蘇教版2019版高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)第1章集合知識(shí)點(diǎn)清單

蘇教版2019版高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)

第1章集合知識(shí)點(diǎn)清單

目錄

第一章集合

1.1集合的概念與表示

1.2子集、全集、補(bǔ)集

1.3交集、并集

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第一章集合

1.1集合的概念與表示

一、集合的相關(guān)概念

1.集合的概念

一般地，一定范圍內(nèi)某些確定的、不同的對(duì)象的全體組成一個(gè)集合.集合中的每

一個(gè)對(duì)象稱為該集合的元素，簡稱元.

集合常用大寫拉丁字母表示，如集合A,B,-,集合的元素常用小寫拉丁字母表

示,如a,b,■■■.

2.集合中元素的特性

⑴確定性：集合中的元素必須是確定的.

⑵無序性：集合中的元素并無先后順序，即任何兩個(gè)元素都可以交換順序.

⑶互異性：集合中的元素一定是不同的.

3.元素與集合的關(guān)系：屬于（用符號(hào)表示）或不屬于（用符號(hào)峙’或官’表示）.

4.集合相等

如果兩個(gè)集合所含的元素完全相同（即A中的元素都是B的元素，B中的元素也

都是A的元素），那么稱這兩個(gè)集合相等.

二、集合的表示與分類

1.常用數(shù)集及其記法

非負(fù)整數(shù)集

名稱正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集

（或自然數(shù)集）

記法NN*或N+ZQR

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2.集合的表示方法

⑴列舉法：將集合的元素一一列舉出來，并置于花括號(hào)內(nèi).集合中元素之間要用

逗號(hào)分隔，但列舉時(shí)與元素的次序無關(guān).

(2)描述法：將集合的所有元素都具有的性質(zhì)(滿足的條件)表示出來，寫成｛x|p(x)｝的形

式，其中X為集合的代表元素，p(x)為元素X具有的性質(zhì).

為了直觀地表示集合，我們常畫一條封閉的曲線，用它的內(nèi)部來表示一個(gè)集合,

稱為Venn圖.

3.集合的分類

含有有限個(gè)元素的集合稱為有限集.

含有無限個(gè)元素的集合稱為無限集.

不含任何元素的集合稱為空集，記作。.

三、集合中元素特性的應(yīng)用

1.確定性的應(yīng)用

⑴集合中的元素是否屬于這個(gè)集合是確定的，即任何對(duì)象都能明確它是或不是某個(gè)集

合的元素，兩者必居其一.

⑵元素在集合中，元素就滿足集合的限制條件；元素不在集合中，元素就不滿足集合

的限制條件.由此可以列出關(guān)系式，進(jìn)而得到參數(shù)的值或取值范圍.

2.互異性的應(yīng)用

互異性主要體現(xiàn)在求出參數(shù)后要代入檢驗(yàn)，看看所求的集合中的元素是否互不相同.

3.無序性的應(yīng)用

無序性是分類討論思想的應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn).若給出元素屬于某集合，則它可能等于集合

中的任一元素；若給出兩集合相等，則其中的元素不一定按順序?qū)?yīng)相等.

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四、集合的表示

1.方法的選擇

當(dāng)集合中元素個(gè)數(shù)較少或個(gè)數(shù)多但有規(guī)律時(shí)可考慮用列舉法；當(dāng)集合中元素個(gè)數(shù)

多且有公共屬性或無限時(shí)可考慮用描述法.

2.用列舉法表示集合時(shí)的省略

元素個(gè)數(shù)多或元素個(gè)數(shù)無限但有規(guī)律時(shí)，在不發(fā)生誤解的情況下，可按照規(guī)律列

出幾個(gè)代表元素，其他元素用省略號(hào)表示.如“從I到1000的所有自然數(shù)”可以表

示為｛L2,3,1000),“自然數(shù)集N”可以表示為｛0,1,2,3,

3.用描述法表示集合時(shí)的注意點(diǎn)

⑴寫清楚集合中的代表元素及其范圍，如數(shù)或點(diǎn)等；

⑵除代表元素外的字母，要說明其含義或指出其取值范圍；

⑶用于描述共同屬性內(nèi)容的語言要力求簡潔、準(zhǔn)確；

⑷所有描述的內(nèi)容都要寫在電”內(nèi)，且內(nèi)不能出現(xiàn)“所有”“全體”等詞語.

五、集合中的參數(shù)問題

1.求解含參數(shù)的集合問題的思路

⑴若參數(shù)的取值對(duì)解題有影響，則需對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，分類時(shí)要明確分類標(biāo)準(zhǔn),

如在方程ax+b=0中，要討論一次項(xiàng)系數(shù)a是不是0,在方程ax?+bx+c=0中，要討論

二次項(xiàng)系數(shù)a是不是0.

⑵利用條件列出含參數(shù)的關(guān)系式，求解可得到參數(shù)的值或取值范圍，要注意利用集合

中元素的特性對(duì)參數(shù)進(jìn)行檢驗(yàn).

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1.2子集、全集、補(bǔ)集

一、子集、真子集

子集真子集

如果集合A的任意一個(gè)元素都是集合B的元

如果ANB,并且AXB,那么集

定義素(若aEA,則aEB),那么集合A稱為集合

合A稱為集合B的真子集

B的子集

記法A￡B或B2AA星B或B叁A

“集合A包含于集合B”或“集合B包含集合“A真包含于B"或"B真包

讀法

A"含A”

…或S

圖示

⑴空集是任何非空集合的真

⑴任何一個(gè)集合是它本身的子集，即AMA；

子集；

⑵空集是任何集合的子集，即。UA；

性質(zhì)(2)對(duì)于集合A,B,C,若A星B

⑶對(duì)于集合A,B,C,若ACB且BCC,貝IJAMC

且B星C,貝IJA杏C

二、補(bǔ)集、全集

1.全集

如果一個(gè)集合包含我們所研究問題中涉及的所有元素，那么就稱這個(gè)集合為全集,

全集通常記作u.

2.補(bǔ)集

設(shè)ACS,由S中不屬于A的所有元素組成的集合稱為S的子集

文字語言

A的補(bǔ)集

符號(hào)語言CsA={x|xES,且姆A}

定義

圖形語言sCD

性質(zhì)[uU=0；[u。=U；Cu(CuA)=A

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三、集合間關(guān)系的判斷

1.判斷集合間關(guān)系的方法

⑴列舉法：對(duì)于能用列舉法表示的集合，先用列舉法將兩個(gè)(或多個(gè))集合表示出來，

再通過對(duì)比兩個(gè)(或多個(gè))集合中的元素來判斷其關(guān)系.

⑵元素特征法：確定集合的代表元素是什么，弄清楚集合中元素的特征，再利用集合

中元素的特征判斷.

⑶數(shù)形結(jié)合法：利用數(shù)軸或Venn圖.一般不等式的解集之間的關(guān)系適合用數(shù)軸判斷.

四、探究集合的子集個(gè)數(shù)

1.假設(shè)集合A中含有n(nEN*)個(gè)元素，則

⑴A的子集個(gè)數(shù)是2n；

⑵A的非空子集個(gè)數(shù)是2n-l；

(3)A的真子集個(gè)數(shù)是2n-l；

(4)A的非空真子集個(gè)數(shù)是2n-2.

2.含有限制條件的子集問題，一般可根據(jù)條件列出所有適合題意的子集，采用列舉法

解決.特別地，設(shè)有限集合A,B中分別含有m個(gè)，n個(gè)元素(m,nGN*,mWn),且

AUCXB,則符合條件的有限集C的個(gè)數(shù)為2nm.

五、已知集合間的關(guān)系求參

1.若集合是有限集，則根據(jù)集合間的關(guān)系，列出方程(組)求解，解題時(shí)還要注意考慮

集合中元素的互異性.

2.若集合是用不等式描述的，則通常借助數(shù)軸進(jìn)行分析，將各個(gè)集合在數(shù)軸上表示出

來，以形定數(shù)，注意實(shí)心圓點(diǎn)與空心圓圈，還要注意驗(yàn)證端點(diǎn)值是否符合題意.

3.涉及“ACB”或“A&B”的問題，若集合A中含有參數(shù)，通常要分A二。和AX。兩

種情況

進(jìn)行討論，其中A二。的情況容易被忽略，應(yīng)引起足夠的重視.

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1.3交集、并集

一、交集與并集

交集并集

由所有屬于集合A且屬于集合B

由所有屬于集合A或者屬于集合B的

的元素構(gòu)成的集合，稱為A與B

文字語言元素構(gòu)成的集合，稱為A與B的并集，

的交集，記作ACB（讀作“A交

記作AUB（讀作“A并B”）

B"）

符號(hào)語言AAB={x|xGA,且xEB}AUB={x|xGA,或xEB}

圖形語言

AAB二BAA；AUB二BUA；

ACA二A；AUA二A；

AC。：。=0CA；AU0=A=0UA；

運(yùn)算性質(zhì)

(AGB)GA；A￡(AUB)；

(AGB)QB；BC(AUB)；

A1B=AAB=AA旦BoAUB二B

2.德?摩根定律

(l)Cu(AnB)=(CuA)U(CuB);

(2)[u(AUB)二([uA)n([uB).

二、區(qū)間

1.設(shè)a,bGR,且a<b,規(guī)定［a,b］叫作閉區(qū)間；（a,b）叫作開區(qū)間；［a,b）,（a,b］

叫作半開半閉區(qū)間；a,b叫作相應(yīng)區(qū)間的端點(diǎn).

2.在數(shù)軸上表示時(shí)，閉區(qū)間用實(shí)心圓點(diǎn)表示，開區(qū)間用空心圓圈表示.

三、集合的混合運(yùn)算

1.在進(jìn)行集合的混合運(yùn)算時(shí)，一般先運(yùn)算括號(hào)內(nèi)的部分，再根據(jù)運(yùn)算順序依次進(jìn)行運(yùn)

算.

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2.集合的混合運(yùn)算的分類

⑴有限集域可以列舉的無限集）的運(yùn)算，