112無(wú)窮積分的性質(zhì)與收斂判別課件

§2

無(wú)窮積分的性質(zhì)及收斂判別一、無(wú)窮積分的性質(zhì)

本節(jié)討論無(wú)窮積分的性質(zhì),并用這些性質(zhì)得到無(wú)窮積分的收斂判別法.二、非負(fù)函數(shù)無(wú)窮積分的收斂判別法三、一般函數(shù)無(wú)窮積分的收斂判別法返回一、無(wú)窮積分的性質(zhì)證極限的柯西準(zhǔn)則,此等價(jià)于收斂的充要條件是:(無(wú)窮積分收斂的柯西準(zhǔn)則)無(wú)窮積分定理11.1性質(zhì)1為任意常數(shù),則即根據(jù)反常積分定義,容易導(dǎo)出以下性質(zhì)1和性質(zhì)2.性質(zhì)2h(x)在任意[a,u]上可積,且證因?yàn)槭諗?由柯西準(zhǔn)則的必要性,例1,f(x),g(x),若再由柯西準(zhǔn)則的充分性,若無(wú)窮積分以下定理可用來(lái)判別一般函數(shù)無(wú)窮積分的收斂性.何有限區(qū)間[a,u]上可積,性質(zhì)3

(絕對(duì)收斂的無(wú)窮積分必收斂)若

f在任因此再由柯西準(zhǔn)則的充分性,又對(duì)任意證由柯西準(zhǔn)則的必要性,對(duì)因收斂的無(wú)窮積分不一定是絕對(duì)收斂的.例2的收斂性.判別解由于二、非負(fù)函數(shù)無(wú)窮積分的收斂判別法引理(非負(fù)函數(shù)無(wú)窮積分的判別法)設(shè)定義在

上的非負(fù)函數(shù)f

在任何收斂的充要條件是:證設(shè)增函數(shù)的收斂判別準(zhǔn)則,

從而F(u)是單調(diào)遞增的由單調(diào)遞非負(fù)函數(shù)

f,g在任何有限區(qū)間[a,u]上可積,且定理11.2(比較判別法)

設(shè)定義在上的兩個(gè)存在滿足證

由非負(fù)函數(shù)無(wú)窮積分的判別法,第二個(gè)結(jié)論是第一個(gè)結(jié)論的逆否命題,因此也成立.例3判別的收斂性.解顯然設(shè)f(x),g(x)是上的非負(fù)連續(xù)函數(shù).證例4證由于推論1設(shè)非負(fù)函數(shù)f和g在任何[a,u]上可積,且證

即推論2設(shè)f是定義在上的非負(fù)函數(shù),在任何限區(qū)間[a,u]上可積.推論3設(shè)f是定義在上的非負(fù)函數(shù),在任何有說(shuō)明:

推論3是推論2的極限形式.例5

討論的收斂性(k>0).解(i)Ex1解所給廣義積分收斂．Ex2解根據(jù)柯西極限審斂法

，所給廣義積分發(fā)散．Ex3解根據(jù)柯西極限審斂法

，所給廣義積分發(fā)散．證Ex6:

用比較審斂法證明：即收斂.Ex7解所以所給廣義積分收斂.三、一般函數(shù)無(wú)窮積分的判別法狄利克雷判別法和阿貝爾判別法.定理11.3(狄利克雷判別法）證故使得因此,由柯西準(zhǔn)則，證[證法1]定理11.4(阿貝爾判別法)由

g的單調(diào)性,用積分第二中值定理，對(duì)于任意的使得由柯西準(zhǔn)則,[證法2]由狄利克雷判別法收斂,所以例6的收斂性.收斂.解由狄利克雷判別法推知另一方面，狄利克雷判別法條件,是