數學（選修44）練習1.3第2課時直線和圓的極坐標方程

第1章1.3第二課時一、選擇題1．在極坐標系中，下列點在曲線ρ＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,6)))上的是()①eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,6)))；②eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,4)))；③eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,3)))；④eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4，－\f(π,3))).A．③④ B．①②C．①③ D．②④解析：把eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,3)))代入極坐標方程，得4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,6)))＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－\f(π,6)))＝2.則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,3)))在曲線上．把eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4，－\f(π,3)))代入極坐標方程，得4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,6)))＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)－\f(π,6)))＝－4.則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4，－\f(π,3)))在曲線上．答案：A2．過點Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(2π,3)))與極點的直線的極坐標方程為()A．ρcosθ＝2 B．ρcosθ＝－2eq\r(3)C．ρsinθ＝2eq\r(3) D．θ＝eq\f(2π,3)解析：過點Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(2π,3)))與極點的直線上任一點的極角都是eq\f(2π,3).答案：D3．若過極點的圓的方程為ρ＝sinθ，則它的圓心的極坐標為()A．(1,0) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(π,2))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(π,2)))解析：如圖所示，過極點，圓心作直線交圓于點A，M(ρ，θ)為圓上除點O，A外任意一點，則有ρ＝OAsinθ，∴|OA|＝1.∴半徑r＝|OC|＝eq\f(1,2).又sin∠AOx＝1，∴∠AOx＝eq\f(π,2).∴圓心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(π,2))).答案：D4．圓ρ＝2asinθ關于極軸對稱的圓的方程為()A．ρ＝2acosθ B．ρ＝－2acosθC．ρ＝－2asinθ D．ρ＝2asinθ解法一：根據對稱規(guī)律，把eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(θ′＝－θ，,ρ′＝ρ))代入原方程，可得原方程表示的曲線關于極軸對稱的曲線方程．∴ρ＝2asinθ關于極軸對稱的曲線方程為ρ′＝2asin(－θ)．故ρ＝－2asinθ.解法二：∵圓ρ＝2asinθ的圓心是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(π,2)))，半徑為a，∴該圓關于極軸對稱的圓的圓心應為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(3π,2)))，半徑仍為a.其方程應為ρ＝2acoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(3π,2)))，即ρ＝－2asinθ.答案：C二、填空題5．圓的極坐標方程為ρ＝4sinθ，則該圓的半徑為________.解析：由圓的極坐標方程ρ＝4sinθ，知圓是以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,2)))為圓心，2為半徑的圓，故該圓的半徑為2.答案：26．點M的極坐標是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，－\f(π,6)))，它關于直線θ＝eq\f(π,2)對稱的點的坐標是________.解析：利用圖形法．如圖，在極坐標系中畫出點M，它關于直線θ＝eq\f(π,2)的對稱點為M′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,6))).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,6)))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(或寫為\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(7π,6)))))三、解答題7．在極坐標系中，設極點O到直線l的距離為3，過點O作直線l的垂線，垂足為A，由極軸到OA的角為eq\f(π,3).求直線l的極坐標方程．解：在直線l上任取一點M(ρ，θ)，則|OM|＝ρ，∠AOM＝eq\f(π,3)－θ或θ－eq\f(π,3).故|OA|＝|OM|cos∠AOM，即ρcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－θ))＝3，這就是所求直線l的極坐標方程．8.如圖所示，點A在直線ρcosθ＝4上移動，△OPA為等腰直角三角形，△OPA的頂角為∠OPA(O，P，A三點依次按順時針方向排列)．求點P的軌跡方程．解：設A(ρ0，θ0)，P(ρ，θ)，∵點A在直線ρcosθ＝4上，∴ρ0cosθ0＝4.①∵△OPA為等腰直角三角形，且∠OPA＝eq\f(π,2)，OP＝ρ，OA＝ρ0，∠POA＝eq\f(π,4)，O，P，A三點依次按順時針方向排列，∴ρ0＝eq\r(2)ρ，且θ0＝θ－eq\f(π,4).②把②代入①，得點P的軌跡的極坐標方程為eq\r(2)ρcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝4，即ρcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝2eq\r(2).∴點P的軌跡的極坐標方程為ρcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝2eq\r(2).一、選擇題1．在極坐標系中，以點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(3π,2)))為圓心，且過極點的圓的極坐標方程是()A．ρ＝sinθ B．ρ＝2sinθC．ρ＝cosθ D．ρ＝2cosθ解析：極坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(π,2)))的點與點P重合，如圖所示．點Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,2)))是圓與過極點垂直于極軸的直線的交點，設M(ρ，θ)是圓上任意一點，則|OM|＝|OA|cos∠AOM，即ρ＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ)).∴所求圓的極坐標方程為ρ＝2sinθ.答案：B2．在極坐標系中，已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(2)，\f(π,4)))是圓上一點，則圓心在極軸上且過極點的圓的極坐標方程為()A．ρ＝2cosθ B．ρ＝2eq\r(2)cosθC．ρ＝4cosθ D．ρ＝4sinθ解析：設圓的半徑為r，則圓的方程為ρ＝2rcosθ，將點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(2)，\f(π,4)))代入該式，可求得r＝2，故所求圓的方程為ρ＝4cosθ.答案：C二、填空題3．極坐標方程ρ2－(2－sinθ)ρ－2sinθ＝0表示的曲線是________.解析：方程ρ2－(2－sinθ)ρ－2sinθ＝0可化為(ρ－2)·(p＋sinθ)＝0，表示圓ρ＝2和圓ρ＝－sinθ.答案：兩個圓4．已知曲線C1，C2的極坐標方程分別為ρcosθ＝1，ρ＝4cosθeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ρ≥0，0≤θ≤\f(π,2)))，則曲線C1與C2交點的極坐標為________.解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ρcosθ＝1，,ρ＝4cosθ\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ρ≥0，0≤θ≤\f(π,2)))，))得4cos2θ＝1，θ＝eq\f(π,3)，ρ＝2.故曲線C1，C2交點的極坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,3))).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,3)))三、解答題5．在極坐標系中，直線l的極坐標方程為2ρsinθ＝9，求點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(π,6)))到直線l的距離．解：如圖所示，直線l表示與極軸平行且在極軸上方與極軸的距離為eq\f(9,2)的一條直線．而點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(π,6)))到極軸的距離為|PQ|＝4sineq\f(π,6)＝2，故Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(π,6)))到直線l的距離為eq\f(9,2)－2＝eq\f(5,2).6．已知O