數(shù)字電路基礎(chǔ)課件

2.1數(shù)制和碼2.1.1常用數(shù)制2.1.2

數(shù)制轉(zhuǎn)換2.1.3二進(jìn)制數(shù)的算術(shù)運(yùn)算第二章數(shù)字電路基礎(chǔ)2.1.4定點(diǎn)數(shù)與浮點(diǎn)制2.1.5常用BCD碼和ASCⅡ碼5/13/20241.2.1.1常用數(shù)制1）十進(jìn)制

數(shù)字符號(hào)（系數(shù)）：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9計(jì)數(shù)規(guī)則：逢十進(jìn)一基數(shù)：10權(quán)：10的冪例：（1999）10=（1×103+9×102+9×101+9×100）10數(shù)碼：由數(shù)字符號(hào)構(gòu)成且表示物理量大小的數(shù)字和數(shù)字組合。計(jì)數(shù)制（簡(jiǎn)稱數(shù)制）：多位數(shù)碼中每一位的構(gòu)成方法，以及從低位到高位的進(jìn)制規(guī)則。5/13/20242.2）二進(jìn)制

數(shù)字符號(hào)：0、1計(jì)數(shù)規(guī)則：逢二進(jìn)一基數(shù)：2權(quán)：2的冪一般形式為：（N）2=（bn-1bn-2…b1b0）2=(bn-1×2n-1＋bn-2×2n-2＋……＋b1×21＋b0×20)10例：（1011101）2=（1×26+0×25+1×24+1×23+1×22+0×21+1×20）10

=（64+0+16+8+4+0+1）10=（93）10數(shù)值越大，位數(shù)越多，讀寫不方便，容易出錯(cuò)！5/13/20243.3）十六進(jìn)制

數(shù)字符號(hào)：0~9、A、B、C、D、E、F計(jì)數(shù)規(guī)則：逢十六進(jìn)一基數(shù)：16權(quán)：16的冪例：（5D）16=（5×161+13×160）10=（80+13）10=（93）105/13/20244.4）八進(jìn)制

數(shù)字符號(hào)：0~7計(jì)數(shù)規(guī)則：逢八進(jìn)一基數(shù)：8權(quán)：8的冪例：（128）8=（1×82+2×81+8×80）10=（64+16+8）10=（88）105/13/20245.十進(jìn)制二進(jìn)制八進(jìn)制十六進(jìn)制00000001000111200102230011334010044501015560110667011177810001089100111910101012A11101113B12110014C13110115D14111016E15111117F表2-1幾種計(jì)數(shù)進(jìn)制數(shù)的對(duì)照表5/13/20246.2.1.2數(shù)制轉(zhuǎn)換

1）二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)—按權(quán)相加法將二進(jìn)制數(shù)按位權(quán)展開后相加，即得等值得十進(jìn)制數(shù)。

5/13/20247.2）十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制

整數(shù)部分的轉(zhuǎn)換：除2取余法。例：求（217）10=（）2

解：∵2∣217…………余1b02∣108…………余0b12∣54…………余0b22∣27…………余1b32∣13…………余1b42∣6…………余0b52∣3…………余1b62∣1…………余1b70∴（217）10=（11011001）25/13/20248.例：求（0.3125）10=（）2

解：∵0.3125×2=0.625…………整數(shù)為0b-1

0.625×2=1.25…………整數(shù)為1b-20.25×2=0.5…………整數(shù)為0b-3

0.5×2=1.0…………整數(shù)為1b-4說(shuō)明：有時(shí)可能無(wú)法得到0的結(jié)果，這時(shí)應(yīng)根據(jù)轉(zhuǎn)換精度的要求適當(dāng)取一定位數(shù)。小數(shù)部分的轉(zhuǎn)換：乘2取整法?！啵?.3125）10=（0.0101）25/13/20249.3）二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成十六、八進(jìn)制數(shù)（1）二進(jìn)制與八進(jìn)制之間的轉(zhuǎn)換三位二進(jìn)制數(shù)對(duì)應(yīng)一位八進(jìn)制數(shù)。（101011100101）2

=（101，011，100，101）2=（5345）8（6574）8=（110，101，111，100）2=（110101111100）25/13/202410.（2）二進(jìn)制與十六進(jìn)制之間的轉(zhuǎn)換例如：（9A7E）16=（1001101001111110）2

=（1001101001111110）2四位二進(jìn)制數(shù)對(duì)應(yīng)一位十六進(jìn)制數(shù)。（10111010110）2=（010111010110）2

=（5D6）165/13/202411.4）十六、八進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)八:二:十六:(011101111.001010100110)2(357.1246)8(EF.2A6)165/13/202412.5）十六、八進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)采用按權(quán)相加法5/13/202413.6）十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成十六、八進(jìn)制數(shù)方法：先將十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)，再由二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成十六或八進(jìn)制數(shù)。例：（37.25）10=（100101.01）2=（25.4）16=（45.2）85/13/202414.2.1.3二進(jìn)制數(shù)的算術(shù)運(yùn)算2.數(shù)制轉(zhuǎn)換三種機(jī)器數(shù)[N1]原=01001[N2]原=11001[N1]反=01001[N2]反=10110[N1]補(bǔ)=01001[N2]補(bǔ)=10111對(duì)正數(shù)：[N1]原=[N1]反=[N1]補(bǔ).對(duì)負(fù)數(shù)：從原碼求補(bǔ)碼為“變反加1”(數(shù)值位).符號(hào)位仍是1，右邊的數(shù)值位按位取反，并在最低有效位加1。5/13/202415.2.數(shù)制轉(zhuǎn)換補(bǔ)碼的加減運(yùn)算規(guī)則：[N1＋N2]補(bǔ)=[N1]補(bǔ)＋

[N2]補(bǔ)補(bǔ)碼之和等于和之補(bǔ)碼.[N1－N2]補(bǔ)=[N1＋(－N2)]補(bǔ)=[N1]補(bǔ)+[－N2]補(bǔ).[[N]補(bǔ)]補(bǔ)=[N]原.補(bǔ)碼運(yùn)算特點(diǎn):a.變減法運(yùn)算為加法運(yùn)算.b.符號(hào)位參與運(yùn)算.5/13/202416.例1：(5)10－(2)10=？舉例解:∵(5)10=(＋101)2=[0101]原=[0101]反=[0101]補(bǔ)

(－2)10=(－010)2=[1010]原=[1101]反=[1110]補(bǔ)

∴(5)10＋(－2)10=[0101]補(bǔ)＋[1110]補(bǔ)

＋10011=[0011]補(bǔ)=(＋011)2

=(＋3)10符號(hào)為正被丟棄(溢出)注:a.補(bǔ)碼加補(bǔ)碼等于補(bǔ)碼.b.位數(shù)可任意,但同一計(jì)算過(guò)程中須位數(shù)相等.5/13/202417.二進(jìn)制數(shù)的計(jì)算：加法：①0＋0=0②0＋1=1＋0=1③1＋1=10（有進(jìn)位）④1＋1＋1=11減法：①0－0=0②1－1=0③1－0=1④0－1=1（有借位）乘法：①0×0=0②0×1=0③1×0=0④1×1=15/13/202418.2.1.4定點(diǎn)制與浮點(diǎn)制

1）定點(diǎn)制一個(gè)二進(jìn)制數(shù)N：N＝2j×SS：N的尾數(shù)；J：階碼；2：階碼的基數(shù)定點(diǎn)制：階碼為固定數(shù)格式：小數(shù)點(diǎn)固定在數(shù)值的最高位之前：符號(hào)位小數(shù)點(diǎn)位置數(shù)值位小數(shù)點(diǎn)固定在數(shù)值的最低位之后：符號(hào)位數(shù)值位小數(shù)點(diǎn)位置5/13/202419.2）浮點(diǎn)制浮點(diǎn)制：階碼為可變數(shù)值格式：階符階碼尾符尾數(shù)5/13/202420.2.1.5常用BCD碼和ASCⅡ碼

二進(jìn)制代碼：具有特定意義的二進(jìn)制數(shù)碼。編碼：代碼的編制過(guò)程。BCD碼：用一個(gè)四位二進(jìn)制代碼表示一位十進(jìn)制數(shù)字的編碼方法。1.二—十進(jìn)制編碼（BCD碼）5/13/202421.幾種常用的BCD碼

十進(jìn)制數(shù)8421碼5421碼余3碼00000000000111000100010100200100010010130011001101104010001000111501011000100060110100110017011110101010810001011101191001110011005/13/202422.（1）8421碼選取0000~1001表示十進(jìn)制數(shù)0~9。按自然順序的二進(jìn)制數(shù)表示所對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)字。是有權(quán)碼，從高位到低位的權(quán)依次為8、4、2、1，故稱為8421碼。1010~1111等六種狀態(tài)是不用的，稱為禁用碼。例：（1985）10

=（0001100110000101）8421BCD5/13/202423.（2）5421碼（3）余3碼選取0000~0100和1000~1100這十種狀態(tài)。0101~0111和1101~1111等六種狀態(tài)為禁用碼。是有權(quán)碼，從高位到低位的權(quán)值依次為5、4、2、1。

選取0011~1100這十種狀態(tài)。與8421碼相比，對(duì)應(yīng)相同十進(jìn)制數(shù)均要多3（0011），故稱余3碼。5/13/202424.2、奇偶校驗(yàn)碼具有檢錯(cuò)能力，能發(fā)現(xiàn)奇數(shù)個(gè)代碼位同時(shí)出錯(cuò)的情況。

構(gòu)成：信息位(可以是任一種二進(jìn)制代碼)及一位校驗(yàn)位。校驗(yàn)位數(shù)碼的編碼方式：

“奇校驗(yàn)”時(shí)，使校驗(yàn)位和信息位所組成的每組代碼中含有奇數(shù)個(gè)1；“偶校驗(yàn)”時(shí)，使校驗(yàn)位和信息位所組成的每組代碼中含有偶數(shù)個(gè)1。5/13/202425.奇偶校驗(yàn)碼（以8421BCD碼為例）5/13/202426.3、字符碼

字符碼：專門用來(lái)處理數(shù)字、字母及各種符號(hào)的二進(jìn)制代碼。最常用的：美國(guó)標(biāo)準(zhǔn)信息交換碼ASCII碼。用7位二進(jìn)制數(shù)碼來(lái)表示字符?？梢员硎?7＝128個(gè)字符。5/13/202427.表1-5美國(guó)標(biāo)準(zhǔn)信息交換碼（ASCII碼）5/13/202428.2.2邏輯代數(shù)基礎(chǔ)

2.2.1邏輯變量與基本邏輯運(yùn)算2.2.2邏輯代數(shù)的基本規(guī)則和定理2.2.3邏輯函數(shù)的表示方法及轉(zhuǎn)換2.2.4邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)5/13/202429.2.2.1邏輯變量與基本邏輯運(yùn)算1）邏輯變量和邏輯函數(shù)數(shù)字電路是研究邏輯的，即數(shù)字電路的輸入、輸出的因果關(guān)系，也就是研究輸入和輸出之間的邏輯關(guān)系。5/13/202430.如圖所示，其輸出和輸入之間的邏輯關(guān)系可表示為：F=f（A1，A2，…，An）A1A2???AnFF=f(A1,A2,…,An)A1，A2，…，An：邏輯自變量F：邏輯因變量。當(dāng)A1，A2，…，An的邏輯取值確定后，F(xiàn)的邏輯值就被唯一地確定下來(lái)，則稱F是A1，A2，…，An的邏輯函數(shù)。邏輯變量和邏輯函數(shù)的邏輯取值只有“0”和“1”。5/13/202431.2）基本邏輯關(guān)系和邏輯運(yùn)算（1）與運(yùn)算

當(dāng)決定某一事件的全部條件都具備時(shí)，該事件才會(huì)發(fā)生，這樣的因果關(guān)系稱為與邏輯關(guān)系，簡(jiǎn)稱與邏輯。開關(guān)A開關(guān)B燈Y斷開斷開滅斷開閉合滅閉合斷開滅閉合閉合亮ABY000010100111與邏輯的真值表A、B全1，Y才為1。串聯(lián)開關(guān)電路功能表圖串聯(lián)開關(guān)電路5/13/202432.與邏輯的邏輯符號(hào)邏輯表達(dá)式：

Y＝A·B＝AB符號(hào)“·”讀作“與”（或讀作“邏輯乘”）；在不致引起混淆的前提下，“·”常被省略。實(shí)現(xiàn)與邏輯的電路稱作與門，與邏輯和與門的邏輯符號(hào)如圖所示，符號(hào)“&”表示與邏輯運(yùn)算。5/13/202433.若開關(guān)數(shù)量增加，則邏輯變量增加。

ABCY00000010010001101000101011001111A、B、C全1，Y才為1。Y＝A

·

B·C＝ABC5/13/202434.（2）或運(yùn)算

當(dāng)決定某一事件的所有條件中，只要有一個(gè)具備，該事件就會(huì)發(fā)生，這樣的因果關(guān)系叫做或邏輯關(guān)系，簡(jiǎn)稱或邏輯。開關(guān)A開關(guān)B燈Y斷開斷開滅斷開閉合亮閉合斷開亮閉合閉合亮ABY000011101111或邏輯的真值表A、B有1，Y就為1。并聯(lián)開關(guān)電路功能表圖并聯(lián)開關(guān)電路5/13/202435.圖或邏輯的邏輯符號(hào)邏輯表達(dá)式：

Y＝A＋B符號(hào)“＋”讀作“或”（或讀作“邏輯加”）。實(shí)現(xiàn)或邏輯的電路稱作或門，或邏輯和或門的邏輯符號(hào)如圖所示，符號(hào)“≥1”表示或邏輯運(yùn)算。5/13/202436.（3）非運(yùn)算

當(dāng)某一條件具備了，事情不會(huì)發(fā)生；而此條件不具備時(shí)，事情反而發(fā)生。這種邏輯關(guān)系稱為非邏輯關(guān)系，簡(jiǎn)稱非邏輯。非邏輯的真值表A與Y相反開關(guān)與燈并聯(lián)電路功能表開關(guān)與燈并聯(lián)電路開關(guān)A燈Y斷開亮閉合滅AY01105/13/202437.非邏輯的邏輯符號(hào)實(shí)現(xiàn)非邏輯的電路稱作非門，非邏輯和非門的邏輯符號(hào)如圖所示。邏輯符號(hào)中用小圓圈“。”表示非運(yùn)算，符號(hào)中的“1”表示緩沖。邏輯表達(dá)式：

Y＝A符號(hào)“—”讀作“非”。5/13/202438.（4）復(fù)合邏輯運(yùn)算

在數(shù)字系統(tǒng)中，除應(yīng)用與、或、非三種基本邏輯運(yùn)算之外，還廣泛應(yīng)用與、或、非的不同組合，最常見的復(fù)合邏輯運(yùn)算有與非、或非、與或非、異或和同或等。

①與非運(yùn)算“與”和“非”的復(fù)合運(yùn)算稱為與非運(yùn)算。

邏輯表達(dá)式：Y＝ABCABCY00010011010101111001101111011110表與非邏輯的真值表

“有0必1，全1才0”5/13/202439.

②或非運(yùn)算“或”和“非”的復(fù)合運(yùn)算稱為或非運(yùn)算。

邏輯表達(dá)式：Y＝A+B+CABCY00010010010001101000101011001110或非邏輯的真值表

“有1必0，全0才1”或非邏輯的邏輯符號(hào)5/13/202440.

③與或非運(yùn)算“與”、“或”和“非”的復(fù)合運(yùn)算稱為與或非運(yùn)算。

邏輯表達(dá)式：Y＝AB+CD與或非邏輯的邏輯符號(hào)5/13/202441.

④異或運(yùn)算所謂異或運(yùn)算，是指兩個(gè)輸入變量取值相同時(shí)輸出為0，取值不相同時(shí)輸出為1。

異或邏輯的真值表

“相同為0，相異為1”異或邏輯的邏輯符號(hào)邏輯表達(dá)式：Y=A⊕B=AB+AB式中符號(hào)“⊕”表示異或運(yùn)算。

ABY0000111011105/13/202442.⑤同或運(yùn)算所謂同或運(yùn)算，是指兩個(gè)輸入變量取值相同時(shí)輸出為1，取值不相同時(shí)輸出為0。

同或邏輯的真值表

“相同為1，相異為0”同或邏輯的邏輯符號(hào)ABY001010100111邏輯表達(dá)式：Y=A⊙B=AB+AB=A⊕B

式中符號(hào)“⊙”表示同或運(yùn)算。

5/13/202443.2.2.2邏輯代數(shù)的基本規(guī)則和定理（1）對(duì)偶規(guī)則如果兩個(gè)邏輯表達(dá)式相等，那么其對(duì)偶式也相等1）重要規(guī)則運(yùn)用對(duì)偶規(guī)則時(shí)，同樣應(yīng)注意運(yùn)算的優(yōu)先順序，必要時(shí)可加或減擴(kuò)號(hào)。對(duì)偶變換：“﹒”→“﹢”“﹢”→“﹒”“0”

→

“1”“1”

→“0”5/13/202444.利用對(duì)偶定理，可以使要證明和記憶的公式數(shù)目減少一半?；閷?duì)偶式對(duì)偶定理：若等式Y(jié)=W成立，則等式Y(jié)ˊ=Wˊ也成立。

5/13/202445.在任何一個(gè)邏輯等式（如F＝W）中，如果將等式兩端的某個(gè)變量（如B）都以一個(gè)邏輯函數(shù)（如Y=BC）代入，則等式仍然成立。這個(gè)規(guī)則就叫代入規(guī)則。（2）代入規(guī)則推廣利用代入規(guī)則可以擴(kuò)大公式的應(yīng)用范圍。

理論依據(jù)：任何一個(gè)邏輯函數(shù)也和任何一個(gè)邏輯變量一樣，只有邏輯0和邏輯1兩種取值。因此，可將邏輯函數(shù)作為一個(gè)邏輯變量對(duì)待。5/13/202446.（3）反演規(guī)則運(yùn)用反演規(guī)則時(shí)，要注意運(yùn)算的優(yōu)先順序（先括號(hào)、再相與，最后或），必要時(shí)可加或減擴(kuò)號(hào)。對(duì)任何一個(gè)邏輯表達(dá)式Y(jié)作反演變換，可得Y的反函數(shù)Y。這個(gè)規(guī)則叫做反演規(guī)則。

反演變換：“﹒”→“﹢”“﹢”→“﹒”

“0”

→

“1”“1”

→“0”，原變量→反變量反變量→原變量5/13/202447.2）基本公式和定理（1）常量之間的關(guān)系這些常量之間的關(guān)系，同時(shí)也體現(xiàn)了邏輯代數(shù)中的基本運(yùn)算規(guī)則，也叫做公理，它是人為規(guī)定的，這樣規(guī)定，既與邏輯思維的推理一致，又與人們已經(jīng)習(xí)慣了的普通代數(shù)的運(yùn)算規(guī)則相似。0·

0=00+0=00·

1=00+1=11·

0=01+0=11·

1=11+1=10=11=0請(qǐng)?zhí)貏e注意與普通代數(shù)不同之處與或5/13/202448.（2）常量與變量之間的關(guān)系普通代數(shù)結(jié)果如何？（3）與普通代數(shù)相似的定理交換律A·B=B·AA+B=B+A結(jié)合律A·（B·C）=（A·B）·CA+(B+C)=(A+B)+C分配律A·（B+C）=A·B+A·CA+(BC)=(A+B)(A+C)5/13/202449.（4）特殊的定理De·morgen定理表1-16反演律(摩根定理)真值表5/13/202450.邏輯代數(shù)的基本公式5/13/202451.2.常用公式B：互補(bǔ)A：公因子A是AB的因子5/13/202452.A的反函數(shù)是因子與互補(bǔ)變量A相與的B、C是第三項(xiàng)添加項(xiàng)5/13/202453.常用公式需記憶5/13/202454.2.2.3邏輯函數(shù)及其表示法

表示邏輯函數(shù)的方法有：真值表、邏輯函數(shù)表達(dá)式、邏輯圖和卡諾圖。5/13/202455.

真值表是將輸入邏輯變量的所有可能取值與相應(yīng)的輸出變量函數(shù)值排列在一起而組成的表格。1個(gè)輸入變量有0和1兩種取值，

n個(gè)輸入變量就有2n個(gè)不同的取值組合。例：邏輯函數(shù)Y=AB+BC+AC表1-11邏輯函數(shù)的真值表

ABCY00000010010001111000101111011111三個(gè)輸入變量，八種取值組合1）真值表ABBCAC5/13/202456.ABCY00000010010001111000101111011111真值表的特點(diǎn)：①唯一性;②按自然二進(jìn)制遞增順序排列（既不易遺漏，也不會(huì)重復(fù)）。③n個(gè)輸入變量就有2n個(gè)不同的取值組合。

5/13/202457.例：控制樓梯照明燈的電路。兩個(gè)單刀雙擲開關(guān)A和B分別裝在樓上和樓下。無(wú)論在樓上還是在樓下都能單獨(dú)控制開燈和關(guān)燈。設(shè)燈為L(zhǎng)，L為1表示燈亮，L為0表示燈滅。對(duì)于開關(guān)A和B，用1表示開關(guān)向上扳，用0表示開關(guān)向下扳。表1-14控制樓梯照明燈的電路的真值表ABL001010100111圖1-9控制樓梯照明燈的電路5/13/202458.2）邏輯表達(dá)式按照對(duì)應(yīng)的邏輯關(guān)系，把輸出變量表示為輸入變量的與、或、非三種運(yùn)算的組合，稱之為邏輯函數(shù)表達(dá)式（簡(jiǎn)稱邏輯表達(dá)式）。由真值表可以方便地寫出邏輯表達(dá)式。方法為：①找出使輸出為1的輸入變量取值組合；②取值為1用原變量表示，取值為0的用反變量表示，則可寫成一個(gè)乘積項(xiàng)；③將乘積項(xiàng)相加即得。ABL001010100111L=AB+ABABAB5/13/202459.最小項(xiàng)及最小項(xiàng)表達(dá)式（1）最小項(xiàng)具備以上條件的乘積項(xiàng)共八個(gè)，我們稱這八個(gè)乘積項(xiàng)為三變量A、B、C的最小項(xiàng)。

設(shè)A、B、C是三個(gè)邏輯變量，若由這三個(gè)邏輯變量按以下規(guī)則構(gòu)成乘積項(xiàng)：①每個(gè)乘積項(xiàng)都只含三個(gè)因子，且每個(gè)變量都是它的一個(gè)因子；②每個(gè)變量都以反變量(A、B、C)或以原變量(A、B、C)的形式出現(xiàn)一次，且僅出現(xiàn)一次。AB是三變量函數(shù)的最小項(xiàng)嗎？ABBC是三變量函數(shù)的最小項(xiàng)嗎？推廣：一個(gè)變量?jī)H有原變量和反變量?jī)煞N形式，因此N個(gè)變量共有2N個(gè)最小項(xiàng)。5/13/202460.最小項(xiàng)的定義:對(duì)于N個(gè)變量，如果P是一個(gè)含有N個(gè)因子的乘積項(xiàng)，而且每一個(gè)變量都以原變量或者反變量的形式，作為一個(gè)因子在P中出現(xiàn)且僅出現(xiàn)一次，那么就稱P是這N個(gè)變量的一個(gè)最小項(xiàng)。表1-17三變量最小項(xiàng)真值表5/13/202461.（2）最小項(xiàng)的性質(zhì)①對(duì)于任意一個(gè)最小項(xiàng)，只有一組變量取值使它的值為1，而變量取其余各組值時(shí)，該最小項(xiàng)均為0；②任意兩個(gè)不同的最小項(xiàng)之積恒為0；③變量全部最小項(xiàng)之和恒為1。5/13/202462.最小項(xiàng)也可用“mi”表示，下標(biāo)“i”即最小項(xiàng)的編號(hào)。編號(hào)方法：把最小項(xiàng)取值為1所對(duì)應(yīng)的那一組變量取值組合當(dāng)成二進(jìn)制數(shù)，與其相應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)，就是該最小項(xiàng)的編號(hào)。

表1-18三變量最小項(xiàng)的編號(hào)表

5/13/202463.（3）最小項(xiàng)表達(dá)式

任何一個(gè)邏輯函數(shù)都可以表示為最小項(xiàng)之和的形式——標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式。而且這種形式是惟一的，就是說(shuō)一個(gè)邏輯函數(shù)只有一種最小項(xiàng)表達(dá)式。例1-7將Y=AB+BC展開成最小項(xiàng)表達(dá)式。解：或：5/13/202464.3)邏輯圖用相應(yīng)的邏輯符號(hào)將邏輯表達(dá)式的邏輯運(yùn)算關(guān)系表示出來(lái)，就可以畫出邏輯函數(shù)的邏輯圖。ABL001010100111L=AB+AB圖1-10圖1-9電路的邏輯圖5/13/202465.1）邏輯表達(dá)式的類型和最簡(jiǎn)與或式例：用非門和與非門實(shí)現(xiàn)邏輯函數(shù)解：直接將表達(dá)式變換成與非－與非式：可見，實(shí)現(xiàn)該函數(shù)需要用兩個(gè)非門、四個(gè)兩輸入端與非門、一個(gè)五輸入端與非門。電路較復(fù)雜?！?×4×1兩次求反反演律2.2.4邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)5/13/202466.若將該函數(shù)化簡(jiǎn)并作變換：可見，實(shí)現(xiàn)該函數(shù)需要用兩個(gè)非門和一個(gè)兩輸入端與非門即可。電路很簡(jiǎn)單。×2×15/13/202467.邏輯函數(shù)的多種表達(dá)式形式與-或表達(dá)式與非-與非表達(dá)式或-與非表達(dá)式或非-或表達(dá)式兩次求反并用反演律反演律摩根律5/13/202468.邏輯函數(shù)的多種表達(dá)式形式（續(xù)）或-與表達(dá)式或非-或非表達(dá)式與-或非表達(dá)式與非-與表達(dá)式5/13/202469.由以上分析可知，邏輯函數(shù)有很多種表達(dá)式形式，但形式最簡(jiǎn)潔的是與或表達(dá)式，因而也是最常用的。最簡(jiǎn)與或表達(dá)式為：①與項(xiàng)（乘積項(xiàng)）的個(gè)數(shù)最少；②每個(gè)與項(xiàng)中的變量最少。5/13/202470.2）公式化簡(jiǎn)法反復(fù)利用邏輯代數(shù)的基本公式、常用公式和運(yùn)算規(guī)則進(jìn)行化簡(jiǎn)，又稱為代數(shù)化簡(jiǎn)法。必須依賴于對(duì)公式和規(guī)則的熟練記憶和一定的經(jīng)驗(yàn)、技巧。5/13/202471.最常使用，特別需要熟練記憶！5/13/202472.化簡(jiǎn)函數(shù)解：例化簡(jiǎn)函數(shù)解：代入規(guī)則（1）并項(xiàng)法利用公式A+A=1或公式AB+AB=A進(jìn)行化簡(jiǎn)，通過(guò)合并公因子，消去變量。或：代入規(guī)則5/13/202473.（2）吸收法（律）利用公式A+AB=A進(jìn)行化簡(jiǎn)，消去多余項(xiàng)?；?jiǎn)函數(shù)解：例化簡(jiǎn)函數(shù)解：5/13/202474.化簡(jiǎn)函數(shù)解：化簡(jiǎn)函數(shù)解：（3）消去法利用公式A+AB=A＋B進(jìn)行化簡(jiǎn)，消去多余項(xiàng)。5/13/202475.化簡(jiǎn)函數(shù)解：（4）配項(xiàng)法在適當(dāng)?shù)捻?xiàng)配上A+A=1進(jìn)行化簡(jiǎn)。5/13/202476.化簡(jiǎn)函數(shù)解2：解1得：?jiǎn)栴}：函數(shù)Y的結(jié)果不一樣，哪一個(gè)解正確呢？答案都正確!最簡(jiǎn)結(jié)果的形式是一樣的，都為三個(gè)與項(xiàng)，每個(gè)與項(xiàng)都為兩個(gè)變量。表達(dá)式不唯一！5/13/202477.例化簡(jiǎn)函數(shù)解：（5）添加項(xiàng)法利用公式AB+AC+BC=AB＋AC，先添加一項(xiàng)BC，然后再利用BC進(jìn)行化簡(jiǎn)，消去多余項(xiàng)。5/13/202478.下面舉一個(gè)綜合運(yùn)用的例子。解：5/13/202479.公式化簡(jiǎn)法評(píng)價(jià)：特點(diǎn)：目前尚無(wú)一套完整的方法，能否以最快的速度進(jìn)行化簡(jiǎn)，與我們的經(jīng)驗(yàn)和對(duì)公式掌握及運(yùn)用的熟練程度有關(guān)。優(yōu)點(diǎn)：變量個(gè)數(shù)不受限制。缺點(diǎn)：結(jié)果是否最簡(jiǎn)有時(shí)不易判斷。與公式化簡(jiǎn)法優(yōu)缺點(diǎn)正好互補(bǔ)的卡諾圖化簡(jiǎn)法。當(dāng)變量個(gè)數(shù)超過(guò)4時(shí)人工進(jìn)行卡諾圖化簡(jiǎn)較困難，但它是一套完整的方法，只要按照相應(yīng)的方法就能以最快的速度得到最簡(jiǎn)結(jié)果。5/13/202480.3)圖形化簡(jiǎn)法

公式化簡(jiǎn)法評(píng)價(jià)：優(yōu)點(diǎn)：變量個(gè)數(shù)不受限制。缺點(diǎn)：目前尚無(wú)一套完整的方法，結(jié)果是否最簡(jiǎn)有時(shí)不易判斷。

利用卡諾圖可以直觀而方便地化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)。它克服了公式化簡(jiǎn)法對(duì)最終化簡(jiǎn)結(jié)果難以確定等缺點(diǎn)?？ㄖZ圖是按一定規(guī)則畫出來(lái)的方框圖，是邏輯函數(shù)的圖解化簡(jiǎn)法，同時(shí)它也是表示邏輯函數(shù)的一種方法。卡諾圖的基本組成單元是最小項(xiàng)，所以先討論一下最小項(xiàng)及最小項(xiàng)表達(dá)式。

5/13/202481.卡諾圖及其畫法

卡諾圖及其構(gòu)成原則

卡諾圖是把最小項(xiàng)按照一定規(guī)則排列而構(gòu)成的方框圖。構(gòu)成卡諾圖的原則是：①N變量的卡諾圖有2N個(gè)小方塊（最小項(xiàng)）；②最小項(xiàng)排列規(guī)則：幾何相鄰的必須邏輯相鄰。邏輯相鄰：兩個(gè)最小項(xiàng),只有一個(gè)變量的形式不同,其余的都相同。邏輯相鄰的最小項(xiàng)可以合并。幾何相鄰的含義：一是相鄰——緊挨的；二是相對(duì)——任一行或一列的兩頭；三是相重——對(duì)折起來(lái)后位置相重。5/13/202482.三變量卡諾圖的畫法

（1）邏輯變量的卡諾圖首先討論三變量（A、B、C）函數(shù)卡諾圖的畫法。①3變量的卡諾圖有23個(gè)小方塊；②幾何相鄰的必須邏輯相鄰：變量的取值按00、01、11、10的順序（循環(huán)碼）排列。相鄰相鄰5/13/202483.四變量卡諾圖的畫法相鄰相鄰不相鄰正確認(rèn)識(shí)卡諾圖的“邏輯相鄰”：上下相鄰，左右相鄰，并呈現(xiàn)“循環(huán)相鄰”的特性，它類似于一個(gè)封閉的球面，如同展開了的世界地圖一樣。對(duì)角線上不相鄰。5/13/202484.

①?gòu)恼嬷当懋嬁ㄖZ圖根據(jù)變量個(gè)數(shù)畫出卡諾圖，再按真值表填寫每一個(gè)小方塊的值（0或1）即可。需注意二者順序不同。已知Y的真值表，要求畫Y的卡諾圖。邏輯函數(shù)Y的真值表（2）邏輯函數(shù)的卡諾圖ABCY00000011010101101001101011001111例1-8的卡諾圖5/13/202485.

②從最小項(xiàng)表達(dá)式畫卡諾圖

把表達(dá)式中所有的最小項(xiàng)在對(duì)應(yīng)的小方塊中填入1，其余的小方塊中填入0。例畫出函數(shù)Y(A、B、C、D)=∑m(0,3,5,7,9,12,15)的卡諾圖。5/13/202486.

③從與－或表達(dá)式畫卡諾圖把每一個(gè)乘積項(xiàng)所包含的那些最小項(xiàng)（該乘積項(xiàng)就是這些最小項(xiàng)的的公因子）所對(duì)應(yīng)的小方塊都填上1，剩下的填0，就可以得到邏輯函數(shù)的卡諾圖。1111AB＝11例已知Y＝AB＋ACD＋ABCD，畫卡諾圖。最后將剩下的填01+1ACD=1011ABCD=01115/13/202487.

④從一般形式表達(dá)式畫卡諾圖

先將表達(dá)式變換為與或表達(dá)式，則可畫出卡諾圖。5/13/202488.

●卡諾圖中最小項(xiàng)合并的規(guī)律合并相鄰最小項(xiàng)，可消去變量。合并兩個(gè)最小項(xiàng)，可消去一個(gè)變量；合并四個(gè)最小項(xiàng)，可消去兩個(gè)變量；合并八個(gè)最小項(xiàng)，可消去三個(gè)變量。合并2N個(gè)最小項(xiàng)，可消去N個(gè)變量?？ㄖZ圖化簡(jiǎn)法由于卡諾圖兩個(gè)相鄰最小項(xiàng)中，只有一個(gè)變量取值不同，而其余的取值都相同。所以，合并相鄰最小項(xiàng)，利用公式A+A=1，AB＋AB＝A，可以消去一個(gè)或多個(gè)變量，從而使邏輯函數(shù)得到簡(jiǎn)化。5/13/202489.兩個(gè)最小項(xiàng)合并

m3m11BCD5/13/202490.四個(gè)最小項(xiàng)合并

5/13/202491.八個(gè)最小項(xiàng)合并5/13/202492.

●利用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)A．基本步驟：

①畫出邏輯函數(shù)的卡諾圖；②合并相鄰最小項(xiàng)（圈組）；③從圈組寫出最簡(jiǎn)與或表達(dá)式。

關(guān)鍵是能否正確圈組。

B．正確圈組的原則①必須按2、4、8、2N的規(guī)律來(lái)圈取值為1的相鄰最小項(xiàng)；②每個(gè)取值為1的相鄰最小項(xiàng)至少必須圈一次，但可以圈多次；③圈的個(gè)數(shù)要最少（與項(xiàng)就少），并要盡可能大（消去的變量就越多）。5/13/202493.

C．從圈組寫最簡(jiǎn)與或表達(dá)式的方法：

①將每個(gè)圈用一個(gè)與項(xiàng)表示圈內(nèi)各最小項(xiàng)中互補(bǔ)的因子消去，相同的因子保留，相同取值為1用原變量，相同取值為0用反變量；②將各與項(xiàng)相或，便得到最簡(jiǎn)與或表達(dá)式。5/13/202494.例用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)Y(A、B、C、D)=∑m(0,1,2,3,4,5,6,7,8,10,11)解：相鄰A5/13/202495.相鄰BCA5/13/202496.BCABD5/13/202497.例化簡(jiǎn)圖示邏輯函數(shù)。解：多余的圈112233445/13/202498.圈組技巧(防止多圈組的方法)：

①先圈孤立的1；

②再圈只有一