江西省萍鄉(xiāng)市2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江西省萍鄉(xiāng)市2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號(hào)?考場號(hào).座位號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題〖答案〗后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的〖答案〗標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他〖答案〗標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將〖答案〗寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容：北師大版選擇性必修第一冊第七章，選擇性必修第二冊第一章，第二章前四節(jié).一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.數(shù)列中，，，則（）A.5 B.6 C.14 D.15〖答案〗C〖解析〗由題意可得，，．故選：C.2.某物體沿直線運(yùn)動(dòng)，其位移（單位：）與時(shí)間（單位：）之間的關(guān)系為，則在這段時(shí)間內(nèi)，該物體的平均速度為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由位移與時(shí)間之間的關(guān)系為，根據(jù)平均變化率的計(jì)算公式，可得在這段時(shí)間內(nèi)，該物體的平均速度為：故選：B.3.在易怒與患心臟病這兩個(gè)變量的計(jì)算中，有以下結(jié)論：①當(dāng)由獨(dú)立性檢驗(yàn)可知有90%的把握認(rèn)為易怒與患心臟病有關(guān)時(shí)，那么在100個(gè)易怒的人中有90人患心臟?。虎谟傻挠^測值得到有90%的把握認(rèn)為易怒與患心臟病有關(guān)系，是指有10%的可能性使得推斷出現(xiàn)錯(cuò)誤；③由獨(dú)立性檢驗(yàn)可知有90%的把握認(rèn)為易怒與患心臟病有關(guān)，是指在犯錯(cuò)誤的概率不超過10%的前提下，可以認(rèn)為某人是否患心臟病與是否易怒有關(guān)，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A.3 B.2 C.1 D.0〖答案〗B〖解析〗由獨(dú)立性檢驗(yàn)可知有90%的把握認(rèn)為易怒與患心臟病有關(guān)，是指在犯錯(cuò)誤的概率不超過10%的前提下，可以認(rèn)為某人是否患心臟病與易怒有關(guān)，則①錯(cuò)誤，③正確．由的觀測值得到有90%的把握認(rèn)為易怒與患心臟病有關(guān)系，是指有10%的可能性使得推斷出現(xiàn)錯(cuò)誤，則②正確．故選：B4.已知變量關(guān)于的回歸直線方程為，相關(guān)系數(shù)為，則下列選項(xiàng)正確的是（）A.若，則與是正相關(guān)B.若接近，則表示與的相關(guān)性很強(qiáng)C.若，則D.若變量增大一個(gè)單位，則變量就一定增加個(gè)單位〖答案〗C〖解析〗對(duì)于A：若，則與是正相關(guān)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：若接近，則表示與的相關(guān)性很強(qiáng)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：若，則與是正相關(guān)，則，故C正確；對(duì)于D：線性回歸方程為估計(jì)值，不知準(zhǔn)確值，故D錯(cuò)誤．故選：C．5.在正項(xiàng)等比數(shù)列中，若，是方程．的兩個(gè)不同的實(shí)根，則（）A.10 B.5 C.9 D.〖答案〗D〖解析〗由題意可得，所以，則．故選：D6.鞋子的尺碼又叫鞋號(hào)，這是一種衡量人類腳的形狀以便配鞋的標(biāo)準(zhǔn)單位系統(tǒng)，已知女鞋歐碼及對(duì)應(yīng)的腳長（單位：厘米）如下表所示：腳長222222.52323.52424.52525.52626.527歐碼3535.53636537.53838.5394040.54142某數(shù)學(xué)興趣小組通過調(diào)查發(fā)現(xiàn)某高中的女學(xué)生的腳長x（單位：厘米）和身高y（單位：厘米）之間有線性相關(guān)關(guān)系，其回歸直線方程為．已知該高中某女學(xué)生的身高為166厘米，則預(yù)測她穿的鞋子為（）A.36碼 B.36.5碼C.38碼 D.39碼〖答案〗C〖解析〗由題意可估計(jì)該女學(xué)生的腳長為，則她穿的鞋子為38碼．故選：C.7.小方計(jì)劃從4月1日開始存儲(chǔ)零錢，4月1日到4月4日每天都存儲(chǔ)1元，從4月5日開始，每天存儲(chǔ)的零錢比昨天多1元，則小方存錢203天（4月1日為第1天）的儲(chǔ)蓄總額為（）A.19903元 B.19913元 C.20103元 D.20113元〖答案〗C〖解析〗設(shè)小方第天存錢元，則數(shù)列從第4項(xiàng)起成等差數(shù)列，且該等差數(shù)列的首項(xiàng)為1，公差為1，所以小方存錢203天的儲(chǔ)蓄總額為元．故選：C8.如圖所示的幾何體由一個(gè)正四棱錐和一個(gè)正四棱柱組合而成.已知正四棱錐的側(cè)棱長為3，正四棱柱的高為1，則該幾何體的體積的最大值為（）A.15 B.16 C. D.〖答案〗D〖解析〗如圖所示，連接與交于點(diǎn)，連接，因?yàn)樗睦忮F為正四棱錐，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以，由題意知，正四棱錐的側(cè)棱長為，且正四棱柱的側(cè)棱長為，設(shè)正四棱柱的底面邊長為，在正方形中，可得，所以，則幾何體的體積為，令，可得且，可得，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，最大值為，所以幾何體的體積的最大值為.故選：D.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.某機(jī)構(gòu)為了調(diào)查某地中學(xué)生是否喜歡數(shù)學(xué)課與性別之間的關(guān)系，通過抽樣調(diào)查的方式收集數(shù)據(jù)，經(jīng)過計(jì)算得到，由，可知下列結(jié)論正確的是（）A.有95%的把握認(rèn)為該地中學(xué)生是否喜歡數(shù)學(xué)課與性別無關(guān)B.有95%的把握認(rèn)為該地中學(xué)生是否喜歡數(shù)學(xué)課與性別有關(guān)C.在犯錯(cuò)誤概率不超過5%的前提下，可以認(rèn)為該地中學(xué)生是否喜歡數(shù)學(xué)課與性別無關(guān)D.在犯錯(cuò)誤的概率不超過5%的前提下，可以認(rèn)為該地中學(xué)生是否喜歡數(shù)學(xué)課與性別有關(guān)〖答案〗BD〖解析〗因?yàn)?，所以?5%的把握認(rèn)為該地中學(xué)生是否喜歡數(shù)學(xué)課與性別有關(guān)，即在犯錯(cuò)誤的概率不超過5%的前提下，可以認(rèn)為該地中學(xué)生是否喜歡數(shù)學(xué)課與性別有關(guān)．故選：BD.10.已知定義在區(qū)間上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，的圖象如圖所示，則（）A.在上單調(diào)遞增B.曲線在處的切線的斜率為0C.D.有1個(gè)極大值點(diǎn)〖答案〗ABD〖解析〗根據(jù)定義在區(qū)間上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象，對(duì)于A中，當(dāng)時(shí)，，且僅當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，所以A正確；對(duì)于B中，當(dāng)時(shí)，可得，所以曲線在處的切線的斜率為，所以B正確；對(duì)于C中，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以不是函數(shù)的最大值，所以C不正確；對(duì)于D中，由的圖象，可得時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以只有當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，所以有1個(gè)極大值點(diǎn)，所以D正確.故選：ABD.11.將正整數(shù)排成如圖所示的數(shù)陣，則（）A.第10行第1個(gè)數(shù)為46 B.第10行第10個(gè)數(shù)為56C.前10行所有數(shù)的和為1540 D.第10行所有數(shù)的和為505〖答案〗ACD〖解析〗設(shè)每一行的第一個(gè)數(shù)字構(gòu)成數(shù)列，由題圖，則，…，，且n＞1，累加得，所以，顯然n=1也成立，，A正確.第10行第10個(gè)數(shù)為55，B錯(cuò)誤.前10行所有數(shù)字的和為，C正確.第10行所有數(shù)字的和為，D正確.故選：ACD12.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗BC〖解析〗設(shè)，，則恒成立，則在單調(diào)遞減，可得，即.令，則，且，即，故；因?yàn)?，則，又因?yàn)椋瑒t，所以，即.因?yàn)?，則，即，即.綜上所述：故選：BC.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.把〖答案〗填在答題卡中的橫線上.13.已知函數(shù)，則________.〖答案〗〖解析〗由〖解析〗式知：，即，解得.故〖答案〗為：.14.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則___________.〖答案〗〖解析〗設(shè)等比數(shù)列公比為，則，即等比數(shù)列的前項(xiàng)和要滿足，又因?yàn)?，所?故〖答案〗為：15.已知直線與函數(shù)，的圖象分別交于點(diǎn)，，則的最小值為___________.〖答案〗12〖解析〗顯然，當(dāng)時(shí)，，，令函數(shù)，則.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.所以，即的最小值為12.故〖答案〗為：1216.已知數(shù)列和滿足，則________．〖答案〗〖解析〗因?yàn)椋?，整理得．因?yàn)?，所以，所以是首?xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以．因?yàn)?，所以，則，所以，所以．故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，，成等比數(shù)列.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1）由題設(shè)且，則，，令公差為，所以，可得，所以.（2）由，則，所以.18.近年來，短視頻作為以視頻為載體的聚合平臺(tái)，社交屬性愈發(fā)突出，在用戶生活中覆蓋面越來越廣泛，已逐漸成為社交平臺(tái)發(fā)展的新方向，同時(shí)出現(xiàn)了利用短視頻平臺(tái)進(jìn)行直播銷售的模式.已知甲公司和乙公司兩家購物平臺(tái)所售商品類似，存在競爭關(guān)系.現(xiàn)對(duì)某時(shí)段100名觀看過這兩家短視頻的用戶與使用這兩家購物平臺(tái)購物的情況進(jìn)行調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù)：選擇甲公司購物平臺(tái)選擇乙公司購物平臺(tái)合計(jì)用戶年齡段為歲302050用戶年齡段為歲203050合計(jì)5050100（1）能否有的把握認(rèn)為使用哪家購物平臺(tái)購物與觀看這兩家短視頻的用戶的年齡有關(guān)？（2）為了了解用戶觀看兩家短視頻后選擇哪家公司購物的原因，用頻率近似概率，從觀看過這兩家短視頻的年齡段為1924歲和2534歲的用戶中各抽取2名用戶進(jìn)行回訪，求抽出的4人中選擇甲公司購物的人數(shù)恰好為2的概率.參考公式：，其中.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828解：（1）根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，則，所以有的把握認(rèn)為使用哪家購物平臺(tái)購物與觀看這兩家短視頻的用戶的年齡有關(guān)聯(lián).（2）設(shè)從觀看過這兩家短視頻的年齡段為19~24歲的用戶中抽取的2名用戶中選擇甲公司購物的人數(shù)為，則.設(shè)從觀看過這兩家短視頻的年齡段為25~34歲的用戶中抽取的2名用戶中選擇甲公司購物的人數(shù)為，則.設(shè)“抽出的4人中選擇甲公司購物的人數(shù)恰好為2”為事件A，則.因?yàn)?，，，所?19.已知函數(shù).（1）若在處取得極值，求a的值；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.解：（1）由函數(shù)，可得函數(shù)的定義域?yàn)椋?，因?yàn)楹瘮?shù)在處取得極值，所以，解得，當(dāng)時(shí)，可得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，符合題意.（2）由，其中，當(dāng)時(shí)，可得，單調(diào)遞減，函數(shù)至多有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)極小值，也是最小值，最小值為，當(dāng)時(shí)，，且，要使得函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則滿足，即，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.20.某研發(fā)小組為了解年研發(fā)資金投入量（單位：億元）對(duì)年銷售額（單位：億元）的影響，結(jié)合近10年的年研發(fā)資金投入量和年銷售額的數(shù)據(jù)（），建立了兩個(gè)函數(shù)模型：①，②，其中，，，均為常數(shù)，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).設(shè)，，經(jīng)過計(jì)算得如下數(shù)據(jù).2066770200144604.2031250000.30821500（1）設(shè)和的相關(guān)系數(shù)為，和的相關(guān)系數(shù)為，請從相關(guān)系數(shù)的角度，選擇一個(gè)擬合程度更好的模型.（2）根據(jù)（1）中選擇的模型及表中數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的線性回歸方程（系數(shù)精確到0.01），根據(jù)線性回歸方程，若當(dāng)年的銷售額大致為億元，則估計(jì)當(dāng)年的研發(fā)資金投入量為多少億元.參考公式：相關(guān)系數(shù)，線性回歸直線中斜率和截距的最小二乘法估計(jì)參數(shù)分別為，.解：（1）由題意可知因?yàn)椋詮南嚓P(guān)系數(shù)的角度，模型的擬合程度更好.（2）因?yàn)?，所以，?由題中數(shù)據(jù)可得，則，從而關(guān)于的線性回歸方程為，故，即.將年銷售額億元，代入，得，解得，故估計(jì)當(dāng)年的研發(fā)資金投入量為億元.21.在數(shù)列中，，.（1）證明：為等比數(shù)列.（2）設(shè)，若是遞增數(shù)列，求的取值范圍.解：（1）因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，則，則是以1為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列.（2）由（1）可得，，即.，則，故，因?yàn)槭沁f增