人教A版高中數(shù)學必修2專題05 立體幾何的直觀圖與簡單幾何體的表面積、體積（重難點突破）解析版

專題05立體幾何的直觀圖與簡單幾何體的表面積、體積一、考情分析二、經驗分析一、水平放置的平面圖形的直觀圖1．斜二測畫法及其規(guī)則對于平面多邊形，我們常用斜二測畫法畫它們的直觀圖.斜二測畫法是一種特殊的畫直觀圖的方法，其畫法規(guī)則是：（1）在已知圖形中取互相垂直的x軸和y軸，兩軸相交于點O.畫直觀圖時，把它們畫成對應的x′軸和y′軸，兩軸相交于點O′，且使∠x′O′y′=，它們確定的平面表示水平面.（2）（3）已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持原長度，平行于y軸的線段，長度為原來的.2．水平放置的平面圖形的直觀圖的畫法步驟（1）畫軸：在已知圖形中建立適當?shù)闹苯亲鴺讼祒Oy，畫直觀圖時，把它們畫成對應的x′軸和y′軸，兩軸相交于點O′，且使∠x′O′y′=45°.（2）定點：根據(jù)“原圖形中平行于x軸或y軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于x′軸或y′軸的線段；原圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段，長度為原來的一半”的規(guī)則，確定平面圖形的關鍵點.（3）3．建立坐標系的原則（1）平面圖形中若有互相垂直的直線，一般取這兩條互相垂直的直線作為．（2）若平面圖形為軸對稱圖形，一般取對稱軸作為；若平面圖形為中心對稱圖形，一般取對稱中心為．（3）若以上條件都不具備，則建系的原則是使多邊形的頂點盡可能多地落在上．4．常見平面圖形的直觀圖原圖直觀圖二、中心投影與平行投影1．投影的概念由于光的照射，在不透明物體后面的屏幕上可以留下這個物體的影子，這種現(xiàn)象叫做.其中，我們把光線叫做，把留下物體影子的屏幕叫做.2．中心投影（1）概念光由一點向外散射形成的投影，叫做,如圖所示.現(xiàn)實生活中見到的很多投影都是中心投影，如在電燈泡、蠟燭等點光源照射下物體的影子.（2）性質①中心投影的投影線相交于.②平行于投影面放置的物體，點光源離物體越近，投影形成的影子越.例如，在電燈泡的照射下，物體后面的屏幕上會形成影子，而且隨物體距離燈泡（或屏幕）的遠近，形成的影子大小會有所不同.3．平行投影（1）概念在一束平行光線照射下形成的投影，叫做．在平行投影中，投影線正對著投影面時，叫做，否則叫做斜投影．如圖所示.在日常生活中，常常把太陽光線看作平行光線.（2）性質①平行投影的投影線互相.②在平行投影之下，與投影面平行的平面圖形留下的影子，與這個平面圖形的形狀和大小是完全的.③當圖形中的直線或線段不平行于投影線時：(ⅰ)直線或線段的平行投影仍是；(ⅱ)平行直線的平行投影是的直線；(ⅲ)平行于投影面的線段，它的投影與這條線段；(ⅳ)與投影面平行的平面圖形，它的投影與這個圖形；(ⅴ)三、空間幾何體的三視圖1．三視圖的概念(1)光線從幾何體的前面向后面正投影，得到的投影圖叫做幾何體的;(2)光線從幾何體的左面向右面正投影，得到的投影圖叫做幾何體的;(3)光線從幾何體的上面向下面正投影，得到的投影圖叫做幾何體的.幾何體的正視圖、側視圖和俯視圖統(tǒng)稱為幾何體的三視圖.如圖.2．三視圖的畫法規(guī)則（1）排列規(guī)則：一般地，側視圖在正視圖的，俯視圖在正視圖的.如下圖：正側俯（2）畫法規(guī)則①正視圖與俯視圖的長度一致，即“”；②側視圖和正視圖的高度一致，即“”；③俯視圖與側視圖的寬度一致，即“”.（3）線條的規(guī)則①能看見的輪廓線用表示；②不能看見的輪廓線用表示.3．常見幾何體的三視圖常見幾何體正視圖側視圖俯視圖長方體矩形矩形矩形正方體正方形正方形正方形圓柱矩形矩形圓圓錐等腰三角形等腰三角形圓圓臺等腰梯形等腰梯形兩個同心的圓球圓圓圓四、空間幾何體的表面積1．棱柱、棱錐、棱臺的表面積的概念棱柱、棱錐、棱臺是由多個平面圖形圍成的多面體,它們的表面積就是各個面的面積之,因此,我們可以把多面體展開成平面圖形,利用平面圖形求面積的方法求多面體的表面積.2．棱柱、棱錐、棱臺的表面積（1）側面積：棱柱、棱錐、棱臺的側面展開圖分別是由若干個、、所組成的.側面展開圖的面積稱為幾何體的側面面積（即側面積）.由此可知，棱柱、棱錐、棱臺的側面積就是它們的各個側面的面積之和.（2）表面積：棱柱、棱錐、棱臺的平面展開圖是將其所有和展開后形成的一個平面圖形，因而平面展開圖的面積就是它們的表面積.可見，棱柱、棱錐、棱臺的表面積就是圍成這些幾何體的各個平面的面積之和，也可表示為：，，.3．直棱柱、正棱錐、正棱臺的側面面積（1）直棱柱的側面積：把直棱柱(側棱與底面垂直的棱柱)沿一條側棱剪開后，得到的側面展開圖是一個矩形.如圖(1)所示，則直棱柱的側面面積為(c為底面周長，h為側棱長).（2）正棱錐的側面積：正棱錐(底面是正多邊形，頂點在底面的正投影是底面的中心)的側面展開圖是幾個全等的等腰三角形.如圖(2)所示，則正棱錐的側面面積為(c為底面周長，h′為斜高,即側面等腰三角形底邊上的高).（3）正棱臺的側面積：正棱臺(由正棱錐截得)的側面展開圖是幾個全等的等腰梯形.如圖(3)所示，則正棱臺的側面面積為(c′，c分別為上、下底面周長，h′為斜高,即側面等腰梯形的高).4．圓柱、圓錐、圓臺的側面面積圓柱（底面半徑為r，母線長為l）圓錐（底面半徑為r，母線長為l）圓臺（上、下底面半徑分別為r′,r,母線長為l）側面展開圖底面面積S底=_____S底=πr2S上底=πr′2，S下底=πr2側面面積S側=2πrlS側=_____S側=πl(wèi)(r′+r)表面積S表=2πr(r+l)S表=πr(r+l)S表=____________四、空間幾何體的體積1．柱體、椎體、臺體的高（1）棱柱（圓柱）的高是指兩底面之間的距離，即從一底面上任意一點向另一個底面作垂線，這點與垂足（垂線與底面的交點）之間的距離.圓柱的即圓柱的高.（2）棱錐（圓錐）的高是指從頂點向底面作垂線，頂點與垂足（垂線與底面的交點）之間的距離.（3）棱臺（圓臺）的高是指兩個之間的距離.2．柱體、錐體、臺體的體積幾何體體積柱體V柱體=(S為底面面積，h為高),V圓柱=πr2h(r為底面半徑，h為高)錐體V錐體=Sh(S為底面面積，h為高)，V圓錐=(r為底面半徑，h為高)臺體(S′、S分別為上、下底面面積，h為高)，V圓臺=πh(r′2+r′r+r2)(r′、r分別為上、下底面半徑，h為高)【知識點四、組合體的表面積與體積】求組合體的表面積的問題，首先應弄清它的組成，其表面有哪些底面和側面，各個面應該怎樣求，然后根據(jù)公式求出各個面的面積，最后相加或相減.求體積時也要先弄清組成，求出各簡單幾何體的體積，再相加或相減.三、重難點題型分析重難點題型突破1空間幾何體的認識例1．（1）（2021·浙江）如圖所示，在三棱臺A′B′C′－ABC中，截去三棱錐A′－ABC，則剩余部分是（）A．三棱錐 B．四棱錐C．三棱柱 D．組合體【答案】B【分析】根據(jù)幾何體的結構特征即可判斷.【詳解】根據(jù)棱錐的結構特征可判斷，余下部分是四棱錐A′－BCC′B′．故選：B.（2）．（2021·全國高一課時練習）下面四個幾何體中，是棱臺的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)棱柱、棱錐、棱臺的結構特征，觀察可得答案.【詳解】A項中的幾何體是棱柱．B項中的幾何體是棱錐；D項中的幾何體的棱AA′，BB′，CC′，DD′沒有交于一點，則D項中的幾何體不是棱臺；C項中的幾何體是由一個棱錐被一個平行于底面的平面截去一個棱錐剩余的部分，符合棱臺的定義，是棱臺．故選：C（3）．（2021·全國高一課時練習）下面圖形中，為棱錐的是（）A．①③ B．③④ C．①②④ D．①②【答案】C【分析】根據(jù)棱錐的定義和結構特征進行判斷可得答案.【詳解】根據(jù)棱錐的定義和結構特征可以判斷，①②是棱錐，③不是棱錐，④是棱錐.故選：C【變式訓練1-1】、（2021·浙江）觀察下列四個幾何體，其中可看作是由兩個棱柱拼接而成的是________(填序號).【答案】①④【分析】根據(jù)棱柱的定義直觀分析即可求解.【詳解】①可看作由一個四棱柱和一個三棱柱組合而成，④可看作由兩個四棱柱組合而成.②③顯然不是棱柱拼接而成.故答案為：①④【變式訓練1-2】、（2021·浙江高一單元測試）下列說法正確的是________(填序號).①底面是正多邊形的棱錐為正棱錐；②各側棱都相等的棱錐為正棱錐；③各側面都是等腰三角形的棱錐為正棱錐；④各側面都是全等的等腰三角形的棱錐是正棱錐；⑤底面是正多邊形且各側面全等的棱錐為正棱錐.【答案】⑤【分析】根據(jù)正棱錐的定義結合反例可判斷各選項的正誤，從而可得正確的選項.【詳解】對于①，如果棱錐的頂點在底面上的射影不是正多邊形的中心，則此棱錐不是正棱錐，故①錯誤.對于②，如圖（1），棱錐的頂點是圓錐的頂點，而底面多邊形是圓錐底面圓的內接非正多邊形，此時棱錐滿足各側棱都相等，但不是正棱錐，故②錯誤.對于③④，如圖（2），側面都是等腰三角形，且它們全等，但該三棱錐不是正棱錐，故③④錯誤.對于⑤，因為底面是正多邊形且各側面全等的棱錐為正棱錐，故頂點底面上的射影為正多邊形的中心，此時棱錐為正棱錐，故⑤正確.故答案為：⑤【變式訓練1-3】、（多選題）（2020·肇慶市實驗中學高二期中）下列命題正確的是（）A．有兩個面互相平行，其余四個面都是等腰梯形的六面體為棱臺B．用一個平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間的部分為棱臺C．棱錐是由一個底面為多邊形，其余各面為具有公共頂點的三角形圍成的幾何體D．球面可以看作一個圓繞著它的直徑所在的直線旋轉所形成的曲面【答案】CD【分析】根據(jù)空間幾何體的定義，對選項中的命題判斷正誤即可．【詳解】解：對于A，有兩個面互相平行，其余四個面都是等腰梯形的六面體不一定為棱臺，因為不能保證各側棱的延長線交與一點，錯誤；對于B，用一個平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間的部分不一定為棱臺，因為不能保證截面與底面平行，錯誤；對于C，由棱錐的定義知由一個底面為多邊形，其余各面為具有公共頂點的三角形圍成的幾何體是棱錐，正確；對于D，球面可以看作一個圓繞著它的直徑所在的直線旋轉所形成的曲面，正確；故選：CD.例2．（2020·重慶萬州區(qū)·萬州純陽中學校高二月考）（多選題）如圖，四邊形是圓柱的軸截面，是圓柱的一條母線，已知，，，則下列說法正確的是（）A．圓柱的側面積為 B．圓柱的側面積為C．圓柱的表面積為 D．圓柱的表面積為【答案】BC【分析】根據(jù)，，由，求得底面半徑，再根據(jù)母線，利用圓柱的側面積公式和表面積公式求解.【詳解】因為，，所以，即，又因為，所以圓柱的側面積是，圓柱的表面積是，故選：BC【變式訓練2-1】、（2021·全國高三專題練習）（多選題）如圖，在棱長為的正方體中，為的中點，為上任意一點，、為上兩點，且的長為定值，則下面四個值中是定值的是（）A．點到平面的距離 B．直線與平面所成的角C．三棱錐的體積 D．的面積【答案】ACD【分析】由為上任意一點，知平面是確定，從而判斷A，而，因此與平面平行，根據(jù)直線與平面所成的角的定義可判斷B，由棱錐體積公式和三角形面積公式可判斷CD．【詳解】平面就是平面，是確定的平面，因此點到平面的距離為定值，A正確；平面即平面，而在直線上，，因此與平面平行，到平面的距離為定值，但運動時，的長度在變化，因此直線與平面所成的角也在變化，B錯誤；點到直線的距離是確定，而的長度不變，因此為定值，又到平面的距離為定值，從而三棱錐的體積為定值，C正確；，到的距離為定值，的長度不變，∴的面積為定值，D正確．故選：ACD．【點睛】關鍵點點睛：本題考查點到平面的距離，直線與平面所成的角，棱錐的體積等知識，解題關鍵是抓住，由此得平面是確定的平面，再結合定點和定長，從而確定各選項中的定值．重難點題型突破2直觀圖與斜二測畫法例3．（1）（2020·江蘇蘇州市·高一期中）已知用斜二測畫法畫得的正方形的直觀圖的面積為，那么原正方形的面積為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)斜二測畫法的原則得到直觀圖的對應邊長關系，即可求出相應的面積.【詳解】設原正方形的邊長為，根據(jù)斜二測畫法的原則可知，，高，對應直觀圖的面積為，即，故原正方形的面積為，故選：C.（2）．（2021·浙江高一單元測試）如圖所示為水平放置的正方形，在平面直角坐標系中點的坐標為，用斜二測畫法畫出它的直觀圖，則四邊形的面積為___________.【答案】【分析】用斜二測畫法畫出直觀圖后可求其面積.【詳解】用斜二測畫法畫出正方形的直觀圖如圖所示：其中，，，故四邊形的面積為，故答案為：.【變式訓練3-1】、（2021·浙江高一期末）如圖，是水平放置的的直觀圖，則的周長為________．【答案】【分析】根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則得到直角三角形的直角邊長，用勾股定理求出斜邊長可得結果.【詳解】根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則可知，，，，所以，所以的周長為.故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：掌握斜二測畫法的規(guī)則是解題關鍵.【變式訓練3-2】、．（2021·浙江麗水市·高二月考）一個三角形的斜二測畫法的直觀圖是一個邊長為的正三角形，則原三角形的面積等于________.【答案】【分析】根據(jù)斜二測畫法畫平面圖形的直觀圖的規(guī)則，可以得出一個平面圖形的面積與它的直觀圖的面積之間的關系是，先求出直觀圖即正三角形的面積，根據(jù)比值求出原三角形的面積即可．【詳解】解：根據(jù)斜二測畫法畫平面圖形的直觀圖的規(guī)則，可以得出一個平面圖形的面積與它的直觀圖的面積之間的關系是，本題中直觀圖的面積為，所以原三角形的面積等于．故答案為：【變式訓練3-3】、（2021·浙江）關于斜二測畫法所得直觀圖，以下說法正確的是（）A．等腰三角形的直觀圖仍是等腰三角形B．正方形的直觀圖為平行四邊形C．梯形的直觀圖不是梯形D．正三角形的直觀圖一定為等腰三角形【答案】B【分析】根據(jù)斜二測畫法的方法：平行于軸的線段長度減半，水平長度不變即可判斷..【詳解】由于直角在直觀圖中有的成為45°，有的成為135°；當線段與x軸平行時，在直觀圖中長度不變且仍與x軸平行，當線段與x軸平行時，線段長度減半，直角坐標系變成斜坐標系，而平行關系沒有改變.故選：B.【變式訓練3-4】、如圖，已知等腰三角形，是一個平面圖形的直觀圖，斜邊，則這個平面圖形的面積是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用斜二測畫法，由直觀圖作出原圖三角形，再利用三角形面積公式即可求解.【詳解】因為是等腰直角三角形，，所以，所以原平面圖形為：且，，所以原平面圖形的面積是，故選D【變式訓練3-5】、（2021·河南洛陽市·高一期末）已知水平放置的平面四邊形，用斜二測畫法得到的直觀圖是邊長為1的正方形，如圖所示，則的周長為（）A．2 B．6 C． D．8【答案】D【分析】根據(jù)斜二測畫法可換元原圖形，根據(jù)原圖形計算周長即可.【詳解】由直觀圖可得原圖形如圖，根據(jù)斜二測畫法可知，,在中,,又,所以四邊形的周長為,故選：D：D重難點題型突破3三視圖與空間幾何體的表面積與體積例4．（1）（2021·全國高三專題練習（理））某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)三視圖得到幾何體是底面是直角梯形的一個四棱錐，再根據(jù)錐體的體積計算公式求解即可.【詳解】根據(jù)幾何體的三祝圖可知，還原到正方體如圖，該幾何體是底面為直角梯形(上底是1，下底是，高是)，高為的四棱推，∴該幾何體的體積，故選：A【點睛】方法點睛:思考三視圖還原空間幾何體首先應深刻理解三視圖之間的關系，遵循“長對正，高平齊，寬相等”的基本原則，由三視圖畫出直觀圖的步驟和思考方法：①首先看俯視圖，根據(jù)俯視圖畫出幾何體地面的直觀圖；②觀察正視圖和側視圖找到幾何體前、后、左、右的高度；③畫出整體，然后再根據(jù)三視圖進行調整.（2）（2021·浙江高三其他模擬）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為______．【答案】【分析】根據(jù)三視圖確定空間幾何體的形狀，運用體積公式進行求解即可.【詳解】由該幾何體的三視圖可知，該幾何體為一個長方體與一個三棱錐的組合體，長方體的體積為：，三棱錐的體積為：，故該幾何體的體積為．故答案為：（3）（2021·浙江高一單元測試）將半徑為4的半圓卷成一個圓錐，則圓錐底面半徑為________，圓錐的體積為________．【答案】2，【分析】根據(jù)側面展開圖列方程計算圓錐的底面半徑，根據(jù)勾股定理計算圓錐的高，代入體積公式計算即可.【詳解】顯然圓錐的母線長為設圓錐的底面半徑為，則即,所以圓錐的高圓錐的體積故答案為：2，.【變式訓練4-1】、（2021·全國高三專題練習（理））一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)三視圖畫出幾何體的直觀圖，最后利用球和棱柱的體積公式進行求解即可.【詳解】由三視圖可知該幾何體是由個半徑為的球和個高