遼寧省錦州市北寧中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期摸底試題含解析

遼寧省錦州市北寧中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.給出下列命題：（1）設(shè)隨機(jī)變量X～N（1，52），且P（X≤0）=P（X＞a﹣2），則實(shí)數(shù)a的值為4．（2）已知事件A、B是相互獨(dú)立事件，若P（A）=0.15，P（B）=0.60，則P（B）=0.51（表示事件A的對(duì)立事件）．（3）（+）18的二項(xiàng)展開式中，共有4個(gè)有理項(xiàng)．（4）由曲線y=3﹣x2和直線y=2x所圍成的面積為．則其中真命題的序號(hào)是（）A．（1）、（2） B．（1）、（3） C．（2）、（3） D．（1）、（2）、（3）、（4）參考答案：D【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用．【專題】概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】（1）依題意，知P（X≤0）=P（X＞2）=P（X＞a﹣2），即a﹣2=2，于是可求得實(shí)數(shù)a的值，可判斷（1）；（2）利用相互獨(dú)立事件與對(duì)立事件的概率公式，可知P（B）=P（）P（B）=[1﹣P（A）]P（B），計(jì)算后可判斷（2）（表示事件A的對(duì)立事件）；（3）利用（+）18的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式Tr+1=??=?（0≤r≤18），令6﹣為整數(shù)，可求得r的值，從而可判斷（3）；（4）作出曲線y=3﹣x2和直線y=2x所圍成的圖形，設(shè)其面積為S，利用微積分基本定理計(jì)算后可判斷（4）．【解答】解：對(duì)于（1），∵隨機(jī)變量X～N（1，52），∴P（X≤0）=P（X＞2），∵P（X≤0）=P（X＞a﹣2），∴a﹣2=2，解得：a=4，即實(shí)數(shù)a的值為4，故（1）正確；對(duì)于（2），事件A、B是相互獨(dú)立事件，P（A）=0.15，P（B）=0.60，則P（B）=P（）P（B）=[1﹣P（A）]P（B）=0.85×0.60=0.51（表示事件A的對(duì)立事件），故（2）正確；對(duì)于（3），（+）18的二項(xiàng)展開式中，Tr+1=??=?（0≤r≤18），當(dāng)r=0、6、12、18時(shí)，6﹣為整數(shù)，即（+）18的二項(xiàng)展開式中共有4個(gè)有理項(xiàng)，故（3）正確；對(duì)于（4），由曲線y=3﹣x2和直線y=2x所圍成的圖形如下，設(shè)陰影部分的面積為S，由得：x2+2x﹣3=0，解得：x=﹣3或x=1，則S=（3﹣x2﹣2x）dx=（3x﹣﹣x2）=（2﹣）﹣（﹣9+9﹣9）=，故（4）正確．綜上所述，其中真命題的序號(hào)是：（1）（2）（3）（4）．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，綜合考查正態(tài)分布、概率與統(tǒng)計(jì)、微積分基本定理及二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，屬于難題．2.函數(shù)的定義域?yàn)?，圖象如圖1所示；函數(shù)的定義域?yàn)?，圖象如圖2所示．若集合,，則中元素的個(gè)數(shù)為（A）

（B）（C）

（D）參考答案：C【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)圖象函數(shù)及其表示【試題解析】因?yàn)榧矗?/p>

即

所以，

中元素的個(gè)數(shù)為

3

故答案為：C3.已知雙曲線：，當(dāng)雙曲線C1的焦距取得最小值時(shí)，其右焦點(diǎn)恰為拋物線C2：的焦點(diǎn)、若A、B是拋物線C2上兩點(diǎn)，，則AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（

）A. B.2 C. D.3參考答案：B【分析】根據(jù)二次函數(shù)取得最小值的條件，求得，從而可得雙曲線方程，再根據(jù)雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)求得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，可得拋物線方程，然后根據(jù)拋物線的定義和中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得答案.【詳解】由題意可得，即有，由，可得當(dāng)時(shí)，焦距取得最小值，所以雙曲線的方程為，于是右焦點(diǎn)為，即拋物線的焦點(diǎn)為，所以，，則拋物線：，準(zhǔn)線方程，設(shè)，，∴，解得，∴線段的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為2.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線和拋物線的幾何性質(zhì)，考查了二次函數(shù)求最值，考查了拋物線的定義，屬于基礎(chǔ)題.4.函數(shù)，在區(qū)間上任取一點(diǎn)，則的概率為（）．A.

B.C.

D.參考答案：A5.若函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，的部分圖象如圖所示，，當(dāng)時(shí)，則的最大值為（

）A．

B．

C．

D．3參考答案：C由圖得再將代入中，得，則，結(jié)合，令可得，（為常數(shù)），當(dāng)時(shí)，，則：

6.在5×5的棋盤中，放入3顆黑子和2顆白子，它們均不在同一行且不在同一列，則不同的排列方法種數(shù)為(

)A．150

B．200

C．600

D．1200參考答案：D略7.如圖，點(diǎn)列{An}、{Bn}分別在銳角兩邊（不在銳角頂點(diǎn)），且|AnAn+1|=|An+1An+2|，An≠An+2，|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|，Bn≠Bn+1，n∈N*（P≠Q(mào)表示點(diǎn)P與Q不重合），若dn=|AnBn|，Sn為△AnBnBn+1的面積，則（）A．{dn}是等差數(shù)列 B．{Sn}是等差數(shù)列C．nnnujbl是等差數(shù)列 D．{S}是等差數(shù)列參考答案：B【考點(diǎn)】數(shù)列的概念及簡(jiǎn)單表示法．【專題】綜合題；轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】設(shè)銳角的頂點(diǎn)為O，再設(shè)|OA1|=a，|OB1|=c，|AnAn+1|=|An+1An+2|=b，|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|=d，由于a，c不確定，判斷C，D不正確，設(shè)△AnBnBn+1的底邊BnBn+1上的高為hn，運(yùn)用三角形相似知識(shí)，hn+hn+2=2hn+1，由Sn=d?hn，可得Sn+Sn+2=2Sn+1，進(jìn)而得到數(shù)列{Sn}為等差數(shù)列【解答】解：設(shè)銳角的頂點(diǎn)為O，|OA1|=a，|OB1|=c，|AnAn+1|=|An+1An+2|=b，|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|=d，由于a，c不確定，則{dn}不一定是等差數(shù)列，{dn2}不一定是等差數(shù)列，設(shè)△AnBnBn+1的底邊BnBn+1上的高為hn，由三角形的相似可得==，==，兩式相加可得，==2，即有hn+hn+2=2hn+1，由Sn=d?hn，可得Sn+Sn+2=2Sn+1，即為Sn+2﹣Sn+1=Sn+1﹣Sn，則數(shù)列{Sn}為等差數(shù)列．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列的判斷，注意運(yùn)用三角形的相似和等差數(shù)列的性質(zhì)，考查化簡(jiǎn)整理的推理能力，屬于中檔題．8.如圖，元件Ai（i=1，2，3，4）通過(guò)電流的概率均為0.9，且各元件是否通過(guò)電流相互獨(dú)立，則電流能在M，N之間通過(guò)的概率是（） A．0.729 B． 0.8829 C． 0.864 D． 0.9891參考答案：B略9.已知函數(shù)若a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c），則的取值范圍是(

)A．（4，13） B．（8，9） C．（23，27） D．（13，15）參考答案：D【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃．【專題】不等式的解法及應(yīng)用．【分析】畫出圖象得出當(dāng)f（a）=f（b）=f（c），a＜b＜c時(shí)，0＜a＜1＜b＜c＜12，ab=1，化簡(jiǎn)3ab+=3+c，即可求解范圍解：函數(shù)，f（a）=f（b）=f（c），a＜b＜c，∴0＜a＜1＜b＜c＜12，ab=1，∴3ab+=3+c，13＜3+c＜15，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的性質(zhì)，運(yùn)用圖象得出a，b，c的范圍，關(guān)鍵是得出ab=1，代數(shù)式的化簡(jiǎn)，不等式的運(yùn)用，屬于中檔題10.已知雙曲線的離心率為2，若拋物線的焦點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離是2，則拋物線的方程是A. B. C. D.參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.某幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖和側(cè)視圖均為等腰直角三角形，俯視圖是圓心角為直角的扇形，則該幾何體的體積為

．參考答案：考點(diǎn)：由三視圖求面積、體積．專題：計(jì)算題；空間位置關(guān)系與距離．分析：根據(jù)幾何體的三視圖，得出該幾何體是圓錐的一部分，結(jié)合三視圖中的數(shù)據(jù)，求出幾何體的體積．解答： 解：根據(jù)幾何體的三視圖，得；該幾何體是圓錐的一部分，且底面是半徑為2的圓面，高為2，∴該幾何體的體積為：V幾何體=×π?22×2=．故答案為：．點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用幾何體的三視圖求體積的應(yīng)用問(wèn)題，解題的根據(jù)是由三視圖得出幾何體的結(jié)構(gòu)特征，是基礎(chǔ)題目．12.上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)k，則事件“直線y=kx與圓相交”發(fā)生的概率為

參考答案：13.如圖，在中，分別是上一點(diǎn)，滿足，若，則的面積為

參考答案：過(guò)點(diǎn)作于，如圖所示．由，知，再由，得．設(shè)，則．又，得，，．于是勾股定理，得．又由余弦定理，得．又，所以，所以，解得或（舍去），所以＝．14.若數(shù)列為等差數(shù)列，且，則的值等于

參考答案：略15.現(xiàn)有邊長(zhǎng)為3，4，5的兩個(gè)三角形紙板和邊長(zhǎng)為4，5，的兩個(gè)三角形紙板，用這四個(gè)三角形圍成一個(gè)四面體，則這個(gè)四面體的體積是_______________。參考答案：答案：816.已知函數(shù)，若方程f（x）=t恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是

．參考答案：（0，2）

【考點(diǎn)】根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷．【分析】由題意，畫出已知函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象找出滿足與y=t有三個(gè)交點(diǎn)的t的范圍．【解答】解：已知函數(shù)的圖象如圖：方程f（x）=t恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則圓錐函數(shù)圖象與y=t有三個(gè)交點(diǎn)，由圖象可知，當(dāng)t∈（0，2）滿足題意；故答案為：（0，2）17.若表示不超過(guò)x的最大整數(shù)（如：等等），則

．參考答案：2017所以，因此2017

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本小題滿分12分）某校50名學(xué)生參加智力答題活動(dòng)，每人回答3個(gè)問(wèn)題，答對(duì)題目個(gè)數(shù)及對(duì)應(yīng)人數(shù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果見下表：答對(duì)題目個(gè)數(shù)0123人數(shù)5102015根據(jù)上表信息解答以下問(wèn)題：（Ⅰ）從50名學(xué)生中任選兩人，求兩人答對(duì)題目個(gè)數(shù)之和為4或5的概率；（Ⅱ）從50名學(xué)生中任選兩人，用X表示這兩名學(xué)生答對(duì)題目個(gè)數(shù)之差的絕對(duì)值，求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望EX.參考答案：解（Ⅰ）記“兩人答對(duì)題目個(gè)數(shù)之和為4或5”為事件A，則

………（3分）

，…………………（5分）

即兩人答對(duì)題目個(gè)數(shù)之和為4或5的概率為

……（6分）（Ⅱ）依題意可知X的可能取值分別為0，1，2，3.

則………（7分）

……（8分）

………………（9分）

…………（10分）從而X的分布列為：X0123…………（11分）PX的數(shù)學(xué)期望……………（12分）19.在數(shù)列中，，．（1）設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．參考答案：（1）由已知得b1=a1=1，且=+，即bn+1=bn+，從而b2=b1+，……1分b3=b2+，bn=bn﹣1+（n≥2）．……3分于是bn=b1+++…+=2﹣（n≥2）．又b1=1，故所求的通項(xiàng)公式為bn=2﹣．……………6分（2）由（1）知an=2n﹣，故Sn=（2+4+…+2n）﹣（1++++…+），設(shè)Tn=1++++…+，①Tn=+++…++，②……………8分①﹣②得，Tn=1++++…+﹣=﹣=2﹣﹣，……………10分∴Tn=4﹣．∴Sn=n（n+1）+﹣4．……………12分略20.提高大橋的車輛通行能力可改善整個(gè)城市的交通狀況．一般情況下，大橋上的車流速度v（單位：千米/小時(shí)）是車流密度x（單位：輛/千米）的函數(shù)．當(dāng)車流密度不超過(guò)50輛/千米時(shí)，車流速度為30千米/小時(shí)．研究表明：當(dāng)50＜x≤200時(shí)，車流速度v與車流密度x滿足．當(dāng)橋上的車流密度達(dá)到200輛/千米時(shí)，造成堵塞，此時(shí)車流速度為0千米/小時(shí)．（Ⅰ）當(dāng)0＜x≤200時(shí)，求函數(shù)v（x）的表達(dá)式；（Ⅱ）當(dāng)車流密度x為多大時(shí)，車流量（單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)橋上觀測(cè)點(diǎn)的車輛數(shù)，單位：輛/小時(shí)）f（x）=x?v（x）可以達(dá)到最大，并求出最大值．（精確到個(gè)位，參考數(shù)據(jù)）參考答案：考點(diǎn)：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用．專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析：（I）根據(jù)題意，函數(shù)v（x）表達(dá)式為分段函數(shù)的形式，關(guān)鍵在于求函數(shù)v（x）在50≤x≤200時(shí)的表達(dá)式，根據(jù)分式函數(shù)表達(dá)式的形式，用待定系數(shù)法可求得；（II）先在區(qū)間（0，50]上，函數(shù)f（x）為增函數(shù)，得最大值為f（50）=1500，然后在區(qū)間[50，200]上用基本不等式求出函數(shù)f（x）的最大值，用基本不等式取等號(hào)的條件求出相應(yīng)的x值，兩個(gè)區(qū)間內(nèi)較大的最大值即為函數(shù)在區(qū)間（0，200]上的最大值．解答：解：（I）由題意：當(dāng)0＜x≤50時(shí)，v（x）=30；當(dāng)50≤x≤200時(shí)，由于，再由已知可知，當(dāng)x=200時(shí)，v（0）=0，代入解得k=2000．故函數(shù)v（x）的表達(dá)式為．…（6分）（II）依題意并由（I）可得，當(dāng)0≤x≤50時(shí)，f（x）=30x，當(dāng)x=50時(shí)取最大值1500．當(dāng)50＜x≤200時(shí)，f（x）=40x﹣=12000﹣[40（250﹣x）+]≤12000﹣2=12000﹣4000≈12000﹣4000×2.236=3056．取等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)，即x=250﹣50≈138時(shí)，f（x）取最大值．（這里也可利用求導(dǎo)來(lái)求最大值）綜上，當(dāng)車流密度為138輛/千米時(shí)，車流量可以達(dá)到最大，最大值約為3056輛/小時(shí)．…（14分）點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)、最值等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，屬于中等題．21.已知向量＝，＝(cosx，－1)．(1)當(dāng)∥時(shí)，求的值；(2)設(shè)函數(shù)f(x)＝2(＋)·，求f(x)在[0，]上的取值范圍．參考答案