海南省2024屆高三學業(yè)水平診斷（四）數學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1海南省2024屆高三學業(yè)水平診斷（四）數學試題一、單項選擇題1.已知集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由，得到，所以，又，所以，故，故選：D.2.復數的虛部為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為，所以復數的虛部為.故選：B3.已知函數，則曲線在處的切線方程為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗函數，求導得，則，而，所以曲線在處的切線方程為.故選：A4.我們平時登錄各類網絡平臺的密碼中的不同符號都各自對應一個字節(jié)數，若某個密碼使用的符號對應的字節(jié)數分別為1，2，4，4，6，7，8，則這組數據的分位數為（）A.4 B.5 C.6 D.7〖答案〗D〖解析〗由某個密碼使用的符號對應的字節(jié)數分別為1，2，4，4，6，7，8，可得，所以這組數據的75%分位數為第6個數字7.故選：D.5.已知為等差數列，，則（）A.32 B.27 C.22 D.17〖答案〗C〖解析〗因為，，得到，所以，得到，故選：C.6.將橢圓上所有點的橫坐標伸長為原來的倍，縱坐標伸長為原來的倍得到橢圓，設的離心率分別為，則下列說法正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則〖答案〗B〖解析〗由題意知，橢圓，上所有點的橫坐標伸長為原來的倍，縱坐標伸長為原來的倍得到橢圓，則，若，則，則，所以，則.若，則；若，則可能出現，即橢圓焦點在y軸上的情況，此時，，均可能出現.故選：B.7.已知正四棱臺的上底面積為16，下底面積為64，且其各個頂點均在半徑的球O的表面上，則該四棱臺的高為（）A.2 B.8 C.2或12 D.4或8〖答案〗C〖解析〗如圖，做出截面，此時圓心位于截面內部，取中點，中點，連接、和，易得點在上，由題意得，，，因為，，所以，當不在截面內，同第一種情況理可得，，所以，綜上所述：該四棱臺的高為或.故選：C.8.已知函數的圖象在區(qū)間內恰好有對關于軸對稱的點，則的值可以是（）A.4 B.5 C.6 D.7〖答案〗C〖解析〗令，，因為與的圖象關于軸對稱，因為函數的圖象在區(qū)間內恰好有對關于軸對稱的點，所以問題轉化為與的圖象在內有個不同的交點，在同一平面直角坐標系中畫出與的圖象如下所示：因為，當時，，結合圖象及選項可得的值可以是，其他值均不符合要求,.故選：C二、多項選擇題9.設這兩個平面，是兩條不同的直線，則下列命題為真命題的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則〖答案〗BD〖解析〗對于選項A，因為，則，所以選項A錯誤，對于選項B，因為，由線面垂直的性質知，，所以選項B正確，對于選項C，因為，則與可能是異面直線，也可能是相交直線，所以選項C錯誤，對于選項D，因為，垂直同一直線的兩個平面互相平行，所以選項D正確，故選：BD.10已知實數滿足，則（）A. B.C. D.當最小時，〖答案〗BCD〖解析〗對于A中，當時，，所以A錯誤；對于B中，由，可得，所以B正確；對于C中，因為，所以，又因為，所以等號不成立，，所以C正確；對于D中，由的最小值，即為數軸到和的距離之和最小，當且僅當時最小，此時，所以D正確.故選：BCD.11.在平面四邊形中，已知，且，則（）A.的面積為B.的面積為2C.四邊形等腰梯形D.在方向上的投影向量為〖答案〗ABD〖解析〗對于A中，由，可得，所以，即，因為，所以，又因為，所以，所以為等邊三角形，所以，所以A正確；對于B中，設，由余弦定，由，可得，解得，所以，所以，所以，所以B正確；對于C中，因為，所以與不平行，與也不平行，所以C錯誤；對于D中，因為，所以，又因為，所以，由余弦定理得，所以，所以向量在方向上的投影向量為，所以D正確.故選：ABD..三、填空題12.近日海南文旅火爆出圈，海南島優(yōu)美的海濱景觀和深厚的文化底蘊吸引著全國各地游客前往，小明計劃假期去海口、三亞、儋州、文昌、瓊海五個城市游玩，每個城市都去且只去一次，若儋州和文昌這兩個城市不排在最前面和最后面，則不同的游玩順序有______種．（用數字作答）〖答案〗〖解析〗依題意，相當于將五個城市進行放到五個排成一排的空位中，先排儋州和文昌，在中間三個空位選兩個進行排序，有種排法，再將其他3個城市放到剩下的三個空位進行排序，有種排法，所以共有種排法.故〖答案〗為：.13.已知函數在內恰有3個零點，則的取值范圍是______．〖答案〗〖解析〗由時，所以，當時，令，解得，又因為在上僅有三個零點，因此，解得.故〖答案〗為：.14.已知為雙曲線的右支上一點，點分別在的兩條漸近線上，為坐標原點，若四邊形為平行四邊形，且，則______，〖答案〗〖解析〗雙曲線，則漸近線方程為：，，設，由，可得，解得，所以，設，點代入求得：.所以，與雙曲線方程聯(lián)立可得，解得：，即，故故〖答案〗為：四、解答題15.甲、乙兩隊進行排球比賽，規(guī)則是：每個回合由一方發(fā)球，另一方接球，每個回合的勝方得1分，負方不得分，且勝方為下一回合的發(fā)球方．無論之前得分情況如何，每個回合中發(fā)球方得分的概率均為，接球方得分的概率均為，且第一回合的發(fā)球方為甲隊．（1）求第二回合甲隊得分的概率；（2）設前三個回合中，甲隊發(fā)球的次數為，求的分布列及數學期望．解：（1）甲第一回合得分且第二回合得分的概率為，甲第一回合不得分且第二回合得分的概率為，所以第二回合甲隊得分的概率為；（2）由題意可取，則，，，所以的分布列為：所以.16.如圖，在三棱錐中，和均為等腰直角三角形，為棱的中點，且．（1）求證：平面平面；（2）求二面角的正弦值．（1）證明：設，因為和均為等腰直角三角形，且，可得,如圖所示，取的中點，連接，因為為的中點，所以，且，又因為，所以，因為為等腰直角三角形，，所以且，所以是二面角的平面角，又由，所以，所以，所以平面平面.（2）解：由（1）知兩兩垂直，故以為原點，以所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，設，則，所以，設平面的法向量為，則，取，可得，所以，又由平面的一個法向量為，可得，設二面角的平面角的大小為，即，所以，即二面角的正弦值為.17.已知為等比數列，其前項和為．（1）求的通項公式；（2）記各項均為正數的數列的前項和為，若，證明：當時，．（1）解：設等比數列的公比為，因為，可得，所以，又由，所以，所以數列的通項公式為.（2）證明：因為，所以，將上面各式相乘，可得，所以，當時，.18.（1）證明：當時，；（2）若過點且斜率為的直線與曲線交于兩點，為坐標原點，證明：．證明：（1）設，則，因為，所以恒成立，所以在上單調遞增，所以，所以，設，則，所以恒成立，所以在單調遞減，所以，所以，綜上，當時，.（2）由題意可知直線的方程為，設，同時設，則，由（1）知當時，，所以，因為直線的斜率，所以，即，又中，用代替可得，即，所以，變形為，即，即，所以.19.在直角坐標系中，動點到直線的距離等于點到點的距離，動點在圓上，且的最小值為，設動點的軌跡為．（1）求的方程；（2）已知圓的切線與曲線交于兩點，求的最小值．解：（1）設，依題意，兩邊平方可得，整理得，即的方程為，圓的圓心為，半徑，又由題意可知動點總在圓外