專題12 模型構(gòu)建專題：“手拉手”模型-共頂點(diǎn)的等腰三角形壓軸題三種模型全攻略（解析版）

專題12模型構(gòu)建專題：“手拉手”模型——共頂點(diǎn)的等腰三角形壓軸題三種模型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【類型一共頂點(diǎn)的等邊三角形】 1【類型二共頂點(diǎn)的等腰直角三角形】 10【類型三共頂點(diǎn)的一般等腰三角形】 17【典型例題】【類型一共頂點(diǎn)的等邊三角形】例題：（2023春·陜西西安·八年級西北大學(xué)附中?？茧A段練習(xí)）如圖所示，A、C、B三點(diǎn)在同一條直線上，和都是等邊三角形，、交于點(diǎn)P，且分別與、交于點(diǎn)M，N，證明：

(1)；(2)；(3)．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定證明即可；（2）先證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證明；（3）由三角形內(nèi)角和定理可得，即可證明．【詳解】（1）證明：∵和都是等邊三角形，∴，，，∴，在與中，，∴；（2）∵，∴，∵，，∴，∵，，，在與中，，∴，∴；（3）∵，又∵∴．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定方法，關(guān)鍵是根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)解答．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，與是等邊三角形，連接、，有以下結(jié)論：（）；（）；（）；（）；（）無論如何改變的度數(shù)，與始終全等．其中正確結(jié)論的序號為．【答案】（）（）（）【分析】根據(jù)與是等邊三角形可得，，，繼而得到，可證，，，，在改變的度數(shù)時(shí)，的度數(shù)也會(huì)發(fā)生變化，同時(shí)也會(huì)出現(xiàn)、、三點(diǎn)共線情況，即可得到正確結(jié)論．【詳解】解：∵與是等邊三角形，∴，，，∴，即；在和中，∵，，，∴，∴故（）正確；∴，，∴結(jié)論（）正確；設(shè)與相交于點(diǎn)，如圖所示：∵，，∴；∴結(jié)論（）正確；∵當(dāng)或時(shí)，、、三點(diǎn)共線，構(gòu)不成三角形，∴無論如何改變的度數(shù)，與始終全等不成立；∴結(jié)論（）錯(cuò)誤；∵當(dāng)時(shí)，，當(dāng)發(fā)生變化時(shí)，的度數(shù)也會(huì)變化，∴結(jié)論（）錯(cuò)誤；故答案為：（）（）（）．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．2．（2023·安徽安慶·?？既＃┮阎汀鰽DE都是等邊三角形，分別連接．

(1)如圖1，若．①求的度數(shù)；②延長交于點(diǎn)F，求證：；(2)如圖2，若點(diǎn)D在邊上，延長交于點(diǎn)G，連接．求證：平分．【答案】(1)①為；②證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）①證明，則，根據(jù)，計(jì)算求解即可；②如圖1，過點(diǎn)C作，交的延長線于點(diǎn)H，則，由，可得，則，，由，可得，，證明，進(jìn)而結(jié)論得證；（2）如圖2，過點(diǎn)A分別作于點(diǎn)P，于點(diǎn)Q，同（1）可證，則，，即，解得，由，，可得平分．【詳解】（1）解：①和△ADE都是等邊三角形，，，

∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴為．②證明：如圖1，過點(diǎn)C作，交的延長線于點(diǎn)H，則，

由①知，，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，又∵，，∴，∴．（2）證明：如圖2，過點(diǎn)A分別作于點(diǎn)P，于點(diǎn)Q，

，∴，∴，，即，解得，∵，，∴平分．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等角對等邊，平行線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)等知識．解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運(yùn)用．3．（2021春·廣東佛山·八年級?？茧A段練習(xí)）已知圖1是邊長分別為a和b的兩個(gè)等邊三角形紙片和三角形疊放在一起（C與重合）的圖形．

(1)將繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，連接，．如圖2：在圖2中，線段與之間具有怎樣的大小關(guān)系？證明你的結(jié)論；(2)若將上圖中的，繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向任意旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，連接、，如圖3：在圖3中，線段與之間具有怎樣的大小關(guān)系？證明你的結(jié)論：(3)根據(jù)上面的操作過程，請你猜想當(dāng)為多少度時(shí)，線段的長度最大，最大是多少？當(dāng)為多少度時(shí)，線段的長度最小，最小是多少？請直接寫出答案．【答案】(1)，證明見解析(2)，證明見解析(3)當(dāng)為180度時(shí)，線段的長度最大，最大值為；當(dāng)為0度或360度時(shí)，線段的長度最小，最小值為．【分析】（1）先由等邊三角形判斷出，，再由旋轉(zhuǎn)判斷出，進(jìn)而判斷出，即可得出結(jié)論；（2）同（1）的方法，即可得出結(jié)論；（3）當(dāng)點(diǎn)在的延長線上時(shí)，最大，最大值為，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，最小，最小值為，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：證明：點(diǎn)與重合，和，和都是等邊三角形，，，由旋轉(zhuǎn)知，，在和中，，，，（2）解：，證明：和都是等邊三角形，，，由旋轉(zhuǎn)知，，在和中，，，；（3）解：當(dāng)點(diǎn)在的延長線上時(shí)，最大，最大值為，如圖，

∴當(dāng)為180度時(shí)，線段的長度最大，最大值為，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，最小，最小值為，如圖，

∴當(dāng)為0度或360度時(shí)，線段的長度最小，最小值為．【點(diǎn)睛】此題是三角形綜合題，主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，判斷出是解本題的關(guān)鍵．4．（2023春·山西臨汾·八年級統(tǒng)考期末）綜合與實(shí)踐特例感知：如圖1，在等邊三角形中，是延長線上一點(diǎn)，且，以為邊作等邊三角形，連接，分別過點(diǎn)作，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，連接與交于點(diǎn)．

(1)試判斷和的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(2)猜想論證：將繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一定角度得到圖2，則（1）中和的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？請說明理由．(3)拓展延伸：將如圖1所示的繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角度，當(dāng)時(shí)，請直接寫出的值．【答案】(1)，理由見解析(2)（1）中和的數(shù)量關(guān)系仍然成立，理由見解析(3)的值為【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和證明，進(jìn)而利用全等三角形的性質(zhì)解答即可；（2）延長，交于點(diǎn)，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和證明，進(jìn)而利用全等三角形的性質(zhì)解答即可；（3）利用（2）中的結(jié)論解答即可．【詳解】（1）解：，理由：和都是等邊三角形，，，，四邊形是平行四邊形，，，，，，，，；（2）解：仍然成立，理由：如圖，延長，交于點(diǎn)，

，和都是等邊三角形，，，，，，，同（1）可知，，，；（3）解：當(dāng)時(shí)，如圖，

，由（2）可知，，，，，的值為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形全等的判定及性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的判定及性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，添加適當(dāng)?shù)妮o助線，是解題的關(guān)鍵．【類型二共頂點(diǎn)的等腰直角三角形】例題：（2023秋·山東泰安·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知和均為等腰直角三角形，且(1)試說明：(2)試判斷和的位置關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)，理由見解析【分析】（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)得出，，，得出，證出，即可得出（2）得出，再由，得，即可證出結(jié)論【詳解】（1）∵和是等腰直角三角形，∴，，，∵.，即，在和中,，，∴∴（2）延長分別交和于G和F，如圖所示：∵，∴，∵，∵，∵，∴，∴【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)；證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵【變式訓(xùn)練】1．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）和△ADE都是等腰直角三角形，．(1)如圖1，點(diǎn)D、E在，上，則，滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？（直接寫出答案不證明）(2)如圖2，點(diǎn)D在內(nèi)部，點(diǎn)E在外部，連接，，則，滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請說明理由．【答案】(1)，(2)，，理由見解析【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形結(jié)合線段的和差即可得到結(jié)論；（2）延長，分別交、于F、G，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)、垂直的定義解答；【詳解】（1）解：∵和△ADE都是等腰直角三角形，，∴，，∴，即，∵點(diǎn)D，E在，上，，∴；（2），，理由如下：延長，分別交、于F、G，∵和△ADE都是等腰直角三角形，，∴，，∵，，∴，在和中，，∴，∴，，∵，，∴，即；【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，主要考查的是等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握相關(guān)的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·山東濱州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，和都是等腰直角三角形，且，與交于點(diǎn)，(1)求證：；(2)求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）先證明，進(jìn)而證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得證；（2）設(shè)、交于，根據(jù)得出，進(jìn)而根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得證．【詳解】（1）解：在和中，，，，∴，即，∵在和中，∴，∴；（2）設(shè)、交于，∵，∴，∵，，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，等腰三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）與均為等腰直角三角形，．(1)如圖1，當(dāng)，，在同一直線時(shí)，的延長線與交于點(diǎn)．求證：；(2)當(dāng)與的位置如圖2時(shí)，的延長線與交于點(diǎn)，猜想的大小并證明你的結(jié)論；(3)如圖3，當(dāng)，，在同一直線時(shí)（，在點(diǎn)的異側(cè)），與交于點(diǎn)，，求證：．【答案】(1)見解析(2)∠CFA＝90°，證明見解析(3)見解析【分析】（1）證明△ABD≌△CBE（SAS），由全等三角形的性質(zhì)得出∠BAD＝∠BCE，由對頂角的性質(zhì)可得出答結(jié)論；（2）同理可證△ABD≌△CBE（SAS），得出∠BAD＝∠BCE，則可得出結(jié)論；（3）過點(diǎn)G作GH⊥AC于點(diǎn)H，同（2）可知∠BAD＝∠BCE，證出BG＝GH，證明Rt△BCG≌Rt△HCG（HL），由全等三角形的性質(zhì)得出BC＝CH，則得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵△ABC和△DBE是等腰直角三角形，∴AB＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE＝90°，在△ABD和△CBE中，，∴△ABD≌△CBE（SAS），∴∠BAD＝∠BCE，∵∠BAD＋∠AFE＋∠FEA＝∠BCE＋∠ABC＋∠BEC＝180°，又∵∠FEA＝∠BEC，∴∠CFA＝∠ABC＝90°．（2）解：∠CFA＝90°．理由如下：同理可證△ABD≌△CBE（SAS），∴∠BAD＝∠BCE，∴∠CFA＝∠ABC＝90°．（3）過點(diǎn)G作GH⊥AC于點(diǎn)H，同（2）可知∠BAD＝∠BCE，∵∠BAD＝∠ACE，∴∠ACE＝∠BCE，∵AB⊥BC，GH⊥AC，∴BG＝GH，∵∠BAC＝45°，∴∠BAC＝∠AGH＝45°，∴GH＝AH，∴AH＝BG，在Rt△BCG和Rt△HCG中，∴Rt△BCG≌Rt△HCG（HL），∴BC＝CH，∴AC＝AH＋CH＝BG＋BC＝BG＋AB．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了三角形內(nèi)角和定理，等腰直角三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)；證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．【類型三共頂點(diǎn)的一般等腰三角形】例題：（2023秋·四川遂寧·八年級統(tǒng)考期末）新定義：頂角相等且頂角頂點(diǎn)重合的兩個(gè)等腰三角形互為“兄弟三角形”．(1)如圖①中，若和互為“兄弟三角形”，，．則①___________（填>、＜或=）②連接線段和，則___________（填>、＜或=）(2)如圖②，和互為“兄弟三角形”，，，若點(diǎn)D、點(diǎn)E均在外，連接、交于點(diǎn)M，連接，則線段還滿足以上數(shù)量關(guān)系嗎？請說明理由【答案】(1)①，②(2)，見解析【分析】（1）根據(jù)“兄弟三角形”的定義可知兩個(gè)三角形的頂角相等，利用角的和差即可得到①的結(jié)論；再結(jié)合“”即可得到≌，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可求解；（2）沿用（1）的思路，利用角的和差得到，再結(jié)合“”即可得到，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）①；∵和△ADE互為“兄弟三角形”，，，∴，∴，即；②；在和中，，∴，∴．（2）滿足以上關(guān)系證明：如圖②，∵和△ADE互為“兄弟三角形”，∴，∴，即，在和中，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)與判定，根據(jù)題目信息識別出來全等三角形是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·山東泰安·七年級?？奸_學(xué)考試）如圖，與都是等腰三角形，相交于點(diǎn)．

(1)試說明：；(2)求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）由“”可證，可得；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，再利用三角形內(nèi)角和定理計(jì)算．【詳解】（1）解：證明：，，在和中，，，；（2），，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·遼寧撫順·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知中，．分別以、為腰在左側(cè)、右側(cè)作等腰三角形．等腰三角形，連接、．

(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，①、的形狀是____________；②求證：．(2)若，①如圖2，當(dāng)時(shí)，是否仍然成立？請寫出你的結(jié)論并說明理由；②如圖3，當(dāng)時(shí)，是否仍然成立？請寫出你的結(jié)論并說明理由．【答案】(1)①等邊三角形；②證明見解析(2)①成立，理由見解析；②不成立，理由見解析【分析】（1）①根據(jù)有一個(gè)內(nèi)角是60度的等腰三角形是等邊三角形即可求解；②根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，，，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證明；（2）①證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；②根據(jù)已知可得與不全等，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）①∵是等腰三角形，是等腰三角形，∴、是等邊三角形，故答案為：等邊三角形．②證明：∵、是等邊三角形，∴，，，∵，，∴，在△BAE與△DAC中，∵，∴．∴．（2）①當(dāng)，時(shí)，成立．理由：如圖，∵，，，

∴，∴；②當(dāng)，時(shí)，不成立．理由：如圖，∵，

∴，，∴與不全等，∴．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)等，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋·全國·八年級專題練習(xí)）定義：頂角相等且頂點(diǎn)重合的兩個(gè)等腰三角形叫做“同源三角形”，我們稱這兩個(gè)頂角為“同源角”．如圖，和為“同源三角形”，，，與為“同源角”．(1)如圖1，和為“同源三角形”，試判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(2)如圖2，若“同源三角形”和上的點(diǎn)，，在同一條直線上，且，則______°．(3)如圖3，和為“同源三角形”，且“同源角”的度數(shù)為90°時(shí)，分別取，的中點(diǎn)，，連接，，，試說明是等腰直角三角形．【答案】(1)，詳見解析(2)45(3)詳見解析【分析】（1）由“同源三角形”的定義可證，然后根