新人教版高中數(shù)學(xué)必修一《集合間的基本關(guān)系》學(xué)案

1.1.2集合間的基本關(guān)系

［學(xué)習(xí)目標(biāo)］1.掌握兩個(gè)集合之間的包含關(guān)系和相等關(guān)系，并能正確判斷2了解Venn圖的

含義，會(huì)用Venn圖表示兩個(gè)集合間的關(guān)系.3.了解空集的含義及其性質(zhì).

h知識(shí)梳理自主學(xué)習(xí)

知識(shí)點(diǎn)一Venn圖

(1)定義：在數(shù)學(xué)中，經(jīng)常用平面上封閉曲線的內(nèi)部代表集合，這種圖稱為Venn圖，這種表

示集合的方法叫做圖示法.

(2)適用范圍：元素個(gè)數(shù)較少的集合.

(3)使用方法：把元素寫(xiě)在封閉曲線的內(nèi)部.

知識(shí)點(diǎn)二子集的概念

文字語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言圖形語(yǔ)言

集合A中任意一個(gè)元素都是集合B中的元素,就說(shuō)這兩

（或B2A）

個(gè)集合有包含關(guān)系,稱集合A是集合8的子集

思考符號(hào)“G”與“U”有什么區(qū)別？

答⑴“G”是表示元素與集合之間的關(guān)系，比如1GN,-1CN.

(2)“U”是表示集合與集合之間的關(guān)系，比如NUR,｛1,2,3｝U｛3,2』｝.

(3)“G”的左邊是元素，右邊是集合，而“U”的兩邊均為集合.

知識(shí)點(diǎn)三集合相等

如果集合A是集合3的子集(AUB),且集合3是集合A的子集(8UA),此時(shí)，集合A與集

合8中的元素是一樣的，因此，集合A與集合8相等，記作A=A

思考⑴集合｛0,1｝與集合H。」)｝相等嗎？

⑵集合｛xGR|Ta<2｝與集合(yGR［T<y<2｝相等嗎？

答(1)不相等.前者是數(shù)集，有兩個(gè)元素：0和1;后者是點(diǎn)集，只有一個(gè)元素：數(shù)對(duì)(0,1).

(2)相等.雖然兩個(gè)集合的代表元素的符號(hào)(字母)不同，但實(shí)質(zhì)上它們均表示大于一1且小于2

的所有實(shí)數(shù)，所以這兩個(gè)集合相等.

知識(shí)點(diǎn)四真子集的概念

定義符號(hào)表示圖形表示

如果集合但存在元素xG8,且KA,稱

真子集AB（或BA）（^0）

集合A是集合B的真子集

知識(shí)點(diǎn)五空集

(1)定義：不含任何元素的集合叫做空集.

(2)用符號(hào)表示為：0.

(3)規(guī)定：空集是任何集合的子集.

思考{0},。與{0}之間有什么區(qū)別與聯(lián)系？

答{0}是含有一個(gè)元素o的集合，。是不含任何元素的集合，因此有0a{0},而{。}是含有

一個(gè)元素0的集合，因此有06{0}.

知識(shí)點(diǎn)六子集的有關(guān)性質(zhì)

(1)任何一-個(gè)集合是它本身的子集,即AUA.

(2)對(duì)于集合4,B,C,如果AU8,且BGC,那么4UC.

尹題型探究重點(diǎn)突破

題型一有限集合的子集確定問(wèn)題

例1(1)寫(xiě)出集合{mb,c}的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集；

(2)已知集合A滿足{a,b}UA{a,b,c,d},求滿足條件的集合A.

解(1)子集為：。，{a},,{c},[a,b},{b,c},[a,c],{a,b,c}.

真子集為：0,{a},,{<;},{a,b},{a,c],{b,c}.

(2)由題意可知，A中一定有a,6,對(duì)于c,d可能沒(méi)有，也可能有1個(gè)，故滿足{a,6}U4{a,

b,c,d}的A有：

(a,b],{a,b,c},{a,b,d].

反思與感悟1.求解有限集合的子集問(wèn)題，關(guān)鍵有三點(diǎn)：

(1)確定所求集合；

(2)合理分類，按照子集所含元素的個(gè)數(shù)依次寫(xiě)出；

(3)注意兩個(gè)特殊的集合，即空集和集合本身.

2.一般地，若集合A中有"個(gè)元素，則其子集有2"個(gè)，真子集有2"—1個(gè)，非空真子集有

2”—2個(gè).

跟蹤訓(xùn)練I已知集合M滿足{2,3}UMU{1,2,3,4,5},求集合M及其個(gè)數(shù).

解當(dāng)“中含有兩個(gè)元素時(shí)，M為{2,3}；

當(dāng)M中含有三個(gè)元素時(shí)，M為{2,3,1},{2,3,4},{2,3,5}；

當(dāng)M中含有四個(gè)元素時(shí)，M為{2,3,1,4},{2,3,1,5},{2,3,4,5)；

當(dāng)〃中含有五個(gè)元素時(shí)，M為{2,3,1,4,5}；

所以滿足條件的集合例為{2,3},{2,3,1},{2,3,4},{2,3,5},{2,3,1,4},{2,3,1,5},{2,3,4,5},

{2,3,1,4,5},集合M的個(gè)數(shù)為&

題型二集合間關(guān)系的判定

例2指出下列各對(duì)集合之間的關(guān)系：

(1)A={-1,1},B={(—1,—1),(—1,1),(1,—1),(1,1)}；

(2)4={x|x是等邊三角形},B={x|x是等腰三角形};

(3)A={x|—1<x<4},S={X|A—5<0}；

(4)M={x|x=2〃一l,"WN*},N={x|x=2”+1,?eN*).

解(1)集合4的代表元素是數(shù)，集合B的代表元素是有序?qū)崝?shù)對(duì)，故A與B之間無(wú)包含關(guān)

系.

(2)等邊三角形是三邊相等的三角形，等腰三角形是兩邊相等的三角形，故4B.

(3)集合B={x|x<5},用數(shù)軸表示集合A,B,如圖所示，由圖可知AB.

B-

-2-1012345*

(4)由列舉法知例={1,3,5,7,…},N={3,5,7,9,…},故NM.

141

例3已知集合4={小=§(2攵+1),kSZ},B={小=§任g,kGZ},則集合A,B之間的關(guān)

系為()

A.ABB.BA

C.A=B

答案C

解析設(shè)XiGA,則xi=/2h+1),k\GZ.

當(dāng)上=2〃，〃CZ時(shí)，xi=t(4〃+1)=/"+上，當(dāng)e=2"—1,“GZ時(shí)，xi=^(4n—

1)=9W—9????XIGA.,.AUB.設(shè)工2乙8,則*2=*i|=/(4左2±1),TGZ.由于4/+1=2X29

+1,4代-1=2(2心-1)+1,且2近表示所有的偶數(shù)，2k2—1表示所有的奇數(shù)，，4依±1與兼

+l(Aez)一樣，都表示所有奇數(shù).

?,“2=§(442±1)=/(2左+1),kGZ.

：.X2^A.：.BQA.

故A=8.故選C.

反思與感悟判斷集合與集合關(guān)系的常用方法：(1)一一列舉觀察.(2)集合元素特征法：首先

確定''集合的元素是什么"，弄清元素的特征，再利用集合元素的特征判斷關(guān)系.一般地，

設(shè)4={x|p(x)},B={x|q(x)}.①若p(x)推出q(x),則4GB;②若q(x)推出p(x),則BUA;③

若p(x),q(x)互相推出，則A=B;④若p(x)推不出q(x),q(x)也推不出p(x),則集合A,8無(wú)

包含關(guān)系.(3)數(shù)形結(jié)合法：利用數(shù)軸或Venn圖判斷.若AUB和A8同時(shí)成立，則AB更

能準(zhǔn)確表達(dá)集合A,8之間的關(guān)系.

跟蹤訓(xùn)練2集合M={x|x=3比一2,%eZ},P={y|y=3〃+l,"GZ},S={z|z=6m+l,meZ},

則M,P,S之間的關(guān)系為()

A.SPMB.S=PM

C.SP=MDSP=M

答案C

解析對(duì)于M：x=3左一2=3/—1)+1,kGZ,

對(duì)于P：y=3〃+l,〃￡Z,

：.M=P.

而z=6m+1=3-(2/n)+1,mGZ,

：.SP=M,故選C.

題型三集合相等

例4已知M={2,a,b}9N={2a,2,〃},若M=N,求〃與人的值.

ci=2a,a=b2,

解由題意得

2

b=bb=2af

。=0,

解得?

b=\

又。=0,8=0時(shí)，M={2,0,0}與集合的互異性矛盾，

故舍去.

?二〃=0,8=1或〃=/,b=^.

反思與感悟由4=仇或AG3）求字母的值時(shí)，要注意檢驗(yàn)所求出的值是否滿足集合中元素

的互異性.

跟蹤訓(xùn)練3設(shè)a,6GR,集合{1,a+b,〃}={0,,b},則匕一a等于（）

A.lB.-1

C.2D.-2

答案C

解析因?yàn)椤癢0,所以a+〃=0,所以￡=一1，所以匕=1,a=~\.ikb-a=2.

題型四由集合間的關(guān)系求參數(shù)范圍問(wèn)題

例5已知集合A={R-3WxW4},B={x\2m-l<x<m+l],且一BUA,求實(shí)數(shù)，〃的取值范

圍.

解-：B^A,

(1)當(dāng)B=0時(shí)，/?+1^2/H-1,解得機(jī)22.

-3W2zn-1,

(2)當(dāng)時(shí)，有，m+1<4,

2m—1<m+1,

解得一綜上得{相依》一1}.

反思與感悟1.求解集合中參數(shù)問(wèn)題，應(yīng)先分析，簡(jiǎn)化每個(gè)集合，然后應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想與

分類討論思想求解；2.利用數(shù)軸分析法，將各個(gè)集合在數(shù)軸上表示出來(lái)，其中特別要注意端

點(diǎn)值的檢驗(yàn)；3.注意空集的特殊性，遇到“BUA”時(shí)，若B為含字母參數(shù)的集合，一定要

分“B=0”和“BW?！眱煞N情形討論.

跟蹤訓(xùn)練4已知集合4=目|1?2},集合B={x|lWxWa,a^l].

(1)若AB,求〃的取值范圍；

(2)若BGA,求〃的取值范圍.

解⑴若AB,由圖可知。＞2.

—312.

012ax

(2)若BU4,由圖可知1W°W2.

X

易錯(cuò)點(diǎn)

忽略空集的特殊性致誤

例6設(shè)M={x*-2x-3=0},N={Mox—1=0},若NUM,求所有滿足條件的a的取值

集合.

錯(cuò)解由NU/W,M={_r|/—2%—3=0}={—1,3},

得小={-1}或{3}.

當(dāng)％={—1}時(shí)，由(=-1,得”=一1.

當(dāng)代={3}時(shí)，由[=3,得a=g.

故滿足條件的“的取值集合為{-1,1).

正解由NUM,例={衛(wèi)』一21-3=0}={—1,3},

得N=?；?={-1}或%={3}.

當(dāng)N=0時(shí)，ar—1=0無(wú)解，即a=0.

當(dāng)％={—1}時(shí)，由,=—1,得a=-1.

當(dāng)代={3}時(shí)，由5=3,得

故滿足條件的。的取值集合為｛-1,0,1).

易錯(cuò)警示

錯(cuò)誤原因糾錯(cuò)心得

空集是任何集合的子集.解這類問(wèn)題時(shí)，一定要注意“空集優(yōu)

錯(cuò)解忽略了N=。這種情況.

先”的原則.

跟蹤訓(xùn)練5設(shè)集合A={x|f+4x=0},8={x*+2(a+l)x+a2—1=0,0GR},若

求實(shí)數(shù)〃的取值范圍.

解因?yàn)锳={x*+4x=0}={0,-4},BQA,

所以B可能為。，{0},{—4},{0,-4}.

①當(dāng)8=0時(shí)，方程『+23+1比+/-1=0無(wú)解.

所以/=4(a+1)2—4(4—1)<0,

所以。<一1.

②當(dāng)B={0}時(shí)，方程/+23+1口+〃-i=o有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根0,

0+0=—2(“+1),

由根與系數(shù)的關(guān)系，得＜

0X0=a2—1,

解得a——\.

③當(dāng)8=｛—4｝時(shí)，方程/+2(a+1比+/—1=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根一4,

-4+(-4)=-2(?+1),

由根與系數(shù)的關(guān)系，得

-4X(-4)=a2-l,

該方程組無(wú)解.

④當(dāng)8=｛0,—4｝時(shí)，方程/+2(4+l)x+“2—1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根o和—4,

|0+(-4)=-2(?+1),

由根與系數(shù)的關(guān)系，得1OX(-4)=?2-1,

解得a—\.

綜上可得“W—1或a=l.

尹當(dāng)堂檢測(cè)自查自糾

1.集合A={x|0Wx<3,xGN}的真子集的個(gè)數(shù)為()

A.4B.7C.8D.16

答案B

解析可知A={0,l,2},其真子集為：0,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},即共有23

-1=7(個(gè)).

2.設(shè)集合M={#v>-2},則下列選項(xiàng)正確的是（）

A.{O}￡MB.{O}WMC.0GMD.OSM

答案A

解析選項(xiàng)B、C中均是集合之間的關(guān)系，符號(hào)錯(cuò)誤；選項(xiàng)D中是元素與集合之間的關(guān)系，

符號(hào)錯(cuò)誤.

3.若集合「={》,忘3},則（）

A.-1GPB.{-1}GP

C.0GPD.{-l}￡p

答案D

解析???/>={x|xW3},.—1WP,故{-1}UP,故答案為D.

4.已知集合4={力*-3x+2=0,xWR},B={x|0a<5,xGN*},則滿足條件AUCUB的集

合C的個(gè)數(shù)為（）

A.lB.2C.3D.4

答案D

解析A={x|f—3x+2=0,xdR}={l,2},B={x|0a<5,犬6、*}={1,2,3,4}.因?yàn)?=。=8,

所以根據(jù)子集的定義，集合C必須含有元素1,2,且可能含有元素3,4,原題即求集合{3,4}

的子集個(gè)數(shù)，所以集合C的個(gè)數(shù)為22=4.故選D.

5.設(shè)集合A={方>1},8={0,*},若4=8,則實(shí)數(shù)x=，y—.

答案10

解析因?yàn)锳=B,所以x=0或y=0.若x=0,則1=0,此時(shí)集合2中的元素不滿足互異

性，舍去；若y=0,則x=/，得x=0（舍去）或x=l,此時(shí)4=B={0』}.所以x=1,y=0.

|-課堂小結(jié)------------------------------------1

1.對(duì)子集、真子集有關(guān)概念的理解

（1）集合A中的任何一個(gè)元素都是集合B中的元素，即由能推出xGB,這是判斷A

UB的常用方法.

（2）不能簡(jiǎn)單地把“AU8”理解成“A是8中部分元素組成的集合”，因?yàn)槿鬉=。時(shí)，則A

中不含任何元素；若A=8,則A中含有B中的所有元素.

（3）在真子集的定義中，A、2首先要滿足AUB,其次至少有一個(gè)xGB,但KA

2.集合子集的個(gè)數(shù)

求集合的子集問(wèn)題時(shí)，一般可以按照子集元素個(gè)數(shù)分類，再依次寫(xiě)出符合要求的子集.集合

的子集、真子集個(gè)數(shù)的規(guī)律為：含“個(gè)元素的集合有2"個(gè)子集，有2"—1個(gè)真子集，有2"

一2個(gè)非空真子集.

3.涉及字母參數(shù)的集合關(guān)系問(wèn)題，注意數(shù)形結(jié)合思想與分類討論思想的應(yīng)用.

F課時(shí)精練j解疑糾偏，訓(xùn)練檢測(cè)

一、選擇題

1.已知集合A={-1,1},則下列式子表示正確的有（）

①1CA；②{-1?；③0UA；@{1,一1中.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

答案C

解析正確的是①③④，故選C.

2.已知集合戶和。的關(guān)系如圖所示，則（）

A.P>QB.QGP

C.P=QD.PUQ

答案B

解析由圖可知。中的元素都是P中的元素，所以。是P的子集，故選B.

3.已知集合A={x|x是平行四邊形},8={x|x是矩形},C={x|x是正方形},￡>={x|x是菱形},

則（）

A.AUBB.CUB

C.OUCD.AU。

答案B

解析選項(xiàng)A錯(cuò)，應(yīng)當(dāng)是BUA.選項(xiàng)B對(duì)，正方形一定是矩形，但矩形不一定是正方形.選

項(xiàng)C錯(cuò)，正方形一定是菱形，但菱形不一定是正方形.選項(xiàng)D錯(cuò)，應(yīng)是。UA.

kTk1

4.若集合{4r=]+4，kez\,集合N={x|x=z+菱，k?Z},則（）

A.M=NB./UN

C.MND.以上均不對(duì)

答案C

k\2k+1k1i-4-9

解析由余戶芋■,YZ,灣=胃，kwz,可知選c.

5.已知集合A={x|Oa<l},3={M0a<c},若AU8,則實(shí)數(shù)c的取值范圍是（）

A.{c|O<c<l}B.{c|c'l}

C.{c|O<c<l}D.{c|c>l}

答案B

6.已知集合M={y|y=f—2%—1,xSR},集合N={x|-2WxW4},則集合M與N之間的關(guān)

系是（）

A.M>NB.MN

C.NMD.MUN

答案C

解析因?yàn)閥=（x—Ip—2N—2,

所以M={y|y>一2},所以NM.

7.若集合4={1,3,x},B={P1},且BUA,貝IJ滿足條件的實(shí)數(shù)x的個(gè)數(shù)是（）

A.lB.2C.3D.4

答案C

解析由8UA,知爐=3,或/=x,

解得x=H5,或x=0,或x=l,當(dāng)x=l時(shí)，集合A,B都不滿足元素的互異性，故x=l

舍去.

二、填空題

8.集合{—1,0,1}共有個(gè)子集.

答案8

解析由于集合中有3個(gè)元素，故該集合有23=8個(gè)子集.

9.設(shè)集合何={川屬-5x-3=0},集合N={x|,nx=l},若NUM,則實(shí)數(shù)機(jī)的取值集合

為.

答案{一2,0,1）.

解析集合M={3,—%.若NUM,則N={3}或{-%或。.于是當(dāng)N={3}時(shí)，抗當(dāng)N

={-g}時(shí)，m=-2;當(dāng)N=。時(shí)，/n=0.

所以皿的取值集合為{一2,0,1）.

10.設(shè)4=31〃<2},B^[x\x<a},若AB,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

答案{〃|〃22}

解析因?yàn)锳B,所以。22,

即a的取值范圍是{〃|。22}.

3

2

三、解答題

11.設(shè)集合A={1,a,b],集合B={a,a2,ah},且A=B,求/。帕+方2。叱

解方法-,：