等比數(shù)列性質(zhì)及應(yīng)用課件1高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

等比數(shù)列性質(zhì)及應(yīng)用探究新知類比等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系，等比數(shù)列與函數(shù)的有什么關(guān)系？

等差數(shù)列等比數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系圖像

an=a1qn-1

探究新知類比等差數(shù)列單調(diào)性判斷，等比數(shù)列的單調(diào)性如何？an=a1qn-1

等差數(shù)列等比數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系單調(diào)性

解惑提高當(dāng)幾個(gè)數(shù)成等比數(shù)列時(shí)設(shè)項(xiàng)方法與技巧

大本例一

已知三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，其積為512，如果第一個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)各減去2，則此時(shí)的三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，則原來(lái)的三個(gè)數(shù)的和等于________．例3數(shù)列{an}共有5項(xiàng),前三項(xiàng)成等比數(shù)列,后三項(xiàng)成等差數(shù)列,第3項(xiàng)等于80,第2項(xiàng)與第4項(xiàng)的和等于136,第1項(xiàng)與第5項(xiàng)的和等于132.求這個(gè)數(shù)列.典型例題解:設(shè)前三項(xiàng)的公比為q,后三項(xiàng)的公差為d,則數(shù)列的各項(xiàng)依次為80,

80+d,80+2d.得,

解方程組，得

所以這個(gè)數(shù)列是20，40，80，96，112，或180，120，80，16，-48.[點(diǎn)撥]本題易忽略在等比數(shù)列中，奇數(shù)項(xiàng)(或偶數(shù)項(xiàng))符號(hào)相同這一條件，而得到a1a9＝±9.

[解析]

因?yàn)閧an}為等比數(shù)列，所以a3a7＝a4a6＝a1a9.所以(a1a9)2＝81，即a1a9＝±9.因?yàn)樵诘缺葦?shù)列{an}中，奇數(shù)項(xiàng)(或偶數(shù)項(xiàng))的符號(hào)相同，所以a1，a9同號(hào)，所以a1a9＝9.[答案]

A[點(diǎn)撥]注意b2的符號(hào)已經(jīng)確定(與－1同號(hào))，忽略這一隱含條件就容易得到錯(cuò)解C.

A在等比數(shù)列中，奇數(shù)項(xiàng)或者偶數(shù)項(xiàng)的符號(hào)相同，求等比數(shù)列的某一項(xiàng)或者某些項(xiàng)時(shí)要注意項(xiàng)的正負(fù)問(wèn)題．這也要求我們?cè)诮忸}時(shí)，不僅要關(guān)注眼前，更要整體考慮，并注意挖掘隱含條件．[素養(yǎng)提升]

思考：已知{an}是一個(gè)無(wú)窮等比數(shù)列,(1)

將{an}中的前k

項(xiàng)去掉,剩余各項(xiàng)組成一個(gè)新數(shù)列,這個(gè)新數(shù)列是等比數(shù)列嗎?如果是,它的首項(xiàng)與公比分別是多少?(2)

取出數(shù)列{an}中的所有奇數(shù)項(xiàng),組成一個(gè)新的數(shù)列,這個(gè)新數(shù)列是等比數(shù)列嗎?如果是,它的首項(xiàng)與公比分別是多少?(3)

在數(shù)列{an}中,每隔10項(xiàng)取出一項(xiàng),組成一個(gè)新的數(shù)列,這個(gè)新數(shù)列是等比數(shù)列嗎?如果是,它的公比是多少?你能根據(jù)得到的結(jié)論作出一個(gè)猜想嗎?

已知{an}是一個(gè)無(wú)窮等比數(shù)列,公比為q(1)將{an}中的前k項(xiàng)去掉,剩余各項(xiàng)組成一個(gè)新數(shù)列,這個(gè)新數(shù)列是等比數(shù)列嗎?如果是,它的首項(xiàng)與公比分別是多少?答:{an}中去掉前k項(xiàng)后分別是a1+k,a2+k,a3+k,…,an+k,…=q,(常數(shù)).∴{an}中去掉前k項(xiàng)后所得數(shù)列是等比數(shù)列,其首項(xiàng)是原數(shù)列的ak+1,公比是原數(shù)列的公比q.已知{an}是一個(gè)無(wú)窮等比數(shù)列,公比為q:(2)

取出數(shù)列{an}中的所有奇數(shù)項(xiàng),組成一個(gè)新的數(shù)列,這個(gè)新數(shù)列是等比數(shù)列嗎?如果是,它的首項(xiàng)與公比分別是多少?

答:取出{an}中的所有奇數(shù)項(xiàng)得a1,a3,a5,…,a2n-1,…=q2,(常數(shù)).∴取出{an}中的所有奇數(shù)項(xiàng)所得的數(shù)列也是等比數(shù)列,其首項(xiàng)為a1,公比為q2.

已知{an}是一個(gè)無(wú)窮等比數(shù)列,公比為q:

(3)

在數(shù)列{an}中,每隔k項(xiàng)取出一項(xiàng),組成一個(gè)新的數(shù)列,這個(gè)新數(shù)列是等比數(shù)列嗎?如果是,它的公比是多少?你能根據(jù)得到的結(jié)論作出一個(gè)猜想嗎?猜想:在等比數(shù)列{an}中每隔k項(xiàng)取出一項(xiàng),所得的數(shù)列也是等比數(shù)列,其公比為qk+1.“子數(shù)列”性質(zhì)對(duì)于無(wú)窮等比數(shù)列{an}，若將其前k項(xiàng)去掉，剩余各項(xiàng)仍為

，首項(xiàng)為

，公比為

；若取出所有的k的倍數(shù)項(xiàng)，組成的數(shù)列為

，首項(xiàng)為

，公比為

.等比數(shù)列ak＋1q等比數(shù)列akqk等比數(shù)列的性質(zhì)例4：(1)對(duì)任意等比數(shù)列{an}，下列說(shuō)法一定正確的是()A．a(chǎn)1，a3，a9成等比數(shù)列

B．a(chǎn)2，a3，a6成等比數(shù)列C．a(chǎn)2，a4，a8成等比數(shù)列

D．a(chǎn)3，a6，a9成等比數(shù)列(2)已知在等比數(shù)列{an}中，滿足a1＝1，公比q=－2，則()A．?dāng)?shù)列{2an＋an＋1}是等比數(shù)列B．?dāng)?shù)列{an＋1－an}是等比數(shù)列C．?dāng)?shù)列{anan＋1}是等比數(shù)列D．?dāng)?shù)列{log2|an|}是遞減數(shù)列an＝(－2)n－1.2an＋an＋1＝2·(－2)n－1＋(－2)n＝0，an＋1－an＝－3·(－2)n－1，anan＋1＝(－2)2n－1＝(－2)·(－2)2(n－1)，log2|an|＝log22n－1＝n－1，DBC微練習(xí)1．對(duì)任意等比數(shù)列{an}，下列說(shuō)法一定正確的是(

)A．a(chǎn)1，a3，a9成等比數(shù)列B．a(chǎn)2，a3，a6成等比數(shù)列C．a(chǎn)2，a4，a8成等比數(shù)列D．a(chǎn)3，a6，a9成等比數(shù)列D就任一等差數(shù)列{an},計(jì)算a7+a10和a8+a9,a10+a40和a20+a30時(shí)你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律?能把你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律作一般化推廣嗎?在等比數(shù)列中有類似的結(jié)論嗎?微練習(xí)2．公比為2的等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)都是正數(shù)，且a3a11＝16，則a5＝________.1

知識(shí)點(diǎn)三

等比數(shù)列的其它性質(zhì)1．(1)已知等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且log3a1＋log3a2＋…＋log3a9＝9，則a3a7＋a4a6＝(

)A．6

B．9C．18 D．81C考點(diǎn)三等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用[例2]

某人買了一輛價(jià)值13.5萬(wàn)元的新車，專家預(yù)測(cè)這種車每年按10%的速度貶值．(1)用一個(gè)式子表示n(n∈N*)年后這輛車的價(jià)值；(2)如果他打算用滿4年時(shí)賣掉這輛車，他大概能得到多少錢？[分析]

(1)該問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列模型嗎？(2)a1，q分別是多少？要求哪一個(gè)量？[解析]

(1)從第一年起，每年車的價(jià)值(萬(wàn)元)依次設(shè)為：a1，a2，a3，…，an，由題意，得a1＝13.5，a2＝13.5(1－10%)，a3＝13.5(1－10%)2，….由等比數(shù)列定義，知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，首項(xiàng)a1＝13.5，公比q＝(1－10%)＝0.9，∴an＝a1·qn－1＝13.5×(0.9)n－1，∴n年后車的價(jià)值為an＋1＝13.5×0.9n萬(wàn)元．(2)由(1)得a5＝a1·q4＝13.5×0.94≈8.9(萬(wàn)元)，∴用滿4年時(shí)賣掉這輛車，他大概能得到8.9萬(wàn)元．1.等比數(shù)列實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的關(guān)鍵是：建立數(shù)學(xué)模型即將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成等比數(shù)列的問(wèn)題，解數(shù)學(xué)模型即解等比數(shù)列問(wèn)題．2．發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題，建立和求解