專題強(qiáng)化三 異面直線、線面角和二面角技巧-2021-2022學(xué)年高一數(shù)學(xué)【考題透析】滿分計(jì)劃系列（人教A版2019必修第二冊）

專題強(qiáng)化三：異面直線、線面角和二面角技巧考點(diǎn)一、異面直線所成的角①兩條異面直線所成的角θ∈（0，π2②當(dāng)兩條異面直線所成的角是直角時，我們就說這兩條異面直線互相垂直，記作a⊥b；③兩條直線互相垂直，有共面垂直與異面垂直兩種情形；④計(jì)算中，通常把兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的角?？键c(diǎn)二、直線與平面所成的角（1）定義：平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角。當(dāng)直線與平面垂直時，規(guī)定這條直線與該平面成直角。當(dāng)直線與平面平行或在平面內(nèi)時，規(guī)定這條直線與該平面成0°角。（2）范圍：斜線與平面所成的角θ的范圍是0≤θ≤90°（3）求法：作出斜線在平面上的射影；（4）斜線與平面所成的角的特征：斜線與平面中所有直線所成角中最小的角?？键c(diǎn)三：二面角技巧一、定義法利用二面角的平面角的定義，在二面角的棱上取一點(diǎn)，過該點(diǎn)在兩個半平面內(nèi)作垂直于棱的射線，兩射線所成的角就是二面角的平面角，這是一種最基本的方法.例：在三棱錐V－ABC中，VA＝AB＝VB＝AC＝BC＝2，VC＝eq\r(3)，求二面角V－AB－C的大小.解取AB的中點(diǎn)D，連接VD，CD，∵△VAB中，VA＝VB＝AB＝2，∴△VAB為等邊三角形，∴VD⊥AB且VD＝eq\r(3)，同理CD⊥AB，CD＝eq\r(3)，∴∠VDC為二面角V－AB－C的平面角，而△VDC是等邊三角形，∠VDC＝60°，∴二面角V－AB－C的大小為60°.技巧二、三垂線法是利用三垂線定理及其逆定理來證明線線垂直，來找到二面角的平面角的方法.這種方法關(guān)鍵是找垂直于二面角的面的垂線.此方法是屬于較常用的.三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直.三垂線定理的逆定理：在平面內(nèi)的一條直線如果和這個平面的一條斜線垂直，那么它和這條斜線的射影垂直.例：如圖，在三棱錐S－ABC中，∠SAB＝∠SAC＝∠ABC＝90°，SA＝AB，SB＝BC.求二面角A－SC－B的平面角的正弦值.解取SB的中點(diǎn)D，連接AD，則AD⊥SB，垂足為點(diǎn)D，由已知平面SBC⊥平面SAB，平面SBC∩平面SAB＝SB，AD?平面SAB，∴AD⊥平面SBC.作AE⊥SC，垂足為點(diǎn)E，連接DE，則DE⊥SC，則∠AED為二面角A－SC－B的平面角.設(shè)SA＝AB＝2，則SB＝BC＝2eq\r(2)，AD＝eq\r(2)，AC＝2eq\r(3)，SC＝4.由題意得AE＝eq\r(3)，Rt△ADE中，sin∠AED＝eq\f(AD,AE)＝eq\f(\r(2),\r(3))＝eq\f(\r(6),3)，∴二面角A－SC－B的平面角的正弦值為eq\f(\r(6),3).技巧三、垂面法作一與棱垂直的平面，該垂面與二面角兩半平面相交，得到交線，交線所成的角為二面角的平面角.關(guān)鍵在找與二面角的棱垂直且與二面角兩半平面都有交線的平面.例：如圖，在三棱錐S－ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC且分別交AC，SC于點(diǎn)D，E，又SA＝AB，SB＝BC，求二面角E－BD－C的大小.解∵SB＝BC且E是SC的中點(diǎn)，∴BE是等腰三角形SBC底邊SC的中線，∴SC⊥BE.又已知SC⊥DE，BE∩DE＝E，BE，DE?平面BDE，∴SC⊥平面BDE，∴SC⊥BD.又SA⊥平面ABC，BD?平面ABC，∴SA⊥BD，而SC∩SA＝S，SC，SA?平面SAC，∴BD⊥平面SAC.∵平面SAC∩平面BDE＝DE，平面SAC∩平面BDC＝DC，∴BD⊥DE，BD⊥DC，∴∠EDC是所求二面角的平面角.∵SA⊥底面ABC，∴SA⊥AB，SA⊥AC.設(shè)SA＝2，則AB＝2，BC＝SB＝2eq\r(2).∵AB⊥BC，∴AC＝2eq\r(3)，∴∠ACS＝30°.又已知DE⊥SC，∴∠EDC＝60°.即所求的二面角等于60°.專題強(qiáng)化一、單選題1．（2021·安徽·六安市裕安區(qū)新安中學(xué)高一期末）如圖.是圓的直徑，，，是圓上一點(diǎn)(不同于，)，且，則二面角的平面角為（

）A． B． C． D．2．（2022·福建·漳州三中高一期中）如圖是正方體的平面展開圖，則在這個正方體中，AM與BN所成角的大小為（

）A．0° B．45° C．60° D．90°3．（2022·云南師大附中高一期中）三棱柱中，與AC、AB所成角均為60°，，且，則與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．4．（2021·天津南開·高一期末）如圖所示，等邊三角形的邊長為4，為的中點(diǎn)，沿把折疊到處，使二面角為60°，則折疊后二面角的正切值為（

）．A． B．C．2 D．5．（2022·安徽·合肥市第六中學(xué)高一期中）異面直線是指（

）A．不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線B．平面內(nèi)的一條直線與平面外的一條直線C．分別位于兩個不同平面內(nèi)的兩條直線D．空間中兩條不相交的直線6．（2022·全國·高一期中）如圖所示，在正方體中，M，N分別為棱，的中點(diǎn)，則下列四個結(jié)論正確的是(

)A．直線AM與是相交直線B．直線AM與BN是平行直線C．直線AM與BN所成角的余弦值為D．直線AM與平面所成角的余弦值為7．（2022·全國·高一）如圖，已知直三棱柱中，側(cè)棱長為，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，是側(cè)面含邊界上的動點(diǎn)，且有平面，則直線與側(cè)面所成角的正弦值的最小值為（

）A． B． C． D．8．（2021·云南·麗江市教育科學(xué)研究所高一期末）在菱形ABCD中，，，連結(jié)BD，沿BD把ABD折起，使得二面角的大小為，連結(jié)AC，則四面體ABCD的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．9．（2021·浙江·高一期末）如圖，在等腰中，，的內(nèi)角平分線交邊于點(diǎn)D，現(xiàn)將沿翻折至，使得，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．10．（2020·浙江·高一期末）已知二面角為，，，為垂足，，，，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．二、多選題11．（2022·全國·高一）（多選）如圖，在四面體中，點(diǎn)分別是棱的中點(diǎn)，截面是正方形，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．截面PQMNC． D．異面直線與所成的角為12．（2021·河北·廊坊市第一中學(xué)高一階段練習(xí)）如圖，已知正方體的棱長為1，是棱上的動點(diǎn)，則下列說法正確的有（

）A．B．平面C．二面角的大小為D．三棱錐的體積的最大值為13．（2021·江蘇南京·高一期末）已知菱形的邊長為2，，現(xiàn)將沿折起形成四面體．設(shè)，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．當(dāng)時，二面角的大小為B．當(dāng)時，平面平面C．無論為何值，直線與都不垂直D．存在兩個不同的值，使得四面體的體積為14．（2021·廣東佛山·高一期末）如圖，在正方體中，下列命題正確的是（

）A．與所成的角為B．與所成的角為C．與平面所成的角為D．平面與平面所成的二面角是直二面角三、解答題15．（2022·浙江溫州·高一期中）如圖，在三棱錐中，為的中點(diǎn)，和均為等腰三角形，且，，.(1)求三棱錐的體積；(2)求二面角的余弦值.16．（2022·寧夏·銀川一中高一期末）如圖，在三棱錐S—ABC中，SC⊥平面ABC，點(diǎn)P、M分別是SC和SB的中點(diǎn)，設(shè)PM=AC=1，∠ACB=90°，直線AM與直線SC所成的角為60°.(1)求證：平面MAP⊥平面SAC.(2)求二面角M—AC—B的平面角的正切值；17．（2022·浙江溫州·高一期中）如圖所示，在四棱錐中，是上的一點(diǎn)，，平面平面，，是等邊三角形，已知，.(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.18．（2022·全國·高一期中）在正三棱錐中，是的中點(diǎn)且，.(1)求三棱錐的體積；(2)求直線與平面所成角的正弦值.19．（2021·重慶·高一期末）如圖所示，圖（1）中的中，，，是的中點(diǎn)，現(xiàn)將沿折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，且滿足，得到如圖（2）所示的三棱錐，點(diǎn)、分別是棱、的中點(diǎn)，、分別在棱、上，滿足，.(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.20．（2022·福建省德化第一中學(xué)高一階段練習(xí)）如圖所示，在四棱錐中，四邊形ABED是正方形，點(diǎn)G，F(xiàn)分別是線段EC，BD的中點(diǎn).(1)求證：平面ABC；(2)若平面ABC，且，求異面直線GF與CD所成的角的余弦值.21．（2021·陜西·西安建筑科技大學(xué)附屬中學(xué)高一階段練習(xí)）（1）在如圖所示的正方體中，M，N分別為棱和的中點(diǎn)，求異面直線和所成的角的大?。?）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為a的正方形，側(cè)棱，求二面角的平面角的大小．22．（2021·浙江省桐鄉(xiāng)市高級中學(xué)高一階段練習(xí)）如圖，在正三棱柱中，，、分別是、的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求直線與直線所成角的余弦值．23．（2022·陜西·西安建筑科技大學(xué)附屬中學(xué)高一期末）如圖，在三棱錐P－ABC中，PA⊥AB，PA⊥AC，AB⊥BC，，D為線段AC的中點(diǎn)，E為線段PC上一點(diǎn).(1)求證：平面BDE⊥平面PAC；(2)求二面角P－BC－A的平面角的大小.24．（2022·浙江省開化中學(xué)高一期末）如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，平面，平面平面，，，為的中點(diǎn)．(1)求證：；(2)求二面角的正切值．25．（2021·湖北·高一期末）如圖1，在等腰梯形中，，，，．將與分別沿，折起，使得點(diǎn)、重合（記為點(diǎn)），形成圖2，且是等腰直角三角形．(1)證明：平面平面；(2)求二面角的正弦值；(3)若，求四棱錐的體積．26．（2022·全國·高一單元測試）如圖，在三棱錐中，，，，，D為線段AC的中點(diǎn)，E為線段PC上一點(diǎn).(1)求證：平面平面；(2)求二面角的平面角的大?。?3)當(dāng)平面時，求三棱錐的體積．27．（2022·全國·高一單元測試）如圖，在直角梯形ABCD中，，，，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)．將沿BD折起，使，連接AE、AC、DE，得到三棱錐．(1)求證：平面平面BCD；(2)若，二面角的大小為60°，求三棱錐的體積．28．（2022·全國·高一單元測試）如左圖所示，在直角梯形ABCD中，，，，，，邊AD上一點(diǎn)E滿足.現(xiàn)將沿BE折起到的位置，使平面平面BCDE，如右圖所示.(1)求證：；(2)求異面直線與BE的距離；(3)求平面與平面所成銳二面角的余弦值.29．（2021·吉林·延邊二中高一階段練習(xí)）在四棱臺中，平面，，，，，，垂足為M.（1）證明：平面平面；（2）若二面角正弦值為，求直線與平面所成角的余弦值.30．（2021·黑龍江齊齊哈爾·高一期末）如圖1，已知三棱錐，圖2是其平面展開圖，四邊形為正方形，和均為正三角形，．（1）求二面角的余弦值；（2）若點(diǎn)在棱上，滿足，，點(diǎn)在棱上，且，求的取值范圍．參考答案：1．C【解析】由圓的性質(zhì)知：，根據(jù)線面垂直的判定得到面，即，結(jié)合二面角定義可確定二面角的平面角.【詳解】∵是圓上一點(diǎn)(不同于，)，是圓的直徑，∴，，，即面，而面，∴，又面面，，∴由二面角的定義：為二面角的平面角.故選：C2．D【解析】【分析】首先還原幾何體，再求異面直線所成的角.【詳解】如圖，還原正方體，如圖，，直線與所成的角，即與所成的角，因?yàn)?，所以直線與所成的角為.故選；D3．A【解析】【分析】延長至，使得，，異面直線與所成角為或其補(bǔ)角．設(shè)，求出中的三邊長后可得結(jié)論．【詳解】如圖，延長至，使得，連接，，則由與平行且相等得平行四邊形，所以，所以異面直線與所成角為或其補(bǔ)角．設(shè)，則是菱形且，所以，，是等邊三角形，，又，所以，則，所以，，所以異面直線與所成角的余弦值是．故選：A．4．C【解析】【分析】首先作出二面角的平面角，再求正切值.【詳解】由條件可知，取的中點(diǎn)，連結(jié)，，，，，，是二面角的平面角，，，是等邊三角形，，故選：C5．A【解析】【分析】利用定義可以判斷選項(xiàng)A正確,借助空間想象力判斷選項(xiàng)BCD錯誤.【詳解】解：A.異面直線是指不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線，所以該選項(xiàng)正確；B.平面內(nèi)的一條直線與平面外的一條直線，可能平行、異面和相交，所以該選項(xiàng)錯誤；C.分別位于兩個不同平面內(nèi)的兩條直線，不一定是異面直線，也有可能平行、異面和相交，所以該選項(xiàng)錯誤；D.空間中兩條不相交的直線，可能異面或者平行，所以該選項(xiàng)錯誤.故選：A6．C【解析】【分析】A：根據(jù)異面直線的判斷方法即可判斷；B：連接、，根據(jù)異面直線判斷方法即可判斷；C：連接、、EN，為直線與所成的角(或其補(bǔ)角)，解△即可；D：連接DM，∠AMD即為直線AM與平面所成角，解△AMD即可．【詳解】對于A，∵M(jìn)、C、平面，M，A平面，∴直線AM與是異面直線，故A錯誤；對于B，連接、，∵A、M、平面，B，N平面，∴直線與是異面直線，故B錯誤；對于C，設(shè)的中點(diǎn)為點(diǎn)，連接、、EN，易知EN∥CD且EN=CD，AB∥CD且AB=CD，∴AB∥EN且AB=EN，∴四邊形ABNE是平行四邊形，∴BN∥AE，∴為直線與所成的角(或其補(bǔ)角)，設(shè)正方體的邊長為1，則在三角形中，，，，∴，故C正確；對于D，連接DM，∵平面，∴是直線與平面所成的角，在△中，，故D錯誤；故選：C﹒7．C【解析】【分析】由平面，可知的軌跡是過與垂直的直線在側(cè)面內(nèi)的部分，又為與側(cè)面所成角，可得最長時直線與側(cè)面所成角的正弦值的最小值，可得的最大值為，進(jìn)而可得正弦的最小值.【詳解】直三棱柱中，側(cè)棱長為，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，是側(cè)面含邊界上的動點(diǎn).由平面，面，∴，即的軌跡是過與垂直的直線在側(cè)面內(nèi)的部分，由及直棱柱的性質(zhì)，易證：面，且，∴為與側(cè)面所成角，當(dāng)越大時越小，同時正弦值也越小，又為與的交點(diǎn)時最長，此時，由△∽△，可得，此時，∴直線與側(cè)面所成角的正弦值的最小值為.故選：C.8．D【解析】【分析】取的中點(diǎn)記為，分別取和的外心與，過這兩點(diǎn)分別作平面?平面的垂線，交于點(diǎn)，則就是外接球的球心，先在中，求解，再在，求可得球半徑，進(jìn)而得解.【詳解】如圖，取的中點(diǎn)記為，連接，，分別取和的外心與，過這兩點(diǎn)分別作平面?平面的垂線，交于點(diǎn)，則就是外接球的球心，連接，，易知為二面角的平面角為，則是等邊三角形，其邊長為，，在中，，∴∵，∴，則四面體的外接球的表面積為.故選：D.9．A【解析】【分析】作于O，連接，易知為二面角的平面角，設(shè)，在直角三角形中，可得，在三角形中由余弦定理，可得根據(jù)三角函數(shù)值即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)橛深}意可知,作于O，連接，如圖所示則為二面角的平面角，又,所以為等邊三角形，設(shè)，且，令，則又，所以又，所以又，所以則，又則，所以或（舍去）所以，所以.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是根據(jù)翻折后的角度和長度不變，得到為二面角的平面角；在三角形中由余弦定理，求出由三角函數(shù)值的關(guān)系進(jìn)而確定范圍.10．B【解析】作出圖形，設(shè)，，，然后以、為鄰邊作平行四邊形，可知為二面角的平面角，異面直線與所成角為或其補(bǔ)角，計(jì)算出三邊邊長，利用余弦定理計(jì)算出，即可得解.【詳解】如下圖所示：設(shè)，，，以、為鄰邊作平行四邊形，在平面內(nèi)，，，，則，，，，，，所以，為二面角的平面角，即，，為等邊三角形，則，四邊形為平行四邊形，，即，，，，，，平面，平面，，則，在平行四邊形中，且，所以，異面直線與所成角為或其補(bǔ)角，在中，，，由余弦定理可得.因此，異面直線與所成角的余弦值為.故選：B.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，把異面直線的問題化歸為共面直線問題來解決，具體步驟如下：（1）平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；（2）認(rèn)定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；（3）計(jì)算：求該角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是，當(dāng)所作的角為鈍角時，應(yīng)取它的補(bǔ)角作為兩條異面直線所成的角．11．ABD【解析】【分析】根據(jù)線線、線面平行判定和性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】解：因?yàn)榻孛媸钦叫?，所以，又平面，平面所以平面又平?平面平面所以因?yàn)榻孛?，截面，所以截面，故B正確同理可證因?yàn)?，所以，故A正確又所以異面直線與所成的角為，故D正確和不一定相等，故C錯誤故選：ABD12．ABD【解析】【分析】證明面可證明即可判斷A；由面平面可判斷B；求二面角的平面角即可判斷C；設(shè)，則求出最大值可判斷D，進(jìn)而可得正確選項(xiàng).【詳解】對于A：連接，，則，面，面，所以，因?yàn)椋悦?，因?yàn)槊妫?，故選項(xiàng)A正確；對于B：因?yàn)槊嫫矫?，面，所以平面，故選項(xiàng)B正確；對于C：二面角即為二面角，因?yàn)槊?，所以即為所求角，在中，，故選項(xiàng)C不正確；對于D：設(shè)，則，因?yàn)?，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時，點(diǎn)到的距離最大，此時所以最大為：，所以最大值為，故選項(xiàng)D正確；故選：ABD.13．ABD【解析】【分析】利用圖形，結(jié)合二面角的定義，判斷A；利用面面垂直的判斷定理，可證明平面，即可判斷B；當(dāng)時，即可證明，判斷C；首先利用體積公式求點(diǎn)到平面的距離，再與比較大小，即可判斷D.【詳解】A.如圖，，所以是二面角的平面角，，當(dāng)時，是等邊三角形，所以，故A正確；B.當(dāng)時，，所以，又，且，所以平面，平面，所以平面平面，故B正確；C.當(dāng)時，此三棱錐是正四面體，取的中點(diǎn)，連結(jié)，，且，所以平面，所以，故C錯誤；D.，得，即此時點(diǎn)到平面的距離為，，所以存在兩個不同的值，使得四面體的體積為，此時兩個二面角互補(bǔ)，故D正確.故選：ABD14．BCD【解析】【分析】根據(jù)異面直線所成的角、直線和平面所成的角的概念作出這些角，再求大小即可判斷ABC，對于D，利用線面垂直的判定定理判斷【詳解】解：不妨設(shè)正方體的棱長為1，對于A，如圖，因?yàn)椤?，所以與所成的角，即為與所成的角，即，因?yàn)椋?，所以A錯誤，對于B，如圖，因?yàn)椤危詾楫惷嬷本€與所成的角，因?yàn)闉榈冗吶切?，所以，即與所成的角為，所以B正確，對于C，如圖，因?yàn)椤?，所以四點(diǎn)共面，連接交于，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)?，所以平面，即平面，所以與平面所成的角為，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)椋瑸殇J角，所以，所以與平面所成的角為，所以C正確，對于D，如圖，因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)?，，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面，所以平面與平面所成的二面角是直二面角，所以D正確，故選：BCD15．(1)(2)【解析】【分析】（1）在中，，所以，可以解出，設(shè)，的中點(diǎn)分別為，，可以證明平面，從而平面平面，利用面面垂直的性質(zhì)定理構(gòu)造出平面的垂線，求出垂線段的長，代體積公式即可求解（2）取的中點(diǎn)記為，連接，，可以證明為二面角的平面角.利用余弦定理即可求解(1)在等腰直角三角形中，，，所以又為中點(diǎn)，則在等腰直角三角形中，，，所以如圖所示，所以所以即解之得設(shè)，的中點(diǎn)分別為，，則，又，所以因?yàn)椋?，，平面，平面所以平面，又平面∴平面平面，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，則平面在中，由余弦定理可得所以，又，所以為正三角形，則在等腰直角三角形中，為斜邊的中點(diǎn)，所以，且可得：(2)取的中點(diǎn)記為，連接，因?yàn)?，所以又且為中點(diǎn)，則，所以為二面角的平面角.，在中由余弦定理得：，所以二面角的余弦值為.16．(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）由已知可證BC⊥平面SAC，又PM∥BC，則PM⊥面SAC，從而可證平面MAP⊥平面SAC；（2）由AC⊥平面SBC，可得∠MCB為二面角M—AC－B的平面角，過點(diǎn)M作MN⊥CB于N點(diǎn)，連接AN，則∠AMN=60°，由勾股定理可得，在中，可得，從而在中，即可求解二面角M—AC—B的平面角的正切值.(1)證明：∵SC⊥平面ABC，∴SC⊥BC，又∵∠ACB=90°，∴AC⊥BC，又ACSC=C，∴BC⊥平面SAC，又∵P，M是SC、SB的中點(diǎn)，∴PM∥BC，∴PM⊥面SAC，又PM平面MAP，∴平面MAP⊥平面SAC；(2)解：∵SC⊥平面ABC，∴SC⊥AC，又AC⊥BC，BCSC=C，∴AC⊥平面SBC，∴AC⊥CM，AC⊥CB，從而∠MCB為二面角M—AC－B的平面角，∵直線AM與直線PC所成的角為60°，∴過點(diǎn)M作MN⊥CB于N點(diǎn)，連接AN，則∠AMN=60°，在△CAN中，由勾股定理可得，在中，，在中，.17．(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）作輔助線，證明，根據(jù)線面平行的判定定理即可證明結(jié)論；（2）證明，從而證明，根據(jù)線面角的定義結(jié)合三角函數(shù)，即可求得答案.(1)連接AC交BD于點(diǎn)E，連接ME,由得,則,而得，得，平面BDM,平面BDM,所以PA∥平面BDM.(2)由題意可知，,則，故,又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，可得平面，則，且為直線BP與平面PAD所成的角，而是等邊三角形，故，又，,.18．(1)(2)【解析】【分析】（1）取BC中點(diǎn)為E，連接PE、AE，證明平面，得證，再由已知得出平面，從而得三棱錐的頂角都是直角，由體積公式計(jì)算體積．（2）作平面于，∵為正三棱錐，∴為正的中心.取OB中點(diǎn)為F，連接FD、CF，證明為與平面所成角，在直角三角形中計(jì)算出此角的正弦值．(1)取BC中點(diǎn)為E，連接PE、AE.∵，∴，∵，所以，又∵，平面，∴面，∵面，∴，又∵且，平面，∴面，平面，∴，，又為正三角錐，，由，知∴.(2)作平面于，∵為正三棱錐，∴為正的中心.取OB中點(diǎn)為F，連接FD、CF，∵D是PB中點(diǎn)，F(xiàn)為OB中點(diǎn)，∴且，∴平面∴是在平面上的投影，則為與平面所成角.在中，，在，在中，在中，，，則.記與平面所成角為，.19．(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）構(gòu)造平行四邊形，利用線線平行推線面平行（2）借助（1）的結(jié)論，將問題轉(zhuǎn)化為求與平行的直線與平面所成的角(1)證明：在中，，，,是的中點(diǎn),,在三棱錐中，取的中點(diǎn),連接,分別是棱的中點(diǎn)，,連接,滿足,四邊形是平行四邊形，平面,平面平面(2)翻折前，翻折后，平面,平面,,，是中點(diǎn)平面與平面的所成角為與平面的所成角等于與平面的所成角，20．(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）連接，可得F是AE的中點(diǎn)，由三角形的中位線定理得，然后利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論，（2）由，可得是異面直線GF與CD所成的角，令，在中求解即可(1)連接，∵四邊形ABED是正方形，且F是BD的中點(diǎn)∴F也是AE的中點(diǎn)∵G是EC的中點(diǎn)，∴∵平面ABC，平面ABC∴平面ABC(2)由（1）可知∴是異面直線GF與CD所成的角.∵平面ABC，平面ABC∴，∵，四邊形ABED是正方形，∴，令，則，∴，∴異面直線GF與CD所成的角的余弦值為21．（1）；（2）【解析】【分析】（1）連接則是異面直線和所成的角或補(bǔ)角，求解即可；（2）先證明為二面角的平面角，再求解即可【詳解】（1）連接,因?yàn)镸，N分別為棱和的中點(diǎn)，所以，又易知，所以是異面直線和所成的角或補(bǔ)角，因?yàn)闉榈冗吶切?，所以；所以異面直線和所成的角為；（2）因?yàn)?，所以，所以，同理可證，又，所以平面，又平面，所以，又，，所以平面，又平面，所以，所以為二面角的平面角，因?yàn)?所以，二面角的平面角的大小.22．(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)，利用線線平行證明面面平行；（2）利用幾何法或向量法可得角的余弦值.(1)證明：如圖，取的中點(diǎn)，連接，，因?yàn)?，分別是，的中點(diǎn)，所以，，又平面，平面，平面，同理平面.又，，所以平面平面，又平面，所以平面；(2)法一：（幾何法）取中點(diǎn)，因連結(jié)，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，（或其補(bǔ)角）為直線與直線所成角.，，分別是，的中點(diǎn)在中，，，，設(shè)直線與直線所成角根據(jù)余弦定理得所以直線與直線所成角的余弦值為．法二：（向量法）如圖所示，在平面內(nèi)過作直線.以為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S，軸，，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.則，，，，所以，，設(shè)直線與直線所成角，所以.所以直線與直線所成角的余弦值為．23．(1)見解析(2)【解析】【分析】（1）由線面垂直的判定定理可得平面，從而可得，證明，再根據(jù)線面垂直的判定定理可得平面PAC，再根據(jù)面面垂直的判定定理即可得證；（2）由線面垂直的性質(zhì)可得，再根據(jù)線面垂直的判定定理可得平面，則有，從而可得即為二面角P－BC－A的平面角，從而可得出答案.(1)證明：因?yàn)镻A⊥AB，PA⊥AC，，所以平面，又因平面，所以，因?yàn)镈為線段AC的中點(diǎn)，，所以，又，所以平面PAC，又因?yàn)槠矫鍮DE，所以平面BDE⊥平面PAC；(2)解：由（1）得平面，又平面，所以，因?yàn)锳B⊥BC，，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，所以即為二面角P－BC－A的平面角，在中，，所以，所以，即二面角P－BC－A的平面角的大小為.24．(1)證明見解析；(2).【解析】【分析】（1）過在平面內(nèi)作，垂足為點(diǎn)，證明出，由線面垂直的性質(zhì)可得出，利用線面垂直的判定和性質(zhì)可證得結(jié)論成立；（2）過點(diǎn)在平面內(nèi)作，垂足為點(diǎn)，連接，證明出平面，可得出為二面角的平面角，計(jì)算出的長，即可求得的正切值，即可得解.(1)證明：過在平面內(nèi)作，垂足為點(diǎn)，平面平面，平面平面，平面，平面，平面，則，平面，平面，，，平面，平面，.(2)解：過點(diǎn)在平面內(nèi)作，垂足為點(diǎn)，連接，由（1）知平面，平面，，，，所以，平面，因?yàn)槠矫?，所以，，所以，為二面角的平面角，平面，平面，，，，則，為的中點(diǎn)，所以，，由，，因此，二面角的正切值為.25．(1)證明見解析；(2)(3)【解析】【分析】(1)先證平面,即可證明面面垂直.(2)證明即為二面角的平面角，解三角形即可求解.(3)由(2)得出底面積和高，即可求解.(1)解：由題意得：又,,故平面；又平面,故平面平面；(2)如圖，連接,分別為的中點(diǎn)，由（1）知,故,又,所以，故即為二面角的平面角，由(1)知,平面,又平面,故平面平面,又平面平面,,所以平面,設(shè)，則,,,,故二面角的正弦值為：.(3)由(2)得,平面,又，所以,故四棱錐的體積為.26．(1)證明見解析；(2)；(3)【解析】【分析】（1）可通過證明及來證明面，進(jìn)而可得平面平面；（2）通過證明面，可得是二面角的平面角，在中計(jì)算即可；（3）通過來計(jì)算三棱錐的體積.(1)由，，且得面，又面，又，D為線段AC的中點(diǎn)，則，又，面，面，面，又面，平面平面；(2)由（1）知面，又面，，又，且，面，面，面，又面是二面角的平面角，在中，即二面角的平面角的大小為；(3)平面，平面，且平面平面，又D為線段AC的中點(diǎn)，可得E為線段PC的中點(diǎn)，且又由面，可得面，可得，則三棱錐的體積為27．(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）證明平面，得到，再證明平面，得到證明.（2）分別為的中點(diǎn)，證明為二面角的平面角，設(shè)，根據(jù)等面積法得到，計(jì)算體積得到答案.(1)，，，故平