高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)數(shù)列(知識(shí)點(diǎn)很全)

數(shù)列一、知識(shí)梳理概念1.數(shù)列的定義：按照一定順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每個(gè)數(shù)稱為該數(shù)列的項(xiàng).2.通項(xiàng)公式：如果數(shù)列的第項(xiàng)與序號(hào)之間可以用一個(gè)式子表示,那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式，即.3.遞推公式：如果已知數(shù)列的第一項(xiàng)（或前幾項(xiàng)），且任何一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)（或前幾項(xiàng)）間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來表示，即或，那么這個(gè)式子叫做數(shù)列的遞推公式.如數(shù)列中，，其中是數(shù)列的遞推公式.4.數(shù)列的前項(xiàng)和與通項(xiàng)的公式①；

②.5.數(shù)列的表示方法：解析法、圖像法、列舉法、遞推法.6.數(shù)列的分類：有窮數(shù)列，無窮數(shù)列；遞增數(shù)列，遞減數(shù)列，擺動(dòng)數(shù)列，常數(shù)數(shù)列；有界數(shù)列，無界數(shù)列.①遞增數(shù)列:對(duì)于任何,均有.②遞減數(shù)列:對(duì)于任何,均有.③擺動(dòng)數(shù)列:例如:④常數(shù)數(shù)列:例如:6,6,6,6,…….⑤有界數(shù)列:存在正數(shù)使.⑥無界數(shù)列:對(duì)于任何正數(shù),總有項(xiàng)使得.

等差數(shù)列1.等差數(shù)列的概念如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列叫做等差數(shù)列，常數(shù)稱為等差數(shù)列的公差.

2.通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和公式⑴通項(xiàng)公式，為首項(xiàng)，為公差.⑵前項(xiàng)和公式或.3.等差中項(xiàng)如果成等差數(shù)列，那么叫做與的等差中項(xiàng).即：是與的等差中項(xiàng)，，成等差數(shù)列.4.等差數(shù)列的判定方法⑴定義法：（，是常數(shù)）是等差數(shù)列；⑵中項(xiàng)法：()是等差數(shù)列.5.等差數(shù)列的常用性質(zhì)⑴數(shù)列是等差數(shù)列，則數(shù)列、（是常數(shù)）都是等差數(shù)列；⑵在等差數(shù)列中，等距離取出若干項(xiàng)也構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，即為等差數(shù)列，公差為.⑶；(,是常數(shù))；(,是常數(shù)，)⑷若，則；⑸若等差數(shù)列的前項(xiàng)和，則是等差數(shù)列；⑹當(dāng)項(xiàng)數(shù)為，則；當(dāng)項(xiàng)數(shù)為，則.等比數(shù)列1.等比數(shù)列的概念如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，常數(shù)稱為等比數(shù)列的公比.

2.通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和公式⑴通項(xiàng)公式：，為首項(xiàng)，為公比.⑵前項(xiàng)和公式：①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)時(shí)，.3.等比中項(xiàng)如果成等比數(shù)列，那么叫做與的等比中項(xiàng).即：是與的等差中項(xiàng)，，成等差數(shù)列.4.等比數(shù)列的判定方法⑴定義法：（，是常數(shù)）是等比數(shù)列；⑵中項(xiàng)法：()且是等比數(shù)列.5.等比數(shù)列的常用性質(zhì)⑴數(shù)列是等比數(shù)列，則數(shù)列、（是常數(shù)）都是等比數(shù)列；⑵在等比數(shù)列中，等距離取出若干項(xiàng)也構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，即為等比數(shù)列，公比為.⑶⑷若，則；⑸若等比數(shù)列的前項(xiàng)和，則、、、是等比數(shù)列.二、典型例題A、求值類的計(jì)算題（多關(guān)于等差等比數(shù)列）1）根據(jù)基本量求解（方程的思想）1、已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，求；

2、等差數(shù)列中，且成等比數(shù)列，求數(shù)列前20項(xiàng)的和．3、設(shè)是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，若，求數(shù)列前7項(xiàng)的和.4、已知四個(gè)實(shí)數(shù)，前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，后三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，首末兩數(shù)之和為，中間兩數(shù)之和為，求這四個(gè)數(shù).2）根據(jù)數(shù)列的性質(zhì)求解（整體思想）1、已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，則

；2、設(shè)、分別是等差數(shù)列、的前項(xiàng)和，，則

.3、設(shè)是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若（

）4、等差數(shù)列,的前項(xiàng)和分別為,,若,則=（

）5、已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，則

.6、在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，則_______。7、已知數(shù)列是等差數(shù)列，若

,且,則_________。8、已知為等比數(shù)列前項(xiàng)和，，，則

.9、在等差數(shù)列中，若，則的值為（

）10、在等比數(shù)列中，已知，，則

.11、已知為等差數(shù)列，，則

12、等差數(shù)列中，已知B、求數(shù)列通項(xiàng)公式1）給出前幾項(xiàng)，求通項(xiàng)公式3，-33,333，-3333,33333……2）給出前n項(xiàng)和求通項(xiàng)公式1、⑴；

⑵.2、設(shè)數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式3）給出遞推公式求通項(xiàng)公式a、⑴已知關(guān)系式，可利用迭加法或迭代法；例：已知數(shù)列中，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；b、已知關(guān)系式，可利用迭乘法.例、已知數(shù)列滿足：，求求數(shù)列的通項(xiàng)公式；c、構(gòu)造新數(shù)列1°遞推關(guān)系形如“”，利用待定系數(shù)法求解例、已知數(shù)列中，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.2°遞推關(guān)系形如“，兩邊同除或待定系數(shù)法求解例、，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.3°遞推已知數(shù)列中，關(guān)系形如“”，利用待定系數(shù)法求解例、已知數(shù)列中，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.4°遞推關(guān)系形如",兩邊同除以例1、已知數(shù)列中，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.例2、數(shù)列中，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.d、給出關(guān)于和的關(guān)系例1、設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．例2、設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，，.⑴求的通項(xiàng)；⑵設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.C、證明數(shù)列是等差或等比數(shù)列1)證明數(shù)列等差例1、已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，.求證：數(shù)列是等差數(shù)列.例2、已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足an+2Sn·Sn－1=0（n≥2），a1=.

求證：{}是等差數(shù)列；2）證明數(shù)列等比例1、設(shè){an}是等差數(shù)列，bn＝，求證：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列；例2、數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列{bn}中，若an+Sn=n.設(shè)cn=an－1，求證：數(shù)列{cn}是等比數(shù)列；例3、已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，，.⑴設(shè)數(shù)列中，，求證：是等比數(shù)列；⑵設(shè)數(shù)列中，，求證：是等差數(shù)列；⑶求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和.例4、設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知⑴證明：當(dāng)時(shí)，是等比數(shù)列；⑵求的通項(xiàng)公式例5、已知數(shù)列滿足⑴證明：數(shù)列是等比數(shù)列；⑵求數(shù)列的通項(xiàng)公式；⑶若數(shù)列滿足證明是等差數(shù)列.D、求數(shù)列的前n項(xiàng)和基本方法：1）公式法，2）拆解求和法.例1、求數(shù)列的前項(xiàng)和.例2、求數(shù)列的前項(xiàng)和.例3、求和：2×5+3×6+4×7+…+n（n+3）2）裂項(xiàng)相消法，數(shù)列的常見拆項(xiàng)有：；；例1、求和：S=1+例2、求和：.3）倒序相加法，例、設(shè)，求：⑴；⑵4）錯(cuò)位相減法，例、若數(shù)列的通項(xiàng)，求此數(shù)列的前項(xiàng)和.5）對(duì)于數(shù)列等差和等比混合數(shù)列分組求和例、已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=12n－n2，求數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和Tn.E、數(shù)列單調(diào)性最值問題例1、數(shù)列中，，當(dāng)數(shù)列的前項(xiàng)和取得最小值時(shí)，

.例2、已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，當(dāng)為何值時(shí)，取得最大值；例3、數(shù)列中，，求取最小值時(shí)的值.例4、數(shù)列中，，求數(shù)列的最大項(xiàng)和最小項(xiàng).例5、設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為．已知，，．（Ⅰ）設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若，，求的取值范圍．例6、已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，，.⑴求數(shù)列的通項(xiàng)公式；⑵數(shù)列中是否存在正整數(shù)，使得不等式對(duì)任意不小于的正整數(shù)都成立？若存在，求最小的正整數(shù)，若不存在，說明理由.例7、非等比數(shù)列中，前n項(xiàng)和，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，，是否存在最大的整數(shù)m，使得對(duì)任意的n均有總成立？若存在，求出m；若不存在，請(qǐng)說明理由。[例1]已知數(shù)列1，4，7，10，…，3n+7,其中后一項(xiàng)比前一項(xiàng)大3.（1）指出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）指出1+4+…+（3n－5）是該數(shù)列的前幾項(xiàng)之和.錯(cuò)解：（1）an=3n+7;(2)1+4+…+（3n－5）是該數(shù)列的前n項(xiàng)之和.錯(cuò)因：誤把最后一項(xiàng)（含n的代數(shù)式）看成了數(shù)列的通項(xiàng).（1）若令n=1,a1=101,顯然3n+7不是它的通項(xiàng).正解：（1）an=3n－2;(2)1+4+…+（3n－5）是該數(shù)列的前n－1項(xiàng)的和.[例2]已知數(shù)列的前n項(xiàng)之和為①

②

求數(shù)列的通項(xiàng)公式。錯(cuò)解：①

②錯(cuò)因：在對(duì)數(shù)列概念的理解上，僅注意了an＝Sn－Sn-1與的關(guān)系，沒注意a1=S1.正解：

①當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，

經(jīng)檢驗(yàn)時(shí)也適合，

②當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，

∴

[例3]已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)之和記