上海市普陀區(qū)2024屆高三下學(xué)期4月質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1上海市普陀區(qū)2024屆高三下學(xué)期4月質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué)試卷一、填空題1.已知復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為______.〖答案〗〖解析〗由題意，復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為．故〖答案〗為：．2.已知，設(shè)集合，集合，若，則______.〖答案〗2〖解析〗集合,,，集合,，，則是的子集，當(dāng)時(shí)，等式不成立，舍去，當(dāng)時(shí)，解得，此時(shí)，,，滿足題意，故．故〖答案〗為：2．3.若，則________.〖答案〗〖解析〗依題意.故〖答案〗為：4.已知，若，則______.〖答案〗〖解析〗若，且，則，則.故〖答案〗為：5.若實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為______.〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，，，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為.故〖答案〗為：.6.設(shè)，若，且，則______.〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，且，，所以是二?xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)，則，令，則，令，則，則.故〖答案〗為：7.為了提高學(xué)生參加體育鍛煉的積極性，某校本學(xué)期依據(jù)學(xué)生特點(diǎn)針對(duì)性的組建了五個(gè)特色運(yùn)動(dòng)社團(tuán)，學(xué)校為了了解學(xué)生參與運(yùn)動(dòng)的情況，對(duì)每個(gè)特色運(yùn)動(dòng)社團(tuán)的參與人數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，其中一個(gè)特色運(yùn)動(dòng)社團(tuán)開學(xué)第1周至第5周參與運(yùn)動(dòng)的人數(shù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表所示.周次12345參與運(yùn)動(dòng)的人數(shù)3536403945若表中數(shù)據(jù)可用回歸方程來預(yù)測(cè)，則本學(xué)期第11周參與該特色運(yùn)動(dòng)社團(tuán)的人數(shù)約為______.（精確到整數(shù)）〖答案〗57〖解析〗，，把代入，得．可得線性回歸方程為．把代入，可得．故〖答案〗為：57．8.設(shè)等比數(shù)列的公比為，則“，，成等差數(shù)列”的一個(gè)充分非必要條件是______.〖答案〗（或,〖答案〗不唯一）〖解析〗，，成等差數(shù)列，則，即，解得或，故“，，成等差數(shù)列”的一個(gè)充分非必要條件是（或．故〖答案〗為：（或,〖答案〗不唯一）9.若向量在向量上的投影為，且，則______.〖答案〗〖解析〗在上的投影為，，則，即又，平方得，則即．故〖答案〗為：．10.已知拋物線的焦點(diǎn)是雙曲線的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線的法向量，與軸以及的左支分別相交，兩點(diǎn)，若，則雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為______.〖答案〗2〖解析〗由拋物線方程知，，又直線的法向量，所以直線的方程為，令，得，所以，設(shè),，由，得,,，所以，，設(shè)雙曲線方程，將代入得，因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)是雙曲線的右焦點(diǎn)，所以，解得，，所以雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)．故〖答案〗為：2．11.設(shè)，，是正整數(shù)，是數(shù)列的前項(xiàng)和，，，若，且，記，則______.〖答案〗7〖解析〗當(dāng)，故，當(dāng)時(shí)，，故，因?yàn)椋?，所以，則，當(dāng)時(shí)，，設(shè)數(shù)列，易知，必有1024，512，256，128，64，32，8,這7個(gè)數(shù)前面的系數(shù)為1，其余系數(shù)都是0，故．故〖答案〗為：7．12.已知，若關(guān)于的不等式的解集中有且僅有一個(gè)負(fù)整數(shù)，則的取值范圍是______.〖答案〗〖解析〗原不等式可化為：，令，，顯然時(shí)，，單調(diào)遞減；時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，且時(shí)，，,同一坐標(biāo)系中，作出與（過定點(diǎn)的圖象：據(jù)圖可知，滿足題意的整數(shù)解為，此時(shí)應(yīng)滿足，解得．故〖答案〗為：．二、選擇題13.從放有兩個(gè)紅球、一個(gè)白球的袋子中一次任意取出兩個(gè)球，兩個(gè)紅球分別標(biāo)記為、，白球標(biāo)記為，則它的一個(gè)樣本空間可以是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗從放有兩個(gè)紅球、一個(gè)白球的袋子中一次任意取出兩個(gè)球的所有可能結(jié)果為，所以它的一個(gè)樣本空間為.故選：B.14.若一個(gè)圓錐體積為，用通過該圓錐的軸的平面截此圓錐，得到的截面三角形的頂角為，則該圓錐的側(cè)面積為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)圓錐的底面圓半徑為，高為，由軸截面三角形的頂角為，得，所以圓錐的體積為，解得，所以圓錐的母線長(zhǎng)為，所以圓錐的側(cè)面積為．故選：C．15.直線經(jīng)過定點(diǎn)，且與軸正半軸、軸正半軸分別相交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)圓在的外部，且與直線及兩坐標(biāo)軸的正半軸均相切，則周長(zhǎng)的最小值是（）A.3 B.5 C.10 D.12〖答案〗C〖解析〗設(shè)動(dòng)圓的圓心坐標(biāo)為，即圓半徑，由題意，設(shè)，，圓與直線相切于點(diǎn)，則，，所以，即的周長(zhǎng)為，所以的周長(zhǎng)最小即為圓半徑最小，因?yàn)椋瑒t，整理得，解得或,當(dāng)時(shí)，圓心在內(nèi)，不合題意；當(dāng)時(shí)，符合題意，即圓半徑的最小值為，周長(zhǎng)的最小值為．故選：C．16.設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，若數(shù)列滿足：對(duì)任意的，存在大于1的整數(shù)，使得成立，則稱數(shù)列是“數(shù)列”.現(xiàn)給出如下兩個(gè)結(jié)論：①存在等差數(shù)列是“數(shù)列”；②任意等比數(shù)列都不是“數(shù)列”.則（）A.①成立②成立 B.①成立②不成立C.①不成立②成立 D.①不成立②不成立〖答案〗D〖解析〗由“G數(shù)列”的定義，對(duì)任意的n≥2，存在大于1的整數(shù)m，使得，成立，則對(duì)任意的n≥2，存在大于1的整數(shù)m，使得，對(duì)于命題①不成立，理由如下：假設(shè)存在，當(dāng)時(shí)，總存在，由于對(duì)任意正整數(shù)，有，所以總存在正整數(shù)，使得與，所以不會(huì)存在，當(dāng)時(shí)，總存在，由于對(duì)任意正整數(shù)，有，所以總存在正整數(shù)，使得與，所以不會(huì)存在，對(duì)于命題②不成立，理由如下：舉例說明：如，有，因?yàn)?，所以，可以取，就可以保證不等式成立，綜上所述：①不成立，②不成立.故選：D.三、解答題17.如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，，、分別是、的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若二面角的大小為，求直線與平面所成角的大小.（1）證明：取線段、中點(diǎn)分別為、，連接、、，則，，又底面是正方形，即，則，即四邊形為平行四邊形，則，又在平面外，平面，故平面.（2）解：取線段的中點(diǎn)為點(diǎn)，連接、，又，底面是邊長(zhǎng)為的正方形，則，且，，又二面角的大小為，即平面平面，又平面，平面平面，則平面，則是直線與平面所成角，在中，，即，故直線與平面所成角的大小為.18.設(shè)函數(shù)，，，它的最小正周期為.（1）若函數(shù)是偶函數(shù)，求值；（2）在中，角、、的對(duì)邊分別為、、，若，，，求的值.解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期為，且，所以，即，則，又函數(shù)是偶函數(shù)，則，，即，又，則.（2）由得，，又，，則，即，由余弦定理得，，即，則.19.張先生每周有5個(gè)工作日，工作日出行采用自駕方式，必經(jīng)之路上有一個(gè)十字路口，直行車道有三條，直行車輛可以隨機(jī)選擇一條車道通行，記事件為“張先生駕車從左側(cè)直行車道通行”.（1）某日張先生駕車上班接近路口時(shí)，看到自己車前是一輛大貨車，遂選擇不與大貨車從同一車道通行.記事件為“大貨車從中間直行車道通行”，求；（2）用表示張先生每周工作日出行事件發(fā)生的次數(shù)，求的分布及期望.解：（1）依題意得，事件的概率為，在事件發(fā)生的條件下事件發(fā)生的概率為，則.（2）依題意得，事件發(fā)生的次數(shù)可?。?，所以，即，則的分布為：即，則，則所求的的期望.20.設(shè)橢圓，的離心率是短軸長(zhǎng)的倍，直線交于、兩點(diǎn)，是上異于、的一點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）若直線過的右焦點(diǎn)，且，，求的值；（3）設(shè)直線的方程為，且，求的取值范圍.解：（1）由的離心率是短軸的長(zhǎng)的倍，得，即，又，則，故橢圓的方程為.（2）設(shè)的左焦點(diǎn)為，連接，因?yàn)?，所以點(diǎn)、關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，又，則，由橢圓的對(duì)稱性可得，，且三角形與三角形全等，則，又，化簡(jiǎn)整理得，，則.（3）設(shè)，，，又，則，，由得，，，由韋達(dá)定理得，，，又，則，，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，化簡(jiǎn)整理得，，此時(shí)，，則，令，即，則，則的取值范圍是.21.對(duì)于函數(shù)，和，，設(shè)，若，，且，皆有成立，則稱函數(shù)與“具有性質(zhì)”.（1）判斷函數(shù)，與是否“具有性質(zhì)”，并說明理由；（2）若函數(shù)，與“具有性質(zhì)”，求的取值范圍；（3）若函數(shù)與“具有性質(zhì)”，且函數(shù)在區(qū)間上存在兩個(gè)零點(diǎn)，，求證.（1）解：由，且，得，即，則，即，即，則函數(shù)與“具有性質(zhì)”.（2）解：由函數(shù)與“具有性質(zhì)”，得，，且，即，整理得，則對(duì)恒成立，又，