學案4復數(shù)課件

學案4復數(shù)數(shù)系的擴充和復數(shù)的引入1.理解復數(shù)的基本概念,理解復數(shù)相等的充要條件.2.了解復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義；能將代數(shù)形式的復數(shù)在復平面上用點或向量表示,并能將復平面上的點或向量所對應的復數(shù)用代數(shù)形式表示.3.能進行復數(shù)代數(shù)形式的四則運算,了解兩個具體復數(shù)相加、相減的幾何意義.1.復數(shù)的有關概念是復數(shù)運算、復數(shù)應用的基礎，高考中重點考查的概念有虛數(shù)、純虛數(shù)、共軛復數(shù)、兩復數(shù)相等及復數(shù)幾何意義以及解答涉及這些概念的復數(shù)運算，多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn).2.以選擇題或填空題的形式考查復數(shù)的四則運算，特別是乘法和除法運算，與其他知識相結合考查運算能力和推理能力.1.（1）若i為虛數(shù)單位，規(guī)定①i2=

;②實數(shù)可以與i進行四則運算，進行四則運算時，原有的加、乘法運算律仍然成立.（2）形如a+bi(a,b∈R)的數(shù)叫做復數(shù)，a,b分別叫做復數(shù)的

.若b=0,則復數(shù)a+bi為

；若b≠0，則復數(shù)a+bi為

；

-1實部、虛部實數(shù)虛數(shù)（3）若a,b,c,d∈R，則a+bi=c+di的充要條件是

.（4）若a,b,c,d∈R，則a+bi與c+di為共軛復數(shù)的充要條件是

.2.（1）建立直角坐標系來表示復數(shù)的平面叫

，

叫做實軸，

叫做虛軸.（2）復數(shù)z=a+bi(a,b∈R)與復平面內的點建立了

關系.一一對應a=c且b=da=c且b=-d復平面x軸y軸若b≠0，且a=0時，則復數(shù)a+bi為

.純虛數(shù)3.運算法則設z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R).（1）z1±z2=(a+bi)±(c+di)=

.（2）z1·z2=(a+bi)(c+di)=

.（3）=

.(a±c)+(b±d)i(ac-bd)+(ad+bc)i（4）zm·zn=

,(zm)n=

,(z1·z2)n=

（其中m,n∈Z）;zmn

x2-y2=a

,4.常見的運算規(guī)律（1）i的周期性：i4n+1=

,i4n+2=

,i4n+3=

,i4n=

(n∈Z);（2）(a+bi)(a-bi)=

;（3）（1±i）2=

；求出x,y.設(x+yi)2=a+bi，由2xy=bi-1-i1a2+b2

±2i（4）=

,=

;（5）=

;（6）b-ai=(a+bi)·(-i),-b+ai=(a+bi)i.±ii-i復數(shù)z=+(m2-2m-15)i，求實數(shù)m，使得（1）z是實數(shù)；（2）z是純虛數(shù)；（3）z所對應的點在復平面的第二象限；（4）z是復數(shù).考點1復數(shù)的基本概念【分析】根據復數(shù)的有關概念的定義，把此復數(shù)的實部與虛部分離開，轉化為實部與虛部分別滿足定義的條件這一實數(shù)問題去求解.【解析】實部為=,虛部為m2-2m-15=(m+3)(m-5).(m+3)(m-5)=0m+3≠0，m=-3或m=5m≠-3.∴當m=5時，z是實數(shù).(1)要使z為實數(shù)，則即=0(m+3)(m-5)≠0,m=-2或m=3m≠-3且m≠5,∴當m=-2或m=3時，z是純虛數(shù).（2）要使z為純虛數(shù)，則即（3）由復數(shù)z所對應的點在復平面上第二象限的充要條件知<0(m+3)(m-5)>0,m<-3或-2<m<3m>5或m<-3.∴當m<-3時，z所對應的點在第二象限.∈R(m+3)(m-5)∈R,∴當m≠-3時，z為復數(shù).即∴m<-3.（4）要使z為復數(shù)，則

【評析】本題考查復數(shù)集中各數(shù)集的分類及復數(shù)的幾何意義，本題中給出的復數(shù)采用的是標準的代數(shù)形式；若不然，則應先化為代數(shù)形式后再依據概念求解.下列四個命題中正確結論的個數(shù)為（）①滿足z=的復數(shù)有±1,±i;②若a,b∈R且a=b,則(a-b)+(a+b)i是純虛數(shù)；③復數(shù)z∈R的充要條件是z=z；④復平面內x軸是實軸，y軸是虛軸.A.0個B.1個C.2個D.3個C(±i不滿足z=，故①錯；當a=b=0時，(a-b)+(a+b)i是實數(shù),故②錯；③④正確.故應選C.)C已知x,y為共軛復數(shù)，且(x+y)2-3xyi=4-6i，求x,y.【分析】解決此類問題的基本方法是設復數(shù)的代數(shù)形式，化虛為實.考點2復數(shù)相等的充要條件【解析】設x=a+bi（a,b∈R），則y=a-bi,代入原式，得(2a)2-3(a2+b2)i=4-6i,4a2=4,-3(a2+b2)=-6.根據復數(shù)相等得a=1a=1a=-1a=-1b=1b=-1b=1b=-1.x=1+ix=1-iy=1-iy=1+ix=-1+ix=-1-iy=-1-iy=-1+i.或或或解得或∴所求復數(shù)為或或【評析】利用復數(shù)相等實現(xiàn)了復數(shù)問題向實數(shù)問題的轉化，體現(xiàn)了轉化思想.已知復數(shù)ｚ與（ｚ＋２）２－８ｉ均是純虛數(shù)，則ｚ＝

.【解析】設z=bi(b∈R且b≠0),則(z+2)2-8i=(bi+2)2-8i=4-b2+(4b-8)i,又(z+2)2-8i為純虛數(shù)，4-b2=04b-8≠0,b=-2.∴有解得∴z=-2i.實數(shù)m取怎樣的值時，復數(shù)z=(m2-3m+2)+(m2-2m-8)i的共軛復數(shù)在復平面上的對應點在第一象限內.【分析】復數(shù)z=a+bi(a,b∈R)與復平面的點z（a,b）建立了一一對應關系，因此只要求a,b所在象限也就知道了.考點3復數(shù)的幾何意義【解析】要使z的對應點在第一象限，則有z的對m2-3m+2>0m2-2m-8<0得-2<m<1或2<m<4，即為所求m的取值范圍.應點在第四象限.解

【評析】復數(shù)實部、虛部的符號與其對應點所在象限密切相關，實數(shù)、純虛數(shù)的對應點分別在實軸和虛軸上.若實部為正且虛部為正，則復數(shù)對應點在第一象限；若實部為負且虛部為正，則復數(shù)對應點在第二象限；若實部為負且虛部為負，則復數(shù)對應點在第三象限；若實部為正且虛部為負，則復數(shù)對應點在第四象限.此外，若復數(shù)的對應點在某些曲線上，還可寫出代數(shù)形式的一般表達式.如：對應點在直線x=1上，則z=1+bi(b∈R)；對應點在直線y=x上，則z=a+ai(a∈R)，這在利用復數(shù)的代數(shù)形式解題中能起到簡化作用.設z=log2(m2-3m-3)+ilog2(m-3)(m∈R)，若z對應的點在直線x-2y+1=0上，則m的值是

.(∵z對應的點為(log2(m2-3m-3),log2(m-3))，又∵其在直線x-2y+1=0上，∴l(xiāng)og2(m2-3m-3)-2log2(m-3)+1=0,整理得log2∴2m2-6m-6=m2-6m+9,即m2=15,m=±,又∵m-3>0且m2-3m-3>0,∴m=.)考點4復數(shù)代數(shù)形式的運算計算：（1）（2）1+in+i2n+…+i2000n(n∈N).

【分析】（1）利用(1±i)2=±2i這一特點進行運算;（2）利用in的周期性計算.【解析】（1）原式=（2）當n=4k(k∈N)時，原式=1+1+…+1=2001；當n≠4k(k∈N)時，原式=︸2001個

【評析】

（1）在計算過程中常出現(xiàn)一些比較有特點的式子.如（1±i）2=±2i,,等，要抓住這一特點快速運算.

（2）in的運算具有周期性.復數(shù)=()A.IB.-IC.12-13iD.12+13i【答案】A【解析】故應選A.考點5簡單的復數(shù)方程設a,b為實數(shù)，若復數(shù)=1+i,則（）A.a=,b=B.a=3,b=1C.a=,b=D.a=1,b=3【分析】以方程為載體,利用復數(shù)相等的條件建立方程,再求解.【解析】∵=1+i,∴a+bi=故應選A.【評析】利用復數(shù)相等實現(xiàn)復數(shù)問題向實數(shù)問題的轉化,體現(xiàn)了轉化思想.已知=b+i(a,b∈R),其中i為虛數(shù)單位，則a+b=()A.-1B.1C.2D.3【答案】B【解析】2-ai=b+i,由復數(shù)相等得b=2,a=-1,則a+b=1.故應選B.1.復數(shù)z=a+bi(a,b∈R)、復平面內的點Z(a,b)