2.1.1 集合的含義與表示-2024年初升高數(shù)學無憂銜接

第第頁第2.1章2.1.1集合的含義與表示高中要求1了解集合的含義;,體會元素與集合的“屬于”關系;2針對不同的具體問題，能選擇自然語言、圖形語言、集合語言（列舉法或描述法）加以描述.1元素與集合的概念一般地，把一些能夠確定的不同的對象看成一個整體，就說這個整體是由這些對象的全體構成的集合(或集)，構成集合的每個對象叫做這個集合的元素(或成員).2集合的元素特征①確定性：給定一個集合，那么任何一個元素在不在這個集合中就確定了.

Eg：街上叫聲帥哥，是男的都回個頭，帥哥沒有明確的標準，故“帥哥”不能組成集合.②互異性：一個集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重復出現(xiàn)的.

Eg：兩個學生名字都是“熊濤”，老師也要給他們起小名"熊大""熊二"，以視區(qū)別.若集合A={1，2，a}，就意味a③無序性：集合中的元素無順序，可以任意排列、調換.Eg：高一(1)班每月都換座位也改變不了它是(1)班的事實，1，2，3={2，3，1}3元素與集合的關系若a是集合A的元素，則稱a屬于集合A，記作a∈A；

若a不是集合A的元素，則稱a不屬于集合A，記作a?A.

Eg：菱形4常用數(shù)集

自然數(shù)集(或非負整數(shù)集)，記作N；正整數(shù)集，記作N?或N+；整數(shù)集，記作有理數(shù)集，記作Q；實數(shù)集，記作R. 5集合的分類有限集，無限集，空集?.Eg：奇數(shù)集xx=2n+1,n∈Z屬于無限集，x∈R6集合的表示方法①列舉法

把集合中的元素一一列舉出來，并用花括號“{}”括起來表示集合的方法叫列舉法.②描述法

用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，稱為描述法.

方法：在花括號內先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值(或變化)范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征.

一般格式：{x∈A|p(x)}.

用符號描述法表示集合時應注意：

集合元素化簡結果{x|方程x2{?1,2}{x|不等式x2{x|?1<x<2}{x|y=函數(shù)y=x2?x?2中xR{y|y=函數(shù)y=x2?x?2中y{y|y>?{(x,y)|y=函數(shù)y=x2看集合先看元素類型.【題型1】集合元素的特征【典題1】下列說法正確的是()

A.數(shù)學成績較好的同學組成一個集合；

B.所有小的正數(shù)組成的集合；

C.集合{1,2,3,4,5}和{5,4,3,2,1}表示同一個集合；

解析由于“較好”、“小的”沒有一個明確的標準，A,B的對象不具備確定性；D中的0.5,12,14集合具有無序性，所以C是正確的；故選C.變式練習1.下列選項能組成集合的是()A．著名的運動健兒 B．英文26個字母C．非常接近0的數(shù) D．勇敢的人答案B解析著名的運動健兒，元素不確定，不能組成集合；英文26個字母，滿足集合元素的特征，所以能組成集合；非常接近0的數(shù)，元素不確定，不能組成集合；勇敢的人，元素不確定，不能組成集合；故選B．2.若集合中三個元素為邊可構成一個三角形，則該三角形一定不可能是()A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形答案D3.下列所給的對象能構成集合的是__________．(1)所有直角三角形；(2)全國高聳的山脈；(3)比較接近1的正整數(shù)全體；(4)某校高一年級的16歲以下的學生；(5)12，3，sin30°，7解析(1)能，集合元素是直角三角形；(2)不能，“高聳”的標準是模糊的、不確定的，所以元素不確定，故不能構成集合；(3)不能，“比較接近1”的標準不明確，所以元素不確定，故不能構成集合；(4)能，集合元素是“16歲以下的學生”；(5)不能，sin30°=12【題型2】元素與集合的關系【典題1】已知集合A含有兩個元素a?3和2a?1，若?3∈A，則實數(shù)a=．解析∵?3∈A，∴?3=a?3或?3=2a?1.若?3=a?3，則a=0，此時集合A含有兩個元素?3，?1，符合題意．若?3=2a－1，則a=?1，此時集合A含有兩個元素?4，?3，符合題意．綜上所述，滿足題意的實數(shù)a的值為0或?1.變式練習1.下列所給關系正確的個數(shù)是()①π∈R；②3?Q；③0∈N?；④A．1B．2C．3D．4答案B解析①②對，故選B.2.設不等式3?2x<0的解集為A．0∈M,2∈MB．0?M答案B解析當x=0時，3?2x=3>0當x=2時，3?2x=?1<03.對于集合A={2,4,6}，若a∈A，則6?解析當a=2,4滿足題意，當a=6時，4.已知非空集合M滿足：若x∈M，則11?x∈M，則當4∈M時，集合M的所有元素之積等于答案?1解析依題意，得當4∈M時，有11?4=?13∈M于是集合M的元素只有4，?13，34【題型3】集合的表示【典題1】用列舉法表示下列集合(1)11以內偶數(shù)的集合；(2)方程(x(3)一次函數(shù)y=2x與解析(1){2,4,6,8,10}；(2)解方程(x+1)(x故方程(x+1)(x(3)解方程組&y=2x因此一次函數(shù)y=2x與y=x+1【典題2】設集合B=(1)試判斷元素1，2與集合B的關系；(2)用列舉法表示集合B．解析(1)當x=1時，6當x=2時，62+2=(2)∵62+x∈N，x∴x只能取0，1，4，∴【典題3】若集合A={x|ax2?ax+1≤0}=?A．{a|0<a<4} B．{a|0≤a<4} C．{a|0<a≤4} D．{a|0≤a≤4}解析當a=0時，不等式等價于1<0，此時不等式無解；當a≠0時，要使原不等式無解，應滿足a>0即a>0a2?4a<0綜上，a的取值范圍是[0,4)．故選：B．變式練習1.集合P={x|x=2k,k∈Z}，M={x|x=2k+1,k∈Z}，S={x|x=4k+1,k∈Z}，a∈P，b∈M，設c=a+b，則有A．c∈PB．c∈MC．c∈SD．以上都不對答案B解析∵a∈P，b∈M，c=a+b，設a=2k1，k1∈Z，∴c=2k又k1+k2.已知集合A=t2+A．x+y∈A B．x?y∈A C．xy∈A D答案C解析∵集合A=t∴1∈A，2∈A,1+2=3?A，故又∵1?2=?又∵12?A，故D:“(為什么xy∈A？令x=txy=t3.集合A={x,xy,xy?1}，其中x∈Z，y∈Z且y≠0，若0∈A，則A中的元素之和為答案0解析因為0∈A，所以若x=0，則集合A={0,0,?1}不成立．所以若因為y≠0，所以xy≠0，所以必有xy?1=0，所以因為x∈Z，y∈Z，所以x=y=1或x=y=?若x=y=1，此時A={1,1,0}不成立，舍去．若x=y=?1，則所以元素之和為1?4.用列舉法表示集合M={m|答案M={0,1,2,3,5,11}解析∵12m+1∈N,m∈Z5.設M是一個非空集合，#是它的一種運算，如果滿足以下條件：(1)對M中任意元素a,b,c都有(a#b)#c=a#(b#c)；(2)對M中任意兩個元素a,b，滿足a#b∈M．則稱M對運算#封閉．下列集合對加法運算和乘法運算都封閉的為.{?2,?1,1,2}②{1,?1,0}答案②③④．解析(1)的意思是滿足結合律，(2)的意思是兩個元素運算后還屬于原集合的.①中，當a=?1，當a=?2，故①中集合對加法和乘法都不封閉，②中集合M={1,?1,0}滿足：(1)對M中任意元素a,b,c都有(2)對M中任意兩個元素a,b，滿足a+b∈M．故②中集合對加法運算封閉，同理可得對乘法運算也封閉；③中集合M=Z，整數(shù)加法和乘法運算均滿足結合律，滿足第一點，整數(shù)加整數(shù)，整數(shù)乘以整數(shù)還是整數(shù)，滿足第二點，故③中集合對加法運算和乘法運算都封閉；④中集合M=Q，有理數(shù)加法和乘法運算均滿足結合律，滿足第一點，有理數(shù)加有理數(shù)，有理數(shù)乘以有理數(shù)還是整數(shù)，滿足第二點，故④中集合對加法運算和乘法運算都封閉；故答案為：②③④6.用描述法表示下列集合：(1)大于－3且小于4的所有自然數(shù)組成的集合；(2)不等式x2(3)(陰影部分的點(包括邊界上的點)的坐標的集合)答案(1)用描述法表示為{x(2)用描述法表示為{x(3)用描述法表示為{(x7.若集合A={x|ax2+2x+1=0,a∈R}至多有一個元素，答案{解析∵集合A={∴a=0或a≠0△=4?4∴a的取值范圍是{故答案為：{a1.下列各組對象能構成集合的是()A．充分接近的所有實數(shù) B．所有的正方形C．著名的數(shù)學家 D．1，2，3，3，4，4，4，4答案B解析選項A、C不滿足集合的確定性；集合B正方形是確定的，故能構成集合；選項D不滿足集合的互異性．故選：2.集合x?1,x2A.2B.3C.4D.5答案B解析根據(jù)集合元素的互異性，x?1≠x2?1≠23.已知集合A={x|2x+A．a(chǎn)>?4 B．a(chǎn)≤?2 C．?4<a答案D解析∵1?A，2∈A，∴2×1+a≤04.已知集合A={A．0∈AB．1∈A C．?1∈A解析0,1,?1都不是x2?1>0的解，則0,1,?1?A5.若集合A={1,2,3}，B={(x,y)|x+y?4>0,x,y∈A}，A．9 B．6 C．4 D．3答案D解析通過列舉，可知x,y∈A的數(shù)對共9對，即1,1,∵B={(x,y)|x+y?4>0,x,y∈A}∴易得(2,3),(3,2),(3,3)滿足x+y?4>0∴集合B中的元素個數(shù)共3個．故選：D．6.已知A={a?2,2a2+5a答案{?解析∵﹣3∈A，A∴a?2=?32a2故答案：{?37.已知含有三個實數(shù)的集合既可表示成a,ba,1，又可表示成a2答案?1解析根據(jù)題意，由{a,ba,1}={a2又由ba的意義，則a≠0，則{a,0,1}={a則有a2=1，即集合{a,0,1}中，a≠1，則a20178.試分別用列舉法和描述法表示下列集合：(1)方程x2?x?2=0的解集；(2)大于解析(1)方程x2?x因此，用描述法表示為{x方程x2?x?2=0的根是(2)大于－1且小于7的整數(shù)可以用x表示，它滿足的條件是x∈Z且因此，用描述法表示為{x大于?1且小于7的整數(shù)有0,1,2,3,4,5,6，因此，用列舉法表示為{0,1,2,3,4,5,6}．9.設集合A={m|m?2(1)試判斷元素1,2與集合A的關系；(2)用列舉法表示集合A.答案(1)1?A；2∈A(2)A={2,5,8}解析(1)當m=1時，滿足m∈N,m≤10，而1?23=?1當m=2時，滿足m∈N,m≤10，且2?23=0∈N，故(2)根據(jù)題意，∵m∈N,m≤10，∴m?2≤8，且又因m?23∈N，∴(m?2)∈N，且是∴m?2