陜西省渭南市2024屆高三下學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢測（Ⅱ）數(shù)學(xué)試題（文）（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1陜西省渭南市2024屆高三下學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢測（Ⅱ）數(shù)學(xué)試題（文）第I卷選擇題一、選擇題1.已知復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位），則下列說法正確的是（）A.復(fù)數(shù)的實部為 B.復(fù)數(shù)的虛部為C.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為 D.復(fù)數(shù)的模為〖答案〗D〖解析〗，的實部為，虛部為12，的共軛復(fù)數(shù)為，模為．說法正確的是復(fù)數(shù)的模為13．故選：D．2.設(shè)全集U＝R，集合A＝{x|y＝lgx}，B＝{x|﹣7＜2+3x＜5}，則?U（A∪B）＝（）A.{x|0＜x＜1} B.{x|x≤0或x≥1} C.{x|x≤﹣3} D.{x|x＞﹣3}〖答案〗C〖解析〗A＝{x|x＞0}，B＝{x|﹣3＜x＜1}；∴A∪B＝{x|x＞﹣3}；∴?U（A∪B）＝{x|x≤﹣3}．故選C．3.北宋數(shù)學(xué)家沈括的主要數(shù)學(xué)成就之一為隙積術(shù)，所謂隙積，即“積之有隙”者，如果棋、層壇之類，這種長方臺形狀的物體垛積.設(shè)隙積共層，上底由個物體組成，以下各層的長、寬一次各增加一個物體，最下層（即下底）由個物體組成，沈括給出求隙積中物體總數(shù)的公式為.已知由若干個相同小球粘黏組成的幾何體垛積的三視圖如圖所示，則該垛積中所有小球的個數(shù)為（）A.83 B.84 C.85 D.86〖答案〗C〖解析〗從題設(shè)及三視圖中所提供的圖形信息和數(shù)據(jù)信息可知，代入公式，故選：C．4已知平面向量，，其中，若，則（）．A. B.或C. D.或〖答案〗B〖解析〗,，，或，或，故選:B.5.設(shè)，為兩個平面，則的充要條件是A.內(nèi)有無數(shù)條直線與平行B.內(nèi)有兩條相交直線與平行C.，平行于同一條直線D，垂直于同一平面〖答案〗B〖解析〗由面面平行的判定定理知：內(nèi)兩條相交直線都與平行是的充分條件，由面面平行性質(zhì)定理知，若，則內(nèi)任意一條直線都與平行，所以內(nèi)兩條相交直線都與平行是的必要條件，故選B．6.在正四面體棱中任取兩條棱，則這兩條棱所在的直線互相垂直的概率是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意，正四面體共有6條棱，其中任取兩條，共有種取法，其中在正四面體中，對棱互相垂直，只有與，與，與，三組互相垂直，其余任意兩條棱夾角都為，所以這兩條棱所在直線互相垂直的概率.故選：A.7.已知函數(shù)，若存在m使得關(guān)于x的方程有兩不同的根，則t的取值范圍為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由函數(shù)，可得函數(shù)在，上為增函數(shù)，當時，，當時，，若存在m使得關(guān)于x的方程有兩不同的根，只需，解得或，所以t的取值范圍為.故選：B．8.設(shè)等差數(shù)列，的前項和分別為,,若對任意正整數(shù)都有，則（）A. B. C. D. E.均不是〖答案〗C〖解析〗由等差數(shù)列的等和性可得，.故選：C.9.函數(shù)的圖像是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗因為函數(shù)定義域為關(guān)于原點對稱，且，則函數(shù)為偶函數(shù)，故BD錯誤；當時，，故A錯誤，C正確；故選：C10.已知定義在上的函數(shù)滿足,,當時,,則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題知,所以為奇函數(shù),因為,將上式中代替,有,將上式中代替,有,所以周期,則,因為,即,所以,因為時,,所以,所以.故選:D.11.已知雙曲線：，拋物線：的焦點為，準線為，拋物線與雙曲線的一條漸近線的交點為，且在第一象限，過作的垂線，垂足為，若直線的傾斜角為，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.2〖答案〗B〖解析〗拋物線：的焦點為，準線為：，令交于點，即有，由，直線的傾斜角為，得，則，，又，則為正三角形，，因此點，雙曲線：過點的漸近線為，于是，解得，所以雙曲線的離心率.故選：B12.已知正數(shù)滿足，則（）A. B. C.1 D.〖答案〗A〖解析〗由，設(shè)，則，當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，故，當且僅當，即時取等號；設(shè)，則，當時，當時，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，故，當且僅當時取等號，又，則，此時，則.故選：A第Ⅱ卷非選擇題二、填空題13.若實數(shù)x，y滿足約束條件則的最小值是______.〖答案〗2〖解析〗作出可行域，如下圖：將直線進行平移，觀察直線在軸上的截距變化，可知當直線經(jīng)過點A時，直線在軸上的截距最小，此時目標函數(shù)取到最小值，聯(lián)立，解得，可得點，即.故〖答案〗：214.__________．〖答案〗〖解析〗.故〖答案〗為：.15.2024年1月九省聯(lián)考的數(shù)學(xué)試卷出現(xiàn)新結(jié)構(gòu)，其中多選題計分標準如下：①本題共3小題，每小題6分，滿分18分；②每道小題的四個選項中有兩個或三個正確選項，全部選對得6分，有選錯的得0分；③部分選對得部分分（若某小題正確選項為兩個，漏選一個正確選項得3分；若某小題正確選項為三個，漏選一個正確選項得4分，漏選兩個正確選項得2分）．已知在某次新結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)試題的考試中，小明同學(xué)三個多選題中第一小題確定得滿分，第二小題隨機地選了兩個選項，第三小題隨機地選了一個選項，則小明同學(xué)多選題所有可能總得分（相同總分只記錄一次）的中位數(shù)為______．〖答案〗11〖解析〗由題意得小明同學(xué)第一題得6分；第二題選了2個選項，可能得分情況有3種，分別是得0分、4分和6分；第二題選了1個選項，可能得分情況有3種，分別是得0分、2分和3分；由于相同總分只記錄一次，因此小明的總分情況有：6分、8分、9分、10分、12分、13分、14分、15分共8種情況，所以中位數(shù)為，故〖答案〗為：11.16.用表示不超過的最大整數(shù),已知數(shù)列滿足：,，.若，，則________；若，則________.〖答案〗〖解析〗當，時，，即，則數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列.所以，即.當時，，即，且，故，故，故，∴，，所以，所以.因為，所以由，可得：，，.因為，所以，，則.故〖答案〗為：；.三、解答題（一）必考題17.在中，內(nèi)角的對邊分別為,已知.（1）求；（2）若，求面積.解：（1），.（2）由，得，,，，.18.手機完全充滿電量，在開機不使用的狀態(tài)下，電池靠自身消耗一直到出現(xiàn)低電量警告之間所能維持的時間稱為手機的待機時間．為了解兩個不同型號手機的待機時間，現(xiàn)從某賣場庫存手機中隨機抽取兩個型號的手機各5臺，在相同條件下進行測試，統(tǒng)計結(jié)果如下：手機編號12345型待機時間（h）120125122124124型待機時間（h）118123127120已知兩個型號被測試手機待機時間的平均值相等．（1）求的值；（2）求型號被測試手機待機時間方差和標準差的大??；（3）從被測試的手機中隨機抽取型號手機各1臺，求至少有1臺的待機時間超過122小時的概率．（注：n個數(shù)據(jù)…的方差…，其中為數(shù)據(jù)…的平均數(shù)）解：（1），，由，解得．（2）設(shè)型號被測試手機的待機時間的方差為，則…，所以型號被測試手機的待機時間的標準差為：；（3）設(shè)A型號手機為A1，A2，A3，A4，A5；B型號手機為B1，B2，B3，B4，B5，從被測試的手機中隨機抽取A，B型號手機各1臺，不同的抽取方法有25種.事件C：“至少有1臺的待機時間超過122小時”事件：“抽取的兩臺手機待機時間都不超過122小時”的選法有：（A1，B1），（A1，B4），（A3，B1），（A3，B4），共4種.因此，所以．19.如圖所示,在直三棱柱中，平面平面,且.（1）求證：平面；（2）若三棱錐外接球的體積為，求四棱錐的體積．（1）證明：連接，∵為直三棱柱，且，∴四邊形為正方形，∴，又平面平面，且平面平面，平面，∴平面，又平面，∴，又平面，平面，∴，又，且，平面，∴平面.（2）解：由題可知：，解得外接球半徑，由（1）可知，∵，∴為三棱錐外接球的直徑，∴，又，∴，又，∴，∵，∴平面，∴．20.已知函數(shù).（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）當時，證明：.（1）解：由題意知的定義域為.由已知得當時,在上單調(diào)遞增,無單調(diào)遞減區(qū)間.當時,令，得；令，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.綜上，當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；當時，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）證明：原不等式等價于，則，易知在上單調(diào)遞增，且，所以在上存在唯一零點，此時在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，要證即要證，由，得,，代入,得，因為，所以.21.已知橢圓的左，右焦點分別為，Q為E短軸的一個端點，若是等邊三角形，點在橢圓E上，過點作互相垂直且與x軸不重合的兩直線AB，CD分別交橢圓E于A，B，C，D，且M，N分別是弦AB，CD的中點．（1）求橢圓E的方程；（2）求證：直線MN過定點；（3）求面積的最大值．（1）解：如圖，因為點在橢圓E上，所以，因為是等邊三角形，所以，，所以，解得，所以橢圓的方程為.（2）證明：設(shè)直線的方程為，則直線的方程為，聯(lián)立，消去得，設(shè)，則，所以，即，將的坐標中的用代換，得的中點.當時，所在直線為，當時，，直線的方程為，整理得，所以直線過定點.（3）解：，令，則，由于則在上遞增，所以當，即時，取得最大值為，即面積的最大值為.（二）選考題[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]22.已知在平面直角坐標系中，以坐標原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為；在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），點的極坐標為且點在曲線上.（1）求曲線的普通方程以及曲線的極坐標方程；（2）已知直線與曲線分別交于，兩點，其中，異于原點，求的面積.解：（1）因為曲線的極坐標方程為，所以，由，得曲線的直角坐標方程為；由曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），又，得，因為，所以，即，即曲線的極坐標方程為.又點在曲線上，所以，解得，所以曲線的極坐標方程為；（2）因為點，則，即點的