Char06-數(shù)學(xué)分析20100419(第11-12講)

第6章數(shù)學(xué)分析教學(xué)目標(biāo)學(xué)會(huì)用MATLAB求解工程計(jì)算中涉及到的各種微積分問(wèn)題，并掌握其中的方法與技巧；加深對(duì)數(shù)學(xué)分析在工程應(yīng)用中的理論理解。

主講內(nèi)容6.1極限、導(dǎo)數(shù)與微分6.2積分6.3級(jí)數(shù)求和6.4Taylor展開(kāi)6.5Fourier展開(kāi)6.6積分變換6.7多元函數(shù)分析6.8多重積分6.1極限、導(dǎo)數(shù)與微分主要講述如何利用MATLAB研究某一函數(shù)隨自變量的變化趨勢(shì)與相應(yīng)的變化率的問(wèn)題，即函數(shù)的極限與導(dǎo)數(shù)問(wèn)題。6.1.1極限極限是數(shù)學(xué)分析最根本的概念與出發(fā)點(diǎn)。用limit命令可以輕松的解決其求解問(wèn)題。limit(F,x,a)limit(F,a)limit(F)limit(F,x,a,'right')limit(F,x,a,'left')6.1.1極限【例6－1】計(jì)算clearclcsymsx;f=sin(x)/x;limit(f)結(jié)果：ans=1【例6－2】計(jì)算symsn;aa=limit((1+1/n)^n,inf)結(jié)果：aa=exp(1)6.1.1極限【例】計(jì)算symsxy;f=((exp(x)+exp(y))/(cos(x)-sin(y)));aa=limit(limit(f,x,0),y,0)答案：aa=26.1.2導(dǎo)數(shù)與微分函數(shù)求導(dǎo)命令：diffY=diff(X)Y=diff(X,n)Y=diff(X,n,dim)Y=diff(X)calculatesdifferencesbetweenadjacentelementsofX.Y=diff(X,n)appliesdiffrecursivelyntimes,resultinginthenthdifference.Thus,diff(X,2)isthesameasdiff(diff(X))6.1.2導(dǎo)數(shù)與微分【例6－4】計(jì)算導(dǎo)數(shù)?！纠?－5】計(jì)算3階導(dǎo)數(shù)。clearsymsxf=2^x+x^(1/2)*log(x);diff(f)ans=2^x*log(2)+1/2/x^(1/2)*log(x)+1/x^(1/2)clearsymsxf=sin(2*x+3);diff(f,3)ans=

-8*cos(2*x+3)6.1.2導(dǎo)數(shù)與微分【例6－6】計(jì)算對(duì)x、y的1階、2階偏導(dǎo)數(shù)。clearsymsxyf=log(exp(2*(x+y^2))+(x^2+y)+sin(1+x^2));fx=diff(f,x)fy=diff(f,y)fxy=diff(fx,y)fyx=diff(fy,x)fxx=diff(fx,x)fyy=diff(fy,y)fxx=diff(f,x,2)fyy=diff(f,y,2)1〕在MATLAB中，使用diff函數(shù)求解數(shù)值微分，格式如下：diff(x)命令求向量x的微分，所得值為[x(2)-x(1)[x(3)-x(2)…[x(n)-x(n-1)]；diff(x)命令求矩陣x的微分，所得值為[x(2)-x(1)[x(3)-x(2)…[x(n)-x(n-1)]；diff(x,n)和diff(x,n,DIM)命令用來(lái)求n階差分值。DIFFDifferenceandapproximatederivative.DIFF(X),foravectorX,is[X(2)-X(1)X(3)-X(2)...X(n)-X(n-1)].DIFF(X),foramatrixX,isthematrixofrowdifferences,[X(2:n,:)-X(1:n-1,:)].DIFF(X),foranN-DarrayX,isthedifferencealongthefirstnon-singletondimensionofX.DIFF(X,N)istheN-thorderdifferencealongthefirstnon-singletondimension(denoteitbyDIM).6.1.3數(shù)值微分(補(bǔ)充)【例】>>diff((1:10).^2)ans=35791113151719>>(1:10).^2ans=1491625364964811006.1.3數(shù)值微分(補(bǔ)充)6.2積分積分與微分不同，理論上可以用牛頓－萊布尼茲公式求解對(duì)函數(shù)的積分，但實(shí)際中遇到的大多函數(shù)都不能找到其積分函數(shù)，有些函數(shù)的表達(dá)式非常復(fù)雜，用牛頓－萊布尼茲公式求解會(huì)相當(dāng)復(fù)雜。所以，在工程中大多數(shù)情況下都使用MATLAB提供的積分運(yùn)算函數(shù)計(jì)算。6.2.1定積分與廣義積分int命令：可以很容易地求出函數(shù)在區(qū)間的積分值。使用格式：int(f,a,b)int(f,x,a,b)vpaVariableprecisionarithmeticR=vpa(A)R=vpa(A,d)vpa(A)usesvariable-precisionarithmetic(VPA)tocomputeeachelementofAtoddecimaldigitsofaccuracy,wheredisthecurrentsettingofdigits.Eachelementoftheresultisasymbolicexpression.vpa(A,d)usesddigits,insteadofthecurrentsettingofdigits.ExamplesThestatementsdigits(25)q=vpa(sin(sym('pi')/6))p=vpa(pi)w=vpa('(1+sqrt(5))/2')returnq=.5000000000000000000000000w=6.2.1定積分與廣義積分【例6－7】求積分?！纠?－8】求積分。symsx;v=int(sin(x)/x,0,1)vpa(v)計(jì)算結(jié)果：v=sinint(1)ans=clearsymsx;v=int(exp(-2*x),0,1)vpa(v)計(jì)算結(jié)果：v=-1/2*exp(-2)+1/2ans=clearsymsx;int(1/x,1,inf)symx;v=int(1/(1+x^2),1,inf)vpa(v)計(jì)算結(jié)果：ans=Infv=1/4*pians=6.2.1定積分與廣義積分Int函數(shù)還可以求廣義積分，方法是只要將相應(yīng)的積分限該為正〔負(fù)〕無(wú)窮即可?！纠?－9】6.2.1定積分與廣義積分【例6－11】symsx;f=1/(x^2+2*x+3);v=int(f,-inf,inf)vpa(v)

v=1/2*pi*2^(1/2)

ans=6.2.2不定積分利用int命令同樣可以求不定積分。int(f)int(f,x)【例6－12】求sin(xy+z+1)的不定積分?！纠?－13】求sin(xy+z+1)對(duì)z的不定積分。clearsymsxyzint(sin(x*y+z+1),z)

ans=-cos(x*y+z+1)clearsymsxyzf=sin(x*y+z+1);int(f)

ans=-1/y*cos(x*y+z+1)1〕對(duì)向量〔矩陣〕x，cumsum(x)命令返回一個(gè)向量〔矩陣〕，該向量〔矩陣〕的第N個(gè)元數(shù)是x的前N個(gè)元數(shù)的和。CUMSUMCumulativesumofelements.Forvectors,CUMSUM(X)isavectorcontainingthecumulativesumoftheelementsofX.Formatrices,CUMSUM(X)isamatrixthesamesizeasXcontainingthecumulativesumsovereachcolumn.6.2.3函數(shù)的數(shù)值積分【例】>>x1=[12345678]x1=12345678>>cumsum(x1)ans=1361015212836【例】>>x2=[123;456;789]x2=123456789>>cumsum(x2)ans=123579121518>>cumsum(x2,1)ans=123579121518>>cumsum(x2,2)ans=1364915715246.2.3函數(shù)的數(shù)值積分(補(bǔ)充)6.3級(jí)數(shù)求和6.3.1有限項(xiàng)級(jí)數(shù)求和r=symsum(s)r=symsum(s,v)r=symsum(s,a,b)r=symsum(s,v,a,b)Descriptionsymsum(s)isthesummationofthesymbolicexpressionswithrespecttoitssymbolicvariablekasdeterminedbyfindsymfrom0tok-1.symsum(s,v)isthesummationofthesymbolicexpressionswithrespecttothesymbolicvariablevfrom0tov-1.symsum(s,a,b)andsymsum(s,v,a,b)arethedefinitesummationsofthesymbolicexpressionfromv=atov=b.6.3級(jí)數(shù)求和【例6－14】求級(jí)數(shù)s=an+bn的前n-1項(xiàng)和(n從0開(kāi)始)。symsabns=a^n+b*n;symsum(s)

ans=1/2*(2*a^n+b*n^2*a-b*n^2-b*n*a+b*n)/(a-1)【例6－15】求級(jí)數(shù)s=sinnx的前n-1項(xiàng)和(n從0開(kāi)始)。symsnxs=sin(n*x);symsum(s,n)

ans=-1/2*sin(n*x)+1/2*sin(x)/(cos(x)-1)*cos(n*x)【例6－16】求級(jí)數(shù)s=2sinnx的前n-1項(xiàng)和(n從0開(kāi)始)，并求它的前10項(xiàng)和的值。symsns=2*sin(2*n)+4*cos(4*n)+2^n;sum_n=symsum(s)sum10=symsum(s,0,10)vpa(sum10)

sum_n=(-2*sin(n)*cos(n)*cos(1)^3+2*sin(n)*cos(n)*cos(1)+2*cos(1)^2*sin(1)*cos(n)^2+8*sin(1)*sin(n)*cos(n)*cos(1)^2-4*sin(1)*sin(n)*cos(n)+16*cos(n)^2*cos(1)^3-16*cos(n)^2*cos(1)-16*cos(n)^4*cos(1)^3+16*cos(n)^4*cos(1)-4*n*cos(1)+20*n*cos(1)^3-32*n*cos(1)^5+16*n*cos(1)^5*sin(1)^2-16*n*cos(1)^3*sin(1)^2+4*n*cos(1)*sin(1)^2+16*n*cos(1)^7-16*sin(1)*sin(n)*cos(n)^3*cos(1)^2+8*sin(1)*sin(n)*cos(n)^3+2^n*cos(1)^3-2^n*cos(1))/cos(1)/(-1+cos(1)^2)

sum10=2051+4*cos(8)+2*sin(6)+4*cos(12)+2*sin(8)+4*cos(16)+2*sin(10)+4*cos(20)+2*sin(12)+4*cos(24)+2*sin(14)+4*cos(28)+2*sin(18)+4*cos(36)+2*sin(20)+4*cos(40)+2*sin(2)+2*sin(16)+4*cos(32)+4*cos(4)+2*sin(4)

ans=6.3.2無(wú)窮級(jí)數(shù)求和Symsum命令還可以求無(wú)窮級(jí)數(shù)的和?！纠?－17】symsns1=1/n;v1=symsum(s1,1,inf)clearsymsns2=1/n^3;v2=symsum(s2,1,inf)vpa(v2)

v1=Inf

v2=zeta(3)

ans=6.4Talor展開(kāi)Taylor級(jí)數(shù)展開(kāi)是一種用簡(jiǎn)單函數(shù)逼近(近似表示)復(fù)雜函數(shù)的一種根本方法。6.4.1Taylor定理問(wèn)題的提出Taylor中值定理簡(jiǎn)單應(yīng)用〔如以下圖〕1、低次多項(xiàng)式近似存在缺乏：以直代曲近似①精確度不高；②誤差不能估計(jì)。⑴思路:2、高次多項(xiàng)式近似⑵提出問(wèn)題:⑶分析:⑷假設(shè)的理由2.假設(shè)有相同的切線3.假設(shè)彎曲方向相同近似程度越來(lái)越好1.若在點(diǎn)相交2、高次多項(xiàng)式近似⑸多項(xiàng)式系數(shù)確實(shí)定下面定理說(shuō)明，上式多項(xiàng)式即為要找的n次多項(xiàng)式。2、高次多項(xiàng)式近似3、泰勒中值定理及泰勒公式⑵定理的證明:只需證明3、泰勒中值定理及泰勒公式⑶注意：①稱下式為f(x)按(x-x0)冪展開(kāi)n次近似多項(xiàng)式②稱下式為f(x)按(x-x0)冪展開(kāi)n階泰勒公式3、泰勒中值定理及泰勒公式④帶佩亞諾型余項(xiàng)的n階泰勒公式3、泰勒中值定理及泰勒公式⑴帶拉氏余項(xiàng)的麥克勞林(Maclaurin)公式⑵帶佩氏余項(xiàng)的麥克勞林(Maclaurin)公式4、麥克勞林公式解代入公式，得由公式可知估計(jì)誤差其誤差4、麥克勞林公式解等等，它們順序循環(huán)地取四個(gè)數(shù)0,1,0,-1，于是得其中其誤差5、常用函數(shù)的麥克勞林公式6.4.2MATLAB實(shí)現(xiàn)方法用taylor命令來(lái)實(shí)現(xiàn)Talor展開(kāi)r=taylor(f)r=taylor(f,n,v)r=taylor(f,n,v,a)Descriptiontaylor(f,n,v)returnsthe(n-1)-orderMaclaurinpolynomialapproximationtof,wherefisasymbolicexpressionrepresentingafunctionandvspecifiestheindependentvariableintheexpression.vcanbeastringorsymbolicvariable.taylor(f,n,v,a)returnstheTaylorseriesapproximationtofabouta.Theargumentacanbeanumericvalue,asymbol,orastringrepresentinganumericvalueoranunknown.6.4.2MATLAB實(shí)現(xiàn)方法【例6-18】求e-x的6階麥克勞林型近似展開(kāi)。symsxf=exp(-x);f6=taylor(f)

f6=

1-x+1/2*x^2-1/6*x^3+1/24*x^4-1/120*x^56.4.2MATLAB實(shí)現(xiàn)方法【例6-19】對(duì)于f(x)=asinx+bcosx:(1)求f(x)的10階麥克勞林型近似展開(kāi)。(2)求f(x)在π/2處的10階麥克勞林型近似展開(kāi)。symsabxf=a*sin(x)+b*cos(x);f1=taylor(f,10)f2=taylor(f,10,pi/2)

f1=b+a*x-1/2*b*x^2-1/6*a*x^3+1/24*b*x^4+1/120*a*x^5-1/720*b*x^6-1/5040*a*x^7+1/40320*b*x^8+1/362880*a*x^9

f2=a-b*(x-1/2*pi)-1/2*a*(x-1/2*pi)^2+1/6*b*(x-1/2*pi)^3+1/24*a*(x-1/2*pi)^4-1/120*b*(x-1/2*pi)^5-1/720*a*(x-1/2*pi)^6+1/5040*b*(x-1/2*pi)^7+1/40320*a*(x-1/2*pi)^8-1/362880*b*(x-1/2*pi)^96.4.2MATLAB實(shí)現(xiàn)方法【例6-20】對(duì)于f(x)=xy關(guān)于y在0處的4階Taylor展開(kāi)，關(guān)于x在1.5處的4階Taylor展開(kāi)。symsxyf=x^y;f1=taylor(f,y,4)f2=taylor(f,4,x,1.5)

f1=1+log(x)*y+1/2*log(x)^2*y^2+1/6*log(x)^3*y^3

f2=(3/2)^y+2/3*(3/2)^y*y*(x-3/2)+2/9*(3/2)^y*y*(y-1)*(x-3/2)^2+4/81*(3/2)^y*y*(y-1)*(y-2)*(x-3/2)^36.5Fourier展開(kāi)6.5.1Fourier級(jí)數(shù)理論〔1〕三角級(jí)數(shù)〔2〕三角函數(shù)系的正交性〔3〕函數(shù)展開(kāi)成傅立葉級(jí)數(shù)三角級(jí)數(shù)三角級(jí)數(shù)〔1〕三角級(jí)數(shù)三角函數(shù)系〔2〕三角函數(shù)系的正交性正交性〔2〕三角函數(shù)系的正交性問(wèn)題:2.展開(kāi)的條件是什么?1.傅里葉系數(shù)假設(shè)上述級(jí)數(shù)可以逐項(xiàng)積分.〔3〕函數(shù)展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)〔3〕函數(shù)展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)〔3〕函數(shù)展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉系數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)〔3〕函數(shù)展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)6.5.2MATLAB實(shí)現(xiàn)方法MATLAB中不存在現(xiàn)成的Fourier級(jí)數(shù)展開(kāi)命令，我們可以根據(jù)Fourier級(jí)數(shù)的定義編寫一個(gè)函數(shù)文件來(lái)完成這個(gè)計(jì)算。function[a0,an,bn]=Fourierzpi(f)symsxna0=int(f,0,2*pi)/pi;an=int(f*cos(n*x),0,2*pi)/pi;bn=int(f*sin(n*x),0,2*pi)/pi;6.5.2MATLAB實(shí)現(xiàn)方法【例6-21】計(jì)算f(x)=x2的區(qū)間[0,2π]上的Fourier系數(shù)。clearsymsxf=x^2;[a0,an,bn]=Fourierzpi(f)計(jì)算結(jié)果：a0=8/3*pi^2an=4*(2*n^2*pi^2*sin(pi*n)*cos(pi*n)-sin(pi*n)*cos(pi*n)+2*pi*n*cos(pi*n)^2-pi*n)/n^3/pi

bn=-4*(2*n^2*pi^2*cos(pi*n)^2-n^2*pi^2-cos(pi*n)^2+1-2*pi*n*sin(pi*n)*cos(pi*n))/n^3/pi6.6積分變換積分變換是一個(gè)非常重要的工程計(jì)算手段。它通過(guò)參變量積分將一個(gè)函數(shù)變?yōu)榱硪粋€(gè)函數(shù)，使函數(shù)的求解更為簡(jiǎn)單。最重要的積分變換有Fourier變換、Laplace變換等。頻域分析傅里葉變換是在傅里葉級(jí)數(shù)正交函數(shù)展開(kāi)的根底上開(kāi)展而產(chǎn)生的，這方面的問(wèn)題也稱為傅里葉分析〔頻域分析〕。將信號(hào)進(jìn)行正交分解，即分解為三角函數(shù)或復(fù)指數(shù)函數(shù)的組合。頻域分析將時(shí)間變量變換成頻率變量，揭示了信號(hào)內(nèi)在的頻率特性以及信號(hào)時(shí)間特性與其頻率特性之間的密切關(guān)系，從而導(dǎo)出了信號(hào)的頻譜、帶寬以及濾波、調(diào)制和頻分復(fù)用等重要概念。恩格斯(Engels)把傅里葉的數(shù)學(xué)成就與他所推崇的哲學(xué)家黑格爾(Hegel)的辯證法相提并論.他寫道：傅里葉是一首數(shù)學(xué)的詩(shī)，黑格爾是一首辯證法的詩(shī).開(kāi)展歷史1822年，法國(guó)數(shù)學(xué)家傅里葉(J.Fourier,1768-1830)在研究熱傳導(dǎo)理論時(shí)發(fā)表了“熱的分析理論”，提出并證明了將周期函數(shù)展開(kāi)為正弦級(jí)數(shù)的原理，奠定了傅里葉級(jí)數(shù)的理論根底。泊松(Poisson)、高斯(Guass)等人把這一成果應(yīng)用到電學(xué)中去，得到廣泛應(yīng)用。19世紀(jì)末，人們制造出用于工程實(shí)際的電容器。進(jìn)入20世紀(jì)以后，諧振電路、濾波器、正弦振蕩器等一系列具體問(wèn)題的解決為正弦函數(shù)與傅里葉分析的進(jìn)一步應(yīng)用開(kāi)辟了廣闊的前景。在通信與控制系統(tǒng)的理論研究和工程實(shí)際應(yīng)用中，傅里葉變換法具有很多的優(yōu)點(diǎn)?！癋FT”快速傅里葉變換為傅里葉分析法賦予了新的生命力。傅里葉生平1768年生于法國(guó)1807年提出“任何周期信號(hào)都可用正弦函數(shù)級(jí)數(shù)表示”1829年狄里赫利第一個(gè)給出收斂條件拉格朗日反對(duì)發(fā)表1822年首次發(fā)表在“熱的分析理論”一書中

傅里葉(JeanBaptiseJosephFourier1768～1830)法國(guó)數(shù)學(xué)家。1768年3月21日生于奧塞爾，1830年5月16日卒于巴黎。1795年曾在巴黎綜合工科學(xué)校任講師。1798年隨拿破侖遠(yuǎn)征埃及，當(dāng)過(guò)埃及學(xué)院的秘書。1801年回法國(guó)，又任伊澤爾地區(qū)的行政長(zhǎng)官。1817年傅里葉被選為科學(xué)院院士，并于1822年成為科學(xué)院的終身秘書。1827年又中選為法蘭西學(xué)院院士。在十八世紀(jì)中期，是否有用信號(hào)都能用復(fù)指數(shù)的線性組合來(lái)表示這個(gè)問(wèn)題曾是劇烈爭(zhēng)論的主題。1753年，D.伯努利曾聲稱一根弦的實(shí)際運(yùn)動(dòng)都可以用正弦振蕩模的線性組合來(lái)表示，但他沒(méi)有繼續(xù)從數(shù)學(xué)上深入探求下去；后來(lái)歐拉本人也拋棄了三角級(jí)數(shù)的想法。在1759年拉格朗日(J.L.Lagrange)表示不可能用三角級(jí)數(shù)來(lái)表示一個(gè)具有間斷點(diǎn)的函數(shù),因此三角級(jí)數(shù)的應(yīng)用非常有限。正是在這種多少有些敵對(duì)和疑心的處境下,傅里葉約于半個(gè)世紀(jì)后提出了他自己的想法。傅里葉很早就開(kāi)始并一生堅(jiān)持不渝地從事熱學(xué)研究，1807年他在向法國(guó)科學(xué)院呈交一篇關(guān)于熱傳導(dǎo)問(wèn)題的論文中宣布了任一函數(shù)都能夠展成三角函數(shù)的無(wú)窮級(jí)數(shù)。這篇論文經(jīng)J.-L.拉格朗日,P.-S.拉普拉斯,A.-M.勒讓德等著名數(shù)學(xué)家審查，由于文中初始溫度展開(kāi)為三角級(jí)數(shù)的提法與拉格朗日關(guān)于三角級(jí)數(shù)的觀點(diǎn)相矛盾，而遭拒絕。由于拉格朗日的強(qiáng)烈反對(duì),傅里葉的論文從未公開(kāi)露面過(guò)。為了使他的研究成果能讓法蘭西研究院接受并發(fā)表,在經(jīng)過(guò)了幾次其他的嘗試以后,傅里葉才把他的成果以另一種方式出現(xiàn)在"熱的分析理論"這本書中。這本書出版于1822年,也即比他首次在法蘭西研究院宣讀他的研究成果時(shí)晚十五年。這本書已成為數(shù)學(xué)史上一部經(jīng)典性的文獻(xiàn)，其中根本上包括了他的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)成就。書中處理了各種邊界條件下的熱傳導(dǎo)問(wèn)題，以系統(tǒng)地運(yùn)用三角級(jí)數(shù)和三角積分而著稱，他的學(xué)生以后把它們稱為傅里葉級(jí)數(shù)和傅里葉積分，這個(gè)名稱一直沿用至今。傅里葉在書中斷言：“任意”函數(shù)〔實(shí)際上要滿足一定的條件,例如分段單調(diào)〕都可以展開(kāi)成三角級(jí)數(shù),他列舉大量函數(shù)并運(yùn)用圖形來(lái)說(shuō)明函數(shù)的這種級(jí)數(shù)表示的普遍性，但是沒(méi)有給出明確的條件和完整的證明。傅里葉的創(chuàng)造性工作為偏微分方程的邊值問(wèn)題提供了根本的求解方法-傅里葉級(jí)數(shù)法,從而極大地推動(dòng)了微分方程理論的開(kāi)展，特別是數(shù)學(xué)物理等應(yīng)用數(shù)學(xué)的開(kāi)展；其次，傅里葉級(jí)數(shù)拓廣了函數(shù)概念，從而極大地推動(dòng)了函數(shù)論的研究，其影響還擴(kuò)及純粹數(shù)學(xué)的其他領(lǐng)域。傅里葉深信數(shù)學(xué)是解決實(shí)際問(wèn)題的最卓越的工具，并且認(rèn)為“對(duì)自然界的深刻研究是數(shù)學(xué)最富饒的源泉?！边@一見(jiàn)解已成為數(shù)學(xué)史上強(qiáng)調(diào)通過(guò)實(shí)際應(yīng)用開(kāi)展數(shù)學(xué)的一種代表性的觀點(diǎn)。傅立葉的兩個(gè)最主要的奉獻(xiàn)“周期信號(hào)都可表示為諧波關(guān)系的正弦信號(hào)的加權(quán)和”——傅里葉的第一個(gè)主要論點(diǎn)“非周期信號(hào)都可用正弦信號(hào)的加權(quán)積分表示”

——傅里葉的第二個(gè)主要論點(diǎn)6.6.0傅立葉變換理論根底傅立葉積分傅立葉變換6.6.0.1傅立葉積分〔1〕主值意義下的廣義積分定義1設(shè)函數(shù)在實(shí)軸的任何有限區(qū)間上都可積.假設(shè)極限存在,那么稱在主值意義下在區(qū)間上的廣義積分收斂,記為例1計(jì)算為實(shí)常數(shù)〕解我們可以證明

為實(shí)數(shù))令那么例2設(shè)計(jì)算積分解上式(1)稱為函數(shù)的復(fù)指數(shù)形式的傅里葉積分公式,而等號(hào)右端的積分式稱為的傅里葉積分(簡(jiǎn)稱傅氏積分).從例2可以看出,函數(shù)存在如下關(guān)系假設(shè)函數(shù)在任何有限區(qū)間上滿足狄氏條件〔即函數(shù)在任何有限區(qū)間上滿足：1〕連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)，2)至多有有限個(gè)極值點(diǎn),并且在上絕對(duì)可積那么有：〔2〕傅氏積分存在定理為連續(xù)點(diǎn)為間斷點(diǎn)也叫做的傅氏積分表達(dá)式

〔1〕傅立葉變換的概念6.6.0.2傅立葉變換叫做的傅氏變換,象函數(shù),可記做

=?[]叫做的傅氏逆變換,象原函數(shù),=?例3求函數(shù)的傅氏變換

解例4求函數(shù)的傅氏變換

和傅氏積分表達(dá)式.解假設(shè)上式右端為于是〔2〕傅氏變換的物理意義—頻譜稱為的頻譜函數(shù)

其模稱為的振幅頻譜可以證明,頻譜為偶函數(shù),即實(shí)形式的Fourier積分與Fourier變換其中函數(shù)f(x)的Fourier積分表達(dá)式A(

)被稱為Fourier余弦變換B(

)被稱為Fourier正弦變換實(shí)形式的Fourier變換6.6.0.2Fourier積分變換Fourier積分定理若f(x)在R上滿足：

(1)在任一有限區(qū)域上滿足Dirichlet條件；(2)在R上絕對(duì)可積，則其中復(fù)形式的Fourier積分與Fourier變換其中復(fù)形式的Fourier積分定理F(

)被稱為Fourier變換Fourier積分定理被稱為反演公式6.6.1Fourier積分變換fourierFourierintegraltransform.F=fourier(f)F=fourier(f,v)F=fourier(f,u,v)Fourier命令調(diào)用格式F=fourier(f)istheFouriertransformofthesymbolicscalarfwithdefaultindependentvariablex.Thedefaultreturnisafunctionofw.TheFouriertransformisappliedtoafunctionofxandreturnsafunctionofw.Iff=f(w),fourierreturnsafunctionoft.Bydefinitionwherexisthesymbolicvariableinfasdeterminedbyfindsym.F=fourier(f,v)makesFafunctionofthesymbolvinsteadofthedefaultw.F=fourier(f,u,v)makesfafunctionofuandFafunctionofvinsteadofthedefaultvariablesxandw,respectively.6.6.1Fourier積分變換【例6－23】計(jì)算Fourier變換?！纠?－24】計(jì)算Fourier變換。clearsymsxf=exp(-x^2);Fourier(f)計(jì)算結(jié)果：ans=pi^(1/2)*exp(-1/4*w^2)clearsymswf=exp(-abs(w));Fourier(f)計(jì)算結(jié)果：ans=2/(1+t^2)6.6.1Fourier積分變換【例6－25】計(jì)算Fourier變換?！纠?－26】計(jì)算Fourier變換x是實(shí)數(shù)。clearsymsxuf=x*exp(-abs(x));Fourier(f,u)計(jì)算結(jié)果：ans=-4*i/(1+u^2)^2*uclearsymsxrealvuf=exp(-x^2*abs(v))*sin(v)/v;Fourier(f,v,u)計(jì)算結(jié)果：ans=1/2*i*(-fourier(exp(-x^2*abs(v))/v*exp(i*v),v,u)+fourier(exp(-x^2*abs(v))/v*exp(-i*v),v,u))6.6.2Fourier逆變換ifourierInverseFourierintegraltransform.f=ifourier(F)f=ifourier(F,u)f=ifourier(F,v,u)f=ifourier(F)istheinverseFouriertransformofthescalarsymbolicobjectFwithdefaultindependentvariablew.Thedefaultreturnisafunctionofx.TheinverseFouriertransformisappliedtoafunctionofwandreturnsafunctionofx.IfF=F(x),ifourierreturnsafunctionoft.Bydefinitionf=ifourier(F,u)makesfafunctionofuinsteadofthedefaultx.Hereuisascalarsymbolicobject.f=ifourier(F,v,u)takesFtobeafunctionofvandftobeafunctionofuinsteadofthedefaultwandx,respectively.【例6－25】計(jì)算Fourier變換。【例6－26】計(jì)算Fourier變換x是實(shí)數(shù)。clearsymsawrealf=exp(-w^2/(4*a^2));F=iFourier(f)clearsymsxrealg=exp(-abs(x));iFourier(g)計(jì)算結(jié)果：ans=1/(1+t^2)/pi6.6.3快速Fourier變換離散傅里葉變換不僅具有明確的物理意義，相對(duì)于DTFT他更便于用計(jì)算機(jī)處理。但是，直至上個(gè)世紀(jì)六十年代，由于數(shù)字計(jì)算機(jī)的處理速度較低以及離散傅里葉變換的計(jì)算量較大，離散傅里葉變換長(zhǎng)期得不到真正的應(yīng)用，快速離散傅里葉變換算法的提出，才得以顯現(xiàn)出離散傅里葉變換的強(qiáng)大功能，并被廣泛地應(yīng)用于各種數(shù)字信號(hào)處理系統(tǒng)中。近年來(lái)，計(jì)算機(jī)的處理速率有了驚人的開(kāi)展，同時(shí)在數(shù)字信號(hào)處理領(lǐng)域出現(xiàn)了許多新的方法，但在許多應(yīng)用中始終無(wú)法替代離散傅里葉變換及其快速算法。6.4.4Laplace變換laplaceLaplacetransform.laplace(F)laplace(F,t)fourier(F,w,z)L=laplace(F)istheLaplacetransformofthescalarsymbolFwithdefaultindependentvariablet.Thedefaultreturnisafunctionofs.TheLaplacetransformisappliedtoafunctionoftandreturnsafunctionofs.IfF=F(s),laplacereturnsafunctionoft.BydefinitionwheretisthesymbolicvariableinFasdeterminedbyfindsym.L=laplace(F,t)makesLafunctionoftinsteadofthedefaults.HereLisreturnedasascalarsymbol.L=laplace(F,w,z)makesLafunctionofzandFafunctionofwinsteadofthedefaultvariablessandt,respectively.【例6－34】計(jì)算Laplace變換?！纠?－35】計(jì)算Laplace變換x是實(shí)數(shù)。clearsymstf=t^4;Laplace(f)ans=24/s^5clearsymssg=1/sqrt(s);Laplace(g)計(jì)算結(jié)果：ans=

(pi/t)^(1/2)6.6.5Laplace逆變換ilaplaceInverseLaplacetransformF=ilaplace(L)F=ilaplace(L,y)F=ilaplace(L,y,x)F=ilaplace(L)istheinverseLaplacetransformofthescalarsymbolicobjectLwithdefaultindependentvariables.Thedefaultreturnisafunctionoft.TheinverseLaplacetransformisappliedtoafunctionofsandreturnsafunctionoft.IfL=L(t),ilaplacereturnsafunctionofx.BydefinitionwherecisarealnumberselectedsothatallsingularitiesofL(s)aretotheleftofthelines=c,i.F=ilaplace(L,y)makesFafunctionofyinsteadofthedefaultt.Hereyisascalarsymbolicobject.F=ilaplace(L,y,x)takesFtobeafunctionofxandLafunctionofyinsteadofthedefaultvariablestands,respectively.【例6－37】計(jì)算Laplace變換?！纠?－38】計(jì)算Laplace變換x是實(shí)數(shù)。clearsymssf=1/(s^2);iLaplace(f)ans=

tclearsymsatg=1/(t-a)^2;iLaplace(g)

ans=

x*exp(a*x)6.7多元函數(shù)分析主要對(duì)Matlab求解多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)問(wèn)題以及求解多元函數(shù)最值的命令進(jìn)行介紹。6.7.1多元函數(shù)的偏導(dǎo)求偏導(dǎo)數(shù)的命令：jacobianJacobianmatrixR=jacobian(f,v)jacobian(f,v)computestheJacobianofthescalarorvectorfwithrespecttov.The(i,j)-thentryoftheresultis.Notethatwhenfisscalar,theJacobianoffisthegradientoff.Also,notethatvcanbeascalar,althoughinthatcasetheresultisthesameasdiff(f,v).【例6－40】計(jì)算f(x,y,z)的jacobi矩陣。【例6－41】計(jì)算f(x,y,z)的偏導(dǎo)數(shù)。clearsymsxyzf=[x*y*z;y;x+z];v=[x,y,z];jacobian(f,v)ans=[y*z,x*z,x*y][0,1,0][1,0,1]clearsymsxyzf=x^2+81*(y+1)^2+sin(z);v=[x,y,z];jacobian(f,v)ans=

[2*x,162*y+162,cos(z)]6.7.2多元函數(shù)的梯度專門對(duì)實(shí)數(shù)矩陣求梯度的命令：gradientNumericalgradientFX=gradient(F)[FX,FY]=gradient(F)[Fx,Fy,Fz,...]=gradient(F)[...]=gradient(F,h)[...]=gradient(F,h1,h2,...)【例6－40】計(jì)算的數(shù)值梯度。clearv=-2:0.2:2;[x,y]=meshgrid(v);z=x.*exp(-x.^2-y.^2);[px,py]=gradient(z,0.2,0.2);contour(v,v,z),holdon,quiver(v,v,px,py),holdoff6.8多重積分多重積分與一重積分在本質(zhì)上是相同的，但是多重積分的積分區(qū)域更為復(fù)雜。可以利用前面講過(guò)的int命令，結(jié)合對(duì)積分區(qū)域的分析進(jìn)行多重積分計(jì)算，也可以利用Matlab專門函數(shù)計(jì)算。一、利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分如果區(qū)域D可以表示為不等式j(luò)1(x)yj2(x),axb,那么稱區(qū)域D為X型區(qū)域.X型區(qū)域與Y型區(qū)域如果區(qū)域D可以表示為不等式y(tǒng)1(y)xy2(y),cyd,那么稱區(qū)域D為Y型區(qū)域.有的區(qū)域既是X型區(qū)域又是Y型區(qū)域,而有的區(qū)域既不是X型區(qū)域又不是Y型區(qū)域,但它總可以表示為假設(shè)干個(gè)X型區(qū)域和Y型區(qū)域的并.提示

z

f(x,y)為頂,以區(qū)域D為底的曲頂柱體的體積.提示

截面是以區(qū)間[j1(x0),j2(x0)]為底、以曲線z

f(x0,y)為曲邊的曲邊梯形.提示根據(jù)平行截面面積為的立體體積的求法.

設(shè)f(x,y)

0,D={(x,y)|j1(x)

y

j2(x),a

x

b}.二重積分的計(jì)算

對(duì)于x0

[a,b],曲頂柱體在x

x0的截面面積為曲頂柱體體積為注

計(jì)算一般二重積分只需取消f(x,y)

0的限制.

設(shè)f(x,y)

0,D={(x,y)|j1(x)

y

j2(x),a

x

b}.

二重積分的計(jì)算

對(duì)于x0

[a,b],曲頂柱體在x

x0的截面面積為曲頂柱體體積為即

如果D是X型區(qū)域:D={(x,y)|j1(x)yj2(x),axb},那么上式也可以記為如果D是Y型區(qū)域:D={(x,y)|y1(y)xy2(y),cyd},那么二重積分的計(jì)算先對(duì)x后對(duì)y的二次積分先對(duì)y后對(duì)x的二次積分如果D是X型區(qū)域:j1(x)yj2(x),axb,那么計(jì)算二重積分的步驟如果D是Y型區(qū)域:y1(y)xy2(y),cyd,那么

(1)畫出積分區(qū)域D的草圖.

(2)用不等式組表示積分區(qū)域D.

(3)把二重積分表示為二次積分:

(4)計(jì)算二次積分.6.8.1二重積分進(jìn)行二重積分?jǐn)?shù)值計(jì)算的專門命令：dblquad。這是一個(gè)在矩形范圍內(nèi)計(jì)算二重積分的命令。Numericallyevaluatedoubleintegralq=dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax)q=dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,tol)q=dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,tol,method)函數(shù)dblquad功能矩形區(qū)域上的二重積分的數(shù)值計(jì)算格式q=dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax)%調(diào)用函數(shù)quad在區(qū)域[xmin,xmax,ymin,ymax]上計(jì)算二元函數(shù)z=f(x,y)的二重積分。輸入向量x，標(biāo)量y，那么f(x,y)必須返回一用于積分的向量。q=dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,tol)%用指定的精度tol代替缺省精度10-6，再進(jìn)行計(jì)算。DBLQUADNumericallyevaluatedoubleintegral.DBLQUAD(FUN,XMIN,XMAX,YMIN,YMAX)evaluatesthedoubleintegralofFUN(X,Y)overtherectangleXMIN<=X<=XMAX,YMIN<=Y<=YMAX.FUN(X,Y)shouldacceptavectorXandascalarYandreturnavectorofvaluesoftheintegrand.6.8.1二重積分6.8.1二重積分q=dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax)callsthequadfunctiontoevaluatethedoubleintegralfun(x,y)overtherectanglexmin<=x<=xmax,ymin<=y<=ymax.funisafunctionhandleforeitheranM-filefunctionorananonymousfunction.fun(x,y)mustacceptavectorxanda