考點(diǎn)12 三角函數(shù)的基本概念、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式-備戰(zhàn)2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)幫（浙江專用）

考點(diǎn)12三角函數(shù)的基本概念、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式【命題趨勢】從近五年的考查情況來看，本節(jié)的重點(diǎn)是三角函數(shù)的定義，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，單獨(dú)命題的概率較低．本講知識多作為工具考查三角恒等變形或研究三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)，以選擇題和填空題為主．【重要考向】本節(jié)通過三角函數(shù)的概念、同角三角函數(shù)基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式，考查考生的學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)及分類討論思想的應(yīng)用．三角函數(shù)的定義1．利用三角函數(shù)的定義求角的三角函數(shù)值，需確定三個量：角的終邊上任意一個異于原點(diǎn)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)x、縱坐標(biāo)y、該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離r.若題目中已知角的終邊在一條直線上，此時注意在終邊上任取一點(diǎn)有兩種情況(點(diǎn)所在象限不同)．2．利用三角函數(shù)線解三角不等式的步驟：①確定區(qū)域的邊界；②確定區(qū)域；③寫出解集．3．已知角α的終邊所在的直線方程或角α的大小，根據(jù)三角函數(shù)的定義可求角α終邊上某特定點(diǎn)的坐標(biāo)．4．三角函數(shù)值的符號及角的位置的判斷．已知一角的三角函數(shù)值(，，)中任意兩個的符號，可分別確定出角的終邊所在的可能位置，二者的交集即為該角的終邊位置．注意終邊在坐標(biāo)軸上的特殊情況.【典例】1．已知角終邊經(jīng)過點(diǎn)，且，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用任意角的三角函數(shù)定義列方程求解，進(jìn)而可得的值.【詳解】因為角終邊經(jīng)過點(diǎn)，且，所以，所以，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以.故選:A利用三角函數(shù)符號判斷角所在象限1．象限角的判定有兩種方法：一是根據(jù)圖象，其依據(jù)是終邊相同的角的思想；二是先將此角化為k·360°＋α（0°≤α<360°，kZ）的形式，即找出與此角終邊相同的角α，再由角α終邊所在的象限來判斷此角是第幾象限角．2．由角的終邊所在的象限判斷三角函數(shù)式的符號，需確定各三角函數(shù)的符號，然后依據(jù)“同號得正，異號得負(fù)”求解.【典例】2．“角是第一或第三象限角”是“”的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】利用充分條件和必要條件的定義，結(jié)合象限角的正弦、余弦的正負(fù)情況進(jìn)行判斷即可.【詳解】角是第一象限角時，，則；若角是第三象限角，，則.故“角是第一或第三象限角”是“”的充分條件.若，即或，所以角是第一或第三象限角.故“角是第一或第三象限角”是“”的必要條件.綜上，“角是第一或第三象限角”是“”的充要條件.故選:C.3．若，則所在的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】由的范圍，求出的正負(fù)，從而可確定點(diǎn)所在象限．【詳解】∵，∴，∴點(diǎn)在第二象限．故選：B．利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系求值1．利用可以實現(xiàn)角的正弦、余弦的互化，利用可以實現(xiàn)角的弦切互化．2．的齊次式的應(yīng)用：分式中分子與分母是關(guān)于的齊次式，或含有及的式子求值時，可將所求式子的分母看作“1”，利用“”代換后轉(zhuǎn)化為“切”后求解.【典例】4．已知銳角滿足，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合兩角和的余弦公式進(jìn)行求解即可.【詳解】因為是銳角，所以，即，而，所以，因此有，因此有：故選：A5．已知為第四象限角，且，則=（）A． B．C． D．【答案】A【分析】先求出，利用兩角差的余弦公式即可求出.【詳解】因為為第四象限角，且，所以，所以故選：A利用誘導(dǎo)公式化簡、求值1．應(yīng)用誘導(dǎo)公式，重點(diǎn)是“函數(shù)名稱”與“正負(fù)號”的正確判斷．求任意角的三角函數(shù)值的問題，都可以通過誘導(dǎo)公式化為銳角三角函數(shù)的求值問題，具體步驟為“負(fù)角化正角”→“正角化銳角”→求值．2．使用誘導(dǎo)公式時一定要注意三角函數(shù)值在各象限的符號，特別是在具體題目中出現(xiàn)類似的形式時，需要對k的取值進(jìn)行分類討論，從而確定出三角函數(shù)值的正負(fù)．3．利用誘導(dǎo)公式化簡三角函數(shù)式的思路：（1）分析結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，選擇恰當(dāng)公式；（2）利用公式化成單角三角函數(shù)；（3）整理得最簡形式．利用誘導(dǎo)公式化簡三角函數(shù)式的要求：（1）化簡過程是恒等變形；（2）結(jié)果要求項數(shù)盡可能少，次數(shù)盡可能低，結(jié)構(gòu)盡可能簡單，能求值的要求出值．【典例】6．已知，則的值是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題首先可根據(jù)得出，然后根據(jù)誘導(dǎo)公式以及二倍角公式即可得出結(jié)果.【詳解】，即，，，則，故選：B.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、誘導(dǎo)公式綜合應(yīng)用【典例】7．已知.（1）化簡；（2）若角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，求.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式直接化簡即可；（2）由任意角的三角函數(shù)的定義可求得，從而可求出的值【詳解】解：（1）.（2）∵角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，∴.∴.1．在平面直角坐標(biāo)系中，角以坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn)，為始邊，終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（）A． B．C． D．2．已知是第三象限角，滿足，則是（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限3．已知，，，則角的取值范圍是（）A． B． C． D．4．化簡的結(jié)果為（）A． B． C． D．5．已知，且是第二象限，則（）A． B． C． D．6．已知，則（）A． B． C． D．7．已知（1）化簡；（2）若角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，求.1.（2021年全國新高考Ⅰ卷數(shù)學(xué)試題）若，則（）A． B． C． D．2．（2020年高考全國Ⅰ卷理數(shù)）已知，且，則A．B．C．D．3.（2020年高考全國Ⅱ卷理數(shù)）若α為第四象限角，則A．cos2α>0 B．cos2α<0 C．sin2α>0 D．sin2α<04.（2020年高考全國Ⅲ卷理數(shù)）已知2tanθ–tan(θ+)=7，則tanθ=A．–2 B．–1 C．1 D．25.（2020年高考江蘇）已知=，則的值是▲6．（2020年高考浙江）已知，則_______，_______．7．（2018年高考浙江）已知角α的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，它的終邊過點(diǎn)P（）．（1）求sin（α+π）的值；（2）若角β滿足sin（α+β）=，求cosβ的值．1．已知，角的終邊上一點(diǎn)，則（）A． B． C． D．2．如果且，則所在的象限是（）A．第一象限角 B．第二象限C．第三象限角 D．第四象限3．若為第三象限角，則（）A． B．C． D．4．記，那么（）A． B． C． D．5．已知，則（）A． B． C． D．6．已知，且為銳角，則（）A． B． C． D．7．已知，則（）A． B． C． D．8．化簡的結(jié)果為（）A． B． C． D．9．已知是關(guān)于的方程的兩個實根，且.（1）求的值；（2）求的值.參考答案跟蹤訓(xùn)練1．【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義可求出，即可得出結(jié)果.【詳解】因為終邊經(jīng)過點(diǎn)，所以，，所以.故選：A．2．【分析】由是第三象限角，可得為第二或第四象限角，結(jié)合求得答案．【詳解】解：是第三象限角，，，則，，即為第二或第四象限角，又，為第四象限角．故選：D．3．【答案】D【分析】根據(jù)三角函數(shù)值的符號確定角的終邊的位置，從而可得的取值范圍.【詳解】因為，，故為第四象限角，故，故選：D.4．【分析】利用誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，即可得到答案；【詳解】，故選：B.5．【分析】先求，再用倍角公式和同角三角函數(shù)基本關(guān)系式求得的值.【詳解】解：，且是第二象限，故，則.故選：B.6．【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡變形可得結(jié)果【詳解】解：因為，所以，故選：C7．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)基本關(guān)系式進(jìn)行化簡；（2）利用三角函數(shù)的定義求出的值，代入求解.【詳解】解：（1）（2）角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，真題再現(xiàn)1.【答案】C【分析】將式子進(jìn)行齊次化處理得：．故選：C．2.【答案】A【解析】，得，即，解得或（舍去），又.

故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查三角恒等變換和同角間的三角函數(shù)關(guān)系求值，熟記公式是解題的關(guān)鍵，考查計算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.3.【答案】D【解析】方法一：由α為第四象限角，可得，所以此時的終邊落在第三、四象限及軸的非正半軸上，所以，故選：D．方法二：當(dāng)時，，選項B錯誤；當(dāng)時，，選項A錯誤；由在第四象限可得：，則，選項C錯誤，選項D正確；故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的符號，二倍角公式，特殊角的三角函數(shù)值等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.4.【答案】D【解析】，，令，則，整理得，解得，即.故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用兩角和的正切公式化簡求值，屬于中檔題.5.【答案】【解析】故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查兩角和正弦公式、二倍角正弦公式，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.6.【答案】；【解析】，，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查二倍角余弦公式以及弦化切、兩角差正切公式，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.7.【答案】（1）；（2）或.【解析】（1）由角的終邊過點(diǎn)得，所以.（2）由角的終邊過點(diǎn)得，由得.由得，所以或.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的定義、誘導(dǎo)公式、兩角差的余弦公式，考查考生分析問題、解決問題的能力，運(yùn)算求解能力，考查的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)運(yùn)算.求解三角函數(shù)的求值問題時，需綜合應(yīng)用三角函數(shù)的定義、誘導(dǎo)公式及三角恒等變換.（1）首先利用三角函數(shù)的定義求得，然后利用誘導(dǎo)公式，計算sin（α+π）的值;（2）根據(jù)sin（α+β）的值，結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，計算的值，要注意該值的正負(fù)，然后根據(jù)，利用兩角差的余弦公式，通過分類討論，求得cosβ的值.模擬檢測1．C【分析】首先根據(jù)三角函數(shù)的定義求出，再根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系計算可得；【詳解】解：因為角的終邊上一點(diǎn)，所以，又，解得，由可知在第二象限，故．故選：C．2．C【分析】由三角函數(shù)的符號法則判斷即可【詳解】由，可知所在第三或第四象限或者軸非正半軸上由，可知所在第二或第三象限或者軸非正半軸上所以在第三象限故選：C3．D【分析】由條件可得，，，然后逐一判斷即可.【詳解】因為為第三象限角，所以，，，故符號不定，故選項A錯誤；，故選項B錯誤；，故其符號不能確定，故選項C錯誤；，故選項D正確.故選：D.4．D【分析】依題意得，由同角三角函數(shù)關(guān)系得，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】，則，所以，那么.故選：D．5．D【分析】將分式的上下同時除以，即可求得結(jié)果.【詳解】原式上下同時除以，得.故選：D6．C【分析】本題首先可根據(jù)為銳角以及同角三角函數(shù)關(guān)系得出，然后根據(jù)兩角和的余弦公式即可得出結(jié)果.【詳解】因為為銳角，所以，因為，所以，則，故選：C.7．D