州·七年級校考期中）同學(xué)們都知道，表示5與之差的絕對值，實(shí)際上也可理解為5與兩數(shù)在數(shù)軸上所對的兩點(diǎn)之間的距離．試探索：(1)求___．(2)找出所有符合條件的整數(shù)x，使得這樣的整數(shù)是___．(3)由以上探索猜想對于任何有理數(shù)x，是否有最小值？如果有請列式并寫出最小值如果沒有請說明理由．【答案】(1)7(2)、、、、、0、1、2(3)有最小值，最小值是7．【分析】（1）先計(jì)算有理數(shù)的減法，再化簡絕對值即可得；（2）根據(jù)絕對值的幾何意義找出所有符合條件的整數(shù)x，再利用有理數(shù)的加減運(yùn)算法則求和即可得；（3）由（2）的方法去絕對值，即可得．【詳解】（1）解：，故答案為：7；（2）解：當(dāng)時，，解得（舍去），故此種情況不存在；當(dāng)時，，此時，使得的整數(shù)是、、、、、0、1、2；當(dāng)時，，解得（舍去），故此種情況不存在；故答案為：、、、、、0、1、2；（3）解：有最小值，最小值是7，由（2）的探索可得，當(dāng)時，，故有最小值，最小值是7．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)軸、絕對值，解答本題的關(guān)鍵是明確數(shù)軸的特點(diǎn)和絕對值，利用數(shù)軸和分類討論的數(shù)學(xué)思想解答．7．（2022·福建南平·七年級期末）【閱讀】在數(shù)軸上，若點(diǎn)A表示數(shù)a，點(diǎn)B表示數(shù)b，則點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的距離為．例如：兩點(diǎn)A，B表示的數(shù)分別為3，-1，那么．(1)若，則x的值為．(2)當(dāng)x＝（x是整數(shù)）時，式子成立．(3)在數(shù)軸上，點(diǎn)A表示數(shù)a，點(diǎn)P表示數(shù)p．我們定義：當(dāng)時，點(diǎn)P叫點(diǎn)A的1倍伴隨點(diǎn)，當(dāng)時，點(diǎn)P叫點(diǎn)A的2倍伴隨點(diǎn)，……當(dāng)時，點(diǎn)P叫點(diǎn)A的n倍伴隨點(diǎn)．試探究以下問題：若點(diǎn)M是點(diǎn)A的1倍伴隨點(diǎn)，點(diǎn)N是點(diǎn)B的2倍伴隨點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)A和點(diǎn)B，使得點(diǎn)M恰與點(diǎn)N重合，若存在，求出線段AB的長；若不存在，請說明理由．【答案】(1)5或1(2)-2、-1、0、1(3)存在這樣的點(diǎn)A和點(diǎn)B，使得點(diǎn)M恰與點(diǎn)N重合，線段AB的長為3或1【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸上，兩點(diǎn)間的距離，即可求解；（2）根據(jù)題意可得表示x的點(diǎn)到表示1的點(diǎn)與表示x的點(diǎn)到表示2的點(diǎn)的距離之和為3，再由，即可求解；（3）設(shè)點(diǎn)M表示的數(shù)為m，則點(diǎn)M與點(diǎn)N重合時，點(diǎn)N表示的數(shù)為m，根據(jù)題意可得，然后分四種情況討論，即可求解．(1)解：∵，∴在數(shù)軸上到3和x的點(diǎn)的距離為2，∴x=5或x=1，故答案為：5或1；(2)解：∵，∴表示x的點(diǎn)到表示1的點(diǎn)與表示x的點(diǎn)到表示2的點(diǎn)的距離之和為3，∵，∴，∵x是整數(shù)，∴x取-2、-1、0、1；故答案為：-2、-1、0、1；(3)解：存在，理由如下：設(shè)點(diǎn)M表示的數(shù)為m，則點(diǎn)M與點(diǎn)N重合時，點(diǎn)N表示的數(shù)為m，∵點(diǎn)M是點(diǎn)A的1倍伴隨點(diǎn)，點(diǎn)N是點(diǎn)B的2倍伴隨點(diǎn)，∴，∴，當(dāng)時，，∴，即AB=1；當(dāng)時，，∴，即AB=3；當(dāng)時，，∴，即AB=3；當(dāng)時，，∴，即AB=1；綜上所述，存在這樣的點(diǎn)A和點(diǎn)B，使得點(diǎn)M恰與點(diǎn)N重合，線段AB的長為3或1．【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離，絕對值的性質(zhì)，理解新定義，并利用數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想解答是解題的關(guān)鍵．8．（2022秋·浙江·七年級專題練習(xí)）閱讀下列材料：點(diǎn)在數(shù)軸上分別表示兩個數(shù)，兩點(diǎn)間的距離記為，O表示原點(diǎn)．當(dāng)兩點(diǎn)中有一點(diǎn)在原點(diǎn)時，不妨設(shè)點(diǎn)A為原點(diǎn)，如圖1，則；當(dāng)兩點(diǎn)都不在原點(diǎn)時，①如圖2，若點(diǎn)都在原點(diǎn)的右邊時，；②如圖3，若點(diǎn)都在原點(diǎn)的左邊時，；③如圖4，若點(diǎn)在原點(diǎn)的兩邊時，．回答下列問題：(1)綜上所述，數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)間的距離為．(2)若數(shù)軸上的點(diǎn)A表示的數(shù)為2，點(diǎn)B表示的數(shù)為，則A、B兩點(diǎn)間的距離為；(3)若數(shù)軸上的點(diǎn)A表示的數(shù)為x，點(diǎn)B表示的數(shù)為，則，若，則x的值為；(4)代數(shù)式的最小值為，取得最小值時x的取值范圍是．(5)滿足的x的取值范圍是．【答案】(1)(2)(3)；2或(4)；(5)或【分析】（1）觀察閱讀材料可得答案；（2）根據(jù)（1）的公式可得答案；（3）由數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離公式可得答案；（4）求出的范圍，即可得出最小值；（5）根據(jù)題意可知到和到的距離之和大于，而之間的距離為，所以只能在的左邊或的右邊，據(jù)此解答即可．【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：，故答案為：；（2）A、B兩點(diǎn)間的距離為，故答案為：；（3），∵，∴，∴，解得或；故答案為：；2或（4）∵表示數(shù)軸上某點(diǎn)到表示的點(diǎn)與2表示的點(diǎn)的距離之和，∴當(dāng)這個點(diǎn)在表示的點(diǎn)與2表示的點(diǎn)之間時，最小，等于，即取得最小值時x的取值范圍，故答案為：；；（5）∵表示數(shù)軸上某點(diǎn)到表示的點(diǎn)與表示的點(diǎn)的距離之和，當(dāng)在表示的點(diǎn)與表示的點(diǎn)之間時，的值最小為，∴在的左邊或的右邊時，，即或，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離，解題的關(guān)鍵是掌握數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離公式．9．（2022秋·重慶·七年級期末）如圖，請回答問題：(1)點(diǎn)B表示的數(shù)是，點(diǎn)C表示的數(shù)是．(2)折疊數(shù)軸，使數(shù)軸上的點(diǎn)B和點(diǎn)C重合，則點(diǎn)A與數(shù)字重合．(3)m、n兩數(shù)在數(shù)軸上所對的兩點(diǎn)之間的距離可以表示為|m﹣n|，如5與﹣2兩數(shù)在數(shù)軸上所對的兩點(diǎn)之間的距離可以表示為|5﹣（﹣2）|，從而很容易就得出在數(shù)軸上表示5與﹣2兩點(diǎn)之間的距離是7．①若x表示一個有理數(shù)，則|x﹣3|+|x﹣6|的最小值＝．②若x表示一個有理數(shù)，且|x﹣4|+|x+3|＝7，則滿足條件的所有整數(shù)x的和是．③當(dāng)x＝時，2|x﹣2|+2|x﹣3|+5|x﹣4|取最小值．④當(dāng)x取何值時，2|2x﹣1|+|3x﹣2|+|x﹣|+|2x﹣7|+|3x﹣9|取最小值？最小值為多少？【答案】(1)﹣2，6(2)9(3)①3；②4；③4；④x＝，最小值為【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸上點(diǎn)的特點(diǎn)，直接求解即可；（2）由折疊可知，折痕點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)是2，再由對稱性可知點(diǎn)A與數(shù)字9重合；（3）①當(dāng)3≤x≤6時，|x﹣3|+|x﹣6|的值最??；②當(dāng)﹣3≤x≤4時，|x﹣4|+|x+3|的值最小，最小值為7，再求出符合條件的整數(shù)即可求解；③找到2，2，3，3，4，4，4，4，4的中間數(shù)即為所求；④由2|2x﹣1|+|3x﹣2|+|x﹣|+|2x﹣7|+|3x﹣9|＝4|x﹣|+3|x﹣|+|x﹣|+2|x﹣|+3|x﹣3|，可得4個，3個，1個，2個，3個3的中間數(shù)是，當(dāng)x＝時，式子有最小值．【詳解】（1）解：由圖可得，點(diǎn)B表示的數(shù)是﹣2，點(diǎn)C表示的數(shù)是6，故答案為：﹣2，6；（2）解：∵折疊后點(diǎn)B和點(diǎn)C重合，∴BC的中點(diǎn)為折痕點(diǎn)，∴折痕點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)是2，∴點(diǎn)A與數(shù)字9重合，故答案為：9；（3）解：①|(zhì)x﹣3|+|x﹣6|表示數(shù)軸上表示x的點(diǎn)到表示3的點(diǎn)和6的點(diǎn)的距離之和，∴當(dāng)3≤x≤6時，|x﹣3|+|x﹣6|的值最小，∴|x﹣3|+|x﹣6|的最小值為3，故答案為：3；②|x﹣4|+|x+3|表示數(shù)軸上表示x的點(diǎn)到表示﹣3的點(diǎn)和4的點(diǎn)的距離之和，∴當(dāng)﹣3≤x≤4時，|x﹣4|+|x+3|的值最小，最小值為7，∵|x﹣4|+|x+3|＝7，∴x的整數(shù)值為﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，∴，∴滿足條件的所有整數(shù)x的和是4，故答案為：4；③2|x﹣2|+2|x﹣3|+5|x﹣4|表示2倍的x到2的距離，2倍的x到3的距離，5倍的x到4的距離之和，∴2，2，3，3，4，4，4，4，4的中間數(shù)是4，∴當(dāng)x＝4時，2|x﹣2|+2|x﹣3|+5|x﹣4|的最小值；故答案為：4；④2|2x﹣1|+|3x﹣2|+|x﹣|+|2x﹣7|+|3x﹣9|＝4|x﹣|+3|x﹣|+|x﹣|+2|x﹣|+3|x﹣3|，表示4倍的x到的距離，3倍x到的距離，x到的距離，2倍x到的距離，3倍x到3的距離之和，∴4個，3個，1個，2個，3個3的中間數(shù)是，∴當(dāng)x＝時，2|2x﹣1|+|3x﹣2|+|x﹣|+|2x﹣7|+|3x﹣9|的值最小，最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查絕對值的幾何意義，根據(jù)絕對值的幾何意義，探索出最小值存在時x的取值的一般規(guī)律是解題的關(guān)鍵．10．（2023秋·江蘇揚(yáng)州·七年級?？计谀?shù)軸是初中數(shù)學(xué)的一個重要工具，利用數(shù)軸可以將數(shù)與形進(jìn)行完美地結(jié)合．研究數(shù)軸我們發(fā)現(xiàn)了很多重要的規(guī)律，例如；數(shù)軸上點(diǎn)、點(diǎn)表示的數(shù)分別為、，則、兩點(diǎn)之間的距離，線段的中點(diǎn)表示的數(shù)為．如圖，數(shù)軸上點(diǎn)表示的數(shù)為，點(diǎn)表示的數(shù)為3．(1)直接寫出：線段的長度是，線段的中點(diǎn)表示的數(shù)為______；(2)表示數(shù)軸上任意一個有理數(shù)，利用數(shù)軸探究下列問題，直接回答：，則：有最小值是______；(3)點(diǎn)S在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為，且是方程的解，動點(diǎn)在數(shù)軸上運(yùn)動，若存在某個位置，使得，則稱點(diǎn)是關(guān)于點(diǎn)、、S的“幸運(yùn)點(diǎn)”，請問在數(shù)軸上是否存在“幸運(yùn)點(diǎn)”？若存在，則求出所有“幸運(yùn)點(diǎn)”對應(yīng)的數(shù)；若不存在，則說明理由?！敬鸢浮?1)4；1(2)或4；4(3)存在；或2【分析】（1）數(shù)軸上點(diǎn)表示的數(shù)為，點(diǎn)表示的數(shù)為3，根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)的距離公式及線段的中點(diǎn)公式直接求出線段的長度為4，線段中點(diǎn)表示的數(shù)為1；（2）按或或化簡絕對值，得出關(guān)于x的方程，解方程即可；按或或分類討論，求出在每種情況下的值或取值范圍，再進(jìn)行比較，得出結(jié)果；（3）先解出x的值，根據(jù)點(diǎn)S表示的數(shù)為6，再按或或分類討論，根據(jù)列方程求出m的值并進(jìn)行檢驗(yàn)，得出符合條件的結(jié)果．【詳解】（1）解：∵數(shù)軸上點(diǎn)表示的數(shù)為，點(diǎn)表示的數(shù)為3，∴，，∴線段的長度為4，線段中點(diǎn)表示的數(shù)為1；故答案為：4；1．（2）解：當(dāng)時，，解得：；當(dāng)時，，∴當(dāng)時，不存在x的值使；當(dāng)時，，解得：；∴時，或；當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴的最小值為4；故答案為：或4；4．（3）解：存在，設(shè)“幸運(yùn)點(diǎn)”P對應(yīng)的數(shù)是m，解，∴，解得：，∴點(diǎn)S表示的數(shù)為6，當(dāng)時，由得：，解得：；當(dāng)時，由得：，解得：；當(dāng)時，由得：或，解得：（不符合題意，舍去）或（不符合題意，舍去），綜上所述：“幸運(yùn)點(diǎn)”P對應(yīng)的數(shù)是或2．【點(diǎn)睛】此題主要考查了數(shù)軸上的動點(diǎn)問題和一元一次方程及其應(yīng)用，讀懂題意，掌握分類討論的思想是解答本題的關(guān)鍵．11．（2022秋·山西朔州·七年級?？茧A段練習(xí)）問題提出(1)點(diǎn)，在數(shù)軸上分別表示實(shí)數(shù)，，，兩點(diǎn)之間的距離可表示為．代數(shù)式的幾何意義是表示有理數(shù)的點(diǎn)到表示數(shù)2的點(diǎn)與表示數(shù)的點(diǎn)的距離之和．利用幾何意義，可求得的最小值為___________．(2)問題探究：如圖，點(diǎn)，，，在數(shù)軸上分別表示的數(shù)為，，，，是數(shù)軸上一動點(diǎn)，從點(diǎn)出發(fā)以每秒個單位長度的速度向右運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)出發(fā)___________秒后，到，，三點(diǎn)的距離和最小，此時點(diǎn)所處位置對應(yīng)的數(shù)字為___________，此時到，，三點(diǎn)的距離之和的最小值為___________．(3)問題解決：同心抗疫，情暖居民．疫情防控期間，某一直線沿街有9個小區(qū)，依次記為，假定相鄰兩個小區(qū)間隔相同，將這個間隔記為100米．社區(qū)想為這9個小區(qū)的居民提供防疫物資，決定在路旁建立一個物資供應(yīng)站．請問點(diǎn)選在何處，才能使這9個小區(qū)的居民到點(diǎn)（物資供應(yīng)站）的距離總和最??？最小值是多少？【答案】(1)3；(2)3，2，7；(3)當(dāng)點(diǎn)在位置時，這9個小區(qū)的居民到點(diǎn)（物資供應(yīng)站）的距離總和最小，最小值是2000米．【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸的意義即可得解；（2）分四種情況分析點(diǎn)到三個點(diǎn)距離的和，通過比較確定最小值，從而求出所表示的數(shù)及運(yùn)動的時間即可；（3）根據(jù)兩點(diǎn)間的距離即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：根據(jù)題意可得，表示有理數(shù)的點(diǎn)到表示數(shù)的點(diǎn)與表示數(shù)的點(diǎn)的距離之和，∴的最小值為，故答案為：；（2）解：根據(jù)題意，設(shè)點(diǎn)表示的數(shù)為，當(dāng)時，點(diǎn)到，，三點(diǎn)的距離和是：；當(dāng)時，點(diǎn)到，，三點(diǎn)的距離和是：，且；當(dāng)時，點(diǎn)到，，三點(diǎn)的距離和是：，且；當(dāng)時，點(diǎn)到，，三點(diǎn)的距離和是：，且；∴當(dāng)時，點(diǎn)到，，三點(diǎn)的距離和最小值在范圍內(nèi)，當(dāng)即時，點(diǎn)到，，三點(diǎn)的距離和最小值是7，點(diǎn)所處位置對應(yīng)的數(shù)字為2，當(dāng)時，點(diǎn)出發(fā)時間是：（秒）；故答案為：3，2，7；（3）解：，當(dāng)點(diǎn)在或之間時，最小，為800米，當(dāng)點(diǎn)在或之間時，最小，為600米，當(dāng)點(diǎn)在或之間時，最小，為400米，當(dāng)點(diǎn)在或之間時，最小，為200米，當(dāng)點(diǎn)在位置時，最小，為0米，∴最小距離和為：（米），∴當(dāng)點(diǎn)在位置時，這9個小區(qū)的居民到點(diǎn)（物資供應(yīng)站）的距離總和最小，最小值是2000米．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)軸，絕對值的幾何意義以及兩點(diǎn)間距離，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想．C級（培優(yōu)拓展）1．（2022·浙江·九年級自主招生）若關(guān)于x的方程有四個實(shí)數(shù)解，則化簡的結(jié)果是（

）A． B．0 C．2 D．4【答案】C【分析】由可化簡得,在化簡的過程中判斷的符號，從而對題中的絕對值進(jìn)行化簡．【詳解】由有四個實(shí)數(shù)解，可知a、b均不為0，且，故，∴，化簡得可知，∴，∴故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是絕對值的相關(guān)計(jì)算，理解絕對值方程四個解的意義是難點(diǎn)，會判斷絕對值符號中的每個代數(shù)式的正負(fù)是化簡的關(guān)鍵．2.（2022·湖北十堰·七年級期中）設(shè)﹣1≤x≤3，則|x﹣3|﹣|x|+|x+2|的最大值與最小值之和為__．【答案】8.5．【分析】先根據(jù)-1≤x≤3，確定x-3與x+2的符號，再對x的符號進(jìn)行討論即可．【詳解】∵﹣1≤x≤3，當(dāng)﹣1≤x≤0時，|x﹣3|﹣|x|+|x+2|＝3﹣x+x+x+2＝+5，最大值為5，最小值為4.5；當(dāng)0≤x≤3時，|x﹣3|﹣|x|+|x+2|＝3﹣x﹣x+x+2＝﹣+5，最大值為5，最小值為3.5，∴最大值與最小值之和為8.5；故答案為：8.5．【點(diǎn)睛】本題考查絕對值的化簡，掌握求絕對值的法則以及分類討論的思想方法，是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋·四川成都·七年級統(tǒng)考期末）我們對多邊形的每條邊都賦給一個特征值，將頂點(diǎn)的特征值確定為相鄰兩邊特征值差的絕對值，稱第1次“運(yùn)算”；再將邊的特征值確定為相鄰兩端點(diǎn)特征值差的絕對值，稱第2次“運(yùn)算”；如圖1是三角形經(jīng)過兩次“運(yùn)算”的示意圖，如圖2，已知某長方形的四邊的特征值分別為m，1，6，3，若這個長方形經(jīng)過三次“運(yùn)算”后，各頂點(diǎn)的特征值都為0，則滿足條件的正整數(shù)m的值為___________．【答案】8或4【分析】根據(jù)題意得出三次變換后的結(jié)果，即可得出結(jié)論【詳解】解：有題意的：第一次變換：第二次變換:∵第三次變換后特征值都為0，∴，解得：或，故答案為：8或4．【點(diǎn)睛】本題主要考查了絕對值的應(yīng)用以及新定義，解題的關(guān)鍵是要讀懂題意．4．（2023秋·陜西西安·七年級?？计谀?shí)數(shù)a，b滿足，則的最小值為______．【答案】【分析】利用絕對值的定義：“絕對值代表與原點(diǎn)的距離”可知答案．【詳解】解：∵，∴，表示a到，2的距離與b到的距離之和為8，∵時，時，，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了絕對值，掌握絕對值的意義是關(guān)鍵．5．（2022秋·浙江·七年級專題練習(xí)）先閱讀下面的材料，然后回答問題．在一條直線上有依次排列的臺機(jī)床在工作，我們要設(shè)置一個零件供應(yīng)站P，使這n臺機(jī)床到供應(yīng)站P的距離總和最小，想解決這個問題，先“退”到比較簡單的情形：如圖①所示，如果直線上有2臺機(jī)床時，很明顯設(shè)在和之間的任何地方都行，因?yàn)榧缀鸵宜叩木嚯x之和等到的距離．如圖②，如果直線上有3臺機(jī)床時，不難判斷，供應(yīng)站設(shè)在中間一臺機(jī)床處最合適，因?yàn)槿绻鸓放在處，甲和丙所走的距離之和恰好為到的距離，而如果把P放在別處，例如D處，那么甲和丙所走的距離之和仍是到的距離，可是乙還得走從到D的這一段，這是多出來的，因此P放在處是最佳選擇．不難知道，如果直線上有4臺機(jī)床，P應(yīng)設(shè)在第2臺與第3臺之向的任何地方；有5臺機(jī)床，P應(yīng)設(shè)在第3臺位置．(1)有69臺機(jī)床時，P應(yīng)設(shè)在何處？有82臺機(jī)床時，P應(yīng)設(shè)在何處？(2)有n臺機(jī)床時，P應(yīng)設(shè)在何處？(3)根據(jù)（2）的結(jié)論，求的最小值．【答案】(1)有臺機(jī)床時，P應(yīng)設(shè)在第臺處，有臺機(jī)床時，P應(yīng)設(shè)在第臺和第臺之間的任何地方(2)當(dāng)n為偶數(shù)時，P應(yīng)設(shè)在第臺和臺之間的任何位置，當(dāng)n為奇數(shù)時，P應(yīng)設(shè)在第臺的位置(3)．【分析】（1）根據(jù)閱讀材料即可求解；（2）根據(jù)（1）中所得結(jié)論，可以分兩種情況尋找到規(guī)律即可求解；（3）根據(jù)連續(xù)整數(shù)的和的計(jì)算公式即可求解．【詳解】（1）解：根據(jù)題意，直線上有3臺機(jī)床，供應(yīng)站P應(yīng)設(shè)在最中間一臺機(jī)床處，直線上有4臺機(jī)床，P應(yīng)設(shè)在第2臺與第3臺之向的任何地方，有5臺機(jī)床，P應(yīng)設(shè)在第3臺位置…，所以有臺機(jī)床時，P應(yīng)設(shè)在第臺處，有臺機(jī)床時，P應(yīng)設(shè)在第臺和第臺之間的任何地方；（2）解：當(dāng)n為偶數(shù)時，P應(yīng)設(shè)在第臺和臺之間的任何位置，當(dāng)n為奇數(shù)時，P應(yīng)