概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題及答案-第3章習(xí)題詳解

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題及答案第3章習(xí)題詳解-1-習(xí)題三1.將一硬幣拋擲三次，以X表示在三次中出現(xiàn)正面的次數(shù)，以Y表示三次中出現(xiàn)正面次數(shù)與出現(xiàn)反面次數(shù)之差的絕對(duì)值.試寫出X和Y的聯(lián)合分布律.【解】X和Y的聯(lián)合分布律如表：XXY01231003002.盒子里裝有3只黑球、2只紅球、2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只數(shù)，以Y表示取到紅球的只數(shù).求X和Y的聯(lián)合分布律.【解】X和Y的聯(lián)合分布律如表：XXY0123000102P(0黑,2紅,2白)=03.設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的聯(lián)合分布函數(shù)為F（x，y）=求二維隨機(jī)變量（X，Y）在長(zhǎng)方形域內(nèi)的概率.【解】如圖題3圖說明：也可先求出密度函數(shù)，再求概率。4.設(shè)隨機(jī)變量（X，Y）的分布密度f（x，y）=求：（1）常數(shù)A；（2）隨機(jī)變量（X，Y）的分布函數(shù)；（3）P{0≤X<1，0≤Y<2}.【解】（1）由得A=12（2）由定義，有(3)5.設(shè)隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為f（x，y）=（1）確定常數(shù)k；（2）求P{X＜1，Y＜3}；（3）求P{X<1.5}；（4）求P{X+Y≤4}.【解】（1）由性質(zhì)有故（2）(3)(4)題5圖6.設(shè)X和Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，X在（0，0.2）上服從均勻分布，Y的密度函數(shù)為fY（y）=求：（1）X與Y的聯(lián)合分布密度；（2）P{Y≤X}.題6圖【解】（1）因X在（0，0.2）上服從均勻分布，所以X的密度函數(shù)為而所以(2)7.設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的聯(lián)合分布函數(shù)為F（x，y）=求（X，Y）的聯(lián)合分布密度.【解】8.設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為f（x，y）=求邊緣概率密度.【解】題8圖題9圖9.設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為f（x，y）=求邊緣概率密度.【解】題10圖10.設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為f（x，y）=（1）試確定常數(shù)c；（2）求邊緣概率密度.【解】（1）得.(2)11.設(shè)隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為f（x，y）=求條件概率密度fY｜X（y｜x），fX｜Y（x｜y）.題11圖【解】所以12.袋中有五個(gè)號(hào)碼1，2，3，4，5，從中任取三個(gè)，記這三個(gè)號(hào)碼中最小的號(hào)碼為X，最大的號(hào)碼為Y.（1）求X與Y的聯(lián)合概率分布；（2）X與Y是否相互獨(dú)立？【解】（1）X與Y的聯(lián)合分布律如下表YYX345120300(2)因故X與Y不獨(dú)立13.設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的聯(lián)合分布律為XXY2580.40.80.150.300.350.050.120.03（1）求關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣分布；（2）X與Y是否相互獨(dú)立？【解】（1）X和Y的邊緣分布如下表XXY258P{Y=yi}0.40.150.300.350.80.80.050.120.030.20.20.420.38(2)因故X與Y不獨(dú)立.14.設(shè)X和Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，X在（0，1）上服從均勻分布，Y的概率密度為fY（y）=（1）求X和Y的聯(lián)合概率密度；（2）設(shè)含有a的二次方程為a2+2Xa+Y=0，試求a有實(shí)根的概率.【解】（1）因故題14圖(2)方程有實(shí)根的條件是故X2≥Y，從而方程有實(shí)根的概率為：15.設(shè)X和Y分別表示兩個(gè)不同電子器件的壽命（以小時(shí)計(jì)），并設(shè)X和Y相互獨(dú)立，且服從同一分布，其概率密度為f（x）=求Z=X/Y的概率密度.【解】如圖,Z的分布函數(shù)(1)當(dāng)z≤0時(shí)，（2）當(dāng)0<z<1時(shí)，（這時(shí)當(dāng)x=1000時(shí),y=）(如圖a)題15圖(3)當(dāng)z≥1時(shí)，（這時(shí)當(dāng)y=103時(shí)，x=103z）（如圖b）即故16.設(shè)某種型號(hào)的電子管的壽命（以小時(shí)計(jì)）近似地服從N（160，202）分布.隨機(jī)地選取4只，求其中沒有一只壽命小于180的概率.【解】設(shè)這四只壽命為Xi(i=1,2,3,4)，則Xi~N（160，202），從而17.設(shè)X，Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，其分布律分別為P{X=k}=p（k），k=0，1，2，…，P{Y=r}=q（r），r=0，1，2，….證明隨機(jī)變量Z=X+Y的分布律為P{Z=i}=，i=0，1，2，….【證明】因X和Y所有可能值都是非負(fù)整數(shù)，所以于是18.設(shè)X，Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，它們都服從參數(shù)為n，p的二項(xiàng)分布.證明Z=X+Y服從參數(shù)為2n，p的二項(xiàng)分布.【證明】方法一：X+Y可能取值為0，1，2，…，2n.方法二：設(shè)μ1,μ2,…,μn;μ1′,μ2′,…，μn′均服從兩點(diǎn)分布（參數(shù)為p），則X=μ1+μ2+…+μn，Y=μ1′+μ2′+…+μn′,X+Y=μ1+μ2+…+μn+μ1′+μ2′+…+μn′,所以，X+Y服從參數(shù)為（2n,p)的二項(xiàng)分布.19.設(shè)隨機(jī)變量（X，Y）的分布律為XXY012345012300.010.030.050.070.090.010.020.040.050.060.080.010.030.050.050.050.060.010.020.040.060.060.05(1)求P{X=2｜Y=2}，P{Y=3｜X=0}；（2）求V=max（X，Y）的分布律；（3）求U=min（X，Y）的分布律；（4）求W=X+Y的分布律.【解】（1）（2）所以V的分布律為V=max(X,Y)012345P00.040.160.280.240.28(3)于是U=min(X,Y)0123P0.280.300.250.17(4)類似上述過程，有W=X+Y012345678P00.020.060.130.190.240.190.120.0520.雷達(dá)的圓形屏幕半徑為R，設(shè)目標(biāo)出現(xiàn)點(diǎn)（X，Y）在屏幕上服從均勻分布.（1）求P{Y＞0｜Y＞X}；（2）設(shè)M=max{X，Y}，求P{M＞0}.題20圖【解】因（X，Y）的聯(lián)合概率密度為（1）(2)21.設(shè)平面區(qū)域D由曲線y=1/x及直線y=0，x=1,x=e2所圍成，二維隨機(jī)變量（X，Y）在區(qū)域D上服從均勻分布，求（X，Y）關(guān)于X的邊緣概率密度在x=2處的值為多少？題21圖【解】區(qū)域D的面積為（X,Y）的聯(lián)合密度函數(shù)為（X，Y）關(guān)于X的邊緣密度函數(shù)為所以22.設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，下表列出了二維隨機(jī)變量（X，Y）聯(lián)合分布律及關(guān)于X和Y的邊緣分布律中的部分?jǐn)?shù)值.試將其余數(shù)值填入表中的空白處.XYXYy1y2y3P{X=xi}=pix1x21/81/8P{Y=yj}=pj1/61【解】因,故從而而X與Y獨(dú)立，故,從而即：又即從而同理又,故.同理從而故YYX123.設(shè)某班車起點(diǎn)站上客人數(shù)X服從參數(shù)為λ(λ>0)的泊松分布，每位乘客在中途下車的概率為p（0<p<1），且中途下車與否相互獨(dú)立，以Y表示在中途下車的人數(shù)，求：（1）在發(fā)車時(shí)有n個(gè)乘客的條件下，中途有m人下車的概率；（2）二維隨機(jī)變量（X，Y）的概率分布.（2）Z的概率分布；（3）P{X=Z}.解(1)由概率分布的性質(zhì)知，a+b+c+0.6=1