河北省石家莊二中高三上學期第三次聯(lián)考數(shù)學文科試題

河北省石家莊二中2020屆高三年級上學期第三次聯(lián)考數(shù)學（文科）第Ⅰ卷一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.設，，若，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據，得到，即可求解實數(shù)的取值范圍，得到答案。【詳解】由題意，集合，，因為，則，即實數(shù)取值范圍是。故選：A?！军c睛】本題主要考查了利用集合的包含關系求解參數(shù)問題，其中解答中熟練集合的包含關系，列出相應的不等式是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題。2.己知命題p：，則為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先改存在量詞為全稱量詞,再否定結論.【詳解】:.故選C.【點睛】本題考查了含有一個量詞的命題的否定,屬于基礎題.解題方法:先改量詞,再否定結論.3.己知復數(shù)z滿足（其中i為虛數(shù)單位），則（）A. B. C.1 D.【答案】B【解析】【分析】根據i的冪運算性質可得，再由復數(shù)的除法運算可求得z，從而求出.【詳解】，則，所以，.所以本題答案為B.【點睛】本題考查復數(shù)的乘除法和復數(shù)的模，解決復數(shù)問題，要通過復數(shù)的四則運算將復數(shù)表示為一般形式，結合復數(shù)相關知識求解，考查計算能力，屬于基礎題.4.中國當代數(shù)學著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：“三百七十八里關，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關，要見次日行里數(shù)，請公仔細算相還．”其意思為；“有一個人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達目的地，請問第一天走了（）A.24里 B.48里 C.96里 D.192里【答案】D【解析】【分析】每天行走的步數(shù)組成公比為的等比數(shù)列,根據前6項和為378列式可解得.【詳解】設第天行走了步,則數(shù)列是等比數(shù)列,且公比,因為,所以,所以,所以第一天走了192里.故選D【點睛】本題考查了等比數(shù)列的前項和公式中的基本量的計算,屬于基礎題.5.已知函數(shù)為偶函數(shù)，且對于任意的，都有,設，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先判斷函數(shù)在的單調性，然后根據偶函數(shù)化簡，然后比較2，，的大小，比較的大小關系.【詳解】若，則函數(shù)在是單調遞增函數(shù)，并且函數(shù)是偶函數(shù)滿足，即，，在單調遞增，，即.故選C.【點睛】本題考查利用函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的單調性比較函數(shù)值的大小，意在考查函數(shù)性質的應用，意在考查轉化和變形能力，屬于基礎題型.6.若函數(shù)的圖像向左平移（）個單位，所得的圖像關于軸對稱，則當最小時，（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據平移變換得到解析式后,利用所得的圖像關于軸對稱列式,再求最小值.【詳解】將函數(shù)的圖像向左平移（）個單位后,得到函數(shù),因為其圖像關于軸對稱,所以,,即,,因為,所以時,取得最小值,此時.故選B.【點睛】本題考查了三角函數(shù)圖像的平移變換,以及對稱軸,屬于中檔題.7.已知函數(shù)的圖象在點處的切線的斜率為，則函數(shù)的大致圖象是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】求得，得到函數(shù)在點處的切線的斜率為，得出函數(shù)，利用函數(shù)的奇偶性和特殊的函數(shù)的值，即可求解?！驹斀狻坑深}意，函數(shù)，則，則在點處的切線的斜率為，即，可得，所以函數(shù)為奇函數(shù)，圖象關于原點對稱，排除B、D項，又由當時，，排除C項，只有選項A項符合題意。故選：A?！军c睛】本題主要考查了導數(shù)的幾何意義，函數(shù)圖象的識別，以及函數(shù)的性質的應用，其中解答利用導數(shù)的幾何意義求得函數(shù)的解析式，結合函數(shù)的性質求解是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題。8.已知兩點，以及圓：，若圓上存在點，滿足，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意可知：以AB為直徑的圓與圓有公共點，從而得出兩圓圓心距與半徑的關系，列出不等式得出的范圍．【詳解】，點在以，兩點為直徑的圓上，該圓方程為：，又點在圓上，兩圓有公共點．兩圓的圓心距解得：故選D【點睛】本題考查了圓與圓位置關系，還考查了向量垂直的數(shù)量積表示，屬于中檔題．9.在直角梯形ABCD中，，，，，E是BC的中點，則A.32 B.48 C.80 D.【答案】C【解析】【分析】由向量的基本運算展開，再分別求數(shù)量積即可．【詳解】，由數(shù)量積的幾何意義可得：的值為與在方向投影的乘積，又在方向的投影為，，同理，．故選C.【點睛】本題考查向量的數(shù)量積，正確理解向量的數(shù)量積是解本題的關鍵，屬于基礎題．10.已知直線與橢圓交于兩點，且線段中點為，若直線（為坐標原點）的傾斜角為，則橢圓的離心率為()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用點差法求解可得直線和斜率間的關系，進而得到，再根據橢圓離心率的定義可得所求．【詳解】設，∵點在橢圓上，∴，兩式相減整理得，∴，即，∴，∴，∴橢圓的離心率為．故選D．【點睛】求橢圓離心率或其范圍的方法：①根據題意求出的值，再由離心率的定義直接求解．②由題意列出含有的方程(或不等式)，借助于消去，然后轉化成關于的方程(或不等式)求解．11.已知三棱錐的所有頂點都在球的球面上，平面，，，若球的表面積為，則三棱錐的側面積的最大值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意畫出圖形，設球O得半徑為R，AB=x，AC=y，由球O的表面積為29π，可得x2+y2=25，寫出側面積，再由基本不等式求最值．【詳解】設球O得半徑為R，AB=x，AC=y，由4πR2=29π，得4R2=29．又x2+y2+22=（2R）2，得x2+y2=25．三棱錐ABCD的側面積：S=S△ABD+S△ACD+S△ABC=由x2+y2≥2xy，得xy≤當且僅當x=y=時取等號，由（x+y）2=x2+2xy+y2≤2（x2+y2），得x+y≤5,當且僅當x=y=時取等號，∴S≤5+=當且僅當x=y=時取等號.∴三棱錐ABCD的側面積的最大值為.故選A.【點睛】本題考查三棱錐的外接球、三棱錐的側面積、基本不等式等基礎知識，考查空間想象能力、邏輯思維能力、運算求解能力，考查數(shù)學轉化思想方法與數(shù)形結合的解題思想方法，是中檔題．12.已知定義在上的函數(shù)關于軸對稱，其導函數(shù)為，當時，不等式.若對，不等式恒成立，則正整數(shù)的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】構造函數(shù)，求出，由題可得是在上的奇函數(shù)且在上為單調遞增函數(shù)，將轉化成，利用在上為單調遞增函數(shù)可得：恒成立，利用導數(shù)求得，解不等式可得，問題得解．【詳解】因為，所以，令，則，又因為是在上的偶函數(shù)，所以是在上的奇函數(shù)，所以是在上的單調遞增函數(shù)，又因為，可化為，即，又因為是在上的單調遞增函數(shù)，所以恒成立，令，則，因為，所以在單調遞減，在上單調遞增，所以，則，所以.所以正整數(shù)的最大值為2.故選B【點睛】本題主要考查了函數(shù)與導數(shù)的應用，函數(shù)的奇偶性、單調性、不等式恒成立等基礎知識，考查分析和轉化能力，推理論證能力，運算求解能力，構造能力，屬于難題．.第Ⅱ卷二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.已知雙曲線的右焦點為，則到其中一條漸近線的距離為__________．【答案】【解析】【分析】先求得雙曲線焦點到漸近線的距離為，由此求得到漸近線的距離.【詳解】對于任意雙曲線，其中一個焦點到漸近線（即）的距離為.又，焦點到其中一條漸近線的距離為.故填：2.【點睛】本小題主要考查雙曲線焦點到漸近線的距離，考查點到直線距離公式，屬于基礎題.14.已知銳角滿足，則等于__________．【答案】【解析】【分析】已知，計算，繼而計算，利用和差公式得到得到答案.【詳解】∵銳角滿足，∴，∴，∴，故，故答案為．【點睛】本題考查了三角恒等變換，整體代換：是解題的關鍵.15.已知數(shù)列的前項和.若是中的最大值，則實數(shù)的取值范圍是_____．【答案】【解析】【分析】先由求出，再由是中的最大值，即可求出結果.【詳解】因為，所以當時，；當時，也滿足上式；當時，，當時，，綜上，；因為是中的最大值，所以有且，解得.故答案為【點睛】本題主要考查數(shù)列的概念以及簡單表示法，熟記遞推公式即可，屬于基礎題型.16.設為橢圓:的兩個焦點．為上點，的內心I的縱坐標為，則的余弦值為_____.【答案】0【解析】【分析】因為的內心I的縱坐標為，所以可知道的內切圓的半徑為，又由三角形的內切圓半徑，可得到三角形的面積，接著根據焦點三角形的面積確定，進而求出答案.【詳解】如圖，由題意知的內切圓的半徑為，又由三角形的內切圓半徑，即，又由焦點三角形的面積，所以，所以，所以【點睛】本題主要考查通過焦點三角形的面積公式，確定的余弦值，熟悉公式的運用是解決本題的關鍵.三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據要求作答。（一）必考題：共60分。17.分別為的內角的對邊.已知.（1）若，求；（2）已知，當?shù)拿娣e取得最大值時，求的周長.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據正弦定理，將，化角為邊，即可求出，再利用正弦定理即可求出；（2）根據，選擇，所以當?shù)拿娣e取得最大值時，最大，結合（1）中條件，即可求出最大時，對應的的值，再根據余弦定理求出邊，進而得到的周長．【詳解】（1）由，得，即.因為，所以.由，得.（2）因為，所以，當且僅當時，等號成立.因為的面積.所以當時，的面積取得最大值，此時，則，所以的周長為.【點睛】本題主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，涉及到基本不等式的應用，意在考查學生的轉化能力和數(shù)學運算能力．18.設數(shù)列滿足：，.⑴求；⑵求數(shù)列的前項和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）當時，；當時，得到兩式相減求得，進而可得；（2）由（1）知，利用乘公比錯位相減法，即可求得.【詳解】（1）由題意，數(shù)列滿足：，，當時，；當時，兩式相減得：，解得，當時上式也成立，所以.（2）由（1）知，則所以兩式相減得：所以.【點睛】本題主要考查利用數(shù)列的遞推公式求解數(shù)列的通項公式、以及“錯位相減法”求和的應用，此類題目是數(shù)列問題中的常見題型，解答中確定通項公式是基礎，準確計算求和是關鍵，易錯點是在“錯位”之后求和時，弄錯等比數(shù)列的項數(shù)，能較好的考查考生的邏輯思維能力及基本計算能力等.19.如圖所示，在等腰梯形中，，，，將三角形沿折起，使點在平面上的投影落在上．（1）求證：平面平面；（2）若點為的中點，求三棱錐的體積．【答案】（1）見解析；（2）.【解析】試題分析：（1）要證平面平面，只需證平面，分析條件易得和；（2）由，只需求即可.試題解析：（1）證明：在等腰梯形中，可設，可求出，，在中，，∴，∵點在平面上的投影落在上，∴平面，平面平面，∴，又，，∴平面，而平面∴平面平面.（2）解：因為，所以，又，所以，因為，所以，解得，因為為中點，三棱錐的體積與三棱錐的體積相等，所以,因為，所以.20.已知橢圓C：的左、右焦點分別為，，離心率為，點在橢圓C上，且⊥，△F1MF2的面積為.(1)求橢圓C的標準方程；(2)已知直線l與橢圓C交于A，B兩點，，若直線l始終與圓相切，求半徑r的值.【答案】（1）.（2）.【解析】【分析】（1）由橢圓離心率為，點M在橢圓C上，且MF2⊥F1F2，△F1MF2的面積為，列出方程組求出a，b，由此能求出橢圓C的方程．（2）設直線l的方程為y＝kx+m，代入橢圓方程式，得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4＝0，由此利用韋達定理、根的判別式、點到直線的距離公式能求出半徑的【詳解】(1)設，由題意得∴，故橢圓C的方程為.(2)當直線l的斜率存在時，設其直線方程為，設A(，)，B(，)，聯(lián)立方程組，整理得，由方程的判別式△＝64k2m2﹣4（4k2+1）（4m2﹣得(1)，，由∠AOB=90°，得即而，則∴整理得把代入(1)得.而，∴，顯然滿足，直線l始終與圓相切，得圓心(0，0)到直線l的距離d=r，則，由，得∵，∴.當直線l的斜率不存在時，若直線l與圓相切，此時直線l的方程為.∴綜上所述：.【點睛】本題考查橢圓方程的求法，考查圓的半徑的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意橢圓性質、韋達定理、根的判別式、點到直線的距離公式的合理運用．21.設函數(shù)，.（1）設函數(shù)，若對任意的，都有，求實數(shù)的取值范圍；（2）設，方程在區(qū)間上有實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求得函數(shù)的導數(shù)，分類討論得到函數(shù)的單調性，列出不等式，即可求解；(2)由題意，設函數(shù)，求導得，分類討論得到函數(shù)的單調性，結合題意，得出不等式組，即可求解?！驹斀狻浚?）由題意，函數(shù)，所以.①當時，因為，所以，故，不符合題意；②當時，因，所以，故在上單調遞增.欲使對任意的都成立，則需，所以，解得.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.(2)設函數(shù)，則函數(shù)的定義域是，.①當時，的單調增區(qū)間是，單調減區(qū)間是.方程在區(qū)間上有實數(shù)解，等價于函數(shù)在上有零點，其必要條件是，即，所以.而，所以，②若，在上是減函數(shù)，，在上沒有零點；③若，，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，所以在上有零點等價于，即，解得綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.【點睛】本題主要考查導數(shù)在函數(shù)中的綜合應用，以及恒成立問題與有解問題的求解，著重考查了轉化與化歸思想、分類討論、及邏輯推理能力與計算能力，對于此類問題，通常要構造新函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，求出最值，進而得出相應的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構造新函數(shù)，直接把問題轉化為函數(shù)的最值問題．（二）選考題