全國新高考1卷地區(qū)高三數(shù)學統(tǒng)計概率解答題分類完整版編完整版析（原卷版）

2024屆高三數(shù)學統(tǒng)計概率解答題分類精編精析【題型目錄】：題型一：條件概率的計算及應用題型二：離散型隨機變量分布列，期望及方差題型三：二項分布解答題有關問題題型四：統(tǒng)計概率中的中位數(shù)，百分位數(shù)，均值計算問題題型五：統(tǒng)計案例檢驗解答題題型六：線性回歸方程，相關系數(shù)有關解答題題型七：正態(tài)分布在解答題中的應用題型八：決策問題題型九：統(tǒng)計概率中與數(shù)列有關的解答題題型十：統(tǒng)計概率中與函數(shù)有關的最值范圍問題【題型分類精編精析】：題型一：條件概率的計算及應用1.（湖南省長沙市四區(qū)市聯(lián)考2024屆高三下學期3月調研考試（一模））春節(jié)臨近，為了吸引顧客，我市某大型商超策劃了抽獎活動，計劃如下：有三個抽獎項目，它們之間相互不影響，每個項目每位顧客至多參加一次，項目中獎的概率是，項目和中獎的概率都是.（1）若規(guī)定每位參加活動的顧客需要依次參加三個項目，如果三個項目全部中獎，顧客將獲得100元獎券；如果僅有兩個項目中獎，他將獲得50元獎券；否則就沒有獎券，求每位顧客獲得獎券金額的期望；（2）若規(guī)定每位顧客等可能地參加三個項目中的一個項目.已知某顧客中獎了，求他參加的是項目的概率.2．（廣東省新南方聯(lián)盟2024屆高三4月聯(lián)考）某廠有組生產用設備，由于設備使用時間過長，每組設備在一個月內均有的故障率。現(xiàn)該廠制定設備翻新計劃，每個月月初有的概率在剩余未改造設備中隨機抽取一組并在月底翻新，但月內若有設備發(fā)生故障，則無論本月有無翻新計劃及是否抽到該設備，故障的設備都將立即翻新，且該月內不再因為故障翻新其它設備（但若發(fā)生故障的不是已經在送修計劃內的設備，則計劃翻新仍將正常進行），若再有設備發(fā)生故障則將會維修（但暫不翻新）后重新投入生產.（1）求第一個月恰好翻新一組設備的概率；（2）設第一個月結束后，已翻新的設備數(shù)量為隨機變量，求的均值.3.（湖南省2024屆新高考教學教研聯(lián)盟高三第二次聯(lián)考）現(xiàn)有甲、乙、丙三個工廠生產某種相同的產品進入市場，已知甲、乙、丙三個工廠生產的產品能達到優(yōu)秀等級的概率分別為，，，現(xiàn)有某質檢部門，對該產品進行質量檢測，首先從三個工廠中等可能地隨機選擇一個工廠，然后從該工廠生產的產品抽取一件進行檢測.（1）若該質檢部門的一次抽檢中，測得的結果是該件產品為優(yōu)秀等級，求該件產品是從乙工廠抽取的概率；（2）因為三個工廠的規(guī)模大小不同，假設三個工廠進入市場的產品的比例為2∶1∶1，若該質檢部門從已經進入市場的產品中隨機抽取10件產品進行檢測，求能達到優(yōu)秀等級的產品的件數(shù)的分布列及數(shù)學期望.題型二：離散型隨機變量分布列，期望及方差1．（永州市第四中學2024屆高三數(shù)學精選試題）七選五型選擇題組是許多類型考試的熱門題型.為研究此類題型的選拔能力，建立以下模型.有數(shù)組和數(shù)組，規(guī)定與相配對則視為“正確配對”，反之皆為“錯誤配對”.設為時，對于任意都不存在“正確配對”的配對方式數(shù)，即錯排方式數(shù).(1)請直接寫出的值；(2)已知.①對和進行隨機配對，記為“正確配對”的個數(shù).請寫出的分布列并求；②試給出的證明.2.（萍鄉(xiāng)市2023—2024學年度高三二模考試試卷）定義兩組數(shù)據(jù)的“斯皮爾曼系數(shù)”為變量在該組數(shù)據(jù)中的排名和變量在該組數(shù)據(jù)中的排名的樣本相關系數(shù)，記為，其中.某校15名學生的數(shù)學成績的排名與知識競賽成績的排名如下表：數(shù)學成績的排名123456789101112131415知識競賽成績的排名153498761021214131115（1）試求這15名學生的數(shù)學成績與知識競賽成績的“斯皮爾曼系數(shù)”；（2）已知在這15名學生中有10人數(shù)學成績優(yōu)秀，現(xiàn)從這15人中隨機抽取3人，抽到數(shù)學成績優(yōu)秀的學生有人，試求的分布列和數(shù)學期望.3.（2024年大連市高三第一次模擬考試）一個不透明的盒子中有質地、大小均相同的7個小球，其中4個白球，3個黑球，現(xiàn)采取不放回的方式每次從盒中隨機抽取一個小球，當盒中只剩一種顏色時，停止取球．（1）求停止取球時盒中恰好剩3個白球的概率；（2）停止取球時，記總的抽取次數(shù)為，求的分布列與數(shù)學期望：（3）現(xiàn)對方案進行調整：將這7個球分裝在甲乙兩個盒子中，甲盒裝3個小球，其中2個白球，1個黑球：乙盒裝4個小球，其中2個白球，2個黑球．采取不放回的方式先從甲盒中每次隨機抽取一個小球，當盒中只剩一種顏色時，用同樣的方式從乙盒中抽取，直到乙盒中所剩小球顏色和甲盒剩余小球顏色相同，或者乙盒小球全部取出后停止．記這種方案的總抽取次數(shù)為Y，求Y的數(shù)學期望，并從實際意義解釋X與Y的數(shù)學期望的大小關系．4．（岳陽市2024屆高三教學質量監(jiān)測（二））用1，2，3，4，5，6這六個數(shù)組成無重復數(shù)字的六位數(shù)，則（1）在數(shù)字1，3相鄰的條件下，求數(shù)字2，4，6也相鄰的概率；（2）對于這個六位數(shù)，記夾在三個偶數(shù)之間的奇數(shù)的總個數(shù)為，求的分布列與期望．題型三：二項分布解答題有關問題1.（河北省2024屆高三年級適應性測試）2024年初，多地文旅部門用各種形式展現(xiàn)祖國大美河山，掀起了一波旅游熱潮．某地游樂園一迷宮票價為8元，游客從處進入，沿圖中實線游玩且只能向北或向東走，當路口走向不確定時，用拋硬幣的方法選擇，硬幣正面朝上向北走，否則向東走（每次拋擲硬幣等可能出現(xiàn)正反兩個結果）直到從號出口走出，且從號出口走出，返現(xiàn)金元．（1）隨機調查了進游樂園的50名游客，統(tǒng)計出喜歡走迷宮的人數(shù)如表：男性女性總計喜歡走迷宮121830不喜歡走迷宮13720總計252550判斷能否在犯錯誤的概率不超過的前提下，認為喜歡走迷宮與性別有關？附：0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828（2）走迷宮“路過路口”記為事件，從“號走出”記為事件，求和的值；（3）設每天走迷宮的游客為500人，則迷宮項目每天收入約為多少？2.（貴陽市2024年高三年級適應性考試（一））猜燈謎，是我國獨有的民俗文娛活動，是從古代就開始流傳的元宵節(jié)特色活動.每逢農歷正月十五傳統(tǒng)民間都要把謎語寫在紙條上并貼在彩燈上供人猜.在一次猜燈謎活動中，若甲?乙兩名同學分別獨立競猜，甲同學猜對每個燈謎的概率為，乙同學猜對每個燈謎的概率為.假設甲?乙猜對每個燈謎都是等可能的，試求：（1）甲?乙任選1個獨立競猜，求甲?乙恰有一人猜對的概率；（2）活動規(guī)定：若某人任選2個進行有獎競猜，都猜對則可以在箱中參加抽取新春大禮包的活動，中獎概率是；沒有都猜對則在箱中參加抽取新春大禮包的活動，中獎概率是，求甲同學抽中新春大禮包的概率；（3）甲?乙各任選2個獨立競猜，設甲?乙猜對燈謎的個數(shù)之和為，求的分布列與數(shù)學期望.3．（杭州市2024屆高三年級教學質量檢測）在概率統(tǒng)計中，常常用頻率估計概率．已知袋中有若干個紅球和白球，有放回地隨機摸球次，紅球出現(xiàn)次．假設每次摸出紅球的概率為，根據(jù)頻率估計概率的思想，則每次摸出紅球的概率的估計值為．（1）若袋中這兩種顏色球的個數(shù)之比為，不知道哪種顏色的球多．有放回地隨機摸取3個球，設摸出的球為紅球的次數(shù)為，則．注：表示當每次摸出紅球的概率為時，摸出紅球次數(shù)為的概率）（ⅰ）完成下表；0123（ⅱ）在統(tǒng)計理論中，把使得的取值達到最大時的，作為的估計值，記為，請寫出的值．（2）把（1）中“使得的取值達到最大時的作為的估計值”的思想稱為最大似然原理．基于最大似然原理的最大似然參數(shù)估計方法稱為最大似然估計．具體步驟：先對參數(shù)構建對數(shù)似然函數(shù)，再對其關于參數(shù)求導，得到似然方程，最后求解參數(shù)的估計值．已知的參數(shù)的對數(shù)似然函數(shù)為，其中．求參數(shù)的估計值，并且說明頻率估計概率的合理性．題型四：統(tǒng)計概率中的中位數(shù)，百分位數(shù)，均值計算問題1.（遼寧省鞍山市普通高中2023—2024學年度高三第二次質量監(jiān)測）鞍山市普通高中某次高三質量監(jiān)測考試后，將化學成績按賦分規(guī)則轉換為等級分數(shù)（賦分后學生的分數(shù)全部介于30至100之間）．某校為做好本次考試的評價工作，從本校學生中隨機抽取了50名學生的化學等級分數(shù)，經統(tǒng)計，將分數(shù)按照，，，，，，分成7組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求頻率分布直方圖中的值，并估計這50名學生分數(shù)的中位數(shù)；（2）在這50名學生中用分層抽樣的方法從分數(shù)在，，的三組中抽取了11人，再從這11人中隨機抽取3人，記為3人中分數(shù)在的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望．2.（2024年邵陽市高三第二次聯(lián)考試題卷）為了選拔創(chuàng)新型人才，某大學對高三年級學生的數(shù)學學科和物理學科進行了檢測（檢測分為初試和復試），共有4萬名學生參加初試.組織者隨機抽取了200名學生的初試成績，繪制了頻率分布直方圖，如圖所示.（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求的值及樣本平均數(shù)的估計值；（2）若所有學生的初試成績近似服從正態(tài)分布，其中為樣本平均數(shù)的估計值，.規(guī)定初試成績不低于90分的學生才能參加復試，試估計能參加復試的人數(shù)；（3）復試筆試試題包括兩道數(shù)學題和一道物理題，已知小明進入了復試，且在復試筆試中答對每一道數(shù)學題的概率均為，答對物理題的概率為.若小明全部答對的概率為，答對兩道題的概率為，求概率的最小值.附：若隨機變量服從正態(tài)分布，則，.題型五：統(tǒng)計案例檢驗解答題（河南省2024屆高三年級TOP二十名校質檢一數(shù)學）近年來，短視頻作為以視頻為載體的聚合平臺，社交屬性愈發(fā)突出，在用戶生活中覆蓋面越來越廣泛，針對短視頻的碎片化缺陷，將短視頻剪接成長視頻勢必成為一種新的技能.某機構在網(wǎng)上隨機對1000人進行了一次市場調研，以決策是否開發(fā)將短視頻剪接成長視頻的，得到如下數(shù)據(jù)：青年人中年人老年人對短視頻剪接成長視頻的APP有需求200對短視頻剪接成長視頻的APP無需求150其中的數(shù)據(jù)為統(tǒng)計的人數(shù)，已知被調研的青年人數(shù)為400.（1）求的值；（2）根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析對短視頻剪接成長視頻的APP的需求，青年人與中老年人是否有差異？參考公式：，其中.2.（山東省“齊魯名校聯(lián)盟”2023—2024學年高三年級第七次聯(lián)考）某汽車文化自媒體公司主打對越野車越野能力的測評，為調查車友們對越野車的了解程度，隨機抽取了200名車友進行調查，得到如下表的數(shù)據(jù)：女性男性總計比較了解78不太了解38總計140200（1）完成上面的列聯(lián)表，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認為車友對越野車的了解程度與性別有關？（2）該公司組織5名駕駛水平相當?shù)膯T工在戶外場地進行汽車越野活動，他們需要合作闖關，一共有兩關，每次由一名員工上場，闖過第一關才能闖第二關，若闖某一關失敗，則換下一名員工從失敗的這一關開始闖，同一員工不重復上場，當有人闖過第二關時或者5名員工都闖關失敗時活動結束．若無論前面的闖關結果如何，每名員工闖過第一關的概率都為，闖過第二關的概率都為，求第三名員工闖關后活動恰好結束的概率．附：．0.050.0250.0053.8415.0247.8793.（2024年湖北省七市州高三年級3月聯(lián)合統(tǒng)一調研測試）某高中學校為了解學生參加體育鍛煉的情況，統(tǒng)計了全校所有學生在一年內每周參加體育鍛煉的次數(shù)，現(xiàn)隨機抽取了60名同學在某一周參加體育鍛煉的數(shù)據(jù)，結果如下表：一周參加體育鍛煉次數(shù)01234567合計男生人數(shù)1245654330女生人數(shù)4556432130合計579111086460（1）若將一周參加體育鍛煉次數(shù)為3次及3次以上的，稱為“經常鍛煉”，其余的稱為“不經常鍛煉”.請完成以下列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認為性別因素與學生體育鍛煉的經常性有關系；性別鍛煉合計不經常經常男生女生合計（2）若將一周參加體育鍛煉次數(shù)為0次的稱為“極度缺乏鍛煉”，“極度缺乏鍛煉”會導致肥胖等諸多健康問題.以樣本頻率估計概率，在全校抽取20名同學，其中“極度缺乏鍛煉”的人數(shù)為，求和；（3）若將一周參加體育鍛煉6次或7次的同學稱為“運動愛好者”，為進一步了解他們的生活習慣，在樣本的10名“運動愛好者”中，隨機抽取3人進行訪談，設抽取的3人中男生人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望.附：0.10.050.012.7063.8416.635題型六：線性回歸方程，相關系數(shù)有關解答題1．2024年常德市高三年級模擬考試某市組織宣傳小分隊進行法律法規(guī)宣傳，某宣傳小分隊記錄了前9天每天普及的人數(shù)，得到下表：時間（天）123456789每天普及的人數(shù)y8098129150203190258292310(1)從這9天的數(shù)據(jù)中任選4天的數(shù)據(jù)，以X表示4天中每天普及人數(shù)不少于240人的天數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望；(2)由于統(tǒng)計人員的疏忽，第5天的數(shù)據(jù)統(tǒng)計有誤，如果去掉第5天的數(shù)據(jù)，試用剩下的數(shù)據(jù)求出每天普及的人數(shù)y關于天數(shù)的線性回歸方程.（參考數(shù)據(jù)：附：對于一組數(shù)據(jù)，，……，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為：）2．（20232024學年第二學期天域全國名校協(xié)作體聯(lián)考）據(jù)新華社北京2月26日報道，中國航天全年預計實施100次左右發(fā)射任務，有望創(chuàng)造新的紀錄，我國首個商業(yè)航天發(fā)射場將迎來首次發(fā)射任務，多個衛(wèi)星星座將加速織網(wǎng)建設；中國航天科技集團計劃安排近70次宇航發(fā)射任務，發(fā)射290余個航天器，實施一系列重大工程任務．由于航天行業(yè)擁有廣闊的發(fā)展前景，有越來越多的公司開始從事航天研究，某航天公司研發(fā)了一種火箭推進器，為測試其性能，對推進器飛行距離與損壞零件數(shù)進行了統(tǒng)計，數(shù)據(jù)如下：飛行距離x（）5663717990102110117損壞零件數(shù)y（個）617390105119136149163參考數(shù)據(jù)：，，，（1）建立y關于x的回歸模型，根據(jù)所給數(shù)據(jù)及回歸模型，求y關于x的回歸方程（精確到0.1，精確到1）；（2）該公司進行了第二項測試，從所有同型號推進器中隨機抽取100臺進行等距離飛行測試，對其中60臺進行飛行前保養(yǎng)，測試結束后，有20臺報廢，其中保養(yǎng)過的推進器占比30%，請根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認為推進器是否報廢與保養(yǎng)有關？保養(yǎng)未保養(yǎng)合計報廢20未報廢合計60100附：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，，，．0.250.10.050.0250.010.0011.3232.7063.8415.0246.63510.8283．（邯鄲市2024屆高三年級第三次調研考試）某民營學校為增強實力與影響力，大力招攬名師、建設校園硬件設施，近5年該校招生人數(shù)的數(shù)據(jù)如下表：年份序號x12345招生人數(shù)y/千人0.811.31.72.2（I）由表中數(shù)據(jù)可看出，可用線性回歸模型擬合與的關系，請用相關系數(shù)加以證明；（II）求關于的回歸直線方程，并預測當年份序號為7時該校的招生人數(shù)．參考數(shù)據(jù)：，，．參考公式：相關系數(shù)，回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，．題型七：正態(tài)分布在解答題中的應用1.（2024屆安徽省“江南十?！甭?lián)考）某產品的尺寸與標準尺寸的誤差絕對值不超過4即視為合格品，否則視為不合格品.假設誤差服從正態(tài)分布且每件產品是否為合格品相互獨立.現(xiàn)隨機抽取100件產品，誤差的樣本均值為0，樣本方差為4.用樣本估計總體.（1）試估計100件產品中不合格品的件數(shù)（精確到1）；（2）在（1）的條件下，現(xiàn)出售隨機包裝的100箱該產品，每箱均有100件產品.收貨方對每箱產品均采取不放回地隨機抽取方式進行檢驗，箱與箱之間的檢驗相互獨立.每箱按以下規(guī)則判斷是否接受該箱產品：如果抽檢的第1件產品不合格，則拒絕該箱產品；如果抽檢的第1件產品合格，則再抽1件，如果抽檢的第2件產品合格，則接受該箱產品，否則拒絕該箱產品.若該箱產品通過檢驗后生產方獲利1000元；該箱產品被拒絕，則虧損89元.求100箱該產品利潤的期望值.附：若隨機變量服從正態(tài)分布，則，題型八：決策問題1.（湖北省十一校20232024學年高三下學期第二次聯(lián)考數(shù)學試題）2023年12月30號，長征二號丙/遠征一號S運載火箭在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心點火起飛，隨后成功將衛(wèi)星互聯(lián)網(wǎng)技術實驗衛(wèi)星送入預定軌道，發(fā)射任務獲得圓滿完成，此次任務是長征系列運載火箭的第505次飛行，也代表著中國航天2023年完美收官．某市一調研機構為了了解當?shù)貙W生對我國航天事業(yè)發(fā)展的關注度，隨機的從本市大學生和高中生中抽取一個容量為n的樣本進行調查，調查結果如下表：學生群體關注度合計關注不關注大學生高中生合計附：，其中．（1）完成上述列聯(lián)表，依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，認為關注航天事業(yè)發(fā)展與學生群體有關，求樣本容量n的最小值；（2）該市為了提高本市學生對航天事業(yè)的關注，舉辦了一次航天知識闖關比賽，包含三個問題，有兩種答題方案選擇：方案一：回答三個問題，至少答出兩個可以晉級；方案二：在三個問題中，隨機選擇兩個問題，都答對可以晉級．已知小華同學答出三個問題的概率分別是，，，小華回答三個問題正確與否相互獨立，則小華應該選擇哪種方案晉級的可能性更大？（說明理由）2.（湖南省2024屆高三九校聯(lián)盟第二次聯(lián)考）猜歌名游戲是根據(jù)歌曲的主旋律制成的鈴聲來猜歌名，該游戲中有A，B，C三首歌曲.嘉賓甲參加猜歌名游戲，需從三首歌曲中各隨機選一首，自主選擇猜歌順序，只有猜對當前歌曲的歌名才有資格猜下一首，并且獲得本歌曲對應的獎勵基金.假設甲猜對每首歌曲的歌名相互獨立，猜對三首歌曲的概率及猜對時獲得相應的獎勵基金如下表：歌曲猜對的概率0.80.50.5獲得獎勵基金金額/元100020003000（1）求甲按“”的順序猜歌名，至少猜對兩首歌名的概率；（2）甲決定按“”或者“”兩種順序猜歌名，請你計算兩種猜歌順序嘉賓甲獲得獎勵基金的期望；為了得到更多的獎勵基金，請你給出合理的選擇建議，并說明理由.3.（益陽市2024屆高三4月教學質量檢測）新鮮是水果品質的一個重要指標.某品牌水果銷售店，為保障所銷售的某種水果的新鮮度，當天所進的水果如果當天沒有銷售完畢，則第二天打折銷售直至售罄．水果銷售店以每箱進貨價50元、售價100元銷售該種水果，如果當天賣不完，則剩下的水果第二天將在原售價的基礎上打五折特價銷售，而且要整體支付包裝更換與特別處理等費用30元．這樣才能保障第二天特價水果售罄，并且不影響正價水果銷售，水果銷售店經理記錄了在連續(xù)50天中該水果的日銷售量x（單位：箱）和天數(shù)y（單位：天）如下表所示：日銷售量x（單位：箱）2223242526天數(shù)y（單位：天）10101596（1）為能減少打折銷售份額，決定地滿足顧客需求（即在100天中，大約有70天可以滿足顧客需求）．請根據(jù)上面表格中的數(shù)據(jù)，確定每天此種水果的進貨量的值.（以箱為單位，結果保留一位小數(shù)）（2）以這50天記錄的日需求量的頻率作為日需求量的概率，設（1）中所求的值滿足，請以期望作為決策依據(jù)，幫銷售店經理判斷每天購進此種水果是箱劃算還是箱劃算？4．（華嬌教育2024年廣東省普通高中畢業(yè)班綜合能力檢測）某商場舉辦摸球贏購物券活動．現(xiàn)有完全相同的甲?乙兩個小盒，每盒中有除顏色外形狀和大小完全相同的10個小球，其中甲盒中有8個黑球和2個白球，乙盒中有3個黑球和7個白球．參加活動者首次摸球，可從這兩個盒子中隨機選擇一個盒子，再從選中的盒子中隨機摸出一個球，若摸出黑球，則結束摸球，得300元購物券；若摸出的是白球，則將摸出的白球放回原來盒子中，再進行第二次摸球．第二次摸球有如下兩種方案：方案一，從原來盒子中隨機摸出一個球；方案二，從另外一個盒子中隨機摸出一個球．若第二次摸出黑球，則結束摸球，得200元購物券；若摸出的是白球，也結束摸球，得100元購物券．用X表示一位參加活動者所得購物券的金額．(1)在第一次摸出白球的條件下，求選中的盒子為甲盒的概率．(2)①在第一次摸出白球的條件下，通過計算，說明選擇哪個方案第二次摸到黑球的概率更大；②依據(jù)以上分析，求隨機變量的數(shù)學期望的最大值.題型九：統(tǒng)計概率中與數(shù)列有關的解答題1.（2024屆河北省承德市部分高中二模數(shù)學試題）王老師每天早上7：00準時從家里出發(fā)去學校，他每天只會從地鐵與汽車這兩種交通工具之間選擇一個乘坐.王老師多年積累的數(shù)據(jù)表明，他到達學校的時間在兩種交通工具下的概率分布如下表所示：到校時間之前之后乘地鐵0.10.150.350.20.150.05乘汽車0.250.30.20.10.10.05（例如：表格中0.35的含義是如果王老師當天乘地鐵去學校，則他到校時間在的概率為0.35.）（1）某天早上王老師通過拋一枚質地均勻的硬幣決定乘坐地鐵還是乘坐汽車去學校，若正面向上則坐地鐵，反面向上則坐汽車，求他當天7：407：45到校的概率；（2）已知今天（第一天）王老師選擇乘坐地鐵去學校，從第二天開始，若前一天到校時間早于則當天他會乘坐地鐵去學校，否則當天他將乘坐汽車去學校，且若他連續(xù)10天乘坐地鐵，則不論他前一天到校的時間是否早于第11天他都將坐汽車到校.記他從今天起（包括今天）到第一次乘坐汽車去學校前坐地鐵的次數(shù)為求；（3）已知今天（第一天）王老師選擇乘坐地鐵去學校.從第二天開始，若他前一天坐地鐵去學校且到校時間早于則當天他會乘坐地鐵去學校；若他前一天坐地鐵去學校且到校時間晚于則當天他會乘坐汽車去學校；若他前一天乘坐汽車去學校，則不論他前一天到校的時間是否早于當天他都會乘坐地鐵去學校.記為王老師第天坐地鐵去學校的概率，求的通項公式.2.（2024屆明日之星高考數(shù)學精英模擬卷）現(xiàn)有紅、綠、藍三種顏色的箱子，其中紅箱中有4個紅球，2個綠球，2個藍球；綠箱中有2個紅球，4個綠球，2個藍球；藍箱中有2個紅球，2個綠球，4個藍球，所有球的大小、形狀、質量完全相同.第一次從紅箱中隨機抽取一球，記錄顏色后將球放回去；第二次要從與第一次記錄顏色相同的箱子中隨機抽取一球，記錄顏色后將球放回去；以此類推，第次是從與第k次記錄顏色相同的箱子中隨機抽取一球，記錄顏色后放回去，記第n次取出的球是紅球的概率為.（1）求第3次取出的球是藍球的概率；（2）求的解析式.3.（安徽省黃山市2024屆高中畢業(yè)班第二次質量檢測數(shù)學試題）學校食堂為了減少排隊時間，從開學第天起，每餐只推出即點即取的米飯?zhí)撞秃兔媸程撞?某同學每天中午都會在食堂提供的兩種套餐中選擇一種套餐，若他前天選擇了米飯?zhí)撞?，則第天選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿?；若他前天選擇了面食套餐，則第天選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿?已知他開學第天中午選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿?（1）求該同學開學第天中午選擇米飯?zhí)撞偷母怕?；?）記該同學開學第天中午選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿?證明：當時，. 4.（河南省安陽市2024屆高三上學期第一次模擬考試）為了驗證某種新能源汽車電池的安全性，小王在實驗室中進行了次試驗，假設小王每次試驗成功的概率為，且每次試驗相互獨立．（1）若小王某天進行了4次試驗，且，求小王這一天試驗成功次數(shù)的分布列以及期望；（2）若恰好成功2次后停止試驗，，以表示停止試驗時試驗的總次數(shù)，求．（結果用含有的式子表示）5.（寧波“十校”2024屆高三3月聯(lián)考）為了驗證某款電池的安全性，小明在實驗室中進行試驗，假設小明每次