2021高中數(shù)學第一章預備知識3不等式 教案北師大版必修第一冊

第一章預備知識

第三節(jié)不等式

3.1不等式的性質(zhì)教學設計

教材分析

本節(jié)主要學習了不等式的五個基本性質(zhì)，重點是不等式的基本性質(zhì)，難點是不等式性質(zhì)的探

索及運用，要將不等式的基本性質(zhì)與等式的基本性質(zhì)加以對比，弄清它們之間的相同點與不

同點，這樣有助于加深理解不等式的基本性質(zhì)。對于不等式的基本性質(zhì)，采用通過學生自己

動手實踐、觀察、歸納猜想結論、驗證等環(huán)節(jié)來突破的。并在理解的基礎上加強練習，以期

達到學生鞏固所學知識的目的.

教學目標與核心素養(yǎng)

教學目標：

1.探索并掌握不等式的基本性質(zhì)；

2.理解不等式與等式性質(zhì)的聯(lián)系與區(qū)別.

二.核心素養(yǎng)

1.數(shù)學抽象：如何利用不等式表示不等關系

2.邏輯推理：通過對比不等式的性質(zhì)和等式的性質(zhì)，培養(yǎng)學生的求異思維，提高大家的辨

別能力.

3.數(shù)學運算：證明不等式關系，會比較代數(shù)式的大小關系

4.直觀想象：利用數(shù)軸的比較任意兩數(shù)的大小關系，引出實數(shù)的大小關系，間接引出實數(shù)

不等式的5個性質(zhì)

6.數(shù)學建模：通過大家對不等式性質(zhì)的探索，培養(yǎng)大家的鉆研精神，學會利用不等式關系

表示實際問題

教學重難點

教學重點：探索不等式的基本性質(zhì)，并能靈活地掌握和應用.

教學難點：能根據(jù)不等式的基本性質(zhì)進行化簡

課前準備

PPT

教學過程

L知識引入

在初中數(shù)學中，可以利用數(shù)軸比較任意兩個實數(shù)啊a,b的大小.關于實數(shù)a,b,大小的比較，

有以下基本事實：如果a-b是正數(shù)，那么如果a>b;如果a-b等于0,那么a=b;如果a-b是

負數(shù)，那么a<b-反過來也成立.

痛論總結：a>ba-b^U

a=b

a<b

2.不等式基本性質(zhì)

性質(zhì)1如果a>b,且b>c,那么a>c.

分析要證a>c,只需證a-c〉0.

證明因為a>b,且b>c,

a-b>0,b-c>0

從而a-c=(a-b)+(b-c)>0,即a>c.

性質(zhì)2如果a>b,那么a+c>b+c.

分析要證a+c>b+c,需證(a+c)-(b+c)>0.

證明因為a>b,所以a-b>0,

所以(a+c)-(b+c)=a_b>0,EPa+c>b+c.

性質(zhì)3如果a>b,c>0,那么ac>bc;如果a>b,c<0,那么ac<bc

分析：要證ac〉bc,只需證明ac-bc>0

證明因為a>b,所以a-b>0.

又因為c>0,所以(a-b)c>0即ac-bc>0,ac>bc

請同學完成c<0的情況證明

例1試比較(x+1)(x+5)與(x+3)2的大小.

解：因為(x+1)(x+5)-(x+3)2=(X2+6X+5)—(X2+6X+9)=—4<0

所以(x+1)(x+5)<(X+3)2

U+ma

例2試證明：若0<a<b,m>0,則----->一

b+mh

、.a+mah(a+m)-a(b+m)m(b-a)

lit明：--------=-------------------=--------

b+mbb(b+m)b(h+m)

m(b-a)).

因為a<b,所以b-a>0,又b>0,m>0,故”仍+m)

a+ma

----->一

因此：b+mb

性質(zhì)4如果a>b,c>d,那么a+c>b+d.

證明：因為於右所以>c>從c.

又因為：c>d,lAc>b^d

由不等式的性質(zhì)1,得a+c>b+d.

性質(zhì)5如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd.;

如果a〉力0,c《d<0,那么ac<bd.

證明：因為a>b,c>0,所以ac>bc.

又因：6X),所以bc?d

由不等式的性質(zhì)1,得ac>bd.

請同學們：完成c<d<0的情況證明

特殊情況：當a>b>0時，其中〃wN+，n22

例3：(1)已知a>b,ab>0,求證!<工

ab

(2)已知a>b,c〈d,求證：a-c>b-d

證明：(1)因為ab>0,所以」-〉0；

ab

因為a>b,所以有不等式的性質(zhì)3,得a'->萬即

ababab

(2)因為c〈d,所以-c>-d.

又因為a>b,所以有不等式性質(zhì)4,得a+(-c)>b+(-d),即a-c>b-d

3題型歸類

1.比較兩數(shù)的大小

(1)比較大?。?x-3)2>(x-2)(x-4).(填寫或)

(2).(x+1)(x+5)與(x+3)2的大小關系為(x+1)(x+5)<(x+3)°.

(3).已知a,6為實數(shù)，則(a+3)(a-5)<(a+2)(a-4).(填“V”或“=”

2.判斷不等關系是否成立

(1).已知a>6,則下列不等式一定正確的是(C)

A.ac'>bc~B.a">62C.a>t>'D.—<_L

ab

(2).對于任意實數(shù)&b,c,d,下列命題中正確的是(C)

A.若a>6,則B.若a>b,c>d,則

C.若ac>bc,則a>bD.若a>b,則

ab

(3).若a,b,cGR,且則下列不等式一定成立的是(B)

A.cB.Qa-b)c'2OC.ac>beD.且《b+c

aa+c

3.證明不等關系

(1)

1.已知a>b>0,eVO求證：—.

ab

2.比較(a+3)(a-5)與(a+2)(a—4)的大小.

證明：(1)Va>6>0,

.」>工>0,

ba

再由c<0,可得￡>￡.

ab

故耍證的不等式成立；

解：(2)?/(<g+3)(a-5)-(a+2)(a-4)

=a-2a-15-(--2a-8)

=-7<0,

J(A3)(a-5)<(界2)(a-4).

(2).已知&比較/+斤與9汁a+Z?-1的大小.

解：(3+6，)-{ab^a^b-1)

(2才+26-2ab-2a-2什2)

2

=2.[(甘-2a公心)+(a2-2^1)+(--2從1)]

2

=1_[(a-b)2+(a-1)2+(b-1)120,當且僅當a=b=l時，兩式相等

2

:./+E2aS"b-\

22

(3).設a>6>0,比較且空也的大小.

a2+b2a+b

22

【解答】解：：a>6>0,，a-6>0,才>氏a-b>0,總曲>0.

22

a+ba+b

222

兩數(shù)作商a-b'a-b=(a+b)(a-b)乂a+b—(a+b)一卜2ab、1

2222

a+ba+ba+ba-ba2fb2a2^2

?a2~b2a~b

a2+b2a+b

教學反思

本節(jié)內(nèi)容需要學生掌握不等式的基本性質(zhì)，會判斷兩數(shù)的不等關系，學會利用不等式關

表示實際問題。

第一章預備知識

第三節(jié)不等式

3.2基本不等式教學設計

教材分析

本節(jié)課是在系統(tǒng)的學習了不等關系和不等式性質(zhì)，掌握了不等式性質(zhì)的基礎上展開的，

作為重要的基本不等式之一,為后續(xù)的學習奠定基礎。要進一步了解不等式的性質(zhì)及運用，

研究最值問題，此時基本不等式是必不可缺的?；静坏仁皆谥R體系中起了承上啟下的作

用，同時在生活及生產(chǎn)實際中有著廣泛的應用，因此它也是對學生進行情感價值觀教育的好

素材，所以基本不等式應重點研究。

教學目標與核心素養(yǎng)

二.教學目標：

1.通過兩個探究實例，引導學生基本不等式，了解基本不等式的兒何背景，體會數(shù)形

結合的思想；

2.借助基本不等式解決簡單的最值問題，

二.核心素養(yǎng)

1.數(shù)學抽象：根據(jù)實際例子，抽象概括“和定積最大，積定和最小”

2.邏輯推理：本節(jié)內(nèi)容進一步提煉、完善基本不等式，并從代數(shù)角度給出不等式的證明，

組織學生分析證明方法，加深對基本不等式的認識，提高邏輯推理論證能力；

3.數(shù)學運算：利用基本不等式求最值

4.直觀想象：結合課本的探究圖形，引導學生進一步探究基本不等式的幾何解釋，強化數(shù)

形結合的思想；

5.數(shù)學建模：基本不等式是從大量數(shù)學問題和現(xiàn)實問題中抽象出來的一個模型，在公式推

導中所蘊涵的數(shù)學思想方法如數(shù)形結合、歸納猜想、演繹推理、分析法證明等在各種不等式

研究問題中有著廣泛的應用；另外它在如“求面積一定，周長最小；周長一定，面積最大”

等實際問題的計算中也經(jīng)常涉及到。

教學重難點

難點：1、基本不等式成立時的三個限制條件（簡稱一正、二定、三相等）；

2、利用基本不等式求解實際問題中的最大值和最小值。

重點：應用數(shù)形結合的思想證明基本不等式，并從不同角度探索基本不等式而＜上心的

2

證明過程及應用。

課前準備

PPT

教學過程

1.知識引入

對于任意實數(shù)X和y,(x-y)220總是成立的，即x2-2xy+y220,所以

上萬二》孫，當且僅當x=y時，等號成立

若a20,b'O,取x=G,y=振，貝!|：當且僅當a=b時，等號成立

這個不等式稱為基本不等式，其中”&稱為a,b的算術平均數(shù)，疝稱為a,b的幾何平

2

均數(shù)，因此，基本不等式也稱為均值不等式。

結論：兩個非負實數(shù)的算術平均值大于或等于它們的幾何平均值

1.基本不等式的幾何解釋

如圖1T4,AB是半圓0的直徑，點C在AB上，且AC=a,

a+b

CB=b.過點C作AB的垂線交A5于點I)。,連接AD,OD,BD.顯然OD=OA=;利用三

角形相似,可證得A4CO相似于ADCB，從而，8=荷

從圖中可以看出OD2CD,當且僅當點C與圓心0重合時，等號成立，即“半徑大于或等于半

弦”.

利用基本不等式或類似上述幾何圖形，還可以推出一些其他的簡單不等式.

例4已知a>0,b>0,c>0,求證：a+。+c2y[ab+y[bc+y[ac

證明因為a>0,b>0,c>0,所以由基本不等式得

a+h>2\[ab,h+c>2\fbc,a+c>2\[ac

三式相加，得2a+28+2cN++

即：a+b+c>\[ab+\[bc+yfac

把一段長為16cm的細鐵絲彎成形狀不同的矩形，試填寫表1-3,并思考當矩形的長、寬分

別為何值時，面積最大.

表1-3

方案長/cm寬/cm面積/cm?

方案1

方案2

方案3

設矩形的長為xcm,寬為ycm,則x+y=8.此時，由基本不等式得，即x+y>而

xyW16.又因為當x=y=4時,xy=16（即不等式xy<16中的等號成立），?

由此可知,邊長為4cm的正方形的面積最大.

思考交流

類比上面的方法，說明：面積為16cm,的所有不同形狀的矩形中，邊長為4cm的正方形

的周長最小.

重點結論：當x,y均為正數(shù)時,下面的命題均成立：

（1）若x+y=s（s為定值）則當且僅當x=y時,xy取得

最大值?

了l

（2）若xy=p（p為定值）則當且僅當x=y時,x+y取得最小值2&7

例5：已知x,y均為整數(shù)，試證明：若x+y=s（s為定值），則當且僅當x=y，時，xy取得

最大值二

4

證明：由基本不等式,歷—中而

$2

所以xy<一

.4

V2

又因為當x二尸一時，不等式中的等號成立，所以此時xy取得最大值

2

例6如圖1-16,動物園要圍成四間相同面積的長方形禽舍，一面可利用原有的墻，其

他各面用鋼筋網(wǎng)圍成.（接頭處不計）

（1）現(xiàn)有可圍36m長鋼筋網(wǎng)的材料，當每間禽舍的長、__________

寬各設計為多長時，可使每間禽舍面積最大？

（2）若使每間禽舍面積為24m2則每間禽舍的長、寬各設

計為多長時，可使圍成四間禽舍的鋼筋網(wǎng)總長最小？

解（1）設每間禽舍的長為xm,寬為ym,則

設S=xy,0<x<9.0<y<6,應用基本不等式,有

2x+3--2J2x?3y,

276W<18

27

即：5<—

2

當且僅當2x=3y時，不等式中等號成立，此時

2x=3y,

2x+3y=18,

x=45,y=3

因此，當每間禽舍的長、寬分別設計為4.5m和3nl時，可使每間禽舍面積最大，最大

面積為13.5m2.

重點題型

（1）利用基本不等式求求最值

1.下列函數(shù)中，最小值是2的是（）

A.尸三」C.尸7'+7rD.注(%>0)

2x