解析幾何 06 與圓有關(guān)的問(wèn)題 突破專項(xiàng)訓(xùn)練-2022屆高三數(shù)學(xué)解答題

臨澧一中2022屆高三數(shù)學(xué)解答題突破專項(xiàng)訓(xùn)練解析幾何06（與圓有關(guān)的問(wèn)題）1．已知，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，橢圓上任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最小值與最大值之比為，過(guò)且垂直于長(zhǎng)軸的橢圓的弦長(zhǎng)為3．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)的直線與橢圓相交的交點(diǎn)、與右焦點(diǎn)所圍成的三角形的內(nèi)切圓面積是否存在最大值？若存在，試求出最大值；若不存在，說(shuō)明理由．2．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)為，，為上一點(diǎn)，垂直于軸，且、、成等差數(shù)列，．（1）求橢圓的方程；（2）直線過(guò)點(diǎn)，與橢圓交于，兩點(diǎn)，且點(diǎn)在軸上方．記，△的內(nèi)切圓半徑分別為，，若，求直線的方程．3．已知橢圓的離心率為，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）與坐標(biāo)軸不垂直的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)（不與橢圓的頂點(diǎn)重合），以為直徑的圓過(guò)橢圓的上頂點(diǎn)，證明：直線過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)．4．已知橢圓的右焦點(diǎn)為，橢圓上的點(diǎn)到的距離的最大值和最小值分別為和．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若圓的切線與橢圓交于，兩點(diǎn)，是否存在正數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．5．已知橢圓的離心率為，右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上．（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線（不與軸重合）交橢圓于點(diǎn)，，直線，分別與直線交于點(diǎn)，．求證：以線段為直徑的圓被軸截得的弦長(zhǎng)為定值．6．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知，．（1）求拋物線的方程；（2）過(guò)焦點(diǎn)作直線交于，兩點(diǎn)，為上異于，的任意一點(diǎn)，直線，分別與的準(zhǔn)線相交于，兩點(diǎn)，證明：以線段為直徑的圓經(jīng)過(guò)軸上的兩個(gè)定點(diǎn)．7．如圖，橢圓的離心率為且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，為橢圓上的一動(dòng)點(diǎn)．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)圓，過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，，兩切線的斜率分別為，．①求的值；②若與橢圓交于，兩點(diǎn)，與圓切于點(diǎn)，與軸正半軸交于點(diǎn)（異于點(diǎn)，且滿足，求的方程．8．已知橢圓的離心率為，且兩焦點(diǎn)與短軸兩頂點(diǎn)圍成的四邊形的面積為．（1）若為橢圓上一點(diǎn)，且，求△的面積；（2）我們稱圓心在橢圓上運(yùn)動(dòng)，半徑為的圓是橢圓的“衛(wèi)星圓”，過(guò)原點(diǎn)作橢圓的“衛(wèi)星圓”的兩條切線，分別交橢圓于，兩點(diǎn)，若直線，的斜率存在，記為，．①求證：為定值；②試問(wèn)是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．9．設(shè)，為雙曲線的左、右頂點(diǎn)，直線過(guò)右焦點(diǎn)且與雙曲線的右支交于，兩點(diǎn)，當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，為等腰直角三角形．（1）求雙曲線的離心率；（2）若雙曲線左支上任意一點(diǎn)到右焦點(diǎn)點(diǎn)距離的最小值為3，（ⅰ）求雙曲線方程；（ⅱ）已知直線，分別交直線于，兩點(diǎn)，當(dāng)直線的傾斜角變化時(shí)，以為直徑的圓是否過(guò)軸上的定點(diǎn)，若過(guò)定點(diǎn)，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案1．（1）到焦點(diǎn)的最大值和最小值分別為：，，由題意可得，①且垂直于長(zhǎng)軸的橢圓的弦長(zhǎng)為②，又③，由①②③可得，，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；（2）由（1）可得左焦點(diǎn)，假設(shè)存在這樣的直線，由于直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為：，設(shè)，，，，聯(lián)立整理可得：，可得：，，所以，令，可得：，所以，時(shí)單調(diào)遞減，所以時(shí)，最大為，所以的最大值為：，所以，設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為，因?yàn)榈闹荛L(zhǎng)為，，所以，的最大值為，這時(shí)內(nèi)切圓的半徑最大．且，即存在這樣的內(nèi)切圓的面積的最大值為．2．（1）由題，，，，，，則，因?yàn)?、、成等差?shù)列，所以，解得，所以，聯(lián)立，解得，，故橢圓方程為：．（2）設(shè)點(diǎn)，，，，直線，聯(lián)立，有，△，則，，由題意，有，，由，得，由，得，有，解得，，解得，，，，，故直線的方程為．3．（1）由題意知，，且，結(jié)合，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）直線的斜率存在且不為零，設(shè)為，，，，，聯(lián)立直線方程和橢圓方程化簡(jiǎn)得，△，所以．，因?yàn)橐詾橹睆降膱A過(guò)橢圓的上頂點(diǎn)，所以．即，整理得，所以，即：，整理可得：，解得或，當(dāng)時(shí)，直線過(guò)橢圓的頂點(diǎn)，舍去，所以直線的方程為，過(guò)定點(diǎn)．4．（1）由題意可得，，解得，，則，所以橢圓方程為；（2）假設(shè)存在正數(shù)，使得，、當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，可得，，因?yàn)?，則有，解得，又直線為圓的切線，所以；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，，，，，聯(lián)立，可得，則△，所以，且，所以，因?yàn)椋瑒t，所以，整理可得，則，所以，因?yàn)橹本€為圓的切線，故原點(diǎn)到的距離為，所以存在正數(shù)，使得．5．（1）由條件有，解得，，所以橢圓的方程為．（2）證明：，設(shè)直線的方程為，，，，．聯(lián)立橢圓方程，整理得，，．直線的方程為，令，得，同理，．所以．中點(diǎn)為，即．故以線段為直徑的圓被軸截得的弦長(zhǎng)為．即：以線段為直徑的圓被軸截得的弦長(zhǎng)為定值．6．（1）設(shè)點(diǎn)，，因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，，則，即，即．因?yàn)?，則．因?yàn)?，則，即．，所以，化簡(jiǎn)得，解得，所以拋物線的方程是．（2）設(shè)直線的方程為，代入，得．設(shè)點(diǎn)，，，，則，．設(shè)點(diǎn)，，則，直線的方程為，令，得，所以點(diǎn)．同理，點(diǎn)．設(shè)以線段為直徑的圓與軸的交點(diǎn)為，則，．因?yàn)?，則，即，則，解得或．故以線段為直徑的圓經(jīng)過(guò)軸上的兩個(gè)定點(diǎn)和．7．（1）因?yàn)椋?，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，解得：，，所以橢圓方程為：；（2）①設(shè)，，切線，即圓心到切線的距離整理可得：，所以，②因?yàn)?，所以，所以，所以，設(shè)切線為，聯(lián)立直線方程和橢圓方程可得：，所以，令可得，設(shè)，，則，所以，所以，整理可得：，所以，解得：，因?yàn)閳A心到距離，所以，所以，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以所求的方程為或．8．（1）由題意可得，解得：，，，所以橢圓的方程為：；則可得由橢圓的定義可得，，由余弦定理可得，因?yàn)椋?，解得：，所以；?）①證明：直線，的方程為，，設(shè)橢圓的“衛(wèi)星橢圓”的圓心，，因?yàn)橹本€，是圓的切線，所以，，化簡(jiǎn)可得，，所以，是的兩個(gè)根，所以，因?yàn)椋跈E圓上，所以，所以，可證得：為定值；②設(shè)，，，，，，解得，，所以，因?yàn)?，所以，所以，可證得是定值，且為8．11．（1）由軸時(shí)，為等腰直角三角形，可得，所以，即，故，因?yàn)?，解得，故雙曲線的離心率為2；（2）由雙曲線的幾何性質(zhì)可知雙曲線左頂點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離最小，最小距離為，即，又，所以，，所以，所以雙曲線的方程為：，由題知直線的斜率不為0，設(shè)直線，，，，，聯(lián)立直線與雙曲線的