2020-2021學年廣東省廣州市南沙區(qū)九年級（上）期末數(shù)學試卷（含解析）

2020-2021學年廣東省廣州市南沙區(qū)九年級第一學期期末數(shù)學試

卷

一、選擇題（每小題3分）

1.下列圖中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）

A.等邊三角形B.平行四邊形C.正六邊形D.正五角星

2.下列說法正確的是（）

A.13名同學中，至少有兩人的出生月份相同是必然事件

B.投擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣1000次，正面朝上的次數(shù)一定是500次

C.概率很小的事情不可能發(fā)生

D.從1、2、3、4、5中任取一個數(shù)是偶數(shù)的可能性比較大

3.用配方法解關于x的方程尤2-6x+5=0時，此方程可變形為（）

A.（x+3）2=4B.（x+3）2+4=0C.（%-3）2=4D.（尤-3）2+4=0

4

4.若點A（-1,yi）,B（1,V2）,C（4,中）在反比例函數(shù)y=—的圖象上，則yi、>2、

x

J3的大小關系是（）

A.y\<yi<y3B.yi<y\<y3C.ys<y\<yiD.yi<j3<j2

5.如圖，四邊形ABC。內(nèi)接于OO,若四邊形AOC。是菱形，則N8的度數(shù)為（）

A.45°B.50°C.60°D.75°

6.某中學的初三籃球賽中，參賽的每兩支球隊之間都要進行一場比賽，共比賽21場，設參

加比賽的球隊有了支，根據(jù)題意，下面列出的方程正確的是（）

A.-^-x（x+1）=21B.gx（x-1）=21

22

C.X（x+1）=21D.X（x-1）=21

7.在ABC中，NC=90°,AC=8,BC=6,現(xiàn)以AC為軸旋轉一周得到一個圓錐.則該圓

錐的側面積為（)

A.481tB.6011C.80TtD.657t

8.二次函數(shù)y=0+6x+c的圖象如圖所示，貝I］一次函數(shù)y=ov+6和反比例函數(shù)y=一在同一

平面直角坐標系中的圖象可能是（）

9.如圖，從一塊直徑是4加的圓形鐵皮上剪出一個圓心角為60°的扇形，如果剪出來的扇

形圍成一個圓錐，那么圍成的圓錐的高是（）

A202an啦

A.3mB.--------mC.---------mD.-------m

333

10.如圖，在等腰△ABC和等腰△ABE中，ZABC=120°,AB=BC=BE=2,。為AE的

中點，則線段CO的最小值為（)

A.2B.V7-1C.2M-1D.76-1

二、填空題(共6小題).

11.若點(a,1)與(-3,b)關于原點對稱，則而=.

12.在一個不透明的箱子里裝有紅色、藍色、黃色的球共50個，除顏色外，形狀、大小、

質(zhì)地等完全相同，小明通過多次摸球試驗后發(fā)現(xiàn)摸到紅色、黃色球的頻率分別穩(wěn)定在20%

和30%,則箱子里藍色球的個數(shù)很可能是.

13.如圖，是△ABC的外接圓，60°,AB=3C=3,則弦AC=.

r

14.若m是方程2x2-3%-1=0的一個根，則6m2-9m+2021的值為.

15.如圖，點A是x軸負半軸上任意一點，過點A作y軸的平行線，分別與反比例函數(shù)y

4.2

=-蘭和>=亙的圖象交于點B和C點，若。為y軸上任意一點，連接OC、DB,則4

xx

16.拋物線交工軸于點A(-3,0)>B(1,0).下列結論：①2〃-b=0；

②2c=3。；③當4Vo時，無論相取何值都有〃-Z?2M2+勵；④若〃<0時，拋物線交

y軸于點C,且AABC是等腰三角形，。=板或后；⑤拋物線交y軸于正半軸，拋物

線上的兩點E(xi,yi)、F(%2,>2)且xi<X2,xi+x2>-2,則yi>j2；則其中正確的

是.(填寫所有正確結論的序號)

三、解答題(本大題共9小題，滿分72分，解答要求寫出文字說明、證明過程或計算步驟)

17.解方程：x2-2尤-3=0.

18.已知關于尤的反比例函數(shù)丫=工友的圖象經(jīng)過點A(2,3).

x

(1)求這個反比例函數(shù)的解析式；

(2)當lWx<4時，求y的取值范圍.

19.如圖，己知△ABO,點A、8坐標分別為(2,4)、(2,1).

(1)把△AB。繞著原點。順時針旋轉90°得△All。，畫出旋轉后的△ALBI。；

(2)在(1)的條件下，求點8旋轉到點所經(jīng)過的路徑的長.(結果保留TT)

20.為深化疫情防控國際合作、共同應對全球公共衛(wèi)生危機，我國有序開展醫(yī)療物資出口工

作.2020年10月，國內(nèi)某企業(yè)口罩出口訂單額為1000萬元，2020年12月該企業(yè)口罩

出口訂單額為1210萬元.

(1)求該企業(yè)2020年10月到12月口罩出口訂單額的月平均增長率；

(2)按照(1)的月平均增長率，預計該企業(yè)2021年1月口罩出口訂單額為多少萬元？

21.在一個不透明的布袋里裝有四個完全相同的小球，上面分別標有數(shù)字1、2、2、3.

(1)若小明隨機抽出一個小球，求抽到標有數(shù)字2的小球的概率；

(2)小明先從口袋里隨機不放回地取出一個小球，記下數(shù)字為尤.小紅再從剩下的三個

小球中隨機取出一個小球，記下數(shù)字為y,點。坐標記作(尤，y).規(guī)定：若點。(尤，y)

在反比例函數(shù)丫=旦圖象上則小明勝；若點Q在反比例函數(shù)y=Z圖象上，則小紅勝.請

xx

你通過計算，判斷這個游戲是否公平？

22.如圖，△ABC內(nèi)接于。0,PA是。。的切線，CD是0。的直徑，點P在延長線上,

且AP=AC.

(1)求的度數(shù)；

(2)若點E在線段AP上，且PE=2AE,連接。E,求證：是。。的切線.

23.已知二次函數(shù)y=-N+bx+c的圖象與直線y=x+3相交于點A和點B,點A在x軸上，

點B在y軸上.拋物線的頂點為尸.

(1)求這個二次函數(shù)的解析式；

(2)現(xiàn)將拋物線向右平移m個單位，當拋物線與△A8P有且只有一個公共點時，求m

的值；

(3)在直線AB下方的拋物線上是否存在點。，使得SAAB°=2&ABP,若存在，請求出點

。的坐標，若不存在，請說明理由.

3

24.已知：拋物線>=立2-(24+1)x+—(kWO).

(1)證明：該拋物線與x軸必有兩個不同的交點；

(2)若該拋物線經(jīng)過一個定點。(異于拋物線與y軸的交點)，且定點。到拋物線的對

稱軸的距離為3,求左的值；

(3)若％=1,點E為拋物線的對稱軸上一點，且其縱坐標為-春.已知點尸(1,0),

此時拋物線上是否存在一點K,使得KF+KE的值最小，若存在，求出K的坐標，若不存

在，請說明理由.

25.如圖，是。。的直徑，點A在OO上且AB=AC.

(1)如圖1,點。為直徑8c上一點(不與點B,C重合)，將線段繞點A順時針

旋轉90°,得到線段AE,連接。E、8E,試探索線段8。，CD,之間滿足的等量關

系，并證明你的結論；

（2）如圖2,若點。為。。外一點且NAO8=45°,試探索線段A。，BD,之間滿

足的等量關系，并證明你的結論；

（3）若點。為。。上一點且/AOB=45°,試探索線段AD,BD,CO之間滿足的等量

關系，并證明你的結論.

參考答案

一、選擇題(共10小題).

1.下列圖中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是()

A.等邊三角形B.平行四邊形C.正六邊形D.正五角星

解：4等邊三角形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形.故本選項不合題意；

8、平行四邊形不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形.故本選項不合題意；

C、正六邊形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形.故本選項符合題意；

。、正五角星是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形.故本選項不合題意.

故選：C.

2.下列說法正確的是()

A.13名同學中，至少有兩人的出生月份相同是必然事件

B.投擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣1000次，正面朝上的次數(shù)一定是500次

C.概率很小的事情不可能發(fā)生

D.從1、2、3、4、5中任取一個數(shù)是偶數(shù)的可能性比較大

解：A、13名同學中，至少有兩人的出生月份相同是必然事件，正確；

B、投擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣1000次，正面朝上的次數(shù)不一定是500次，故本選項錯誤;

C、概率很小的事也可能發(fā)生，故本選項錯誤；

D、從1、2、3、4、5中任取一個數(shù)是偶奇數(shù)的可能性比較大，故本選項錯誤.

故選：A.

3.用配方法解關于x的方程無2-6x+5=0時，此方程可變形為()

A.(x+3)2=4B.(x+3)2+4=0C.(%-3)2=4D.(%-3)2+4=0

解：把方程N-4x+2=0的常數(shù)項移到等號的右邊，得到x2-6x=-5,

方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方，得到x2-6x+9=-5+9,

配方得(尤-3)2=4.

故選：C.

..4

4.若點A(-1,yi),B(1,>2),C(4,*)在反比例函數(shù)y=—的圖象上，則yi、>2、

x

>3的大小關系是()

A.yi<y2<ysB.y2<yi<y3C.ys<yi<y2D.y\<ys<y2

一A

解：，?,點A(-1,yi),5(1,>2),C(4,>3)在反比例函數(shù)y=—的圖象上，

x

?力1=-4,、2=4,>3=1,

.'.yi<y3<y2.

故選：D.

5.如圖，四邊形A5CD內(nèi)接于。0,若四邊形AOCZ)是菱形，則N3的度數(shù)為(

A.45°B.50°C.60°D.75°

解：???四邊形內(nèi)接于OO,

???/5+/。=180°,

???四邊形O4CD是菱形，

???ZAOC=ZDf

由圓周角定理得，ZB=^ZAOC,

.,.ZB+2ZJB=180°,

解得，ZB=60°,

故選：C.

6.某中學的初三籃球賽中，參賽的每兩支球隊之間都要進行一場比賽，共比賽21場，設參

加比賽的球隊有x支，根據(jù)題意，下面列出的方程正確的是()

A.-^-.r(x+1)—21B.-^-x(尤-1)=21

22

C.x(x+1)=21D.x(x-1)=21

解：依題意得：-^x(x-1)=21.

故選：B.

7.在ABC中，ZC=90°,AC=8,BC=6,現(xiàn)以AC為軸旋轉一周得到一個圓錐.則該圓

錐的側面積為()

A.4811B.60nC.80nD.651T

解：VZC=90°,AC=8,BC=6,

?■?AB=VAC2+BC2=V62+82=10>

...該圓錐的側面積=/義2乂11：乂6*10=6011,

故選：B.

8.二次函數(shù)y=〃N+bx+c的圖象如圖所示，則一次函數(shù)y=ox+b和反比例函數(shù)y=*在同一

x

平面直角坐標系中的圖象可能是（）

解：因為二次函數(shù)丁="2+加；+0的圖象開口向上，得出。>0,與y軸交點在y軸的負半

軸，得出cVO,利用對稱軸x=-_^-V0,得出b>0,

所以一次函數(shù)經(jīng)過一、二、三象限，反比例函數(shù)y=￡經(jīng)過二、四象限，

x

故選：C.

9.如圖，從一塊直徑是4根的圓形鐵皮上剪出一個圓心角為60°的扇形，如果剪出來的扇

形圍成一個圓錐，那么圍成的圓錐的高是（）

60°

A.3mB.空③機C.宜恒2D.生旦相

333

解：連接。4,OC,過點。作OHLAC于H.

：AB=AC,ZBAC=60°,

：.AABC是等邊三角形，

：。是△ABC的外心，

ZOAH=-j-ZABC=30°,

OH±AC,

ZOHA=90°,AH=CH—OA?cos30°(相)，

???AB=AC=2AH=2y(m),

圓錐底面圓的周長="二|返=2坐IT(m),

1803

...圓錐底面圓的半徑為亨(m),

，圓錐的高=5(2?)2_*2=零(m).

故選：C.

10.如圖，在等腰△ABC和等腰△人呂石中，ZABC=120°,AB=BC=BE=2,。為AE的

中點，則線段。的最小值為()

E

A.2B.V7-1C.2^3-1D.V6-1

解：取AB的中點G,連接OG,CG,過。作于點〃

E

C

TO是AE的中點，G是A3的中點，

???DG是△ABE的中位線，

：.DG=^BE,

9：AB^BC=BE=2,

：.DG=lf3G=1,

VZABC=120°,

：.ZCBH=18Q°-120°=60°,

???CHLBH,

：.ZCHB=90°,ZBCH=9Q°-60°=30°,

：.BH=^BC=\,

CZ

「?^=7BC2-BH2=V41=V3^

???HG=BG+BH=1+1=2,

在RtZ\CHG中，CG=>JcH2+HG2=V3+4=V7

'/CG-DGWCDWOG+CG,

CD<W+L

當且僅當。，G,C三點共線時，CD最短為我-1,

故選：B.

二、填空題（木大題共6小題，每小題3分，滿分18分，）

11.若點（a,1）與（-3,b）關于原點對稱，則ab=-3.

解：：點A（a,1）與點B（-3,b）關于原點對稱，

.,.?=3,b=-1,

故ab--3.

故答案為：-3.

12.在一個不透明的箱子里裝有紅色、藍色、黃色的球共50個，除顏色外，形狀、大小、

質(zhì)地等完全相同，小明通過多次摸球試驗后發(fā)現(xiàn)摸到紅色、黃色球的頻率分別穩(wěn)定在20%

和30%,則箱子里藍色球的個數(shù)很可能是q.

解：根據(jù)題意得摸到紅色、黃色球的概率為20%和30%,

所以摸到藍球的概率為50%,

因為50X50%=25（個），

所以可估計箱子中藍色球的個數(shù)為25個.

故答案為25.

13.如圖，是△ABC的外接圓，ZCOB=60°,AB=BC=3f則弦

解：設08與AC交于點O,

VZCOB=60°,AB=BC,

：.ACOB為等邊三角形，

???OC=BC=3,

9：AB=BC,

AOD±AC,CD=AD,

在RtZXCOO中，sinNC0D=器,

Z.CD=0C?sin/COD=^^,

2

.*.AC=3?,

故答案為：3^/3-

r

Zi

14.若m是方程23-3x-1=0的一個根，則6m2-9加+2021的值為2024.

解：由題意可知：2m2-3m-1=0,

2m2-3m=l,

???原式=3(2m2-3m)+2021=2024.

故答案為：2024.

15.如圖，點A是x軸負半軸上任意一點，過點A作y軸的平行線，分別與反比例函數(shù)y

42

=和的圖象交于點B和。點，若。為y軸上任意一點，連接。C、DB,則4

XX

BCD的面積為3.5.

1鵬廠

解：設A(m,0)(m<0),

???直線3C〃y軸，

4.

AB,。兩點的橫坐標都為相，而點3在反比例函數(shù)y=-N的圖象上，點。在反比例函

X

數(shù)y=3的圖象上，

X

4.2

點坐標為(加，--),。點坐標為(如—),

mm

：.BC=----=,

ininm

117

**?SABCD=—*BC9OA=—*(-----)?(-m)=3.5.

22m

故答案為3.5.

16.拋物線y=a%2+bx+c交工軸于點A(-3,0)>B(1,0).下列結論：①2。-8=0；

②2c=3。；③當“V0時，無論m取何值都有a-b^an^+bm；④若a<0時，拋物線交

y軸于點C,且△ABC是等腰三角形，或J元；⑤拋物線交y軸于正半軸，拋物

線上的兩點E(X1,力)、F(尤2,J2)且X1<X2,Xl+X2>-2,則yi>J2；則其中正確的

是①③④⑤.(填寫所有正確結論的序號)

解：①：二次函數(shù)與x軸交于點A(-3,0)、B(1,0).

.?.二次函數(shù)的對稱軸為尤=等~=-1,即-裊=-1,

22a

2a-/?=0.

故①正確；

②?.,二次函數(shù)y=〃N+/?x+c與x軸交于點A(-3,0)>B(1,0).

9a-3b+c=0,〃+》+c=0,

又,：b=2a.

3

/?+c=0,

2

「?2。=-3b.

故②錯誤；

@'：a<0,

拋物線開口向下.

；.x=l時，二次函數(shù)有最大值.

a+b+c^airfi+bm+c.

即a+b^am2+bm.

故③正確；

④由圖象可得，AC^BC.

當8c=AB=4時，貝|了+/=42,解得。=襁，

當AC=A2=4時，則32+c2=42,解得。=由

故AABC是等腰三角形時，或J元，

故④)正確;

⑤由題意可知，點E(xi,yi)到對稱軸的距離小于點尸(無2,”)到對稱軸的距離,

故⑤正確；

故答案為①③④⑤.

三、解答題(本大題共9小題，滿分72分，解答要求寫出文字說明、證明過程或計算步驟)

17.解方程：x2-2x-3=0.

解：原方程可以變形為(x-3)(x+1)=0

x-3=0,x+l=0

??X\3,X2~~一1.

18.已知關于x的反比例函數(shù)>=工私的圖象經(jīng)過點A(2,3).

X

(1)求這個反比例函數(shù)的解析式；

(2)當1W%<4時，求y的取值范圍.

解：(1)..?關于X的反比例函數(shù)了=上也的圖象經(jīng)過點A(2,3).

x

.oltm

-2'

l+m=6f

這個函數(shù)的解析式為：y=3；

(2)?.,當x=l時，y=6,

3

當％=4時，y=—,

，，_3

???當1WX<4時，y的取值范圍是萬<yW6.

19.如圖，已知△ABO,點A、5坐標分別為(2,4)、(2,1).

（1）把△ABO繞著原點。順時針旋轉90°得△431。，畫出旋轉后的△421。；

（2）在（1）的條件下，求點8旋轉到點囪經(jīng)過的路徑的長.（結果保留TT）

（2）點B旋轉到點Bi經(jīng)過的路徑的長=9°"兀"遮=返死

1802

20.為深化疫情防控國際合作、共同應對全球公共衛(wèi)生危機，我國有序開展醫(yī)療物資出口工

作.2020年10月，國內(nèi)某企業(yè)口罩出口訂單額為1000萬元，2020年12月該企業(yè)口罩

出口訂單額為1210萬元.

（1）求該企業(yè)2020年10月到12月口罩出口訂單額的月平均增長率；

（2）按照（1）的月平均增長率，預計該企業(yè)2021年1月口罩出口訂單額為多少萬元？

解：（1）設該企業(yè)2020年10月到12月口罩出口訂單額的月平均增長率為尤，

依題意得:1000（1+尤）2=1210,

解得：xi=0.1=10%,X2=-2.1（不合題意，舍去）.

答:該企業(yè)2020年10月到12月口罩出口訂單額的月平均增長率為10%.

（2）1210X（1+10%）=1331（萬元）.

答：預計該企業(yè)2021年1月口罩出口訂單額為1331萬元.

21.在一個不透明的布袋里裝有四個完全相同的小球，上面分別標有數(shù)字1、2、2、3.

（1）若小明隨機抽出一個小球，求抽到標有數(shù)字2的小球的概率；

（2）小明先從口袋里隨機不放回地取出一個小球，記下數(shù)字為無.小紅再從剩下的三個

小球中隨機取出一個小球，記下數(shù)字為y,點。坐標記作（尤，y）.規(guī)定：若點。（尤，y）

在反比例函數(shù)y=g圖象上則小明勝；若點。在反比例函數(shù)y=2圖象上，則小紅勝.請

xx

你通過計算，判斷這個游戲是否公平？

解：（1）若小明隨機抽出一個小球，則抽到標有數(shù)字2的小球的概率為［9■==■1；

42

（2）畫樹狀圖如圖：

x/1K/42\/42\/3N

V223123123122

共有12個等可能的結果，點。（尤，y）在反比例函數(shù)y=g圖象上的結果有4個，點。

9X

（x,y）在反比例函數(shù)y=一圖象上的結果有4個，

x

???小明勝的概率為4喘=稱1，小紅勝的概率為4我=看1，

...小明勝的概率=小紅勝的概率，

...這個游戲公平.

22.如圖，ZVIBC內(nèi)接于。0,PA是。。的切線，C￡）是。。的直徑，點P在。延長線上，

且AP=AC.

（1）求的度數(shù)；

（2）若點E在線段AP上，且PE=2AE,連接。E,求證：是。。的切線.

【解答】（1）解：連接。4,AD,

A

9：AP=AC,

：.ZP=ZACPf

U：AO=OC,

：.ZACO=ZCAOf

設NACO=x,則NAOP=NACO+NCAO=2x,

??,P4是O。的切線，

：.OA±AP,

：.ZOAP=90°,

AZAOP+ZP=90°,

.'.2x+x=90°,

???x=30°,

AZACO=30°,

??,CD是。。的直徑，

ZZ)AC=90°,

AZADC=60°,

ZB=60°；

(2)證明：連接04,OE,

設0C=0Z)=Q4=r,

?：ZP=ZACP=30°,

???0P=2r,

：.DP=r,

???p2_0A2=J4r2_r2=?/,

?；PE=2AE,

???班昔后

AP_V3r_-73

OP—F，

.DP=AP

,宣一而‘

；NP=NP,

：./\PDE^/\PAO,

：.ZPDE=ZPAO=90°,

；./EDO=90°,

是。。的切線.

23.已知二次函數(shù)y=-%2+bx+c的圖象與直線y=x+3相交于點A和點3,點A在x軸上，

點B在y軸上.拋物線的頂點為P.

（1）求這個二次函數(shù)的解析式；

（2）現(xiàn)將拋物線向右平移m個單位，當拋物線與△ABP有且只有一個公共點時，求m

的值；

（3）在直線AB下方的拋物線上是否存在點。，使得SAAB°=2SA4BP,若存在，請求出點

0的坐標，若不存在，請說明理由.

解：(1)當x=0時，y=3,

：.B(0,3),

當y=0時，x+3=0,

.*.%=-3,

.*.A(-3,0),

把A(-3,0)和5(0,3)代入二次函數(shù)y=-必+法+c中得:

曹“解得b=-2

c=3'

這個二次函數(shù)的解析式為：y=-x2-2x+3；

(2)y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,

：.P(-1,4),

將拋物線向右平移機個單位，尸對應點為(-1+加，4),

，平移后的拋物線解析式為y=-(x+1-m)2+4,

把5(0,3)代入得，3=-(1-m)2+4,

解得見=2,m2—0(舍去)，

把A(-3,0)代入得0=-(-2-m)2+4,

解得儂=-4,儂=0(舍去)，

故機的值為2或-4；

(3)*.*SAABP=SAAPD+S梯形PDOB-S^AOB=X4X(3-l)+-1-X(3+4)XI-yX3X3=

3,

??S叢ABQ=2sAABP=6,

設點。的坐標為(a,-〃2_2〃+3),

分兩種情況:

①如圖1,當。在對稱軸的左側，過點尸作尸。，無軸于點。，過點。作?！辍▂軸交直

線AB于E,

圖1

S^ABQ2(a+3+a~+2a-3)(-o+3+a)=6,

2

解得：＜71=-4,02=1(舍)，

：.Q(-4,-5)；

②如圖2,當。在對稱的右側，過點P作無軸于點。，過點。作。石〃》軸交直線

AB于E,

同理可得。=1,

：.Q(1,0),

綜上，點。的坐標為(-4,-5)或(1,0).

24.已知：拋物線>=依-(24+1)x+—(4W0).

(1)證明：該拋物線與x軸必有兩個不同的交點；

(2)若該拋物線經(jīng)過一個定點。(異于拋物線與y軸的交點)，且定點。到拋物線的對

稱軸的距離為3,求上的值；

(3)若左=1,點E為拋物線的對稱軸上一點，且其縱坐標為已知點/(1,0),

此時拋物線上是否存在一點K,使得KF+KE的值最小，若存在，求出K的坐標，若不存

在，請說明理由.

3

【解答】(1)證明：當y=0時，kx1-(2Z+1)x+—=0,

2

△=[-(2k+1)]2-4%X^=3N+(%-1)2>0,

?,?該拋物線與x軸必有兩個不同的交點；

L3

(2)解：y=kx2-(2左+1)x+—

=依-2kx-x+—