學(xué)案4復(fù)數(shù)課件

學(xué)案4復(fù)數(shù)數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的引入1.理解復(fù)數(shù)的基本概念,理解復(fù)數(shù)相等的充要條件.2.了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義；能將代數(shù)形式的復(fù)數(shù)在復(fù)平面上用點(diǎn)或向量表示,并能將復(fù)平面上的點(diǎn)或向量所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)用代數(shù)形式表示.3.能進(jìn)行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算,了解兩個(gè)具體復(fù)數(shù)相加、相減的幾何意義.1.復(fù)數(shù)的有關(guān)概念是復(fù)數(shù)運(yùn)算、復(fù)數(shù)應(yīng)用的基礎(chǔ)，高考中重點(diǎn)考查的概念有虛數(shù)、純虛數(shù)、共軛復(fù)數(shù)、兩復(fù)數(shù)相等及復(fù)數(shù)幾何意義以及解答涉及這些概念的復(fù)數(shù)運(yùn)算，多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn).2.以選擇題或填空題的形式考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，特別是乘法和除法運(yùn)算，與其他知識(shí)相結(jié)合考查運(yùn)算能力和推理能力.1.（1）若i為虛數(shù)單位，規(guī)定①i2=

;②實(shí)數(shù)可以與i進(jìn)行四則運(yùn)算，進(jìn)行四則運(yùn)算時(shí)，原有的加、乘法運(yùn)算律仍然成立.（2）形如a+bi(a,b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，a,b分別叫做復(fù)數(shù)的

.若b=0,則復(fù)數(shù)a+bi為

；若b≠0，則復(fù)數(shù)a+bi為

；

-1實(shí)部、虛部實(shí)數(shù)虛數(shù)（3）若a,b,c,d∈R，則a+bi=c+di的充要條件是

.（4）若a,b,c,d∈R，則a+bi與c+di為共軛復(fù)數(shù)的充要條件是

.2.（1）建立直角坐標(biāo)系來(lái)表示復(fù)數(shù)的平面叫

，

叫做實(shí)軸，

叫做虛軸.（2）復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)建立了

關(guān)系.一一對(duì)應(yīng)a=c且b=da=c且b=-d復(fù)平面x軸y軸若b≠0，且a=0時(shí)，則復(fù)數(shù)a+bi為

.純虛數(shù)3.運(yùn)算法則設(shè)z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R).（1）z1±z2=(a+bi)±(c+di)=

.（2）z1·z2=(a+bi)(c+di)=

.（3）=

.(a±c)+(b±d)i(ac-bd)+(ad+bc)i（4）zm·zn=

,(zm)n=

,(z1·z2)n=

（其中m,n∈Z）;zmn

x2-y2=a

,4.常見(jiàn)的運(yùn)算規(guī)律（1）i的周期性：i4n+1=

,i4n+2=

,i4n+3=

,i4n=

(n∈Z);（2）(a+bi)(a-bi)=

;（3）（1±i）2=

；求出x,y.設(shè)(x+yi)2=a+bi，由2xy=bi-1-i1a2+b2

±2i（4）=

,=

;（5）=

;（6）b-ai=(a+bi)·(-i),-b+ai=(a+bi)i.±ii-i復(fù)數(shù)z=+(m2-2m-15)i，求實(shí)數(shù)m，使得（1）z是實(shí)數(shù)；（2）z是純虛數(shù)；（3）z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面的第二象限；（4）z是復(fù)數(shù).考點(diǎn)1復(fù)數(shù)的基本概念【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的有關(guān)概念的定義，把此復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部分離開(kāi)，轉(zhuǎn)化為實(shí)部與虛部分別滿(mǎn)足定義的條件這一實(shí)數(shù)問(wèn)題去求解.【解析】實(shí)部為=,虛部為m2-2m-15=(m+3)(m-5).(m+3)(m-5)=0m+3≠0，m=-3或m=5m≠-3.∴當(dāng)m=5時(shí)，z是實(shí)數(shù).(1)要使z為實(shí)數(shù)，則即=0(m+3)(m-5)≠0,m=-2或m=3m≠-3且m≠5,∴當(dāng)m=-2或m=3時(shí)，z是純虛數(shù).（2）要使z為純虛數(shù)，則即（3）由復(fù)數(shù)z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面上第二象限的充要條件知<0(m+3)(m-5)>0,m<-3或-2<m<3m>5或m<-3.∴當(dāng)m<-3時(shí)，z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限.∈R(m+3)(m-5)∈R,∴當(dāng)m≠-3時(shí)，z為復(fù)數(shù).即∴m<-3.（4）要使z為復(fù)數(shù)，則

【評(píng)析】本題考查復(fù)數(shù)集中各數(shù)集的分類(lèi)及復(fù)數(shù)的幾何意義，本題中給出的復(fù)數(shù)采用的是標(biāo)準(zhǔn)的代數(shù)形式；若不然，則應(yīng)先化為代數(shù)形式后再依據(jù)概念求解.下列四個(gè)命題中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）①滿(mǎn)足z=的復(fù)數(shù)有±1,±i;②若a,b∈R且a=b,則(a-b)+(a+b)i是純虛數(shù)；③復(fù)數(shù)z∈R的充要條件是z=z；④復(fù)平面內(nèi)x軸是實(shí)軸，y軸是虛軸.A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)C(±i不滿(mǎn)足z=，故①錯(cuò)；當(dāng)a=b=0時(shí)，(a-b)+(a+b)i是實(shí)數(shù),故②錯(cuò)；③④正確.故應(yīng)選C.)C已知x,y為共軛復(fù)數(shù)，且(x+y)2-3xyi=4-6i，求x,y.【分析】解決此類(lèi)問(wèn)題的基本方法是設(shè)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，化虛為實(shí).考點(diǎn)2復(fù)數(shù)相等的充要條件【解析】設(shè)x=a+bi（a,b∈R），則y=a-bi,代入原式，得(2a)2-3(a2+b2)i=4-6i,4a2=4,-3(a2+b2)=-6.根據(jù)復(fù)數(shù)相等得a=1a=1a=-1a=-1b=1b=-1b=1b=-1.x=1+ix=1-iy=1-iy=1+ix=-1+ix=-1-iy=-1-iy=-1+i.或或或解得或∴所求復(fù)數(shù)為或或【評(píng)析】利用復(fù)數(shù)相等實(shí)現(xiàn)了復(fù)數(shù)問(wèn)題向?qū)崝?shù)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想.已知復(fù)數(shù)ｚ與（ｚ＋２）２－８ｉ均是純虛數(shù)，則ｚ＝

.【解析】設(shè)z=bi(b∈R且b≠0),則(z+2)2-8i=(bi+2)2-8i=4-b2+(4b-8)i,又(z+2)2-8i為純虛數(shù)，4-b2=04b-8≠0,b=-2.∴有解得∴z=-2i.實(shí)數(shù)m取怎樣的值時(shí)，復(fù)數(shù)z=(m2-3m+2)+(m2-2m-8)i的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第一象限內(nèi).【分析】復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)與復(fù)平面的點(diǎn)z（a,b）建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，因此只要求a,b所在象限也就知道了.考點(diǎn)3復(fù)數(shù)的幾何意義【解析】要使z的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第一象限，則有z的對(duì)m2-3m+2>0m2-2m-8<0得-2<m<1或2<m<4，即為所求m的取值范圍.應(yīng)點(diǎn)在第四象限.解

【評(píng)析】復(fù)數(shù)實(shí)部、虛部的符號(hào)與其對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在象限密切相關(guān)，實(shí)數(shù)、純虛數(shù)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別在實(shí)軸和虛軸上.若實(shí)部為正且虛部為正，則復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第一象限；若實(shí)部為負(fù)且虛部為正，則復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第二象限；若實(shí)部為負(fù)且虛部為負(fù)，則復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第三象限；若實(shí)部為正且虛部為負(fù)，則復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第四象限.此外，若復(fù)數(shù)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在某些曲線(xiàn)上，還可寫(xiě)出代數(shù)形式的一般表達(dá)式.如：對(duì)應(yīng)點(diǎn)在直線(xiàn)x=1上，則z=1+bi(b∈R)；對(duì)應(yīng)點(diǎn)在直線(xiàn)y=x上，則z=a+ai(a∈R)，這在利用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式解題中能起到簡(jiǎn)化作用.設(shè)z=log2(m2-3m-3)+ilog2(m-3)(m∈R)，若z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線(xiàn)x-2y+1=0上，則m的值是

.(∵z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(log2(m2-3m-3),log2(m-3))，又∵其在直線(xiàn)x-2y+1=0上，∴l(xiāng)og2(m2-3m-3)-2log2(m-3)+1=0,整理得log2∴2m2-6m-6=m2-6m+9,即m2=15,m=±,又∵m-3>0且m2-3m-3>0,∴m=.)考點(diǎn)4復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算計(jì)算：（1）（2）1+in+i2n+…+i2000n(n∈N).

【分析】（1）利用(1±i)2=±2i這一特點(diǎn)進(jìn)行運(yùn)算;（2）利用in的周期性計(jì)算.【解析】（1）原式=（2）當(dāng)n=4k(k∈N)時(shí)，原式=1+1+…+1=2001；當(dāng)n≠4k(k∈N)時(shí)，原式=︸2001個(gè)

【評(píng)析】

（1）在計(jì)算過(guò)程中常出現(xiàn)一些比較有特點(diǎn)的式子.如（1±i）2=±2i,,等，要抓住這一特點(diǎn)快速運(yùn)算.

（2）in的運(yùn)算具有周期性.復(fù)數(shù)=()A.IB.-IC.12-13iD.12+13i【答案】A【解析】故應(yīng)選A.考點(diǎn)5簡(jiǎn)單的復(fù)數(shù)方程設(shè)a,b為實(shí)數(shù)，若復(fù)數(shù)=1+i,則（）A.a=,b=B.a=3,b=1C.a=,b=D.a=1,b=3【分析】以方程為載體,利用復(fù)數(shù)相等的條件建立方程,再求解.【解析】∵=1+i,∴a+bi=故應(yīng)選A.【評(píng)析】利用復(fù)數(shù)相等實(shí)現(xiàn)復(fù)數(shù)問(wèn)題向?qū)崝?shù)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想.已知=b+i(a,b∈R),其中i為虛數(shù)單位，則a+b=()A.-1B.1C.2D.3【答案】B【解析】2-ai=b+i,由復(fù)數(shù)相等得b=2,a=-1,則a+b=1.故應(yīng)選B.1.復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)、復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a,b)